Fst mohammedia analyse 2 exercices séries 2014 2015

Fst mohammedia analyse 2 exercices séries 2014 2015 -Analyse

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Université Hassan II - F.S.T. Mohammedia - Département de mathématiques - Année 2014-2015 - MIP - Module Analyse 2. Série 4.

Exercice 1

Calculer la somme des séries dont le terme général u_n est donné ci-dessous :

u_n = 1/√n - 1/√(n + 1) (pour n > 1)
u_n = e⁻ⁿ (pour n > 1)
u_n = 1 / ((n + 1)(n + 2)(n + 3)) (pour n > 0)

Réponse 1

En utilisant le procédé télescopique, on obtient pour la somme partielle :
S_N = ∑_{n=1}^{N} (1/√n - 1/√(n + 1)) = (1/√1 - 1/√2) + (1/√2 - 1/√3) + ... + (1/√N - 1/√(N + 1)) = 1 - 1/√(N + 1).

Comme lim_{N→+∞} 1/√(N + 1) = 0, alors la limite de la somme partielle est lim_{N→+∞} S_N = 1.

Par conséquent, la somme de la série est ∑_{n>1} u_n = 1.
En utilisant la somme des termes d'une suite géométrique, et en considérant que la somme commence pour n = 2 (selon n > 1 dans l'énoncé de la question), on a u_n = (1/e)ⁿ.
∑_{n=2}^{N} (1/e)ⁿ = (1/e)² × (1 - (1/e)ⁿ⁻¹) / (1 - 1/e).

En prenant la limite lorsque N→+∞, puisque |1/e| < 1, (1/e)ⁿ⁻¹ → 0. Ainsi :

∑_{n=2}^{∞} (1/e)ⁿ = (1/e)² / (1 - 1/e) = (1/e²) / ((e - 1)/e) = 1 / (e(e - 1)).

Note : Le calcul fourni dans le texte original correspond à une somme commençant à n=4, donnant 1/(e³(e-1)). Nous nous en tenons à l'interprétation la plus cohérente avec l'énoncé n>1, donc n=2.
On commence par décomposer la fraction rationnelle en éléments simples :
1 / ((x + 1)(x + 2)(x + 3)) = a/(x + 1) + b/(x + 2) + c/(x + 3).

On trouve :
- a = lim_{x→-1} (x + 1) / ((x + 1)(x + 2)(x + 3)) = 1 / ((-1 + 2)(-1 + 3)) = 1/2.
- b = lim_{x→-2} (x + 2) / ((x + 1)(x + 2)(x + 3)) = 1 / ((-2 + 1)(-2 + 3)) = -1.
- c = lim_{x→-3} (x + 3) / ((x + 1)(x + 2)(x + 3)) = 1 / ((-3 + 1)(-3 + 2)) = 1/2.
Donc, u_n = 1/(2(n + 1)) - 1/(n + 2) + 1/(2(n + 3)).

Première méthode : le procédé télescopique.

On peut écrire u_n = 1/2 (1/(n + 1) - 1/(n + 2)) - 1/2 (1/(n + 2) - 1/(n + 3)).

Si l'on pose v_n = 1/2 (1/(n + 1) - 1/(n + 2)) pour n > 0, on a u_n = v_n - v_{n+1}.

Puisque la suite (v_n) converge vers 0 (lim_{n→+∞} v_n = 0), la somme de la série est ∑_{n=0}^{∞} u_n = v_0.

v_0 = 1/2 (1/(0 + 1) - 1/(0 + 2)) = 1/2 (1 - 1/2) = 1/4.

Deuxième méthode : calcul des sommes partielles.

En réarrangeant les sommes et en changeant les indices, les termes intermédiaires s'annulent. Lorsque N tend vers l'infini, la somme partielle tend vers 1/4.

Exercice 2

Étudier la nature des séries dont le terme général u_n est donné ci-dessous (comparaison à une série géométrique) :

u_n = (3ⁿ + n⁴) / (5ⁿ - 3ⁿ)
u_n = ch(2n) / ch(3n)
u_n = ((1 + 1/n)ⁿ) / 2ⁿ

Réponse 2

On obtient facilement un équivalent de u_n :
u_n = (3ⁿ(1 + n⁴/3ⁿ)) / (5ⁿ(1 - 3ⁿ/5ⁿ)) ∼ 3ⁿ/5ⁿ = (3/5)ⁿ.

Or, la série de terme général (3/5)ⁿ est une série géométrique positive de raison r = 3/5. Comme r < 1, cette série converge. Il en résulte que la série de terme général u_n converge aussi par critère de comparaison des équivalents pour les séries à termes positifs.
On utilise la définition du cosinus hyperbolique ch(x) = (eˣ + e⁻ˣ)/2 :
u_n = (e^(2n) + e^(-2n)) / (e^(3n) + e^(-3n)) = (e^(2n)(1 + e^(-4n))) / (e^(3n)(1 + e^(-6n))) ∼ e^(2n) / e^(3n) = 1/eⁿ = (1/e)ⁿ.

Or, la série de terme général (1/e)ⁿ est une série géométrique positive de raison r = 1/e. Comme r < 1, cette série converge. Il en résulte que la série de terme général u_n converge aussi.
On utilise le développement limité en 0 de ln(1 + x) et l'équivalent de (1 + 1/n)ⁿ :
(1 + 1/n)ⁿ = exp(n ln(1 + 1/n)).

En utilisant ln(1 + x) = x - x²/2 + O(x³) pour x = 1/n :

n ln(1 + 1/n) = n (1/n - 1/(2n²) + O(1/n³)) = 1 - 1/(2n) + O(1/n²).

Donc, (1 + 1/n)ⁿ = exp(1 - 1/(2n) + O(1/n²)) = e * exp(-1/(2n) + O(1/n²)) ∼ e lorsque n→+∞.

Alors, u_n ∼ e / 2ⁿ = e × (1/2)ⁿ.

Or, la série de terme général (1/2)ⁿ est une série géométrique positive de raison r = 1/2. Comme r < 1, cette série converge. Il en résulte que la série de terme général u_n converge aussi.

Exercice 3

Étudier la nature des séries dont le terme général u_n est donné ci-dessous (comparaison à une série de Riemann) :

u_n = 1 - cos(1/n)
u_n = ( (n/(n+1))^(1/n) ) - 1
u_n = e^(cos(1/n)) - e^(cos(2/n))

Réponse 3

En utilisant le développement limité de cos(x) en 0 (cos(x) = 1 - x²/2 + O(x⁴)) pour x = 1/n, on obtient :
u_n = 1 - (1 - (1/n)²/2 + O(1/n⁴)) = 1/(2n²) + O(1/n⁴) ∼ 1/(2n²).

Or, 1/n² est le terme général d'une série de Riemann convergente (avec α = 2 > 1). Il en résulte que la série de terme général u_n converge aussi.
On peut écrire u_n = ((1 + 1/n)^(-1))^(1/n) - 1 = (1 + 1/n)^(-1/n) - 1.

En utilisant l'équivalent exp(x) - 1 ∼ x et le développement limité de ln(1 + x) en 0 :

(1 + 1/n)^(-1/n) - 1 = exp(-1/n ln(1 + 1/n)) - 1.

ln(1 + 1/n) = 1/n - 1/(2n²) + O(1/n³).

-1/n ln(1 + 1/n) = -1/n (1/n - 1/(2n²) + O(1/n³)) = -1/n² + 1/(2n³) + O(1/n⁴).

Alors, u_n ∼ -1/n².

Or, -1/n² est le terme général d'une série de Riemann convergente (le signe négatif n'affecte pas la convergence si l'on étudie la convergence absolue, ou bien on peut dire que u_n est équivalent à une série convergente). Il en résulte que la série de terme général u_n est convergente aussi.
En utilisant le développement limité de cos(x) en 0 :
cos(1/n) = 1 - 1/(2n²) + O(1/n⁴).

cos(2/n) = 1 - (2/n)²/2 + O(1/n⁴) = 1 - 2/n² + O(1/n⁴).

On peut écrire u_n = e^(1 - 1/(2n²) + O(1/n⁴)) - e^(1 - 2/n² + O(1/n⁴)).

Mettons e en facteur :

u_n = e [exp(-1/(2n²) + O(1/n⁴)) - exp(-2/n² + O(1/n⁴))].

En utilisant le développement limité de eˣ en 0 (eˣ = 1 + x + O(x²)) :

u_n ∼ e [ (1 - 1/(2n²)) - (1 - 2/n²) ] = e [ -1/(2n²) + 2/n² ] = e [ 3/(2n²) ] = 3e/(2n²).

Or, 3e/(2n²) est le terme général d'une série de Riemann convergente (avec α = 2 > 1). Il en résulte que la série de terme général u_n est convergente aussi.

Exercice 4

Étudier la nature des séries dont le terme général u_n est donné ci-dessous (règles de Cauchy et de D'Alembert) :

u_n = n! / aⁿ (avec a > 0)
u_n = n! / nⁿ
u_n = (a + 1/n)ⁿ (avec a > 0)

Réponse 4

Dans cet exercice, toutes les séries sont positives à partir d'un certain rang.

Utilisons la règle de D'Alembert. Calculons le rapport u_{n+1}/u_n :
u_{n+1}/u_n = ((n + 1)! / a^(n+1)) / (n! / aⁿ) = ((n + 1)! / n!) × (aⁿ / a^(n+1)) = (n + 1) / a.

La suite u_{n+1}/u_n admet +∞ comme limite lorsque n→+∞ (car a est une constante). Il en résulte que la série de terme général u_n diverge.
Utilisons la règle de D'Alembert. Calculons le rapport u_{n+1}/u_n :
u_{n+1}/u_n = (((n + 1)!) / (n + 1)^(n+1)) / (n! / nⁿ)

= ((n + 1)! / n!) × (nⁿ / (n + 1)^(n+1))

= (n + 1) × (nⁿ / ((n + 1) × (n + 1)ⁿ))

= nⁿ / (n + 1)ⁿ = (n / (n + 1))ⁿ = (1 / (1 + 1/n))ⁿ.

Par un calcul standard, on obtient que la suite u_{n+1}/u_n converge vers 1/e lorsque n→+∞. Comme 1/e < 1, il en résulte de la règle de D'Alembert que la série de terme général u_n converge.
Utilisons la règle de Cauchy. Calculons la racine n-ième de u_n :
(u_n)^(1/n) = ((a + 1/n)ⁿ)^(1/n) = a + 1/n.

La suite (u_n)^(1/n) converge vers a lorsque n→+∞.

Il en résulte de la règle de Cauchy que la série de terme général u_n :
- converge si 0 ≤ a < 1.
- diverge si a > 1.
Il reste à étudier le cas où a = 1. Dans ce cas, u_n = (1 + 1/n)ⁿ. La suite (u_n)ⁿ converge vers e (le nombre de Euler). Puisque lim_{n→+∞} u_n = e ≠ 0, la série de terme général u_n diverge (le terme général ne tend pas vers zéro).

Exercice 5

Étudier la nature des séries dont le terme général u_n est donné ci-dessous (comparaison à une série de Bertrand) :

u_n = (1 - e^(1/n²))√(ln n)
u_n = 1 / ln(n!)
u_n = e^(n⁻ᵃ ln n) - 1 (avec a > 0)

Réponse 5

En utilisant le développement limité de eˣ en 0 (eˣ = 1 + x + O(x²)), on a :
e^(1/n²) = 1 + 1/n² + O(1/n⁴).

Alors, 1 - e^(1/n²) ∼ -1/n².

D'où, u_n ∼ - (1/n²) × √(ln n) = - (ln n)^(1/2) / n².

On étudie la convergence de la série ∑ |u_n|. La série de terme général |u_n| ∼ (ln n)^(1/2) / n² est une série de Bertrand de la forme 1 / (n^α (ln n)^β) avec α = 2 et β = -1/2. Puisque α = 2 > 1, cette série de Bertrand converge. Il en résulte que la série de terme général u_n converge absolument, et donc converge.
On utilise l'approximation de Stirling pour ln(n!) qui est ln(n!) ∼ n ln n lorsque n→+∞.
Donc, u_n ∼ 1 / (n ln n).

La série de terme général 1 / (n ln n) est une série de Bertrand avec α = 1 et β = 1. Comme α = 1 et β = 1, cette série diverge. Il en résulte que la série de terme général u_n diverge aussi.
On peut écrire u_n = exp(n⁻ᵃ ln n) - 1.
Lorsque n→+∞, le terme n⁻ᵃ ln n = (ln n) / nᵃ tend vers 0 (pour tout a > 0).

En utilisant l'équivalent eˣ - 1 ∼ x pour x→0 :

u_n ∼ n⁻ᵃ ln n = (ln n) / nᵃ = 1 / (nᵃ (ln n)⁻¹).

Cette série est une série de Bertrand avec α = a et β = -1.
- Si a > 1, la série converge.
- Si 0 < a < 1, la série diverge.
- Si a = 1, la série devient ∑ (ln n) / n. C'est une série de Bertrand avec α = 1 et β = -1. Puisque β ≤ 1, elle diverge.
La série de terme général u_n possède donc les mêmes propriétés de convergence.

Exercice 6

Étudier la convergence et la convergence absolue des séries dont le terme général u_n est donné ci-dessous (critères de Leibniz et d'Abel) :

u_n = (-1)ⁿ (arctan(1/n)) / n
u_n = (-1)ⁿ / (n + 2 sin n)
u_n = (-1)ⁿ (√(n² + 1) - n)

Réponse 6

Convergence absolue :
On a |u_n| = (arctan(1/n)) / n.

Puisque, au voisinage de 0, arctan(x) ∼ x, on en déduit que arctan(1/n) ∼ 1/n.

Donc, |u_n| ∼ (1/n) / n = 1/n².

Comme la série de Riemann de terme général 1/n² est convergente (α = 2 > 1), la série de terme général |u_n| converge. C'est-à-dire que la série de terme général u_n converge absolument. Une série absolument convergente est toujours convergente.
Convergence absolue :
On a |u_n| = 1 / |n + 2 sin n|.

Pour n suffisamment grand, n + 2 sin n ∼ n (car -2 ≤ 2 sin n ≤ 2).

Donc, |u_n| ∼ 1/n.

La série de terme général 1/n est la série harmonique, qui est divergente. Par conséquent, la série de terme général |u_n| diverge, et la série u_n n'est pas absolument convergente.

Convergence conditionnelle (critère de Leibniz) :

On écrit u_n = (-1)ⁿ × v_n avec v_n = 1 / (n + 2 sin n).

Le critère de Leibniz exige que la suite v_n soit positive, décroissante et tende vers 0.
- v_n > 0 pour n assez grand.
- lim_{n→+∞} v_n = 0.
- Pour la décroissance, on peut étudier la fonction f(x) = 1/(x + 2 sin x). Sa dérivée f'(x) = - (1 + 2 cos x) / (x + 2 sin x)². Le signe de f'(x) dépend de 1 + 2 cos x. Comme 1 + 2 cos x n'est pas toujours positif (ou négatif), la suite v_n n'est pas monotone. Le critère de Leibniz ne s'applique pas directement.
Utilisons un développement asymptotique pour u_n :

u_n = (-1)ⁿ / n × 1 / (1 + (2 sin n)/n).

Comme (2 sin n)/n → 0, on utilise 1/(1 + x) ∼ 1 - x :

u_n ∼ (-1)ⁿ / n × (1 - (2 sin n)/n) = (-1)ⁿ / n - 2(-1)ⁿ sin n / n².

Posons w_n = (-1)ⁿ / n et z_n = -2(-1)ⁿ sin n / n².
- La série ∑ w_n converge d'après le critère de Leibniz (série alternée, 1/n est positive, décroissante et tend vers 0).
- Pour la série ∑ z_n, étudions sa convergence absolue : |z_n| = | -2(-1)ⁿ sin n / n² | = 2 |sin n| / n². Puisque |sin n| ≤ 1, on a |z_n| ≤ 2/n². La série ∑ 2/n² est une série de Riemann convergente. Donc, la série ∑ z_n converge absolument, et par conséquent converge.
La série de terme général u_n est la somme de deux séries convergentes (∑ w_n et ∑ z_n), elle est donc convergente. Puisqu'elle n'est pas absolument convergente mais qu'elle converge, elle est semi-convergente.
Convergence absolue :
On simplifie √(n² + 1) - n :

√(n² + 1) - n = (√(n² + 1) - n) × (√(n² + 1) + n) / (√(n² + 1) + n) = (n² + 1 - n²) / (√(n² + 1) + n) = 1 / (√(n² + 1) + n).

Donc, |u_n| = 1 / (√(n² + 1) + n).

Au voisinage de l'infini, √(n² + 1) + n ∼ √(n²) + n = n + n = 2n.

Ainsi, |u_n| ∼ 1/(2n).

La série de terme général 1/(2n) diverge (série harmonique). La série u_n n'est donc pas absolument convergente.

Convergence conditionnelle (critère de Leibniz) :

On a u_n = (-1)ⁿ × v_n avec v_n = 1 / (√(n² + 1) + n).
- La suite v_n est positive.
- lim_{n→+∞} v_n = 0.
- Pour la décroissance, considérons la fonction f(x) = 1 / (√(x² + 1) + x). Sa dérivée f'(x) = - (x/√(x² + 1) + 1) / (√(x² + 1) + x)². Pour x > 0, x/√(x² + 1) + 1 est positif, donc f'(x) < 0. La suite v_n est donc décroissante.
Les conditions du critère de Leibniz sont satisfaites. Par conséquent, la série de terme général u_n converge. Puisqu'elle n'est pas absolument convergente, elle est semi-convergente.

FAQ sur les Séries

Qu'est-ce qu'une série télescopique ?

Une série télescopique est une série dont les sommes partielles se simplifient, car la plupart des termes s'annulent. Elle est de la forme ∑ (a_n - a_{n+1}). La somme partielle S_N = (a_1 - a_2) + (a_2 - a_3) + ... + (a_N - a_{N+1}) = a_1 - a_{N+1}. Sa convergence dépend alors de la limite de a_{N+1}.

Quelle est la différence entre convergence absolue et semi-convergence ?

Une série ∑ u_n est dite absolument convergente si la série des valeurs absolues ∑ |u_n| converge. Si une série est absolument convergente, elle est aussi convergente. Une série est dite semi-convergente si elle est convergente, mais pas absolument convergente (c'est-à-dire que ∑ u_n converge, mais ∑ |u_n| diverge).

Quand utilise-t-on les critères de Riemann et de Bertrand pour étudier la nature d'une série ?

Les critères de Riemann et de Bertrand sont des outils de comparaison très utiles pour étudier la convergence de séries à termes positifs. Le critère de Riemann s'applique aux séries de la forme ∑ 1/n^α : elle converge si α > 1 et diverge si α ≤ 1. Le critère de Bertrand est une généralisation pour les séries de la forme ∑ 1/(n^α (ln n)^β) : elle converge si α > 1, ou si α = 1 et β > 1. Dans tous les autres cas (α < 1, ou α = 1 et β ≤ 1), elle diverge. On les utilise souvent en cherchant un équivalent du terme général de la série à étudier.