Examen analyse 2 universite a mira bejaia 2008 2009 mi -Anal

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Exercice 1

. : (06 pts)

1) Calculer en utilisant la limite de la somme de Darboux inférieure les intégrales suivantes :

I₁ = ∫₃¹⁰ (2 + x)dx

I₂ = ∫₀^a x²dx où a > 0

2) Calculer en utilisant l’intégrale définie, la limite de la somme suivante :

S = lim_n→∞ (1^p + 2^p + ... + n^p) / n^p+1, avec p > 0

Indication : utiliser une subdivision régulière des intervalles d’intégration et sachant que ∑_k=1ⁿ k² = (1/6)n(n + 1)(2n + 1).

Exercice 2

. : (08 pts)

a) Trouver les primitives de la fonction suivante : f(x) = x⁵ / ((x − 1)(x² − x + 1))

b) Résoudre l’équation différentielle suivante : y' − y/(x − 1) = x⁵ / (x² − x + 1)

c) Montrer que la fonction g(x) = x³ − 1 est une solution de l’équation : y' − y/(x − 1) = 2x² − x − 1

Trouver la solution de cette équation qui vérifie y(0) = 0.

Exercice 3

. : (06 pts)

Résoudre l’équation différentielle suivante : y'' − 2y' + 2y = sin x cos x + cos 2x.

Solution de l'Exercice 1

1. Calcul des intégrales avec la somme de Darboux inférieure

Si f est une fonction croissante sur [a, b] et d est une subdivision régulière de pas h = x_k+1−x_k = (b−a)/n et de points x_k = a + k(b−a)/n, pour k = 0, ..., n, alors la somme de Darboux inférieure associée à cette subdivision régulière d est définie par :

S = ∑_k=0^n-1 (x_k+1 − x_k) inf_{[x_k,x_k+1]}f(x) ⇒ S = ((b − a)/n) ∑_k=0^n-1 f(x_k)

Calcul de I₁ et I₂ :

I₁ = lim_n→+∞ (7/n) ∑_k=0^n-1 (5 + 7k/n) = lim_n→+∞ (35 + (49/n²) ∑_k=0^n-1 k) = lim_n→+∞ (35 + (49/n²) * (n(n − 1)/2)) = 119/2

Et,

I₂ = lim_n→+∞ (a/n) ∑_k=0^n-1 (ak/n)² = lim_n→+∞ (a³/n³) ∑_k=0^n-1 k² = lim_n→+∞ (a³/n³) * (n(n − 1)(2n − 1)/6) = a³/3

2. Calcul de la limite de la somme S

La somme S est donnée par : S = lim_n→∞ (1^p + 2^p + ... + n^p) / n^p+1.

On peut réécrire cette somme comme : (1/n) ∑_k=1ⁿ (k/n)^p.

Cette somme est une somme de Riemann associée à une subdivision régulière de l’intervalle [0, 1] pour la fonction f : x ⇒ x^p. Comme f est intégrable sur [0, 1], la limite de cette somme est égale à l'intégrale correspondante :

S = lim_n→∞ (1/n) ∑_k=1ⁿ (k/n)^p = ∫₀¹ x^pdx = 1 / (1 + p)

Solution de l'Exercice 2

a) Recherche des primitives de la fonction f(x)

Effectuons la division euclidienne de la fraction rationnelle suivante : f(x) = x⁵ / ((x − 1)(x² − x + 1))

On obtient : f(x) = x² + 2x + 2 + (x² − 2x + 2) / ((x − 1)(x² − x + 1)).

En utilisant la décomposition en éléments simples pour la partie rationnelle :

(x² − 2x + 2) / ((x − 1)(x² − x + 1)) = a/(x−1) + (bx+c)/(x²−x+1)

Par identification, en multipliant par le dénominateur commun :

x² − 2x + 2 = a(x² − x + 1) + (bx+c)(x−1)

x² − 2x + 2 = (a+b)x² + (−a−b+c)x + a−c

Ceci mène au système d'équations :

{ a + b = 1

{ −a − b + c = −2

{ a − c = 2

La résolution de ce système donne : a = 1, b = 0, c = −1.

Donc, (x² − 2x + 2) / ((x − 1)(x² − x + 1)) = 1/(x − 1) − 1/(x² − x + 1).

En intégrant terme par terme :

∫ (x² − 2x + 2) / ((x − 1)(x² − x + 1)) dx = ∫ dx/(x−1) − ∫ dx/(x²−x+1)

Calcul de ∫ dx / (x² − x + 1) :

On complète le carré au dénominateur : x² − x + 1 = (x − 1/2)² + 3/4.

∫ dx / (x² − x + 1) = ∫ dx / ((x − 1/2)² + 3/4)

Pour simplifier, posons u = x − 1/2, du = dx. L'intégrale devient ∫ du / (u² + 3/4).

Factorisons 3/4 au dénominateur : ∫ (4/3) du / ((4/3)u² + 1) = (4/3) ∫ du / ( (2u/√3)² + 1).

Soit t = (2u)/√3 = (2x − 1)/√3, alors dt = (2/√3) dx, donc dx = (√3/2) dt.

L'intégrale devient : (4/3) * (√3/2) ∫ dt / (1 + t²) = (2/√3) arctan(t) + K

= (2/√3) arctan((2x − 1)/√3) + K

D’où la primitive de f(x) :

∫f(x)dx = ∫(x² + 2x + 2)dx + ∫dx/(x−1) − ∫dx/(x²−x+1)

= x³/3 + x² + 2x + ln |x − 1| − (2/√3) arctan((2x − 1)/√3) + C

b) Résolution de l'équation différentielle (E1)

L'équation différentielle est : y' − y/(x − 1) = x⁵ / (x² − x + 1) (E1)

Nous cherchons d'abord la solution générale de l’équation sans second membre (homogène) :

y' − y/(x − 1) = 0 (H1)

C’est une équation à variables séparables : dy/y = dx/(x − 1)

En intégrant : ∫dy/y = ∫dx/(x − 1) ⇒ ln |y| = ln |x−1| + C₀

D'où la solution homogène : y_H = k(x−1) où k ∈ ℝ.

Utilisons la méthode de variation de la constante pour trouver la solution particulière. On pose y = k(x)(x − 1).

Alors, y' = k'(x)(x − 1) + k(x).

En remplaçant dans l’équation (E1) :

k'(x)(x−1) + k(x) − k(x)(x − 1)/(x − 1) = x⁵ / (x² − x + 1)

k'(x)(x−1) = x⁵ / (x² − x + 1)

Donc, k'(x) = x⁵ / ((x − 1)(x² − x + 1)).

D'après la question a), k(x) est la primitive de cette expression :

k(x) = x³/3 + x² + 2x + ln |x − 1| − (2/√3) arctan((2x − 1)/√3) + C, où C ∈ ℝ.

La solution générale de l'équation (E1) est donc :

y = (x³/3 + x² + 2x + ln |x − 1| − (2/√3) arctan((2x − 1)/√3) + C)(x − 1).

c) Vérification et résolution

Montrons que g(x) = x³ − 1 est une solution de l’équation : y' − y/(x − 1) = 2x² − x − 1.

On note que g(x) = (x − 1)(x² + x + 1) et g'(x) = 3x².

Calculons g'(x) − g(x)/(x − 1) :

3x² − (x³ − 1)/(x − 1)

= 3x² − ((x − 1)(x² + x + 1))/(x − 1)

= 3x² − (x² + x + 1)

= 2x² − x − 1.

Ainsi, la fonction g(x) = x³ − 1 est bien une solution particulière de l’équation.

La solution générale de l’équation différentielle avec second membre, est de la forme y = k(x − 1) + x³ − 1, où k est une constante.

Nous cherchons la solution qui vérifie y(0) = 0 :

y(0) = k(0 − 1) + 0³ − 1 = 0

−k − 1 = 0

k = −1

D’où la solution particulière recherchée : y = −(x − 1) + x³ − 1 = −x + 1 + x³ − 1 = x³ − x.

Solution de l'Exercice 3

Résolution de l’équation différentielle y'' − 2y' + 2y = sin x cos x + cos 2x (E2)

C’est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec un second membre. Sa solution générale est y = y_H + y_p, où y_H est la solution de l’équation homogène associée (H2) et y_p est une solution particulière de (E2).

1. Résolution de l’équation homogène y'' − 2y' + 2y = 0 (H2)

L’équation caractéristique associée est r² − 2r + 2 = 0.

Calculons le discriminant : Δ = b² − 4ac = (−2)² − 4(1)(2) = 4 − 8 = −4.

Comme Δ < 0, l’équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées :

r_1,2 = (−(−2) ± √−4) / (2*1) = (2 ± 2i) / 2 = 1 ± i.

Donc, les racines sont r₁ = 1 − i et r₂ = 1 + i. La solution homogène est de la forme :

y_H = e^x(C₁ cos x + C₂ sin x) où C₁, C₂ ∈ ℝ.

2. Recherche de la solution particulière de l’équation (E2)

D'abord, simplifions le second membre. Nous utilisons l'identité trigonométrique sin(2x) = 2 sin x cos x :

sin x cos x + cos 2x = (1/2)sin 2x + cos 2x.

Le second membre est sous la forme A cos(2x) + B sin(2x). Le nombre complexe ω = 2i n’est pas une racine de l’équation caractéristique r² − 2r + 2 = 0 (car (2i)² - 2(2i) + 2 = -4 - 4i + 2 = -2 - 4i ≠ 0).

Nous pouvons donc chercher une solution particulière de la forme :

y_p = k sin 2x + h cos 2x

Calculons les dérivées de y_p :

y'_p = 2k cos 2x − 2h sin 2x

y''_p = −4k sin 2x − 4h cos 2x

En remplaçant y_p, y'_p et y''_p dans l’équation (E2) :

(−4k sin 2x − 4h cos 2x) − 2(2k cos 2x − 2h sin 2x) + 2(k sin 2x + h cos 2x) = (1/2)sin 2x + cos 2x

Réarrangeons les termes :

(−4k + 4h + 2k) sin 2x + (−4h − 4k + 2h) cos 2x = (1/2)sin 2x + cos 2x

(−2k + 4h) sin 2x + (−2h − 4k) cos 2x = (1/2)sin 2x + cos 2x

Par identification des coefficients de sin 2x et cos 2x :

{ −2k + 4h = 1/2

{ −4k − 2h = 1

Pour résoudre ce système : multiplions la deuxième équation par 2 : −8k − 4h = 2. Ajoutons-la à la première équation :

(−2k + 4h) + (−8k − 4h) = 1/2 + 2

−10k = 5/2

k = −1/4

Substituons k = −1/4 dans la première équation :

−2(−1/4) + 4h = 1/2

1/2 + 4h = 1/2

4h = 0

h = 0

Donc, la solution particulière est : y_p = (−1/4)sin 2x.

D’où, la solution générale de l’équation (E2) est :

y = e^x(C₁ cos x + C₂ sin x) − (1/4)sin 2x où C₁ et C₂ ∈ ℝ.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'une somme de Darboux et à quoi sert-elle ?

Une somme de Darboux (inférieure ou supérieure) est une construction mathématique utilisée pour définir l'intégrale de Riemann d'une fonction. Elle approche l'aire sous la courbe d'une fonction en utilisant des rectangles dont la hauteur est déterminée par la borne inférieure (pour la somme inférieure) ou supérieure (pour la somme supérieure) de la fonction sur chaque sous-intervalle d'une subdivision donnée. Lorsque le pas de la subdivision tend vers zéro (ou le nombre de sous-intervalles tend vers l'infini), la limite de ces sommes, si elle existe et est unique, donne la valeur de l'intégrale définie.

Comment aborder la résolution d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants ?

Pour résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants de la forme ay'' + by' + cy = f(x), on procède généralement en deux étapes :

Rechercher la solution de l'équation homogène associée (ay'' + by' + cy = 0) en résolvant l'équation caractéristique ar² + br + c = 0. La nature des racines (réelles distinctes, réelles doubles, complexes conjuguées) détermine la forme de la solution homogène y_H.
Rechercher une solution particulière y_p de l'équation complète. La méthode dépend de la forme du second membre f(x). Des méthodes courantes incluent la méthode des coefficients indéterminés (pour des f(x) polynomiaux, exponentiels, sinusoïdaux) ou la méthode de variation des constantes (plus générale).

La solution générale de l'équation complète est alors la somme de la solution homogène et de la solution particulière : y = y_H + y_p.

Pourquoi la décomposition en éléments simples est-elle utile pour l'intégration ?

La décomposition en éléments simples est une technique algébrique qui permet de réécrire une fraction rationnelle complexe (un rapport de deux polynômes) comme une somme de fractions plus simples. Ces fractions plus simples, appelées éléments simples, ont des formes dont les primitives sont faciles à calculer (par exemple, ln|x-a| pour 1/(x-a) ou arctan(x) pour 1/(x²+a²)). Sans cette décomposition, l'intégration de fractions rationnelles complexes serait beaucoup plus difficile, voire impossible avec les techniques d'intégration de base.