Examen mip hassan 2 2013 2014 analyse 3 -Corr

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Université Hassan II-Mohammedia, Faculté des Sciences et Techniques, Département de Mathématiques. Année Universitaire : 2013/2014. Option : MIP. Module : M311. Premier partiel 2103. Durée : 1H 30.

Exercices d'examen

Exercice 1 : Équation aux dérivées partielles

Soit f une fonction de deux variables de classe C¹ sur (R*)² vérifiant l'équation aux dérivées partielles :

(E) : (1/x) ⋅ ∂f/∂x(x, y) + (1/y³) ⋅ ∂f/∂y(x, y) = (f(x, y))² / (x² + y⁴).

Soit f(x, y) = h(x² + y⁴) où h est une fonction d'une seule variable de classe C¹ vérifiant h(1) = -4.

Calculer les dérivées partielles premières de f en fonction de celles de h.
Donner une équation aux dérivées partielles (E0) vérifiée par h.
Résoudre (E0) puis déterminer la fonction f solution de (E).

Exercice 2 : Continuité et différentiabilité

Soit f la fonction de deux variables définie par :

f(x, y) = xy²sin(x/y), si y ≠ 1

f(x, 1) = 0

Donner D_f le domaine de définition de f et montrer que f est continue sur D_f.
Calculer les dérivées partielles premières par rapport à x et y en tout point (x, y) de R² pour y ≠ 1.
Calculer les dérivées partielles premières par rapport à x et y en tout point (a, 1) pour a ∈ R.
Étudier la différentiabilité de f en (0, 0).

Exercice 3 : Dérivées partielles de fonctions composées

Soit la fonction f : R² → R, (x, y) → f(x, y) et soit g : R² → R définie par : g(x, y) = sin(x + f(y², x)). Calculer les dérivées partielles premières de g au moyen de celles de f.

Université Hassan II-Mohammedia, Faculté des Sciences et Techniques, Département de Mathématiques. Année Universitaire : 2013/2014. Option : MIP. Module : M311. Corrigé du premier partiel 2103. Durée : 1H 30.

Corrigé des exercices

Corrigé de l'Exercice 1

Note : Le problème résolu ci-dessous correspond à une équation aux dérivées partielles légèrement différente de celle énoncée dans l'exercice original. Voici la solution pour l'équation (E) : (1/x) ⋅ ∂f/∂x(x, y) + (1/y) ⋅ ∂f/∂y(x, y) = f(x, y) / (x² + y²)², avec f(x, y) = h(x² + y²).

Soit f(x, y) = h(x² + y²) = h(t) où h est une fonction d'une seule variable de classe C¹. Si on pose u(x, y) = x² + y², alors f = h ∘ u.

Pour tout (x, y) ∈ (R*)², on a :
∂f/∂x(x, y) = ∂(h ∘ u)/∂x (x, y) = (∂u/∂x(x, y)) ⋅ h'(x² + y²) = 2xh'(t)

∂f/∂y(x, y) = ∂(h ∘ u)/∂y (x, y) = (∂u/∂y(x, y)) ⋅ h'(x² + y²) = 2yh'(t)
En remplaçant les dérivées partielles par leurs valeurs dans l'équation (E), on obtient l'équation différentielle vérifiée par h :
(E0) : 4h'(t) = h(t) / t².
Solution générale de l'équation différentielle (E0).
h(t) ≡ 0 est une solution triviale de (E0).

Pour h(t) ≠ 0, l'équation 4h'(t) = h(t) / t² peut se réécrire :

h'(t) / h(t) = 1 / (4t²)

En intégrant, on obtient : ∫ (h'(t) / h(t)) dt = ∫ (1 / (4t²)) dt

ln(|h(t)|) = -1/(4t) + C, où C est une constante réelle.

D'où la solution générale de l'équation (E0) est : h(t) = K ⋅ e^-1/(4t), K ∈ R.

Par suite, la solution générale de l'équation (E) est : f(x, y) = K ⋅ e^{-1/(4(x² + y²))}, K ∈ R.

Corrigé de l'Exercice 2 (non fourni)

Le corrigé de l'Exercice 2 n'est pas disponible dans le document source.

Exercice 4 : Développement limité et fonction implicite (Problème avec corrigé intégré)

Énoncé du problème

Soit f la fonction définie sur R² par : f(x, y) = x ⋅ ln(1 + y²) - y ⋅ e^x.

Développement limité à l'ordre 2 de f en (1, 0).
Soit l'équation x ⋅ ln(1 + y²) - y ⋅ e^x = 0.
1. Existence de la fonction implicite y = φ(x) en fonction de x au voisinage de (1, 0).
2. Calcul de φ'(x) au voisinage de 1.

1. Développement limité à l'ordre 2 de f en (1, 0)

Le développement limité à l'ordre 2 en (1, 0) de (x, y) → ln(1 + y²) est : ln(1 + y²) = y² + o(x² + y²).

Et le développement limité à l'ordre 2 en (1, 0) de (x, y) → e^x est : e^x = e ⋅ e^x-1 = e ⋅ (1 + (x - 1) + (1/2)(x - 1)² + o(x² + y²)).

Puisque x ⋅ ln(1 + y²) = (x - 1)ln(1 + y²) + ln(1 + y²), et en effectuant le produit et en ne conservant que les termes de degré inférieur ou égal à 2 en (x-1) et y, on obtiendra les développements limités à l'ordre 2 en (1, 0) de (x, y) → x ⋅ ln(1 + y²) et (x, y) → y ⋅ e^x.

Le DL de x ⋅ ln(1 + y²) est : y² + (x-1)y² + o(x² + y²) = y² + o(x² + y²).

Et le DL de y ⋅ e^x est : e ⋅ y ⋅ (1 + (x - 1)) + o(x² + y²) = ey + ey(x - 1) + o(x² + y²).

Donc le développement limité à l'ordre 2 de f en (1, 0) est : f(x, y) = (y² + o(x² + y²)) - (ey + ey(x - 1) + o(x² + y²)) = y² - ey - ey(x - 1) + o(x² + y²).

2. Théorème des fonctions implicites et calcul de φ'(x)

Existence de la fonction implicite y = φ(x) en fonction de x au voisinage de (1, 0).
On a ∂f/∂y(x, y) = x ⋅ (2y / (1 + y²)) - e^x. Donc ∂f/∂y(1, 0) = 1 ⋅ (0 / (1 + 0)) - e¹ = -e ≠ 0.

D'après le théorème des fonctions implicites, il existe un voisinage V₁ de 1, un voisinage V₀ de 0, et une fonction φ : V₁ → V₀ telle que y = φ(x) vérifie :
- φ(1) = 0,
- ∀x ∈ V₁ : f(x, φ(x)) = 0.
Calcul de φ'(x) au voisinage de 1.
On sait que φ'(x) = - (∂f/∂x(x, φ(x))) / (∂f/∂y(x, φ(x))).

On a ∂f/∂x(x, y) = ln(1 + y²) - y ⋅ e^x.

Et ∂f/∂y(x, y) = x ⋅ (2y / (1 + y²)) - e^x.

Donc, pour tout x ∈ V₁ :

φ'(x) = - (ln(1 + (φ(x))²) - φ(x)e^x) / (x ⋅ (2φ(x) / (1 + (φ(x))²)) - e^x).

Foire aux questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'une équation aux dérivées partielles (EDP) ?

Une équation aux dérivées partielles est une équation mathématique qui fait intervenir une fonction inconnue de plusieurs variables indépendantes et ses dérivées partielles par rapport à ces variables. Les EDP sont fondamentales en physique et en ingénierie pour décrire des phénomènes continus comme la chaleur, le son, l'électromagnétisme ou la mécanique des fluides.

À quoi sert le théorème des fonctions implicites ?

Le théorème des fonctions implicites permet de déterminer si une équation de la forme F(x, y) = 0 peut définir localement une variable y comme fonction de x (y = φ(x)), ou x comme fonction de y (x = ψ(y)), même s'il est impossible d'exprimer cette fonction explicitement. Il est crucial pour analyser la géométrie des courbes et surfaces définies par des équations, et pour calculer leurs dérivées.

Pourquoi les développements limités sont-ils importants en analyse ?

Les développements limités (DL) permettent d'approximer une fonction complexe par un polynôme simple autour d'un point donné. Ils sont essentiels pour étudier le comportement local des fonctions, calculer des limites, déterminer la nature des points critiques, ou encore pour la résolution numérique d'équations, en particulier dans les calculs de physique et d'ingénierie où une approximation fiable est nécessaire.