Exercices analyse 1 m111 serie 5 developpements limites -Ana
Télécharger PDFUniversit´e Hassan II de Casablanca Parcours MIP Facult´e des Sciences et Techniques Mohammedia Module M111: Analyse1 D´epartement de Math´ematiques Ann´ee 2020 - 2021 S´erie5: D´eveloppements limit´es
Exercice 1. Calculer le DLn(0) de la fonction f les cas ci-dessous: ex−1, n = 3 2) f(x) = ln(ln(1+x) 1) f(x) = x x), n = 2 3) f(x) = e√2+cosx, n = 2 4) f(x) = (1 − x − x2)32 , n = 3 5) f(x) = cos(x)−1 ln(1+x)sh(x), n = 3 6) f(x) = (cos(x)) 1x2 , n = 2.
Exercice 2. A l’aide des DL de f0, calculer les DL des fonctions suivantes: 1. f(x) = argsh(√2 + x), x0 = 0, n = 2 2. f(x) = arctan(2(1−x) 1+4x), x0 = 0, n = 6.
Exercice 3. Calculer le DLn(x0) de la fonction f, puis d´eterminer l’´equation de la tangente `a la courbe de f en ce point, en pr´ecisant leurs positions relatives, dans les cas suivants: 1) f(x) =√x−1 ln(x), x0 = 1, n = 2 2) f(x) = ln(sin(x)), x0 =π2, n = 3. (x−e)2 , x0 = e, n = 1 4) f(x) = p42 − ln(x), x0 = 1, n = 2. 3) f(x) = xe−ex
Exercice 4. D´eterminer le d´eveloppement asymptotique de la fonction f `a l’ordre n, au voisinage de +∞, puis donner l’´equation de l’asymptote `a la courbe de f, en pr´ecisant leurs positions relatives, dans les cas suivants: 1. f(x) = sin(1x) 1+x, n = 6, q 2. f(x) = x3+1 x+1 , n = 1, 3. f(x) = e1x arctanx, n = 3.
Exercice 5. Calculer la limite en x0 de la fonction f dans les cas suivants: 1) f(x) = x−arcsinx sin3(x), x0 = 0 2) f(x) = ( 1−x 1+x)1x , x0 = 0 3) f(x) = x − x2ln(1 + 1x), x0 = +∞ 4) f(x) =√sinx−√x sin(√x)−√x, x0 = 0
Exercice 6. Calculer le DLn(x0) de la fonction f, ensuite pr´eciser si elle est prolongeable par continuit´e en x0 et ´etudier la d´erivabilit´e de ce prolongement en ce point, dans les cas suivants: ln(x), x0 = 1, n = 1 2) f(x) = ex√x+1−cos2(x) 1) f(x) =π4 −arctan(x) x, x0 = 0, n = 2.
Exercice 7. Etudier `a l’infini: asymptote `a la courbe repr´esentative de f, position par rapport `a l’asymptote, les fonctions suivantes: x+1+√1+x2b) f(x) = e1x√x2 − 1 c) f(x) = (x2 − 1)ln|1+x a) f(x) =√1+x2 1−x|