Exercices sur les intégrales multiples.pdf analyse 3

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Exercices sur les Intégrales Multiples

Ce document présente une série d'exercices corrigés sur le calcul des intégrales multiples. Il aborde différentes méthodes de calcul, notamment les coordonnées cartésiennes, les coordonnées polaires et les changements de variables, ainsi que le calcul de volumes. Ces exercices sont essentiels pour la compréhension et la maîtrise des concepts d'analyse en plusieurs variables.

Exercice 1

Calculer ∫∫ D f(x, y) dxdy dans les cas suivants :

a) D est le triangle de sommets O(0,0), A(1, 0), B(0, 1) et f(x, y) = ln(x + y + 1)

b) D est le parallélogramme limité par les droites d’équation y = x, y = 2x, y = x + 1, y = 2x − 2 et f(x, y) = (2x − y)²

c) D est l’intersection du disque de centre O(0,0) et de rayon 1 et du disque de centre Ω(1, 1) et de rayon 1 et f(x, y) = xy

d) D est le trapèze dont la base est le segment de l’axe des x dont les abscisses sont comprises entre −1 et 1 et dont les trois autres côtés sont situés dans le demi-plan des y ≥ 0 et de longueur 1. et f(x, y) = y

e) D est limité par les courbes d’équation y = 1/x et y = −4x + 5 et f(x, y) = x²y

f) D est l’ensemble des points du plan tels que |x| + |y| ≤ 1 et f(x, y) = e^x+y

g) D est l’ensemble des points du disque de centre O(0,0) et de rayon 1, tels que x + y ≥ 1 et f(x, y) = xy / (x² + y²)²

h) D est le triangle de sommets O(0,0), A(1, 1), B(2, −1) et f(x, y) = (x + 2y)²

i) D est le rectangle [0, a] × [0, b] (a > b) et f(x, y) = |x − y|

j) D est l’ensemble des points du disque de centre O(0,0) et de rayon 1, tels que √x + √y ≥ 1 et √(1 − x) + √(1 − y) ≥ 1 et f(x, y) = (x − y)²

k) D est l’ensemble des points du plan qui vérifient les inégalités x + √3y ≤ 1 et f(x, y) = xy

l) D est l’intersection des disques limités par les cercles d’équation x² + y² − 2Rx = 0 et x² + y² − 2Ry = 0 et f(x, y) = x² − y²

Exercice 2

Calculer ∫∫ D f(x, y) dxdy en utilisant les coordonnées polaires :

L'utilisation des coordonnées polaires (r, θ) peut grandement simplifier le calcul des intégrales doubles, en particulier lorsque le domaine d'intégration est circulaire ou présente une symétrie radiale.

a) D est la couronne limitée par les cercles de centre O(0,0) et de rayons respectifs a et b (0 < a < b) et f(x, y) = 1 / (x² + y²)

b) D est le disque de centre O(0,0) et de rayon a et f(x, y) = (x + y)²

c) D est limité par les axes et la droite d’équation y = −2x + 2 et f(x, y) = 2x + y

d) D est limité par le cercle de centre O(0,0) et de rayon 3 et le cercle de centre (1, 0) et de rayon 1 et f(x, y) = x² + y²

e) D est l’ensemble des points du disque de centre O(0,0) et de rayon 1, tels que 0 ≤ y ≤ x et f(x, y) = (x − y)²

f) D est l’ensemble des points du carré [0, 1] × [0, 1] extérieurs au cercle de centre O(0,0) et de rayon 1 et f(x, y) = xy / (1 + x² + y²)

Exercice 3

Calculer ∫∫ D f(x, y) dxdy en utilisant le changement de variables indiqué :

Les changements de variables sont des outils puissants pour transformer des domaines d'intégration complexes en des régions plus simples, facilitant ainsi le calcul des intégrales multiples.

a) D est limité par les courbes d’équation y = ax, y = x/a, y = b/x, y = 1/(bx) (a > 1, b > 1, x > 0). Changement de variables : x = u/v, y = uv et f(x, y) = 1

b) D est limité par l’ellipse d’équation (x/a)² + (y/b)² = 1. Coordonnées elliptiques : x = au cos v, y = bu sin v et f(x, y) = x² + y²

c) D est le domaine contenant O(0,0) limité par le cercle de centre O(0,0) et de rayon √5 et la droite d’équation y = −x − 3. Changement de variables : u = (x − y)/√2, v = (x + y)/√2 et f(x, y) = x + y

Exercice 4

Calculer ∫∫∫ D f(x, y, z) dxdydz dans les cas suivants :

Les intégrales triples permettent de calculer le volume de solides ou d'autres propriétés physiques dans un espace à trois dimensions.

a) D est le domaine limité par les plans d’équation x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 et f(x, y, z) = (x + y + z)²

b) D est l’ensemble des triplets (x, y, z) vérifiant les inégalités 0 ≤ y ≤ 1 − x² et |x + y + z| ≤ 1 et f(x, y, z) = x²y

c) D est le domaine limité par les plans d’équation x = 0, y = 0, z = 0 et la sphère de centre O(0,0,0) et de rayon 1, dont les points ont des coordonnées positives et f(x, y, z) = xyz

Exercice 5

Calculer le volume V = ∫∫∫ D dxdydz des ensembles D suivants de ℝ³ :

Le volume d'un solide peut être déterminé en intégrant la fonction constante 1 sur le domaine considéré.

a) Partie de la sphère de centre O(0,0,0) et de rayon R, comprise entre les plans d’équation z = h1 et z = h2 (R ≥ h1 > h2 ≥ −R).

b) Secteur sphérique, limité par la sphère de centre O(0,0,0) et de rayon R et le demi-cône supérieur de sommet O(0,0,0) et d’angle 2α.

c) Partie limitée par la sphère de centre O(0,0,0) et de rayon 1 et le cylindre d’équation x² + y² − y = 0 (Fenêtre de Viviani).

d) Partie limitée par la sphère de centre O(0,0,0) et de rayon 5 et le demi-cône supérieur de sommet Ω(0, 0, 1) et d’angle 2α = π/2.

e) Partie limitée par le cylindre d’équation x² + y² = a² et l’hyperboloïde d’équation x² + y² − z² = −a² (a > 0).

f) Partie limitée par la surface d’équation (x/a)^2/3 + (y/b)^2/3 + (z/c)^2/3 = 1, en utilisant le changement de variables x = aρ(cos t cos ϕ)³, y = bρ(sin t cos ϕ)³, z = cρ(sin ϕ)³, où (ρ, t, ϕ) décrit ]0, 1[ × ]−π, π[ × ]−π/2, π/2[.

Exercice 6

Deuxième théorème de Guldin (Théorème de Pappus) :

Soit K un domaine du demi-plan {(x, z) | x ≥ 0}. On note A son aire et x_G l’abscisse de son centre de gravité. Montrer que le volume du domaine D obtenu en faisant tourner K autour de l’axe Oz est donné par la formule V = 2πx_GA. Ce théorème est une application puissante des intégrales pour le calcul de volumes de solides de révolution.

Application :

Trouver le volume du tore engendré en faisant tourner autour de Oz, le disque limité par le cercle d’équation (x − a)² + y² = R² (0 < R ≤ a).

Exercice 7

Soit les quatre points du plan A(−1, 1), B(1, 1), C(1, 3) et O(0, 0). Soit f la fonction définie par f(x, y) = x²(y − 1).

a) Soit D le domaine limité par les droites AC et BC et le demi-cercle de diamètre AB contenant O. Calculer ∫∫ D f(x, y) dxdy.

b) Soit D′ l’ensemble des points du disque de centre O(0,0) et de rayon √10 qui n’appartiennent pas à D. Calculer ∫∫ D′ f(x, y) dxdy.

Corrigé des exercices sur les intégrales multiples

Ces solutions détaillent les étapes de calcul pour chaque exercice, en explicitant les bornes d'intégration et les méthodes utilisées. Les diagrammes présents dans le document original sont des aides visuelles pour la définition des domaines d'intégration.

1) a) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy avec D un triangle et f(x, y) = ln(x + y + 1)

Lorsque x est compris entre 0 et 1, le nombre y varie de 0 à 1 − x. Donc on calcule I_y(x) = ∫₀^1−x ln(x + y + 1) dy. En posant u = x + y + 1, on obtient I_y(x) = ∫_x+1² ln u du = [u ln u − u]_x+1² = 2 ln 2 − 2 − (x + 1) ln(x + 1) + (x + 1).

On a alors I = ∫₀¹ I_y(x) dx = ∫₀¹ [2 ln 2 − 2 − (x + 1) ln(x + 1) + (x + 1)] dx. En posant v = x + 1, on obtient I = 2 ln 2 − 2 − ∫₁² (u ln u − u) du. En intégrant par parties, on trouve que ∫₁² (u ln u − u) du = [u²/2 ln u − 3u²/4]₁² = (2 ln 2 − 3) − (0 − 3/4) = 2 ln 2 − 9/4.

Ainsi, I = 2 ln 2 − 2 − (2 ln 2 − 9/4) = −2 + 9/4 = 1/4.

1) b) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy avec D un parallélogramme et f(x, y) = (2x − y)²

On découpe le domaine D en deux parties D₁ et D₂, séparées par la droite d’équation y = 2. L'intégration se fait en fixant y d'abord.

Sur D₁ (y ∈ [0, 2]), x varie de y/2 à y. (I_x)₁(y) = ∫_y/2^y (2x − y)²dx = [(2x − y)³ / 6]_y/2^y = y³/6. Donc ∫∫_D1 (2x − y)²dxdy = ∫₀² y³/6 dy = [y⁴ / 24]₀² = 16/24 = 2/3.

Sur D₂ (y ∈ [2, 4]), x varie de y − 1 à y/2 + 1. (I_x)₂(y) = ∫_y−1^y/2+1 (2x − y)²dx = [(2x − y)³ / 6]_y−1^y/2+1 = (1/6) [ (2(y/2+1) − y)³ − (2(y−1) − y)³ ] = (1/6) [ (y+2 − y)³ − (2y−2 − y)³ ] = (1/6) [ 2³ − (y − 2)³ ] = 8 − (y − 2)³ / 6. Donc ∫∫_D2 (2x − y)²dxdy = ∫₂⁴ [8 − (y − 2)³ / 6] dy = (1/6) [8y − (y − 2)⁴ / 4]₂⁴ = (1/6) [(32 − 16/4) − (16 − 0)] = (1/6) [28 − 16] = 12/6 = 2.

Finalement I = (2/3) + 2 = 8/3.

1) c) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy avec D l'intersection de deux disques et f(x, y) = xy

Le cercle de centre Ω(1, 1) et de rayon 1, a pour équation (x − 1)² + (y − 1)² = 1. L’équation de sa partie inférieure est y = 1 − √(1 − (x − 1)²). Le cercle de centre O(0,0) et de rayon 1 a pour équation y = √(1 − x²) pour sa partie supérieure.

Pour x ∈ [0, 1], on calcule I_y(x) = ∫_{1−√(1−(x−1)²)}^√(1−x²) xy dy = [xy²/2]_{1−√(1−(x−1)²)}^√(1−x²). Après simplification, I_y(x) = x√(1 − (x − 1)²) − x².

On a alors I = ∫₀¹ (x√(1 − (x − 1)²) − x²) dx = ∫₀¹ x√(1 − (x − 1)²) dx − 1/3.

Pour l'intégrale ∫₀¹ x√(1 − (x − 1)²) dx, on pose x = 1 − sin t (t ∈ [0, π/2]). On obtient π/4 − 1/3.

Finalement I = (π/4 − 1/3) − 1/3 = π/4 − 2/3.

1) d) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy avec D un trapèze et f(x, y) = y

En notant A(−1, 0), B(1, 0) et A′, B′ les autres sommets (avec AA′ = A′B′ = BB′ = 1), les droites passant par A′B′, BB′ et AA′ ont pour équations y = √3/2, y = −√3(x − 1) et y = √3(x + 1) respectivement.

Lorsque y ∈ [0, √3/2], x varie de −1 + y/√3 à 1 − y/√3. L'intégrale interne est I_x(y) = ∫_−1+y/√3^1−y/√3 y dx = 2y(1 − y/√3).

Alors I = ∫₀^√3/2 (2y − 2y²/√3) dy = [y² − 2y³/(3√3)]₀^√3/2 = (3/4) − (2(3√3/8))/(3√3) = 3/4 − 1/4 = 1/2.

1) e) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy avec D limité par des courbes et f(x, y) = x²y

Les points d’intersection des courbes y = 1/x et y = −4x + 5 sont les solutions de 4x² − 5x + 1 = 0, soit x = 1 et x = 1/4.

Pour x ∈ [1/4, 1], y varie de 1/x à −4x + 5. I_y(x) = ∫_1/x^−4x+5 x²y dy = [x²y²/2]_1/x^−4x+5 = (1/2) [x²(−4x + 5)² − 1] = (1/2) [16x⁴ − 40x³ + 25x² − 1].

Alors I = ∫_1/4¹ (1/2) [16x⁴ − 40x³ + 25x² − 1] dx = (1/2) [16x⁵/5 − 10x⁴ + 25x³/3 − x]_1/4¹ = 441/1280.

1) f) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy avec D : |x| + |y| ≤ 1 et f(x, y) = e^x+y

Lorsque x ∈ [−1, 1], y varie de |x| − 1 à 1 − |x|. I_y(x) = ∫_|x|−1^1−|x| e^x+y dy = [e^x+y]_|x|−1^1−|x| = e^x(e^1−|x| − e^|x|−1).

I = ∫₋₁¹ e^x(e^1−|x| − e^|x|−1) dx. On divise l'intégrale en deux parties, pour x ∈ [−1, 0] et x ∈ [0, 1].

I = ∫₋₁⁰ (e^1+2x − e⁻¹) dx + ∫₀¹ (e − e^2x−1) dx = [ (1/2)e^2x+1 − xe⁻¹ ]₋₁⁰ + [ xe − (1/2)e^2x−1 ]₀¹.

Après évaluation, I = (e/2) − (e⁻¹/2 + e⁻¹) + (e − e/2) − (−e⁻¹/2) = e − e⁻¹ = 2 sh 1.

1) g) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy avec D un disque restreint et f(x, y) = xy / (x² + y²)²

La partie supérieure du cercle unitaire est y = √(1 − x²). Le domaine d'intégration est défini par x ∈ [0, 1] et y ∈ [1 − x, √(1 − x²)].

Pour x ∈ [0, 1], I_y(x) = ∫_1−x^√(1−x²) xy / (x² + y²)² dy = −x/[2(x² + y²)]_1−x^√(1−x²) = x/2 − x/[2(2x² − 2x + 1)].

On a alors I = ∫₀¹ (x/2 − x/[2(2x² − 2x + 1)]) dx.

En résolvant l'intégrale et en utilisant la décomposition des termes, on obtient une primitive de la forme (1/8)ln(2x² − 2x + 1) + (1/4)arctan(2x − 1) − x²/4.

Évalué entre 0 et 1, cela donne : I = (1/4)(arctan 1 − arctan(−1)) − 1/4 = π/8 − 1/4.

1) h) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy avec D un triangle et f(x, y) = (x + 2y)²

Les droites OA, OB et AB ont pour équations y = x, y = −x/2 et y = −2x + 3. On sépare le domaine D en D₁ (x ∈ [0, 1]) et D₂ (x ∈ [1, 2]).

Sur D₁, y varie de −x/2 à x. (I_y)₁(x) = ∫_−x/2^x (x + 2y)²dy = 9x³/2. Donc ∫∫_D1 (x + 2y)²dxdy = ∫₀¹ 9x³/2 dx = 9/8.

Sur D₂, y varie de −x/2 à −2x + 3. (I_y)₂(x) = ∫_−x/2^−2x+3 (x + 2y)²dy = 9(2 − x)³/2. Donc ∫∫_D2 (x + 2y)²dxdy = ∫₁² 9(2 − x)³/2 dx = 9/8.

Alors I = 9/8 + 9/8 = 9/4.

1) i) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy avec D un rectangle et f(x, y) = |x − y|

On sépare D en deux domaines limités par la droite y = x : D₁ (y ≥ x) et D₂ (x > y). On intègre d'abord en x.

Sur D₁ (0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ x ≤ y), f(x, y) = y − x. (I_x)₁(y) = ∫₀^y (y − x) dx = y²/2. Donc ∫∫_D1 |x − y| dxdy = ∫₀^b y²/2 dy = b³/6.

Sur D₂ (0 ≤ y ≤ b, y ≤ x ≤ a), f(x, y) = x − y. (I_x)₂(y) = ∫_y^a (x − y) dx = (a − y)²/2. Donc ∫∫_D2 |x − y| dxdy = ∫₀^b (a − y)²/2 dy = a³/6 − (a − b)³/6.

Alors I = b³/6 + a³/6 − (a − b)³/6 = b³/3 + (ab/2)(a − b).

1) j) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy avec D l'ensemble des points du plan qui vérifient les inégalités x + √3y ≤ 1 et f(x, y) = xy (Solution du problème k de l'énoncé)

Le domaine D est la partie du disque unitaire limitée par la droite x + √3y = 1 et les axes. Comme f(−x, y) = −f(x, y) et D est symétrique par rapport à l'axe des x, l'intégrale sur la partie inférieure (D₂) est nulle, donc I = ∫∫_D1 xy dxdy.

Les points d’intersection de x + √3y = 1 et x² + y² = 1 sont (1, 0) et (−1/2, √3/2). Pour y ∈ [0, √3/2], x varie de −√(1 − y²) à 1 − √3y.

I_x(y) = ∫_{−√(1−y²)}^1−√3y xy dx = 2y³ − √3y².

I = ∫₀^√3/2 (2y³ − √3y²) dy = [y⁴/2 − √3y³/3]₀^√3/2 = (1/2)(9/16) − (√3/3)(3√3/8) = 9/32 − 9/24 = −3/32.

1) k) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy avec D un ensemble de points avec inégalités de racines carrées et f(x, y) = (x − y)² (Solution du problème j de l'énoncé)

Le domaine D est contenu dans le carré [0, 1] × [0, 1]. Les conditions √x + √y ≥ 1 et √(1 − x) + √(1 − y) ≥ 1 définissent les bornes de y.

De √y ≥ 1 − √x, on a y ≥ (1 − √x)² = 1 + x − 2√x (borne inférieure).

De √(1 − y) ≥ 1 − √(1 − x), on a y ≤ x − 1 + 2√(1 − x) (borne supérieure).

Pour x ∈ [0, 1], I_y(x) = ∫_1+x−2√x^{x−1+2√(1−x)} (y − x)²dy = (1/3) [(−1 + 2√(1 − x))³ − (1 − 2√x)³].

Après développement et simplification, I_y(x) = (1/3) [8(x^3/2 + (1 − x)^3/2) + 6(√x + √(1 − x)) − 14].

Alors I = ∫₀¹ I_y(x) dx = (1/3) [ (16/5)x^5/2 − (16/5)(1 − x)^5/2 + 4x^3/2 − 4(1 − x)^3/2 − 14x ]₀¹ = 2/15.

1) l) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy avec D l'intersection de disques et f(x, y) = x² − y²

Les cercles x² + y² − 2Rx = 0 et x² + y² − 2Ry = 0 ont pour centres (R, 0) et (0, R) respectivement, et tous deux de rayon R.

Le domaine D, intersection de ces deux disques, est symétrique par rapport à la première bissectrice (y = x). La fonction à intégrer f(x, y) = x² − y² est antisymétrique par rapport à cette droite (f(y, x) = y² − x² = −f(x, y)).

Par conséquent, l'intégrale sur D est nulle : I = 0.

2) a) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy en coordonnées polaires pour une couronne

D est une couronne de centre O et de rayons a et b. En coordonnées polaires, D est défini par r ∈ [a, b] et θ ∈ [−π, π]. La fonction est f(r cos θ, r sin θ) = 1/r². Le jacobien de la transformation est r.

I = ∫_−π^π ∫_a^b (1/r²) r dr dθ = ∫_−π^π ∫_a^b (1/r) dr dθ = (∫_a^b (1/r) dr) (∫_−π^π dθ).

I = [ln r]_a^b [θ]_−π^π = (ln b − ln a) (2π) = 2π ln(b/a).

2) b) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy en coordonnées polaires pour un disque

D est un disque de centre O et de rayon a. En coordonnées polaires, D est défini par r ∈ [0, a] et θ ∈ [−π, π]. La fonction est f(r cos θ, r sin θ) = (r cos θ + r sin θ)² = r²(1 + sin 2θ).

I = ∫_−π^π ∫₀^a r²(1 + sin 2θ) r dr dθ = (∫₀^a r³ dr) (∫_−π^π (1 + sin 2θ) dθ).

I = [r⁴/4]₀^a [θ − (cos 2θ)/2]_−π^π = (a⁴/4) [( π − 1/2) − (−π − 1/2)] = (a⁴/4) (2π) = πa⁴/2.

2) c) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy en coordonnées polaires pour un domaine triangulaire

Le domaine D est limité par les axes et la droite y = −2x + 2. L'équation polaire de la droite est r sin θ = −2r cos θ + 2, soit r = 2/(sin θ + 2 cos θ). θ varie de 0 à π/2.

La fonction est f(r cos θ, r sin θ) = r(2 cos θ + sin θ).

I = ∫₀^π/2 ∫₀^{2/(sin θ + 2 cos θ)} r²(2 cos θ + sin θ) dr dθ.

L'intégrale interne en r est [r³/3 (2 cos θ + sin θ)]₀^{2/(sin θ + 2 cos θ)} = (1/3) [ (2/(sin θ + 2 cos θ))³ (2 cos θ + sin θ) ] = 8/[3(sin θ + 2 cos θ)²].

I = ∫₀^π/2 8/[3(sin θ + 2 cos θ)²] dθ. Multiplions numérateur et dénominateur par 1/cos²θ :

I = ∫₀^π/2 8/[3 cos²θ (tan θ + 2)²] dθ = (8/3) ∫₀^π/2 (1/cos²θ) (tan θ + 2)⁻² dθ.

En posant u = tan θ + 2, du = (1/cos²θ) dθ. Quand θ=0, u=2. Quand θ=π/2, u → ∞.

I = (8/3) ∫₂^∞ u⁻² du = (8/3) [−1/u]₂^∞ = (8/3) [0 − (−1/2)] = 4/3.

2) d) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy en coordonnées polaires pour l'intersection de cercles

D est limité par le cercle de centre O et rayon 3 (r=3) et le cercle de centre (1, 0) et rayon 1 ((x−1)²+y²=1 ⇒ r=2cosθ). La fonction est f(x, y) = x² + y² = r².

On décompose D en D₁ (à gauche de l'axe Oy, θ ∈ [π/2, 3π/2]) et D₂ (à droite de l'axe Oy, θ ∈ [−π/2, π/2]).

Sur D₁, r ∈ [0, 3]. ∫∫_D1 r² r dr dθ = (∫₀³ r³ dr) (∫_π/2^3π/2 dθ) = (81/4) (π) = 81π/4.

Sur D₂, r varie de 2cosθ à 3. θ ∈ [−π/2, π/2]. ∫∫_D2 r³ dr dθ = ∫_−π/2^π/2 [r⁴/4]_2cosθ³ dθ = ∫_−π/2^π/2 (81/4 − 16cos⁴θ/4) dθ.

En linéarisant cos⁴θ = (3 + 4 cos 2θ + cos 4θ)/8.

∫∫_D2 = (1/4) ∫_−π/2^π/2 (81 − 2(3 + 4 cos 2θ + cos 4θ)) dθ = (1/4) ∫_−π/2^π/2 (75 − 8 cos 2θ − 2 cos 4θ) dθ = (1/4) [75θ − 4 sin 2θ − (sin 4θ)/2]_−π/2^π/2 = 75π/4.

Finalement I = 81π/4 + 75π/4 = 156π/4 = 39π.

2) e) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy en coordonnées polaires pour un secteur de disque

D est l'ensemble des points du disque de centre O et de rayon 1, tels que 0 ≤ y ≤ x. Ce domaine correspond en coordonnées polaires à r ∈ [0, 1] et θ ∈ [0, π/4]. La fonction est f(r cos θ, r sin θ) = (r cos θ − r sin θ)² = r²(1 − sin 2θ).

I = ∫₀^π/4 ∫₀¹ r²(1 − sin 2θ) r dr dθ = (∫₀¹ r³ dr) (∫₀^π/4 (1 − sin 2θ) dθ).

I = [r⁴/4]₀¹ [θ + (cos 2θ)/2]₀^π/4 = (1/4) [( π/4 + 0) − (0 + 1/2)] = (1/4) (π/4 − 1/2) = (π − 2)/16.

2) f) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy en coordonnées polaires pour un carré extérieur à un cercle

D est l’ensemble des points du carré [0, 1] × [0, 1] extérieurs au cercle de centre O et de rayon 1. La fonction est f(r cos θ, r sin θ) = r² cos θ sin θ / (1 + r²).

Le domaine D est symétrique par rapport à la première bissectrice. On peut calculer sur D₁ (sous y=x) et multiplier par 2. Dans D₁, θ ∈ [arccos(1/r), π/4] et r ∈ [1, √2].

I = 2 ∫₁^√2 ∫_arccos(1/r)^π/4 r³ cos θ sin θ / (1 + r²) dθ dr.

L'intégrale interne en θ est I_θ(r) = [−r³ cos(2θ)/(4(1 + r²))]_arccos(1/r)^π/4 = r³ cos(2 arccos(1/r)) / (4(1 + r²)).

Puisque cos(2α) = 2cos²α − 1, cos(2 arccos(1/r)) = 2(1/r)² − 1 = 2/r² − 1.

I_θ(r) = r³(2/r² − 1) / (4(1 + r²)) = (2r − r³) / (4(1 + r²)) = (r(2 − r²)) / (4(1 + r²)).

I = 2 ∫₁^√2 r(2 − r²) / (4(1 + r²)) dr. En posant u = r², du = 2r dr.

I = ∫₁² (2 − u) / (4(1 + u)) du = (1/4) ∫₁² (3/(1 + u) − 1) du = (1/4) [3 ln(1 + u) − u]₁² = (1/4) [(3 ln 3 − 2) − (3 ln 2 − 1)] = (1/4) (3 ln(3/2) − 1).

3) a) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy avec changement de variables

Le changement de variables est x = u/v, y = uv. Le jacobien de cette transformation est |∂(x,y)/∂(u,v)| = |(1/v)(v) − (−u/v²)(u)| = |1 + u²/v²| = 2u/v (en supposant u, v > 0 comme dans les énoncés).

Les bornes du domaine D sont y/x ∈ [1/a, a] et xy ∈ [1/b, b]. Ce qui se traduit par v² ∈ [1/a, a] et u² ∈ [1/b, b]. Le nouveau domaine Ω en (u, v) est un rectangle : u ∈ [1/√b, √b] et v ∈ [1/√a, √a]. La fonction f(x,y)=1.

I = ∫∫_Ω 2u/v dudv = 2 (∫_1/√b^√b u du) (∫_1/√a^√a (1/v) dv).

I = 2 [u²/2]_1/√b^√b [ln v]_1/√a^√a = 2 ( (b − 1/b)/2 ) (ln(√a) − ln(1/√a)) = (b − 1/b) (ln a) = (b² − 1)/b ln a.

The original `2uv` for Jacobian seems to be a specific case or a typo, it should be `2u/v` as derived from `x=u/v, y=uv`. The calculation `b −1b ln a` is `(b^2-1)/b * ln a`. Yes, that part is consistent.

3) b) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy avec coordonnées elliptiques

Les coordonnées elliptiques sont x = au cos v, y = bu sin v. Le domaine de l'ellipse est couvert lorsque u ∈ [0, 1] et v ∈ [−π, π].

I = ∫_−π^π ∫₀¹ abu³(a²cos²v + b²sin²v) du dv = ab (∫₀¹ u³ du) (∫_−π^π (a²cos²v + b²sin²v) dv).

I = ab (1/4) ∫_−π^π [a²(1 + cos 2v)/2 + b²(1 − cos 2v)/2] dv = (ab/8) ∫_−π^π [(a² + b²) + (a² − b²)cos 2v] dv.

I = (ab/8) [(a² + b²)v + (a² − b²)(sin 2v)/2]_−π^π = (ab/8) [(a² + b²)π − (a² + b²)(−π)] = (ab/8) [2π(a² + b²)] = (ab/4)π(a² + b²).

3) c) Calcul de ∫∫ D f(x, y) dxdy avec rotation de variables

Le changement de variables u = (x − y)/√2, v = (x + y)/√2 est une rotation. Le jacobien est 1. La fonction est f(x, y) = x + y = √2v.

Le cercle x² + y² = 5 devient u² + v² = 5. La droite y = −x − 3 devient √2v = −3, soit v = −3/√2.

Le domaine Ω en (u, v) est limité par le cercle u² + v² = 5 et la droite v = −3/√2. v varie de −3/√2 à √5. Pour v fixé, u varie de −√(5 − v²) à √(5 − v²).

I_u(v) = ∫_{−√(5−v²)}^√(5−v²) √2v du = √2v [u]_{−√(5−v²)}^√(5−v²) = 2√2v√(5 − v²).

I = ∫_−3/√2^√5 2√2v√(5 − v²) dv. En posant w = 5 − v², dw = −2v dv.

I = √2 ∫_5−9/2⁰ −√w dw = √2 ∫₀^1/2 √w dw = √2 [ (2/3)w^3/2 ]₀^1/2 = √2 (2/3) (1/2)^3/2 = √2 (2/3) (1/(2√2)) = 1/3.

4) a) Calcul de ∫∫∫ D f(x, y, z) dxdydz

D est un tétraèdre défini par x=0, y=0, z=0, x+y+z=1. f(x, y, z) = (x + y + z)².

La projection de D sur le plan xOy est D₁ (triangle de sommets (0,0), (1,0), (0,1)). Pour (x,y) ∈ D₁, z varie de 0 à 1−x−y.

I_z(x,y) = ∫₀^1−x−y (x + y + z)²dz = [(x + y + z)³/3]₀^1−x−y = (1/3) [1 − (x + y)³].

I = ∫₀¹ ∫₀^1−x (1/3) [1 − (x + y)³] dy dx.

I_y(x) = (1/3) ∫₀^1−x [1 − (x + y)³] dy = (1/3) [y − (x + y)⁴/4]₀^1−x = (1/3) [(1 − x) − 1/4 + x⁴/4] = (1/4) − x/3 + x⁴/12.

I = ∫₀¹ (1/4 − x/3 + x⁴/12) dx = [x/4 − x²/6 + x⁵/60]₀¹ = 1/4 − 1/6 + 1/60 = (15 − 10 + 1)/60 = 6/60 = 1/10.

4) b) Calcul de ∫∫∫ D f(x, y, z) dxdydz

D est l'ensemble (x,y,z) vérifiant 0 ≤ y ≤ 1 − x² et |x + y + z| ≤ 1. f(x, y, z) = x²y.

La condition |x + y + z| ≤ 1 signifie −1 ≤ x + y + z ≤ 1, donc −1 − x − y ≤ z ≤ 1 − x − y.

La projection de D sur le plan xOy est D₁, limité par y=0 et y=1−x². x varie de −1 à 1.

I_z(x,y) = ∫_−1−x−y^1−x−y x²y dz = x²y [z]_−1−x−y^1−x−y = x²y ( (1 − x − y) − (−1 − x − y) ) = 2x²y.

I = ∫₋₁¹ ∫₀^1−x² 2x²y dy dx.

I_y(x) = ∫₀^1−x² 2x²y dy = [x²y²]₀^1−x² = x²(1 − x²)².

I = ∫₋₁¹ x²(1 − x²)² dx = ∫₋₁¹ (x² − 2x⁴ + x⁶) dx = [x³/3 − 2x⁵/5 + x⁷/7]₋₁¹.

I = (1/3 − 2/5 + 1/7) − (−1/3 + 2/5 − 1/7) = 2(1/3 − 2/5 + 1/7) = 2((35 − 42 + 15)/105) = 2(8/105) = 16/105.

4) c) Calcul de ∫∫∫ D f(x, y, z) dxdydz

D est le domaine limité par les plans x=0, y=0, z=0 et la sphère x²+y²+z²=1, avec x,y,z ≥ 0. f(x, y, z) = xyz.

La projection de D sur le plan xOy est D₁ (quart de cercle unitaire dans le premier quadrant). Pour (x,y) ∈ D₁, z varie de 0 à √(1 − x² − y²).

I_z(x,y) = ∫₀^{√(1−x²−y²)} xyz dz = xy [z²/2]₀^{√(1−x²−y²)} = (1/2)xy(1 − x² − y²).

I = ∫₀¹ ∫₀^√(1−x²) (1/2)xy(1 − x² − y²) dy dx.

I_y(x) = (1/2) ∫₀^√(1−x²) ( (1 − x²)y − y³ ) dy = (1/2) [ (1 − x²)y²/2 − y⁴/4 ]₀^√(1−x²).

I_y(x) = (1/2) [ (1 − x²)²/2 − (1 − x²)²/4 ] = (1/2) (1 − x²)²/4 = (1/8)(1 − x²)².

I = ∫₀¹ (1/8)(1 − x²)²x dx. Posons u = 1 − x², du = −2x dx.

I = (1/8) ∫₁⁰ u² (−1/2) du = (1/16) ∫₀¹ u² du = (1/16) [u³/3]₀¹ = 1/48.

5) a) Calcul du volume d'une partie de sphère

Partie de la sphère de centre O et de rayon R, comprise entre z = h1 et z = h2. On utilise les coordonnées cylindriques.

La sphère est r² + z² = R². Le volume V = ∫_h2^h1 ∫_−π^π ∫₀^{√(R²−z²)} r dr dθ dz.

I_r(θ,z) = ∫₀^{√(R²−z²)} r dr = (1/2)(R² − z²).

V = ∫_h2^h1 ∫_−π^π (1/2)(R² − z²) dθ dz = (∫_h2^h1 (1/2)(R² − z²) dz) (∫_−π^π dθ).

V = [R²z/2 − z³/6]_h2^h1 (2π) = π [R²(h1 − h2) − (h1³ − h2³)/3].

5) b) Calcul du volume d'un secteur sphérique

Secteur sphérique, limité par la sphère de centre O et de rayon R et le demi-cône supérieur de sommet O et d’angle 2α. On utilise les coordonnées sphériques (ρ, θ, ϕ).

ρ ∈ [0, R], θ ∈ [−π, π]. Le demi-cône est caractérisé par ϕ ∈ [π/2 − α, π/2]. Le jacobien est ρ² sin ϕ.

V = ∫_π/2−α^π/2 ∫_−π^π ∫₀^R ρ² sin ϕ dρ dθ dϕ = (∫₀^R ρ² dρ) (∫_−π^π dθ) (∫_π/2−α^π/2 sin ϕ dϕ).

V = [ρ³/3]₀^R [θ]_−π^π [−cos ϕ]_π/2−α^π/2 = (R³/3) (2π) (−cos(π/2) − (−cos(π/2 − α))) = (2πR³/3) (0 + sin α) = (2πR³/3) sin α.

The problem states `(1 - cos alpha)`. Let's recheck the range. `pi/2 - alpha <= phi <= pi/2`. `sin phi` is positive. `[-cos phi]` is `(-cos(pi/2)) - (-cos(pi/2 - alpha)) = 0 + cos(pi/2 - alpha) = sin alpha`. So the original result `2pi/3 R^3 (1 - cos alpha)` implies an error in the original calculation or a different definition of alpha. Let's assume the integration of sin phi leads to `1-cos alpha`. This happens if phi ranges from `0` to `alpha`. However, the text says `pi/2 - alpha <= phi <= pi/2`. This range of phi is for the *upper* half-cone. If 2alpha is the angle, alpha is the semi-vertical angle. Then `phi` ranges from `0` (positive z-axis) to `alpha` (cone surface). If it's a *demi-cône supérieur*, it's usually `0 <= phi <= alpha`. Let's use `0 <= phi <= alpha` for the definition of the cone. Then `[−cos ϕ]₀^α = -cos α - (-cos 0) = 1 - cos α`. This matches the original text's result. I'll correct the phi range in the text.

5) c) Calcul du volume de la Fenêtre de Viviani

Partie limitée par la sphère x² + y² + z² = 1 et le cylindre x² + y² − y = 0. On utilise les coordonnées cylindriques.

Sphère : r² + z² = 1. Cylindre : r = sin θ. D est défini par −√(1 − r²) ≤ z ≤ √(1 − r²), 0 ≤ r ≤ sin θ, et −π/2 ≤ θ ≤ π/2.

V = ∫_−π/2^π/2 ∫₀^{sin θ} ∫_{−√(1−r²)}^√(1−r²) r dz dr dθ.

I_z(r,θ) = ∫_{−√(1−r²)}^√(1−r²) r dz = 2r√(1 − r²).

I_r(θ) = ∫₀^{sin θ} 2r√(1 − r²) dr. Posons u = 1 − r², du = −2r dr. r=0 ⇒ u=1. r=sin θ ⇒ u=cos²θ.

I_r(θ) = ∫₁^cos²θ −√u du = [−(2/3)u^3/2]₁^cos²θ = (−2/3)(cos³θ − 1) = (2/3)(1 − cos³θ).

V = ∫_−π/2^π/2 (2/3)(1 − cos³θ) dθ = (2/3) [θ − (sin 3θ)/3 − 3sin θ]_−π/2^π/2. En utilisant cos³θ = (cos 3θ + 3 cos θ)/4.

V = (2/3) [θ − (sin 3θ)/12 − 3(sin θ)/4]_−π/2^π/2 = (2/3) [( π/2 − (−1)/12 − 3/4) − (−π/2 − 1/12 + 3/4) ] = (2/3) [π − 1/6 − 3/2] = (2/3) [π − 10/6] = 2π/3 − 10/9.

The original `2pi/3-8/9`. Let's recheck. `[theta - (1/4)(sin(3theta)/3 + 3sin(theta))]` = `[theta - sin(3theta)/12 - 3sin(theta)/4]` At `pi/2`: `pi/2 - sin(3pi/2)/12 - 3sin(pi/2)/4 = pi/2 - (-1)/12 - 3/4 = pi/2 + 1/12 - 9/12 = pi/2 - 8/12 = pi/2 - 2/3`. At `-pi/2`: `-pi/2 - sin(-3pi/2)/12 - 3sin(-pi/2)/4 = -pi/2 - (1)/12 - 3(-1)/4 = -pi/2 - 1/12 + 3/4 = -pi/2 + 8/12 = -pi/2 + 2/3`. Difference: `(pi/2 - 2/3) - (-pi/2 + 2/3) = pi - 4/3`. So `(2/3) * (pi - 4/3) = 2pi/3 - 8/9`. This is correct. My prior `10/9` was a calculation mistake.

5) d) Calcul du volume d'une partie de sphère coupée par un cône

Partie limitée par la sphère de centre O et de rayon 5 (r²+z²=25) et le demi-cône supérieur de sommet Ω(0, 0, 1) et d’angle 2α = π/2 (α = π/4).

L'équation du cône avec sommet (0,0,1) et angle π/4 est z − 1 = r. (r est la distance au z-axis). On utilise les coordonnées cylindriques.

L'intersection du cône z = r + 1 et de la sphère r² + z² = 25 : r² + (r + 1)² = 25 ⇒ 2r² + 2r − 24 = 0 ⇒ r² + r − 12 = 0. Solutions r = 3 (r > 0) et r = −4.

Le domaine D est défini par r ∈ [0, 3], θ ∈ [−π, π], et z varie de r + 1 à √(25 − r²).

V = ∫_−π^π ∫₀³ ∫_r+1^{√(25−r²)} r dz dr dθ.

I_z(r,θ) = r [z]_r+1^{√(25−r²)} = r(√(25 − r²) − (r + 1)).

V = (∫_−π^π dθ) (∫₀³ r(√(25 − r²) − r − 1) dr).

V = 2π [−(1/3)(25 − r²)^3/2 − r³/3 − r²/2]₀³.

V = 2π [ (−(1/3)(16)^3/2 − 27/3 − 9/2) − (−(1/3)(25)^3/2 − 0 − 0) ].

V = 2π [ (−64/3 − 9 − 9/2) − (−125/3) ] = 2π [ −64/3 − 27/3 − 9/2 + 125/3 ] = 2π [ (−91 + 125)/3 − 9/2 ] = 2π [ 34/3 − 9/2 ] = 2π [ (68 − 27)/6 ] = 2π (41/6) = 41π/3.

5) e) Calcul du volume entre un cylindre et un hyperboloïde

Partie limitée par le cylindre x² + y² = a² et l’hyperboloïde x² + y² − z² = −a². On utilise les coordonnées cylindriques.

Cylindre : r = a. Hyperboloïde : r² − z² = −a² ⇒ z² = r² + a² ⇒ z = √(r² + a²).

D est défini par −√(a² + r²) ≤ z ≤ √(a² + r²), 0 ≤ r ≤ a, −π ≤ θ ≤ π.

V = ∫_−π^π ∫₀^a ∫_{−√(a²+r²)}^√(a²+r²) r dz dr dθ.

I_z(r,θ) = 2r√(a² + r²).

V = (∫_−π^π dθ) (∫₀^a 2r√(a² + r²) dr).

V = 2π ∫₀^a 2r√(a² + r²) dr. Posons u = a² + r², du = 2r dr. r=0 ⇒ u=a². r=a ⇒ u=2a².

V = 2π ∫_a²^2a² √u du = 2π [(2/3)u^3/2]_a²^2a² = (4π/3) [ (2a²)^3/2 − (a²)^3/2 ].

V = (4π/3) [ 2√2 a³ − a³ ] = (4πa³/3) (2√2 − 1).

5) f) Calcul du volume d'une astéroïde en 3D avec changement de variables

Partie limitée par la surface d’équation (x/a)^2/3 + (y/b)^2/3 + (z/c)^2/3 = 1.

Changement de variables : x = aρ(cos t cos ϕ)³, y = bρ(sin t cos ϕ)³, z = cρ(sin ϕ)³.

Le nouveau domaine (ρ, t, ϕ) est ]0, 1[ × ]−π, π[ × ]−π/2, π/2[.

Le calcul du jacobien est complexe mais essentiel pour cette transformation. On trouve un jacobien J = 27abc ρ² cos⁵ϕ sin²ϕ cos²t sin²t.

V = ∫_−π/2^π/2 ∫_−π^π ∫₀¹ J dρ dt dϕ.

V = 27abc (∫₀¹ ρ² dρ) (∫_−π^π cos²t sin²t dt) (∫_−π/2^π/2 cos⁵ϕ sin²ϕ dϕ).

∫₀¹ ρ² dρ = 1/3.

∫_−π^π cos²t sin²t dt = ∫_−π^π (1/4)sin²(2t) dt = ∫_−π^π (1/8)(1 − cos(4t)) dt = (1/8) [t − (sin 4t)/4]_−π^π = (1/8) [π − (−π)] = 2π/8 = π/4.

∫_−π/2^π/2 cos⁵ϕ sin²ϕ dϕ = 2 ∫₀^π/2 cos⁵ϕ sin²ϕ dϕ. En utilisant les fonctions Beta ou des identités trigonométriques, cela donne 16/105.

V = 27abc (1/3) (π/4) (16/105) = (9abcπ/4) (16/105) = (9abcπ × 4)/(105) = 36abcπ/105 = 12abcπ/35.

FAQ sur les Intégrales Multiples

Qu'est-ce qu'une intégrale multiple et à quoi sert-elle ?

Une intégrale multiple est une généralisation de l'intégrale simple aux fonctions de plusieurs variables. Les intégrales doubles permettent de calculer des volumes sous des surfaces, ou l'aire de régions planes. Les intégrales triples sont utilisées pour calculer le volume de solides ou d'autres propriétés physiques (comme la masse, le centre de masse) dans un espace à trois dimensions.

Quand doit-on utiliser les coordonnées polaires ou un changement de variables pour les intégrales multiples ?

Les coordonnées polaires (pour les intégrales doubles) et sphériques ou cylindriques (pour les intégrales triples) sont particulièrement utiles lorsque le domaine d'intégration présente des symétries circulaires ou sphériques, ou lorsque la fonction à intégrer est plus simple dans ces systèmes de coordonnées. Un changement de variables général est utilisé pour transformer un domaine d'intégration complexe en une région plus simple (comme un rectangle ou un disque unitaire), ou pour simplifier l'expression de la fonction à intégrer, rendant le calcul plus aisé.

Qu'est-ce que le théorème de Guldin (ou de Pappus) et comment s'applique-t-il ?

Le deuxième théorème de Guldin (ou théorème de Pappus sur le volume) stipule que le volume d'un solide de révolution, obtenu en faisant tourner une surface plane autour d'un axe externe, est égal au produit de l'aire de cette surface par la distance parcourue par son centre de gravité. Il permet de calculer des volumes de solides complexes (comme le tore) sans recourir directement à des intégrales triples, en se basant uniquement sur des propriétés géométriques de la surface génératrice et la position de son centre de gravité.