Examen d analyse m111 mip s1 fst mohammedia 29 juin 2021 ana

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Exercice 1 : Fonctions hyperboliques et leurs propriétés

Montrer que la fonction th (tangente hyperbolique) réalise une bijection de ]-∞, +∞[ sur un intervalle à préciser. On note argth sa réciproque. Montrer que argth est impaire, puis, montrer qu'elle est dérivable sur ]-1, 1[ et que sa dérivée est la fonction qui à x associe 1/(1-x²).
Explication complémentaire : La fonction tangente hyperbolique, notée th(x) = (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x), est une fonction impaire et strictement croissante sur l'ensemble des nombres réels (ℝ). Elle établit une bijection de ℝ sur l'intervalle ouvert ]-1, 1[. Sa fonction réciproque, argth(x), est donc définie sur ]-1, 1[ et ses valeurs sont dans ℝ. Pour montrer qu'argth est impaire, on peut utiliser le fait que th est impaire. La dérivée de argth(x) est bien 1/(1-x²) pour x ∈ ]-1, 1[.
Montrer que pour tout x ∈ ]-1, 1[ on a argth(x) = 1/2 ln((1+x)/(1-x)).
Précision : L'expression donnée correspond à la forme logarithmique de la fonction argth(x). Cette identité est fondamentale pour manipuler et comprendre la fonction tangente hyperbolique inverse.
Soit h la fonction numérique définie par : h(x) = argth (le terme suivant argth est manquant dans l'énoncé original).
1. Préciser l'ensemble de définition de h.
  Conseil : Si h(x) était définie comme h(x) = argth(g(x)), l'ensemble de définition de h serait l'ensemble des x pour lesquels g(x) est définie et g(x) ∈ ]-1, 1[.
2. Calculer h'(x).
  Conseil : Pour une fonction h(x) = argth(g(x)), en appliquant la règle de dérivation des fonctions composées (la chaîne), la dérivée h'(x) serait g'(x) / (1 - (g(x))²).
3. Simplifier l'expression h(x).
  Conseil : Si h(x) = argth(g(x)) et si g(x) était une expression simplifiable, on pourrait utiliser la formule argth(y) = 1/2 ln((1+y)/(1-y)) pour simplifier h(x) en fonction de g(x).

Exercice 2 : Suites et Théorème des Accroissements Finis

Soit (w_n) la suite de terme général w_n = ∑_k=1ⁿ 1/√k.

En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction √x, montrer que, pour tout n > 0 : 1/√(n+1) < 2(√(n+1) - √n) < 1/√n.
Explication complémentaire : Le théorème des accroissements finis (TAF) établit que pour une fonction f continue sur un intervalle fermé [a,b] et dérivable sur l'intervalle ouvert ]a,b[, il existe au moins un point c ∈ ]a,b[ tel que f(b) - f(a) = f'(c)(b-a). Ici, on l'applique sur des intervalles de la forme [k, k+1] pour la fonction √x, dont la dérivée est 1/(2√x).
En déduire que, pour tout n > 0 : 2(√(n+1) - 1) < w_n < 2√n - 1.
Méthodologie : Cette déduction est généralement obtenue en sommant l'inégalité démontrée au point 1 sur une plage appropriée de k, puis en utilisant la propriété de télescopage de la somme pour simplifier les termes.
Montrer que la suite (w_n)_n n'est pas de Cauchy.
Explication complémentaire : Une suite de Cauchy est une suite dont les termes se rapprochent de plus en plus les uns des autres à mesure que l'indice augmente. Pour montrer qu'une suite n'est pas de Cauchy, il faut trouver un ε > 0 tel que pour tout N, il existe m, n > N tels que |w_m - w_n| ≥ ε. Une suite qui n'est pas de Cauchy ne converge pas dans un espace complet.
On pose u_n = ∑_k=1ⁿ 1/√k - 2√n et v_n = ∑_k=1ⁿ 1/√k - 2√(n+1). Montrer que les suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes.
Explication complémentaire : Deux suites (u_n) et (v_n) sont dites adjacentes si elles satisfont trois conditions : l'une est croissante, l'autre est décroissante, et leur différence (v_n - u_n) tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. Si ces conditions sont remplies, alors les deux suites convergent et vers la même limite.

Exercice 3 : Fonctions trigonométriques inverses et développements limités

En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction arctan(t), montrer que, pour tout x ≥ 0, x ≥ arctan(x) ≥ x/(1 + x²).
Rappel : La dérivée de la fonction arctan(t) est 1/(1+t²).
Donner le développement limité (DL) de arctan(x) au voisinage de 0 à l'ordre 3.
Explication : Un développement limité permet d'approximer localement une fonction par un polynôme. Le développement limité de arctan(x) en 0 à l'ordre 3 est x - x³/3 + o(x³).
Montrer que si x > 0, alors arctan(x) + arctan(1/x) = π/2.
Démonstration : Une méthode courante pour démontrer cette identité consiste à considérer la fonction f(x) = arctan(x) + arctan(1/x) et à calculer sa dérivée. Si la dérivée est nulle, la fonction est constante. On peut ensuite déterminer cette constante en évaluant f(x) pour une valeur simple de x (par exemple, x=1).
En utilisant le développement limité, déterminer l'équation d'asymptote au voisinage de +∞ à la courbe représentative de : e^1/x arctan(x), puis préciser la position de la courbe par rapport à l'asymptote.
Méthodologie : Pour trouver une asymptote en +∞ à une fonction f(x), on peut chercher l'équation de la droite y = ax + b, où a = lim_x→+∞ f(x)/x et b = lim_x→+∞ (f(x) - ax). L'utilisation des développements limités est pertinente ici en posant un changement de variable t = 1/x, ce qui permet d'étudier le comportement de la fonction lorsque t → 0. Il est important d'utiliser les DL connus pour e^u et arctan(x) en considérant son DL en +∞ qui est lié à celui de arctan(1/x).

Rappels sur les développements limités

(1 + x)^α = 1 + αx + α(α - 1)/2! x² + … + α(α - 1)…(α - n + 1)/n! xⁿ + o(xⁿ)
ln(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 + … + (-1)^n-1 xⁿ/n + o(xⁿ)
e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … + xⁿ/n! + o(xⁿ) = ∑_k=0ⁿ x^k/k! + o(xⁿ)

FAQ - Questions Fréquemment Posées

Qu'est-ce qu'une fonction hyperbolique et sa réciproque ?

Les fonctions hyperboliques, telles que la tangente hyperbolique (th(x)), sont des fonctions mathématiques construites à partir de la fonction exponentielle. Elles partagent des propriétés similaires aux fonctions trigonométriques classiques (sin, cos, tan) mais sont définies sur des hyperboles plutôt que sur des cercles. Leurs réciproques, comme argth(x), permettent de déterminer la valeur d'où provient le résultat d'une fonction hyperbolique.

À quoi sert le Théorème des Accroissements Finis (TAF) ?

Le Théorème des Accroissements Finis est un concept fondamental en analyse mathématique. Il établit un lien direct entre le taux de variation moyen d'une fonction sur un intervalle donné et la valeur de sa dérivée en un point spécifique à l'intérieur de cet intervalle. Il est fréquemment utilisé pour prouver des inégalités, estimer des erreurs ou démontrer la monotonie de fonctions.

Quel est l'intérêt des développements limités (DL) ?

Les développements limités sont des outils puissants en analyse qui permettent d'approximer une fonction complexe par un polynôme simple autour d'un point donné. Ils sont indispensables pour l'étude locale des fonctions, notamment pour le calcul de limites indéterminées, la détermination d'équations de tangentes et de la position d'une courbe par rapport à sa tangente, ainsi que pour l'identification d'asymptotes obliques ou horizontales à l'infini.