Exercices caractéristiques géométriques sections planes sup
Télécharger PDFCaractéristiques Géométriques des Sections Planes : Exercices Pratiques
Ce document présente une série d'exercices pratiques axés sur les caractéristiques géométriques des sections planes, essentiels en résistance des matériaux et en génie civil. Chaque problème aborde des concepts fondamentaux tels que la détermination du centre de gravité, le calcul des moments d'inertie, et l'application des théorèmes de Guldin. Les solutions sont fournies pour faciliter la vérification et l'apprentissage.
Exercice 4.01 : Position du Centre de Gravité d'un Profilé
Déterminer la position du centre de gravité G du profilé ci-contre. Vérifier le résultat par la méthode de Guldin.
Réponses : Les coordonnées sont données par rapport au coin inférieur gauche de la cornière.
xG = 4,07 mm ; yG = 23,82 mm.
Le centre de gravité (ou centre de masse) est le point d'équilibre d'une surface, où l'on pourrait concentrer toute sa masse pour les calculs statiques.
Exercice 4.02 : Espacement Optimal pour Fers U
À quel écartement 2e faut-il placer 2 fers U pour que l’ensemble donne Ix = Iy ? Le UPN 240 a les caractéristiques suivantes :
A = 423 cm³ ; d = 2,23 cm ; IxP = 3600 cm⁴ ; IyP = 248 cm⁴.
Réponses : e1 = 6,66 cm ; e2 = -11,14 cm (à rejeter).
L'égalité des moments d'inertie Ix et Iy autour du centre de gravité est souvent recherchée pour des raisons d'équilibre et de stabilité, notamment pour éviter le flambement différentiel selon les axes.
Exercice 4.03 : Épaisseur d'Âme d'un Profilé en I et Rapport d'Inertie
Pour ce profilé en “I”, on souhaite que le centre de gravité G se trouve à une hauteur de 51 mm, mesurée à partir de la face inférieure de la semelle de 80 mm. Que doit dès lors valoir l’épaisseur e de l’âme de ce profilé ? Rechercher aussi la valeur du rapport : K = Ix / Iy.
Réponses : e = 5,96 mm ≈ 6 mm ; K = Ix / Iy = 17,48.
Exercice 4.04 : Centre de Gravité par Décomposition et Guldin
Rechercher le centre de gravité de la surface ci-contre (dimensions en mm) : par décomposition en surfaces simples ; par application du théorème de Guldin.
Réponses : Les coordonnées sont données par rapport au coin inférieur gauche de la cornière.
xG = 29,76 mm ; yG = 26,15 mm.
Le théorème de Guldin permet de calculer des volumes et des aires de surfaces de révolution à partir de l'aire de la section génératrice et de la distance parcourue par son centre de gravité. Il peut aussi être utilisé pour trouver le centre de gravité.
Exercice 4.05 : Centre de Gravité d'une Surface
Déterminer la position du centre de gravité de la surface ci-contre : par décomposition en surfaces simples ; par application du théorème de Guldin.
Réponses : Les coordonnées sont données par rapport au centre du quart de cercle.
xG = 12,58 mm ; yG = 18 mm.
Exercice 4.06 : Centre de Masse et Moments d'Inertie d'un Profil Type
Rechercher le centre de masse du profil type 414A ci-contre, utilisé en carrosserie. Déterminer les moments d’inertie par rapport aux axes (Ox,Oy) (horizontal et vertical) passant par ce centre de gravité.
Réponses : Les coordonnées sont données par rapport au coin inférieur gauche.
xG = 22,03 mm ; yG = 19,01 mm.
IxG = 31595 mm⁴ ; IyG = 27256 mm⁴.
Les moments d'inertie sont des indicateurs de la résistance d'une section à la flexion ou au flambement autour d'un axe donné. Plus le moment d'inertie est élevé, plus la section est rigide.
Exercice 4.07 : Moments d'Inertie d'une Colonne Composée de IPE
La section droite d’une colonne métallique est composée de trois IPE solidaires, soudés l’un à l’autre. Rechercher les moments d’inertie maximum et minimum.
Réponses : Imax = 27258 cm⁴ ; Imin = 8384 cm⁴.
Exercice 4.08 : Moments d'Inertie d'une Poutre de Pont Roulant
La section droite d’une poutre de pont roulant est composée de 2 UPN 200 et de 2 plats de 180 x 10, soudés l’un à l’autre. Rechercher les moments d’inertie maximum et minimum.
Réponses : Ix = 7792 cm⁴ ; Iy = 3223 cm⁴.
Exercice 4.09 : Moments d'Inertie par Rapport aux ACPI et Rayons de Giration
Calculer les moments d’inertie par rapport aux ACPI ainsi que les rayons de giration de la figure ci-contre.
Réponses : IxG = 667 cm⁴ ; IyG = 6190 cm⁴.
ix = 2,89 cm ; iy = 8,8 cm.
Les rayons de giration représentent la distance à laquelle la totalité de la surface d'une section devrait être concentrée pour avoir le même moment d'inertie que la section réelle. Ils sont utiles pour les calculs de flambement.
Exercice 4.10 : Centre de Gravité et Moments d'Inertie d'une Poutre Composée
Recherchez la position du centre de gravité de la poutre ci-contre. Calculez ensuite les moments d’inertie par rapport à un axe horizontal (et vertical) passant par le centre de gravité de la poutre composée.
Réponses : yG = -1,17 cm (par rapport à l’âme de l’UPN) ; IG horizontal = 5500 cm⁴ ; IG vertical = 21497 cm⁴.
Exercice 4.11 : Inertie d'un Profilé Renforcé
Soit un profilé métallique renforcé par un plat soudé d’épaisseur 10 mm sur la semelle supérieure. On demande l’inertie du profil par rapport à l’axe horizontal passant par son centre de gravité.
Réponses : yG = 55,24 cm (par rapport à la base de la semelle du “I”) ; Ix = 838065 cm⁴.
Exercice 4.12 : Centre de Gravité et Moment d'Inertie d'une Poutre Composite
Soit une poutre en béton précontraint dont on donne toutes les caractéristiques géométriques ; cette poutre est solidarisée en phase ultime avec une dalle de béton armé de 15 cm d’épaisseur. La largeur collaborante de la dalle est estimée à 2 m. On demande de déterminer le centre de gravité et le moment d’inertie de la poutre composite. (Il s’agit de l’inertie par rapport à l’axe horizontal passant par le centre de gravité de l’ensemble).
Données :
Dalle : hd = 15 cm ; bd = 200 cm
Poutre Ergon 70/30 : ht = 70 cm ; b = 29 cm ; r = 14 cm ; t = 8 cm ; n = 9 cm ; u = 9 cm ; o = 11 cm ; A = 1269 cm² ; Ipp = 762602 cm⁴ ; v = 35,17 cm ; Ippv = 21684 cm³ ; v' = 34,83 cm ; Ippv' = 21893 cm³.
Réponses : dG tot = 64,91 cm (par rapport à la semelle) ; IG tot = 2416765 cm⁴.
Exercice 4.13 : Théorèmes de Guldin et Centre de Gravité d'une Pièce
a) Énoncer, sans les démontrer, les deux théorèmes de Guldin.
b) Pour la pièce ci-contre, pour laquelle a vaut 10 mm, on demande de trouver la position du centre de gravité. Calculer le moment d’inertie par rapport à un axe horizontal passant par le centre de gravité.
Réponses : yG = 11,5 mm (par rapport à la base) ; IxG = 477 cm⁴.
Les théorèmes de Guldin (ou Pappus-Guldinus) permettent de calculer l'aire d'une surface de révolution et le volume d'un solide de révolution à partir de l'aire ou du volume de la figure plane qui a généré la surface ou le solide, et de la distance parcourue par son centre de gravité lors de la révolution.
Exercice 4.14 : Caractéristiques Géométriques d'une Section Âme-Semelles
Déterminer, pour la section droite âme-semelles d’une poutre en béton, le centre géométrique, les axes centraux principaux d’inertie, les moments d’inertie et les rayons de giration correspondants.
Réponses : IACPI1 = 1,18 × 10⁷ cm⁴ ; IACPI2 = 0,77 × 10⁷ cm⁴.
Les Axes Centraux Principaux d'Inertie (ACPI) sont les axes autour desquels les moments d'inertie sont extrêmes (maximum et minimum), et pour lesquels le produit d'inertie est nul.
Exercices Récapitulatifs sur les Caractéristiques Géométriques
Exercice R.4.1 : Calcul des Caractéristiques d'une Poutre en Treillis
Une poutre en treillis est composée d'un assemblage de divers profilés. Calculez la section A, l’inertie suivant l’axe UU, les distances v et v’ ainsi que les modules de résistance à la flexion correspondants. Remarque : pour le calcul de la surface, ne pas décompter les trous de rivets car ils sont négligeables.
Réponses : A = 2616 cm² ; v = 50,6 cm ; v' = 73,8 cm ; IUU = 795657 cm⁴ ; WUU/v = 15724 cm³ ; WUU/v' = 10781 cm³.
Les modules de résistance à la flexion (souvent notés W) sont cruciaux pour déterminer la contrainte maximale dans une poutre soumise à la flexion.
FAQ sur les Caractéristiques Géométriques des Sections
1. Qu'est-ce que le centre de gravité d'une section plane et comment le détermine-t-on ?
Le centre de gravité d'une section plane est le point théorique où toute la surface de la section pourrait être concentrée sans changer son moment statique par rapport à un axe. Il est déterminé par les formules de Varignon, qui impliquent le calcul des moments statiques de la section par rapport à des axes de référence, puis la division par l'aire totale de la section. Pour des sections complexes, on utilise souvent la décomposition en surfaces simples ou le théorème de Guldin.
2. À quoi servent les moments d'inertie dans le calcul des structures ?
Les moments d'inertie, aussi appelés moments quadratiques, sont des propriétés géométriques qui caractérisent la distribution de la surface d'une section par rapport à un axe. Ils sont fondamentaux en résistance des matériaux car ils mesurent la capacité d'une section à résister à la flexion et au flambement. Une section avec un moment d'inertie élevé est plus rigide et moins susceptible de se déformer sous charge.
3. Quels sont les théorèmes de Guldin et comment les applique-t-on ?
Les deux théorèmes de Guldin (ou de Pappus-Guldinus) sont des outils géométriques :
1. Le premier théorème énonce que la surface d'une surface de révolution est égale au produit de la longueur de la courbe génératrice par la distance parcourue par son centre de gravité lors de la révolution.
2. Le second théorème stipule que le volume d'un solide de révolution est égal au produit de l'aire de la surface génératrice par la distance parcourue par son centre de gravité lors de la révolution.
Ces théorèmes sont appliqués pour simplifier le calcul des surfaces et des volumes complexes, et inversement, pour trouver la position du centre de gravité d'une figure plane à partir d'une surface ou d'un volume de révolution connu.