Examen d analyse m111 mip s1 fst mohammedia 29 juin 2021 ana
Télécharger PDFAnnée universitaire 2020-2021 . MIP(M111) − S1 Examen d'Analyse: M111 : durée 1h45, 29-Juin-2021
Exercice 11. Montrer que la fonction th (tangente hyperbolique) réalise une bijection de ] − ∞, +∞[ sur un intervalle à préciser. On note argth sa réciproque. Montrer que argth est impaire, puis, montrer qu'elle est dérivable sur ] − 1, 1[ et que sa dérivée est x 7→ 1 1−x2. . 2. Montrer que pour tout x ∈] − 1, 1[ on a f(x) = 12ln 1+x 1−x 3. Soit h la fonction numérique dé nie par : h(x) = argth (a) Préciser l'ensemble de dé nition de h, (b) Calculer h′(x), (c) Simpli er l'expression h(x).
Exercice 2x √1 + x2 Soit (wn) la suite de terme général wn =Xn k=1 1√k. 1. En appliquant le théoèeme des accroissements nis à la fonction √x, Montrer que, Pour tout n > 0 :1 √n + 1< 2(√n + 1 −√n) <1√n 2. En déduire que, pour tout n > 0 : 2(√n + 1 − 1) < wn < 2√n − 1 3. Montrer que la suite (wn)n n'est pas de Cauchy. 4. On pose un =Xn k=1 1√k− 2√n et vn =Xn k=1 1√k− 2√n + 1 Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes. Tournez la page, svp !
Exercice 31. En appliquant le théorème des accroissements nis à la fonction arctan(t), montrer que, pour tout x ≥ 0, x ≥ arctan(x) ≥x 1 + x2. 2. Donner le DL de arctan(x) au voisinage de 0 à l'ordre 3. 3. Montrer que si x > 0, alors arctan(x) + arctan(1x) = π2, 4. En utilsant le développement limité, déterminer l'équation d'asymptote au voisinage de +∞ à la courbe représentative de : e1x arctan(x), puis préciser la position de la courbe par rapport à l'asymptote. Rappel (1 + x)α = 1 + αx +α(α − 1) 2! x2 + · · · +α(α − 1)· · ·(α − n + 1) ln(1 + x) = x −x22 +x33 + ... + (−1)n−1 xn n + ◦(xn) n!xn + ◦(xn)(x) 2! +x3 n!+ ◦(xn) = Xn ex = 1 + x +x2 3! + · · · +xn k=0 xk k!+ ◦(xn) Bon courage