Espaces vectoriels normes.pdf analyse 3 -Analyse 3 - Télécha
Télécharger PDFPsi 945 2016/2017 http://blog.psi945.fr Notes de cours Espaces vectoriels normés
Attention : le plus important, dans ce chapitre, ce sont les dessins et les exemples. Ne gurent ici que l'accessoire : les dé nitions et résultats du cours ! K désigne R ou C (prononcer valeur absolue ou module selon le contexte...). 1 Topologie Définition 1 Normes, distances Soit E un R-espace vectoriel. Une norme sur E est une application N de E dans R+ véri ant : pour tout x ∈ E et λ ∈ R, N(λx) = |λ| N(x); pour tout x ∈ E, N(x) = 0 implique x = 0 (pitié, pas d'équivalence !) ; pour tous x, y ∈ E, N(x + y) 6 N(x) + N(y). Muni d'une norme, on dit que E est un espace vectoriel normé. Une distance est une application d : E × E → R+ telle que : pour tous x, y ∈ E, on a d(x, y) = 0 si et seulement si x = y ; pour tous x, y ∈ E, d(x, y) = d(y, x); pour tous x, y, z ∈ E, d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z). Si N est une norme, alors (x, y) 7→ N(x − y) constitue une distance sur E. Exemples : Dans Kn, on a les normes usuelles kxkp = Pn |xk|p 1/p (pour p > 1) et kxk∞ = Max k=1 P Dans Mn(R), on utilisera souvent kAk∞ = Max i,j|ai,j | et kAk2 = i,j |ai,j |2 1/2. 16i6n|xi|. Dans C([0, 1], K) on dispose des norme kfkp = k k∞. Z 1 0 |f|p 1/p (dont k k2qui est euclidienne) et Z 1 Dans C1([0, 1], K) on a les variations autour de kfk = |f(0)| + 0 Définition 2 Convexes, bornés, boules, sphères Soit (E, N) un espace vectoriel normé. |f0|... Si x0 ∈ E et r > 0, la boule ouverte (respectivement boule fermée et sphère) de centre x0 et rayon r est l'ensemble des x ∈ E tels que N(x − x0) < r (respectivement N(x − x0) 6 r et N(x − x0) = r). Une partie X de E est dite convexe lorsque : ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1], λx + (1 − λ)y ∈ X ou encore : ∀x, y ∈ X, ∀t ∈ [0, 1], x + t(y − x) ∈ X ou encore : ∀x, y ∈ X, [x, y] ⊂ X Une partie X de E est dite bornée lorsqu'il existe R > 0 tel que pour tout x ∈ X, N(x) 6 R. 1
Définition 3 Ouverts, fermés Soit (E, N) un espace vectoriel normé. On considère X une partie de E. X est un ouvert lorsque : ∀x ∈ X, ∃ρ > 0; B(x0, ρ) ⊂ X En tout point de X, il y a du rabe pour rester dans X. X est un fermé lorsque E \ X est ouvert : ∀x ∈ E \ X, ∃ρ > 0; B(x0, ρ) ∩ X = ∅ Attention : dans E = R, [0, 1[ n'est ni ouvert ni fermé ! Une réunion d'ouverts est un ouvert. Pour l'intersection, ça ne marche que dans le cas ni. On a des résultats de même nature pour les fermés... Bonne nouvelle : les boules ouvertes... sont des ouverts ! Définition 4 Intérieur et adhérence Soit (E, N) un espace vectoriel normé. On considère X une partie de E. x0 est un point intérieur à X lorsqu'il existe ρ > 0 tel que B(x0, ρ) ⊂ X. L'intérieur de X, noté◦X, est l'ensemble des points intérieurs à X ; on a donc◦X⊂ X. X est ouvert si et seulement si X =◦X. x0 ∈ E est adhérent à X lorsque pour tout ρ > 0, B(x0, ρ) ∩ X 6= ∅. L'adhérence de X, noté X, est l'ensemble des points adhérents à X ; on a donc X ⊂X. X est fermé si et seulement si X =X. Le point de vue séquentiel (deuxième partie de ce poly) va rendre la notion plus concrète. La frontière de X est égale à son adhérence privée de son intérieur ; c'est aussi l'inter section de son adhérence et de l'adhérence de son complémentaire. Attention, dans E = C([a, b], R), on dispose des normes k k∞ et k k1. On a un contrôle kfk1 6 (b − a) kfk∞, mais il n'existe pas de contrôle semblable dans l'autre sens (prendre des chapeaux pointus pour lesquels kfk∞ peut être grande mais kfk1reste petite). Cela peut induire des tas de conséquences fâcheuses (convergence pour une norme mais pas l'autre...). Théorème 1 Cas de la dimension nie En dimension nie, toutes les normes sont équivalentes (si N1 et N2 sont deux normes, on a des contrôles mutuels N1 6 K1N2 et N2 6 K2N1, avec K1, K2 > 0) ; corollairement, en dimension nie les notions d'ouvert, fermé, intérieur et adhérence ne dépendent pas de la norme choisie. 2 Convergence des suites Définition 5 Suites convergentes Une suite (un)n∈N est dite convergente vers ` lorsque : ∀ε > 0, ∃N ∈ N; ∀n ∈ N, n > N =⇒ kun − `k 6 ε Proposition 1 Diverses propriétés Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites d'un espace vectoriel normé E, et X une partie de E. Si une suite est convergente, alors elle est bornée. Si un −→n→+∞`1 et un −→n→+∞`2, alors `1 = `2 (unicité de la limite). Si α, β ∈ R, un −→n→+∞`1 et vn −→n→+∞`2, alors αun + βvn −→n→+∞α`1 + β`2 (propriété mal-nommée linéarité de la limite ). Si un −→n→+∞` et ϕ est une application strictement croissante de N dans lui-même, alors la suite extraite uϕ(n) n∈Nconverge également vers `. 2
Proposition 2 Point de vue séquentiel pour l'adhérence et le caractère fermé Soit X une partie d'un espace vectoriel normé E. L'adhérence de X est l'ensemble des limites des suites à valeurs dans X. X est fermée si et seulement si X est stable par passage à la limite. Une partie X de E est dite dense lorsqueX = E. Cela revient donc à dire que tout élément de E est limite d'une suite à valeurs dans X. C'est le cas de Q dans R... mais aussi de GLn(K) dans Mn(K), ou encore de l'espace des applications polynomiales dans C([0, 1], R) (c'est le fameux théorème de Weierstrass). Théorème 2 Cas de la dimension nie Si (un)n∈N est une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension nie E et de base (e1, ..., ek), avec : ∀n ∈ N, un = αn,1e1 + · · · αn,kek alors (un)n∈N est convergente si et seulement si pour tout k ∈ [[1, p]], (αn,k)n∈N est convergente. Et lorsque c'est le cas, on a bien évidemment : lim un = (lim αn,1)e1 + · · · + (lim αn,k)ek La convergence des coordonnées dans une base assure donc la convergence des coordonnées dans toute base : on peut donc choisir la plus adaptée au problème. De plus, la convergence de la suite (et la valeur de sa limite) est indépendante de la norme choisie sur E. Par exemple, dire qu'une suite (A(k))k∈N de matrices de Mn,p(K) converge, c'est dire que chacune des np suites (A(k) ij )k∈N converge. 3 Continuité Définition 6 Limite en un point adhérent Soit f : A ⊂ E → F (E et F sont deux espaces vectoriels normés). On suppose que x0 ∈A. On dit que f tend vers ` en x0 lorsque : ∀ε > 0, ∃ρ > 0; ∀x ∈ E, x ∈ A ∩ B(x0, ρ) =⇒ kf(x) − `kF 6 ε Proposition 3 Diverses propriétés standards Si f(x) −→x→x0`1 et f(x) −→x→x0`2 alors `1 = `2. Si α, β ∈ R, f(x) −→x→x0`1 et g(x) −→x→x0`2 alors αf(x) + βg(x) −→x→x0α`1 + β`2. Si f(x) −→x→x0`1 alors f est bornée au voisinage de x0. f(x) −→x→x0` si et seulement si pour toute suite (un)n∈N convergeant vers x0 on a f(un) −→n→+∞`. (caractérisation séquentielle de la limite ; il y a bien deux résultats dis tincts à comprendre !) Si f : A ⊂ E → F, g : F → G, x0 ∈A, f(x) −→x→x0` et g(y) −→y→`L, alors g (f(x)) −→x→x0L. Si f, g : A → R, f(x) −→x→x0`1 et g(x) −→x→x0`2 alors f(x)g(x) −→x→x0`1`2. Une norme k k est continue de E dans R (ça fait un peu mal à la tête de comprendre ce que ça signi e, mais c'est nalement facile à prouver dès qu'on a écrit mécaniquement ce que ça signi e). Définition 7 Continuité Soit f : A → F, avec A ⊂ E, E et F étant deux espaces vectoriels normés. f est dite continue en a ∈ A lorsque f(x) −→x→af(a). f est dite continue sur A lorsque f est continue en tout point de A. 3
Proposition 4 Continuité : propriétés standards Les di érents espaces de départ et d'arrivée sont normés. Une combinaison linéaire de fonctions continues (en un point, ou globalement) est continue. Une composée de fonctions continues est continue. Toute fonction lipschitzienne (kf(x) − f(y)kF 6 K kx − ykE) est continue. Si f : E → F et Y est un fermé (respectivement ouvert) de F, alors f<−1>(Y ) = {x ∈ E; f(x) ∈ Y } est un fermé (respectivement ouvert) de E. Cas particuliers : F = R, et Y = [0, +∞[, Y = {0} ou Y =]0, +∞[. Par exemple, GLn(R) = {M ∈ Mn(R; det(M) ∈ R∗} est un ouvert de Mn(R). Théorème 3 Cas de la dimension nie Si g : A ⊂ E → F avec E et F deux espaces vectoriels normés de dimension nie, (f1, ..., fn) est une base de F et : ∀x ∈ A, g(x) = g1(x)f1 + · · · gn(x)fn alors g(x) −→x→aα1f1 + · · · αnfn si et seulement si pour tout k ∈ [[1, p]], gk(x) −→x→aαk. De plus, l'existence de ces limites (mais aussi leurs valeurs) ne dépend ni de la norme choisie dans F ni celle choisie dans E. La continuité de g (en un point, ou globalement sur A) est donc équivalente à la continuité des applications coordonnées gk. Théorème 4 Fonctions continues sur un compact dimension nie Si f : A ⊂ E → R est continue, avec A fermée et bornée, et E de dimension nie, alors f est bornée et atteint ses bornes. Bref : possède un maximum et un minimum ! Proposition 5 Des applications continues en dimension nie Voici quelques briques permettant de montrer que la plupart des fonctions rencontrées sont continues : Toute application linéaire entre deux espaces de dimension nie est lipschitzienne donc continue.C'est le cas des applications coordonnées δk : x1e1 + · · · + xnen 7−→ xk Toute application multilinéaire de En dans K est continue. (C'est le cas du déterminant vu comme application de (Kn)n dans K puis comme application de Mn(K) dans K.) Toute application polynomiale sur Rn est continue. Si f, g : E → F sont continues avec F euclidien, alors x 7→<f(x)|g(x)> est continue. Définition 8 Applications partielles Si f : R2 → F, les applications partielles de f sont les applications fx1: y 7→ f(x1, y) (à x1 xé) et fy1: x 7→ f(x, y1) (à y1 xé). Proposition 6 Continuité de f vs. ses applications partielles Si f : Rn → F est continue, alors ses applications partielles sont continues. La réciproque est fausse. 4