Td équations différentielles à variables séparables analyse
Télécharger PDFExercice 1 : Équations différentielles à variables séparables
Rappels sur les équations à variables séparables
Une équation différentielle est dite à variables séparables si elle peut s'écrire sous la forme \(g(y)dy = f(x)dx\). L'intégration des deux côtés permet de trouver la solution générale : \(\int g(y)dy = \int f(x)dx + C\). Ceci conduit à \(G(y) = F(x) + C\), où \(G\) et \(F\) sont les primitives respectives de \(g\) et \(f\). La solution \(y(x)\) s'obtient alors en appliquant la fonction inverse \(G^{-1}\) : \(y(x) = G^{-1}(F(x) + C)\).
Exercice 1.a : Résolution de \((2x)y' = 2-y\)
Soit l'équation différentielle : \((2x)y' = 2-y\).
Étape 1 : Séparation des variables
L'équation peut être réécrite comme : \(\frac{dy}{2-y} = \frac{dx}{2x}\).
Étape 2 : Intégration des deux côtés
En intégrant chaque côté, nous obtenons : \(\int \frac{dy}{2-y} = \int \frac{dx}{2x}\).
Ceci mène à : \(-\ln|2-y| = \frac{1}{2}\ln|x| + C\).
Exercice 1.b : Résolution de \(y' = \cos(x)\tan(y)\)
Considérons l'équation différentielle : \(y' = \cos(x)\tan(y)\).
Étape 1 : Séparation des variables
On réécrit l'équation pour séparer les variables : \(\frac{dy}{\tan(y)} = \cos(x)dx\), ce qui est équivalent à \(\cot(y)dy = \cos(x)dx\).
Étape 2 : Intégration des deux côtés
L'intégration de chaque côté donne : \(\int \cot(y)dy = \int \cos(x)dx\).
Soit : \(\ln|\sin(y)| = \sin(x) + C\).
La solution générale est donc \(y(x) = \arcsin(K e^{\sin(x)})\), où \(K\) est une constante réelle.
Exercice 1.c : Résolution de \(y' = \frac{2x}{y^2}\)
Prenons l'équation différentielle : \(y' = \frac{2x}{y^2}\).
Étape 1 : Séparation des variables
En séparant les variables : \(y^2 dy = 2x dx\).
Étape 2 : Intégration des deux côtés
L'intégration donne : \(\int y^2 dy = \int 2x dx\).
Ce qui résulte en : \(\frac{y^3}{3} = x^2 + C\).
Ainsi, \(y(x) = \sqrt[3]{3x^2 + K}\), où \(K\) est une constante.
Exercice 2 : Équations différentielles linéaires du 1er ordre
Rappel sur les équations différentielles linéaires du 1er ordre
Une équation différentielle linéaire du premier ordre a la forme générale : \(a(x)y' + b(x)y = c(x)\).
Si \(a(x) \neq 0\), on peut la réécrire sous la forme canonique : \(y' + p(x)y = q(x)\).
La résolution se fait en deux étapes :
- Résolution de l'équation homogène (sans second membre) : \(y' + p(x)y = 0\), dont la solution est \(y_h(x) = C e^{-\int p(x)dx}\).
- Recherche d'une solution particulière de l'équation complète : Souvent par la méthode de variation de la constante, où l'on pose \(y_p(x) = C(x)e^{-\int p(x)dx}\) et on substitue dans l'équation complète pour trouver \(C(x)\). La solution générale est alors \(y(x) = y_h(x) + y_p(x)\).
Exercice 2.a : Résolution de \(xy' = e^x\)
Soit l'équation différentielle : \(xy' = e^x\).
Pour \(x \neq 0\), on divise par \(x\) : \(y' = \frac{e^x}{x}\).
La solution s'obtient par intégration directe : \(y(x) = \int \frac{e^x}{x} dx + C\). Cette intégrale n'a pas de primitive élémentaire et est souvent exprimée en utilisant la fonction intégrale exponentielle \(\text{Ei}(x)\).
Exercice 2.b : Résolution de \(y' + y = x \sin(x)\)
Considérons l'équation différentielle : \(y' + y = x \sin(x)\) (E).
Étape 1 : Résolution de l'équation homogène (E₀)
L'équation homogène associée est \(y' + y = 0\).
La solution générale de (E₀) est \(y_h(x) = C e^{-\int 1 dx} = C e^{-x}\), où \(C\) est une constante réelle.
Étape 2 : Recherche d'une solution particulière (méthode de variation de la constante)
On cherche une solution particulière de (E) sous la forme \(y_p(x) = C(x)e^{-x}\).
En dérivant \(y_p(x)\), on obtient \(y_p'(x) = C'(x)e^{-x} - C(x)e^{-x}\).
En substituant \(y_p\) et \(y_p'\) dans (E) :
\((C'(x)e^{-x} - C(x)e^{-x}) + C(x)e^{-x} = x \sin(x)\)
\(C'(x)e^{-x} = x \sin(x)\)
\(C'(x) = x e^x \sin(x)\).
L'intégration de \(C'(x)\) permet de trouver \(C(x)\) et par conséquent \(y_p(x)\).
Exercice 2.c : Équations de Bernoulli
Le texte fait référence à des "équations de Ben Row Pli", qui sont des équations de Bernoulli, de la forme \(y' + p(x)y = q(x)y^n\).
Ces équations peuvent être transformées en équations linéaires du 1er ordre par un changement de variable. Typiquement, on divise par \(y^n\) et on pose \(z = y^{1-n}\).
Un exemple de solution générale suggérée par le texte est \(y(x) = 1 + C e^{-3x^2}\).
Exemple de résolution pour \(y' + 6xy = 6x\)
Étape 1 : Résolution de l'équation homogène associée \(y' + 6xy = 0\)
La solution homogène est \(y_h(x) = C e^{-\int 6x dx} = C e^{-3x^2}\).
Étape 2 : Recherche d'une solution particulière par variation de la constante
On pose \(y_p(x) = C(x)e^{-3x^2}\).
En substituant dans \(y' + 6xy = 6x\), on obtient \(C'(x)e^{-3x^2} = 6x\).
Donc \(C'(x) = 6x e^{3x^2}\).
Par intégration : \(C(x) = \int 6x e^{3x^2} dx = e^{3x^2} + K\). En choisissant \(K=0\) pour une solution particulière, on a \(C(x) = e^{3x^2}\).
D'où \(y_p(x) = e^{3x^2} e^{-3x^2} = 1\).
La solution générale est \(y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C e^{-3x^2} + 1\).
Exercice 3 : Équations différentielles linéaires d'ordre supérieur
Rappel sur les équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants
Une équation homogène de la forme \(ay'' + by' + cy = 0\) se résout en utilisant le polynôme caractéristique \(ar^2 + br + c = 0\).
- Si les racines réelles \(r_1, r_2\) sont distinctes, la solution générale est \(y_h(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\).
- Si la racine réelle \(r_0\) est double, la solution générale est \(y_h(x) = (C_1 x + C_2) e^{r_0 x}\).
- Si les racines sont complexes conjuguées \(\alpha \pm i\beta\), la solution générale est \(y_h(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))\).
Pour une équation avec second membre \(ay'' + by' + cy = f(x)\), on ajoute à la solution homogène une solution particulière \(y_p(x)\). La solution générale est \(y(x) = y_h(x) + y_p(x)\).
Exercice 3.a : Résolution de \(y'' - 3y' + 2y = e^{3x}(x^2 - 3x)\)
Considérons l'équation différentielle : \(y'' - 3y' + 2y = e^{3x}(x^2 - 3x)\) (E).
Étape 1 : Résolution de l'équation homogène (E₀)
L'équation homogène associée est \(y'' - 3y' + 2y = 0\).
Le polynôme caractéristique est \(P(r) = r^2 - 3r + 2 = 0\).
Les racines réelles distinctes sont \(r_1 = 1\) et \(r_2 = 2\) (car \( (r-1)(r-2) = r^2 - 3r + 2\)).
La solution générale de l'équation homogène est donc \(y_h(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}\).
Étape 2 : Recherche d'une solution particulière (y_p)
Le second membre est de la forme \(e^{\alpha x} P_n(x)\) avec \(\alpha = 3\) et \(P_n(x) = x^2 - 3x\) (de degré 2).
Puisque \(\alpha = 3\) n'est pas une racine du polynôme caractéristique, on cherche une solution particulière de la forme \(y_p(x) = e^{3x}(Ax^2 + Bx + C)\).
Exercice 3.b : Résolution de \(y'' + y = \cos(x)\)
Considérons l'équation différentielle : \(y'' + y = \cos(x)\) (E).
Étape 1 : Résolution de l'équation homogène (E₀)
L'équation homogène associée est \(y'' + y = 0\).
Le polynôme caractéristique est \(P(r) = r^2 + 1 = 0\).
Les racines complexes conjuguées sont \(r = \pm i\).
La solution générale de l'équation homogène est donc \(y_h(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\).
Étape 2 : Recherche d'une solution particulière (y_p)
Le second membre est \(f(x) = \cos(x)\).
Puisque \(\pm i\) est une racine du polynôme caractéristique (cas de résonance), on cherche une solution particulière de la forme \(y_p(x) = x(A \cos(x) + B \sin(x))\).
Après calculs et substitution dans (E), on trouve \(A = 0\) et \(B = \frac{1}{2}\).
La solution particulière est \(y_p(x) = \frac{1}{2}x \sin(x)\).
La solution générale est \(y(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) + \frac{1}{2}x \sin(x)\).
Exercice 3.c : Résolution de \(y'' - 4y' + 13y = 0\)
Considérons l'équation différentielle : \(y'' - 4y' + 13y = 0\) (E).
Étape 1 : Résolution de l'équation homogène (E₀)
Le polynôme caractéristique est \(P(r) = r^2 - 4r + 13 = 0\).
Le discriminant est \(\Delta = (-4)^2 - 4(1)(13) = 16 - 52 = -36\).
Les racines sont complexes conjuguées : \(r = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i\).
Donc \(\alpha = 2\) et \(\beta = 3\).
La solution générale de l'équation est \(y(x) = e^{2x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x))\).
Exercice 3.d : Résolution de \(y'' + 3y' + 2y = e^{-x}\)
Considérons l'équation différentielle : \(y'' + 3y' + 2y = e^{-x}\) (E).
Étape 1 : Résolution de l'équation homogène (E₀)
L'équation homogène associée est \(y'' + 3y' + 2y = 0\).
Le polynôme caractéristique est \(P(r) = r^2 + 3r + 2 = 0\).
Les racines réelles distinctes sont \(r_1 = -1\) et \(r_2 = -2\).
La solution générale de l'équation homogène est donc \(y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}\).
Étape 2 : Recherche d'une solution particulière (y_p)
Le second membre est \(f(x) = e^{-x}\).
Puisque \(-1\) est une racine simple du polynôme caractéristique, on cherche une solution particulière de la forme \(y_p(x) = Ax e^{-x}\).
Après calculs et substitution dans (E), on trouve \(A = 1\).
La solution particulière est \(y_p(x) = x e^{-x}\).
La solution générale est \(y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + x e^{-x}\).
FAQ sur les équations différentielles
Qu'est-ce qu'une équation différentielle à variables séparables ?
C'est une équation où les termes impliquant la variable dépendante (souvent \(y\)) et sa dérivée peuvent être regroupés d'un côté de l'équation, et les termes impliquant la variable indépendante (souvent \(x\)) de l'autre, permettant une intégration directe de chaque côté.
Comment résoudre une équation différentielle linéaire du 1er ordre ?
La méthode générale consiste à résoudre d'abord l'équation homogène associée (sans second membre) pour trouver la solution homogène \(y_h\), puis à trouver une solution particulière \(y_p\) de l'équation complète, souvent par la méthode de variation de la constante. La solution générale est la somme \(y_h + y_p\).
Quand utilise-t-on un polynôme caractéristique ?
Le polynôme caractéristique est utilisé pour résoudre les équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants d'ordre supérieur (par exemple, \(ay'' + by' + cy = 0\)). Les racines de ce polynôme déterminent la forme de la solution générale de l'équation homogène.