Examen analyse module m1 maths informatique sm smi smp smc a
Télécharger PDFRappel sur la fonction Arctangente
L'Arctangente, notée Arctan ou Arctg, est la fonction réciproque de la fonction tangente. C'est une fonction impaire qui vérifie :
- y = Arctan(x) si et seulement si x = tan(y) avec y ∈ ]-π/2, π/2[
- (Arctg(x))' = 1 / (1 + x²)
Partie 1 : Étude de la fonction f(x) = 2(x-1) - Arctan(x)
Soit la fonction f(x) = 2(x-1) - Arctan(x) définie sur ℝ.
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Dérivabilité et monotonie de f
Étudier la dérivabilité et la monotonie de f.
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Limites et asymptotes
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Calculer limx→+∞ f(x) et limx→-∞ f(x).
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Montrer que :
- Arctan(x) + Arctan(1/x) = π/2 si x > 0
- Arctan(x) + Arctan(1/x) = -π/2 si x < 0
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Déterminer les asymptotes à la courbe Cf en +∞ et en -∞, ainsi que les positions relatives de Cf par rapport à ces asymptotes.
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Développement limité et tangente
Écrire le développement limité d'ordre 3 de f(x) au voisinage de 0. En déduire l'équation de la tangente en 0 et la position relative de Cf par rapport à cette tangente.
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Racine de f(x) = 0
Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une racine unique α ∈ ℝ.
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Théorème des Accroissements Finis
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Énoncer le théorème des accroissements finis (TAF).
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Partie 2 : Étude d'une suite réelle (un)
Soit la suite réelle (un) définie par un+1 = g(un) où g(x) = (3x² + 2) / (1 + x²).
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Point fixe
Vérifier que g(α) = α, où α est la racine trouvée à la Partie 1, question 4.
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Inégalité de convergence
Montrer que : |un+1 - α| ≤ k |un - α| pour un certain k ∈ ]0, 1[. En déduire que pour tout n, |un - α| ≤ kn |u0 - α|.
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Convergence de la suite
Montrer que la suite (un) converge en précisant sa limite.
Question de cours
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Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I)
Énoncer (sans démonstration) le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I).
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Équation cos(x) = x
Montrer que l'équation cos(x) = x admet une solution dans l'intervalle [0, π/2].
Exercices
Exercice 1 : Convergence de la suite harmonique
On se propose d'étudier la convergence de la suite : un = 1 + 1/2 + ... + 1/n.
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Montrer l'inégalité : 1/(n+1) ≤ Log(n+1) - Log(n) ≤ 1/n pour tout n ∈ ℕ*. (Indication : Utiliser le théorème des Accroissements Finis à la fonction f(x) = Log(x) sur l'intervalle [n, n+1]).
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Montrer que un ∈ [0,1] pour tout n ∈ ℕ*.
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Montrer que (un) est décroissante.
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En déduire que (un) est convergente. (La limite γ = lim un est appelée : constante d'Euler).
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Exercice 2 : Calcul de limite
Calculer la limite suivante : L = limx→0 ((1+x)1/x - e) / x.
Exercice 3 : Asymptotes et développements limités
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Soit Cf la courbe représentative de la fonction f(x) = (2 Log(x)) / (1+ex).
Montrer que lorsque x tend vers l'infini, on peut écrire : f(x) ≈ (2 Log(x)) / (1+e-x).
Déterminer l'asymptote de la courbe Cf au voisinage de l'infini et la position de Cf par rapport à l'asymptote.
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Donner le développement limité d'ordre 2 de la fonction g(x) = Arctan(x) au voisinage de 0 et étudier la position relative de la courbe Cg par rapport à la tangente en 0.
Exercice 4 : Propriétés de la fonction Arctangente et limites
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Vérifier que : ∀x > 0, Arctan(x) + Arctan(1/x) = π/2.
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Calculer limx→0 ((x²+5x-2)² - Arctan(x)²) / sin²(x).
Exercice 5 : Formule de Taylor et limites de suites
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À l'aide de la formule de Taylor, montrer que : ∀x ∈ ℝ, x - ln(1+x) ≤ x²/2.
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Sachant que : 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2, calculer les limites des deux suites (un) et (vn) où un = (1+...+n)/n² et vn = (1+...+n)/n³.
Exercice 6 : Asymptotes par développements limités
À l'aide des développements limités (DL), déterminer les asymptotes de la fonction f(x) = (x-1)² Log(x) au voisinage de +∞ et -∞ en précisant les positions relatives par rapport à la courbe.
Exercice 7 : Suite définie par un point fixe
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Soit la fonction g définie par g(x) = 1 + 1/x. Montrer que l'équation g(x) = x admet une solution unique α ∈ [1, 2].
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Soit la suite (un) définie par u0 donné et un+1 = g(un).
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Montrer qu'il existe k ∈ ]0, 1[ tel que : ∀n ∈ ℕ, |un+1 - α| ≤ k |un - α|.
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Déduire de i) la nature de la suite (un).
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Exercice 8 : Étude d'une fonction complexe
Soit f(x) = (2x+1)/(1-x) + 2 Arctan((1+x)/(1-x)).
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Donner le domaine de définition de f.
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Calculer f'(x).
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Montrer que les dérivées successives de f vérifient : f(n-1)(x) = Pn-1(x) / (x²+1)n-1, où Pn-1(x) est un polynôme de degré n-1, et donner la relation reliant Pn(x) et Pn-1(x).
Foire Aux Questions (FAQ)
Q: Qu'est-ce que la fonction Arctangente ?
R: L'Arctangente est la fonction réciproque de la tangente, notée Arctan(x) ou Arctg(x). Elle renvoie l'angle dont la tangente est x. Son domaine de définition est ℝ, et son ensemble image est l'intervalle ]-π/2, π/2[.
Q: Pourquoi les développements limités sont-ils utiles en analyse ?
R: Les développements limités (DL) permettent d'approximer une fonction complexe par un polynôme au voisinage d'un point. Ils sont essentiels pour calculer des limites indéterminées, étudier la position relative d'une courbe par rapport à sa tangente ou son asymptote, et pour analyser le comportement local des fonctions.
Q: Quel est l'intérêt du théorème des accroissements finis (TAF) ?
R: Le Théorème des Accroissements Finis (TAF) établit un lien entre la variation d'une fonction sur un intervalle et la valeur de sa dérivée en un point de cet intervalle. Il est fréquemment utilisé pour démontrer des inégalités, notamment pour encadrer des termes de suites ou pour prouver la convergence de certaines suites.