Espaces vectoriels normes.pdf analyse 3

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Psi 945 2016/2017 Notes de cours Espaces vectoriels normés

Attention : le plus important, dans ce chapitre, ce sont les dessins et les exemples. Ne figurent ici que l'accessoire : les définitions et résultats du cours ! K désigne l'ensemble des nombres réels (R) ou complexes (C). La notation |λ| désignera la valeur absolue pour λ ∈ R et le module pour λ ∈ C, selon le contexte.

1 Topologie

La topologie est une branche des mathématiques qui étudie les notions de voisinage, de limite et de continuité. Dans le cadre des espaces vectoriels normés, la topologie est intrinsèquement liée à la notion de distance, elle-même dérivée de la norme.

Définition 1 Normes, distances

Soit E un R-espace vectoriel. Une norme sur E est une application N de E dans R+ vérifiant les propriétés suivantes :

Pour tout x ∈ E et tout λ ∈ K, N(λx) = |λ| N(x). (Homogénéité)
Pour tout x ∈ E, N(x) = 0 implique x = 0. (Séparation ou Propreté)
Pour tous x, y ∈ E, N(x + y) ≤ N(x) + N(y). (Inégalité triangulaire)

Un espace vectoriel muni d'une norme est appelé un espace vectoriel normé.

Une distance est une application d : E × E → R+ telle que :

Pour tous x, y ∈ E, d(x, y) = 0 si et seulement si x = y. (Séparation)
Pour tous x, y ∈ E, d(x, y) = d(y, x). (Symétrie)
Pour tous x, y, z ∈ E, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). (Inégalité triangulaire)

Si N est une norme sur E, alors l'application (x, y) ↦ N(x − y) définit une distance sur E.

Exemples de normes usuelles :

Dans Kⁿ (où K est R ou C) :
- La norme p (pour p ≥ 1) : ||x||p = (∑_k=1ⁿ |x_k|^p)^1/p, où x = (x₁, ..., x_n).
- La norme infinie (ou norme du max) : ||x||∞ = max_k=1,...,n |x_k|.
Dans M_n(R), l'espace des matrices carrées de taille n à coefficients réels :
- La norme du supremum (ou norme infinie) : ||A||∞ = max_i,j |a_i,j|.
- La norme de Frobenius (ou norme euclidienne) : ||A||_F = (∑_i,j |a_i,j|²)^1/2.
Dans C([0, 1], K), l'espace des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs dans K :
- La norme p (pour p ≥ 1) : ||f||p = (∫₀¹ |f(t)|^p dt)^1/p. La norme ||f||₂ est euclidienne.
- La norme infinie (ou norme du supremum) : ||f||∞ = sup_t∈[0,1] |f(t)|.
Dans C¹([0, 1], K), l'espace des fonctions continûment différentiables sur [0, 1] à valeurs dans K, on peut définir la norme : ||f|| = |f(0)| + ∫₀¹ |f'(t)| dt.

Définition 2 Convexes, bornés, boules, sphères

Soit (E, N) un espace vectoriel normé.

Si x₀ ∈ E et r > 0 :
- La boule ouverte de centre x₀ et de rayon r est l'ensemble des x ∈ E tels que N(x − x₀) < r.
- La boule fermée de centre x₀ et de rayon r est l'ensemble des x ∈ E tels que N(x − x₀) ≤ r.
- La sphère de centre x₀ et de rayon r est l'ensemble des x ∈ E tels que N(x − x₀) = r.
Une partie X de E est dite convexe lorsque : pour tous x, y ∈ X et tout λ ∈ [0, 1], le segment [x, y] défini par λx + (1 − λ)y est entièrement contenu dans X.
Une partie X de E est dite bornée lorsqu'il existe un réel R > 0 tel que pour tout x ∈ X, N(x) ≤ R.

Définition 3 Ouverts, fermés

Soit (E, N) un espace vectoriel normé. On considère X une partie de E.

X est un ouvert lorsque : pour tout x ∈ X, il existe ρ > 0 tel que la boule ouverte B(x, ρ) est entièrement contenue dans X. Cela signifie que chaque point de X est le centre d'une boule qui reste à l'intérieur de X.
X est un fermé lorsque son complémentaire E \ X est ouvert. Cela signifie que pour tout x ∈ E \ X, il existe ρ > 0 tel que la boule ouverte B(x, ρ) n'intersecte pas X.

Attention : dans E = R, l'intervalle [0, 1) n'est ni ouvert ni fermé.

Propriétés :

Une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert.
Une intersection finie d'ouverts est un ouvert.
Des résultats de même nature existent pour les fermés (une intersection quelconque de fermés est un fermé, une réunion finie de fermés est un fermé).
Les boules ouvertes sont des ouverts. Les boules fermées sont des fermés.

Définition 4 Intérieur et adhérence

Soit (E, N) un espace vectoriel normé. On considère X une partie de E.

x₀ est un point intérieur à X lorsqu'il existe ρ > 0 tel que B(x₀, ρ) ⊂ X.
L'intérieur de X, noté Int(X) ou X°, est l'ensemble de tous les points intérieurs à X ; on a donc Int(X) ⊂ X. X est ouvert si et seulement si X = Int(X).
x₀ ∈ E est adhérent à X lorsque pour tout ρ > 0, B(x₀, ρ) ∩ X ≠ ∅. Cela signifie que toute boule centrée en x₀ rencontre X.
L'adhérence de X, notée Adh(X) ou X̅, est l'ensemble de tous les points adhérents à X ; on a donc X ⊂ Adh(X). X est fermé si et seulement si X = Adh(X).

La frontière de X est égale à son adhérence privée de son intérieur ; c'est aussi l'intersection de son adhérence et de l'adhérence de son complémentaire.

Note : Dans l'espace C([a, b], R) des fonctions continues sur un intervalle [a, b], on dispose des normes ||.||∞ et ||.||1. On a une relation ||f||1 ≤ (b − a) ||f||∞, mais il n'existe pas de contrôle similaire dans l'autre sens. Cette absence d'équivalence entre normes peut induire des conséquences importantes, comme la convergence d'une suite de fonctions pour une norme mais pas pour l'autre.

Théorème 1 Cas de la dimension finie

En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Cela signifie que si N₁ et N₂ sont deux normes sur un même espace vectoriel de dimension finie E, il existe des constantes positives K₁ et K₂ telles que pour tout x ∈ E, N₁(x) ≤ K₁N₂(x) et N₂(x) ≤ K₂N₁(x). Corollairement, en dimension finie, les notions d'ouvert, de fermé, d'intérieur et d'adhérence ne dépendent pas de la norme choisie.

2 Convergence des suites

Définition 5 Suites convergentes

Dans un espace vectoriel normé (E, ||.||), une suite (u_n)_n∈N est dite convergente vers un élément l ∈ E lorsque : pour tout ε > 0, il existe un entier N ∈ N tel que pour tout n ∈ N, si n ≥ N, alors ||u_n − l|| ≤ ε. L'élément l est appelé la limite de la suite (u_n).

Proposition 1 Diverses propriétés

Soient (u_n)_n∈N et (v_n)_n∈N deux suites d'un espace vectoriel normé E, et X une partie de E.

Si une suite est convergente, alors elle est bornée.
Si u_n → l₁ (quand n→+∞) et u_n → l₂ (quand n→+∞), alors l₁ = l₂ (unicité de la limite).
Si α, β ∈ R, u_n → l₁ (quand n→+∞) et v_n → l₂ (quand n→+∞), alors la suite (αu_n + βv_n) converge vers αl₁ + βl₂ (linéarité de l'opération de limite).
Si u_n → l (quand n→+∞) et ϕ est une application strictement croissante de N dans N, alors la suite extraite (u_ϕ(n))_n∈N converge également vers l.

Proposition 2 Point de vue séquentiel pour l'adhérence et le caractère fermé

Soit X une partie d'un espace vectoriel normé E.

L'adhérence de X (Adh(X)) est l'ensemble des limites des suites à valeurs dans X.
X est fermée si et seulement si X est stable par passage à la limite (c'est-à-dire que si une suite d'éléments de X converge, sa limite appartient également à X).

Une partie X de E est dite dense lorsque Adh(X) = E. Cela revient donc à dire que tout élément de E est limite d'une suite à valeurs dans X.

Exemples de parties denses :

L'ensemble des nombres rationnels Q est dense dans R.
L'ensemble GL_n(K) (matrices inversibles) est dense dans M_n(K) (l'ensemble de toutes les matrices).
L'espace des applications polynomiales est dense dans C([0, 1], R) (Théorème de Weierstrass).

Théorème 2 Cas de la dimension finie

Si (u_n)_n∈N est une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé de dimension finie E et de base (e₁, ..., e_k), avec pour tout n ∈ N, u_n = α_n,1e₁ + ··· + α_n,ke_k, alors (u_n)_n∈N est convergente si et seulement si pour tout j ∈ [[1, k]], la suite des coordonnées (α_n,j)_n∈N est convergente. Lorsque c'est le cas, on a :

lim_n→+∞ u_n = (lim_n→+∞ α_n,1)e₁ + ··· + (lim_n→+∞ α_n,k)e_k.

La convergence des coordonnées dans une base assure donc la convergence de la suite, et cette convergence est indépendante de la norme choisie sur E. On peut ainsi choisir la base la plus adaptée au problème. Par exemple, dire qu'une suite de matrices (A^(k))_k∈N de M_n,p(K) converge, c'est dire que chacune des np suites de coefficients (A^(k)_ij)_k∈N converge.

3 Continuité

Définition 6 Limite en un point adhérent

Soit f : A ⊂ E → F (E et F sont deux espaces vectoriels normés). On suppose que x₀ ∈ Adh(A). On dit que f tend vers l ∈ F en x₀ lorsque : pour tout ε > 0, il existe ρ > 0 tel que pour tout x ∈ E, si x ∈ A ∩ B(x₀, ρ), alors ||f(x) − l||_F ≤ ε.

Proposition 3 Diverses propriétés standards

Soient f, g des fonctions entre espaces vectoriels normés.

Si f(x) → l₁ (quand x→x₀) et f(x) → l₂ (quand x→x₀), alors l₁ = l₂ (unicité de la limite).
Si α, β ∈ R, f(x) → l₁ (quand x→x₀) et g(x) → l₂ (quand x→x₀), alors (αf + βg)(x) → αl₁ + βl₂ (quand x→x₀).
Si f(x) → l₁ (quand x→x₀), alors f est bornée au voisinage de x₀.
f(x) → l (quand x→x₀) si et seulement si pour toute suite (u_n)_n∈N convergeant vers x₀, la suite f(u_n) converge vers l (caractérisation séquentielle de la limite).
Si f : A ⊂ E → F, g : F → G, x₀ ∈ Adh(A), f(x) → l (quand x→x₀) et g(y) → L (quand y→l), alors (g ∘ f)(x) → L (quand x→x₀).
Si f, g : A → R, f(x) → l₁ (quand x→x₀) et g(x) → l₂ (quand x→x₀), alors (fg)(x) → l₁l₂ (quand x→x₀).
Une norme ||.|| est une application continue de E dans R. C'est une conséquence directe de l'inégalité triangulaire inversée : | ||x|| - ||y|| | ≤ ||x - y||, qui montre la continuité à un point arbitraire.

Définition 7 Continuité

Soit f : A → F, avec A ⊂ E, E et F étant deux espaces vectoriels normés.

f est dite continue en a ∈ A lorsque f(x) → f(a) (quand x→a).
f est dite continue sur A lorsque f est continue en tout point de A.

Proposition 4 Continuité : propriétés standards

Les différents espaces de départ et d'arrivée sont normés.

Une combinaison linéaire de fonctions continues (en un point, ou globalement) est continue.
Une composée de fonctions continues est continue.
Toute fonction lipschitzienne (c'est-à-dire telle qu'il existe K > 0 avec ||f(x) − f(y)||_F ≤ K ||x − y||_E pour tous x,y) est continue.
Si f : E → F est une application continue, et Y est un fermé (respectivement ouvert) de F, alors l'image réciproque f^-1(Y) = {x ∈ E; f(x) ∈ Y} est un fermé (respectivement ouvert) de E.

Cas particuliers : Si F = R, et Y = [0, +∞[, Y = {0} ou Y = (0, +∞[.

Exemple : L'ensemble GL_n(R) = {M ∈ M_n(R); det(M) ∈ R*} (matrices inversibles) est un ouvert de M_n(R), car le déterminant est une fonction continue et R* est un ouvert de R.

Théorème 3 Cas de la dimension finie

Si g : A ⊂ E → F avec E et F deux espaces vectoriels normés de dimension finie, et (f₁, ..., f_n) est une base de F telle que pour tout x ∈ A, g(x) = g₁(x)f₁ + ··· + g_n(x)f_n, alors g(x) → α₁f₁ + ··· + α_nf_n (quand x→a) si et seulement si pour tout k ∈ [[1, n]], g_k(x) → α_k (quand x→a).

De plus, l'existence de ces limites (ainsi que leurs valeurs) ne dépend ni de la norme choisie dans F ni de celle choisie dans E. La continuité de g (en un point, ou globalement sur A) est donc équivalente à la continuité de chacune de ses applications coordonnées g_k.

Théorème 4 Fonctions continues sur un compact en dimension finie

Si f : A ⊂ E → R est continue, avec A fermée et bornée, et E est un espace de dimension finie, alors A est un compact. Dans ce cas, f est bornée et atteint ses bornes. C'est-à-dire que f possède un maximum et un minimum sur A.

Proposition 5 Des applications continues en dimension finie

Voici quelques propriétés fondamentales permettant de montrer la continuité de nombreuses fonctions :

Toute application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie est lipschitzienne, et donc continue. C'est le cas des applications coordonnées δ_k : E → K définie par δ_k(x₁e₁ + ··· + x_ne_n) = x_k.
Toute application multilinéaire de Eⁿ dans K est continue. C'est par exemple le cas du déterminant, vu comme application de (Kⁿ)ⁿ dans K, puis comme application de M_n(K) dans K.
Toute application polynomiale sur Rⁿ est continue.
Si f, g : E → F sont continues avec F euclidien, alors l'application x ↦ (produit scalaire) est continue.

Définition 8 Applications partielles

Si f : R² → F, les applications partielles de f sont définies comme suit :

f_x1 : y ↦ f(x₁, y) (où x₁ est fixé)
f_y1 : x ↦ f(x, y₁) (où y₁ est fixé)

Proposition 6 Continuité de f vs. ses applications partielles

Si f : Rⁿ → F est continue, alors toutes ses applications partielles sont continues. Cependant, la réciproque est fausse, c'est-à-dire qu'il existe des fonctions dont toutes les applications partielles sont continues, mais qui ne sont pas continues globalement.

Foire Aux Questions (FAQ) sur les Espaces Vectoriels Normés

Qu'est-ce qu'un espace vectoriel normé et pourquoi est-il important ?

Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel sur lequel est définie une fonction appelée "norme", qui attribue une "longueur" ou une "taille" à chaque vecteur. Cette norme permet de mesurer des distances entre vecteurs et de définir des notions topologiques comme la convergence de suites, la continuité des fonctions, les ouverts et les fermés. C'est un cadre fondamental pour l'analyse fonctionnelle et de nombreuses applications en mathématiques et en physique.

Quelle est la différence entre une boule ouverte et une boule fermée ?

Dans un espace vectoriel normé, une boule ouverte de centre x₀ et de rayon r comprend tous les points dont la distance à x₀ est strictement inférieure à r (N(x - x₀) < r). En revanche, une boule fermée inclut également les points dont la distance à x₀ est égale à r (N(x - x₀) ≤ r), c'est-à-dire les points situés sur la sphère délimitant la boule. Les boules ouvertes sont des ensembles ouverts, et les boules fermées sont des ensembles fermés.

Pourquoi la dimension finie est-elle si souvent mise en évidence dans les théorèmes ?

La dimension finie confère aux espaces vectoriels normés des propriétés très fortes qui n'existent pas toujours en dimension infinie. Par exemple, en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, ce qui signifie que les notions topologiques (comme la convergence ou la continuité) sont indépendantes du choix de la norme. De plus, les parties fermées et bornées sont compactes en dimension finie, ce qui garantit l'existence de maximums et minimums pour les fonctions continues (Théorème 4).