Examen mi p juin 2014 analyse 3 -Corr - Télécharger pdf
Télécharger PDF1 Universit´e Hassan II- Mohammedia Facult´e des Sciences et Techniques D´epartement de Math´ematiques AU :2013/2014 Option :MIP Module :M311 Examen de rattrapage Juin 2104 (S3) dur´ee 1H 30
==================================================================== Exercice. 1 (8 points). Soit la forme diff´erentielle ω(x, y) = Arctan(y)dx +x 1 + y2dy, 1. Montrer que la forme diff´erentielle ω est ferm´ee sur R2. (1 pts) 2. End´eduire que ω est exacte sur R2et d´eterimner toutes les primitives f de ω . (2+3 pts) 3. End´eduire la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle : x.y0 = −¡1 + y2¢.Arctan(y). (2 pts) Exercice. 2 (6 points) Soit ∆ le domaine de R2 d´efini par : ∆ = {(x, y) ∈ R2: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ inf(x, 1)} 1. Repr´esenter le domaine ∆ et calculer son aire. (2 pts) 2. Calculer l’aire de ∆. (2 pts) 3. En utilisant la formule de Green-Riemann calculer : I = Z ¡x2 + 2y − 1¢dx −¡y2 + 3x − 1¢dy. (2 pts) ∂∆ o`u ∂∆ est la fronti`ere de ∆ orient´ee dans le sens positif. Exercice. 3 (6 points) Soit la fonction f(x, y) = x2 + xey − y2 − 2. 1. Montrer qu’on peut ´ecrire y comme fonction de x, (y = ϕ(x)) au voisinage de (1, 0). (2 pts) 2. Calculer ϕ0(x) et ϕ00(x) en fonction de x et ϕ(x), pour tout x dans un voisinage de 1 (2 pts). 3. Donner le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 de ϕ en 1. (2 pts) ====================================================================
Professeurs : M.HARFAOUI- S. SAJID