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Série d'Exercices Corrigés en Analyse

Exercice 1 : Nombres rationnels et irrationnels

1. Démontrer que si r ∈ ℚ et x ∉ ℚ, alors r + x ∉ ℚ et si r ≠ 0, alors r⋅x ∉ ℚ.

2. Montrer que √2 ∉ ℚ.

3. En déduire qu'entre deux nombres rationnels distincts, il y a toujours un nombre irrationnel.

4. Soient a et b deux rationnels positifs tels que √a et √b soient irrationnels. Montrer que √a + √b est irrationnel.

Exercice 2 : Développements décimaux périodiques

Trouver sous la forme p/q les nombres rationnels x dont les développements décimaux périodiques sont donnés par : 3,1414... ; 0,999... ; 3,1499...

Exercice 3 : Maximum et Minimum

Le maximum de deux nombres x, y (c'est-à-dire le plus grand des deux) est noté max(x, y). De même, on notera min(x, y) le plus petit des deux nombres x, y. Démontrer que :

max(x, y) = (x + y + |x − y|) / 2
min(x, y) = (x + y − |x − y|) / 2

Trouver une formule pour max(x, y, z).

Exercice 4 : Bornes supérieures et inférieures d'un ensemble

Déterminer la borne supérieure et la borne inférieure (si elles existent) de :

A = {u_n | n ∈ ℕ} avec u_n = 2ⁿ si n est pair et u_n = 2^-n sinon.

Exercice 5 : Majorants, Minorants, Bornes et Éléments extrémaux

Déterminer (s'ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément et le plus petit élément des ensembles suivants :

[0, 1] ∩ ℚ
]0, 1[ ∩ ℚ
ℕ
{ (-1)ⁿ + 1/n² | n ∈ ℕ* }

Exercice 6 : Inégalité des moyennes

Si a et b sont des réels positifs ou nuls, montrer que : √a + √b ≤ √(2(a + b)).

Exercice 7 : Fonctions additives (Équation fonctionnelle de Cauchy)

Soit f : ℝ → ℝ une fonction telle que ∀(x, y) ∈ ℝ², f(x + y) = f(x) + f(y). Montrer que :

∀n ∈ ℕ, f(n) = n ⋅ f(1).
∀n ∈ ℤ, f(n) = n ⋅ f(1).
∀q ∈ ℚ, f(q) = q ⋅ f(1).
∀x ∈ ℝ, f(x) = x ⋅ f(1) si f est croissante.

Corrections détaillées

Correction de l'Exercice 1

1. Soit r = p/q ∈ ℚ et x ∉ ℚ. Supposons par l'absurde que r + x ∈ ℚ. Alors, il existe deux entiers p₀, q₀ tels que r + x = p₀/q₀. Donc x = p₀/q₀ - p/q = (p₀q - pq₀) / (qq₀) ∈ ℚ, ce qui est absurde car x ∉ ℚ.

De la même façon, si r⋅x ∈ ℚ (avec r ≠ 0), alors r⋅x = p₀/q₀. Donc x = (p₀/q₀) ⋅ (q/p) = (p₀q) / (q₀p) ∈ ℚ, ce qui est absurde.

2. Méthode classique : Supposons, par l'absurde, que √2 ∈ ℚ. Alors, il existe deux entiers p, q tels que √2 = p/q. De plus, nous pouvons supposer que la fraction est irréductible (p et q sont premiers entre eux). En élevant l'égalité au carré, nous obtenons q² × 2 = p². Donc p² est un nombre pair, ce qui implique que p est un nombre pair (si vous n'êtes pas convaincu, écrivez la contraposée "p impair ⇒ p² impair"). Donc p = 2p₀ avec p₀ ∈ ℕ, d'où p² = 4p₀². Nous obtenons q² = 2p₀². Nous en déduisons maintenant que q² est pair et, comme ci-dessus, que q est pair. Nous obtenons ainsi une contradiction, car p et q étant tous les deux pairs, la fraction p/q n'est pas irréductible et aurait pu être simplifiée. Donc √2 ∉ ℚ.

Autre méthode (descente infinie) : Supposons par l'absurde que √2 ∈ ℚ. Alors √2 = p/q pour deux entiers p, q ∈ ℕ*. Alors nous avons q√2 ∈ ℕ. Considérons l'ensemble suivant : N = {n ∈ ℕ* | n√2 ∈ ℕ}. Cet ensemble N est une partie de ℕ* qui est non vide car q ∈ N. On peut alors prendre le plus petit élément de N : n₀ = min N. En particulier, n₀√2 ∈ ℕ. Définissons maintenant n₁ de la façon suivante : n₁ = n₀√2 − n₀. Il se trouve que n₁ appartient aussi à N car d'une part n₁ ∈ ℕ (car n₀ et n₀√2 sont des entiers) et d'autre part n₁√2 = n₀(√2 − 1)√2 = n₀(2 − √2) ∈ ℕ. Montrons maintenant que n₁ est plus petit que n₀. Comme 0 < √2 − 1 < 1, alors n₁ = n₀(√2 − 1) < n₀ et est non nul. Bilan : nous avons trouvé n₁ ∈ N strictement plus petit que n₀ = min N. Ceci fournit une contradiction. Conclusion : √2 n'est pas un nombre rationnel.

3. Soient r, r₀ deux rationnels avec r < r₀. Notons x = r + (√2 / 2) ⋅ (r₀ − r). D'une part, x ∈ ]r, r₀[ (car 0 < √2 / 2 < 1) et d'après les deux premières questions, (√2 / 2) ⋅ (r₀ − r) ∉ ℚ, donc x ∉ ℚ. Ainsi, x est un nombre irrationnel compris entre r et r₀.

4. Supposons par l'absurde que √a + √b est rationnel. Soit r = √a + √b, où r ∈ ℚ.

Nous savons que a et b sont des rationnels positifs. Nous avons l'identité remarquable :
(√a - √b)(√a + √b) = a - b

Puisque a et b sont rationnels, a - b est un nombre rationnel. De plus, nous avons supposé que √a + √b = r est rationnel et r ≠ 0 (car a, b sont positifs).
Donc, √a - √b = (a - b) / r. C'est également un nombre rationnel. Soit s = (a - b) / r, où s ∈ ℚ.

Nous avons donc un système de deux équations :

√a + √b = r
√a - √b = s

En additionnant les deux équations, on obtient : 2√a = r + s. Puisque r et s sont rationnels, r + s est rationnel. Par conséquent, √a = (r + s) / 2 est rationnel.

En soustrayant la deuxième équation de la première, on obtient : 2√b = r - s. Puisque r et s sont rationnels, r - s est rationnel. Par conséquent, √b = (r - s) / 2 est rationnel.

Ceci contredit directement l'hypothèse de l'énoncé selon laquelle √a et √b sont irrationnels. Par conséquent, notre supposition initiale est fausse, et √a + √b est bien irrationnel.

Correction de l'Exercice 2

Pour trouver la forme p/q des nombres rationnels, nous utilisons la méthode de multiplication par une puissance de 10 puis la soustraction pour éliminer la partie périodique.

Pour 3,1414... :
Soit x = 3,1414...
100x = 314,1414...
100x - x = 314,1414... - 3,1414...
99x = 311
x = 311/99
Pour 0,999... :
Soit x = 0,999...
10x = 9,999...
10x - x = 9,999... - 0,999...
9x = 9
x = 9/9 = 1
Pour 3,1499... :
Soit x = 3,1499...
100x = 314,999... (pour aligner la partie périodique)
1000x = 3149,999... (pour décaler d'une période)
1000x - 100x = 3149,999... - 314,999...
900x = 2835
x = 2835/900. Cette fraction peut être simplifiée : 2835 ÷ 45 / 900 ÷ 45 = 63/20.

Correction de l'Exercice 3

Explicitons la formule pour max(x, y) et min(x, y) :

Pour max(x, y) = (x + y + |x − y|) / 2 :

Si x ≥ y, alors |x − y| = x − y. Donc (x + y + |x − y|) / 2 = (x + y + x − y) / 2 = 2x / 2 = x.
Si x < y, alors |x − y| = -(x − y) = y − x. Donc (x + y + |x − y|) / 2 = (x + y + y − x) / 2 = 2y / 2 = y.

Dans les deux cas, la formule donne bien le maximum entre x et y.

Pour min(x, y) = (x + y − |x − y|) / 2 :

Si x ≥ y, alors |x − y| = x − y. Donc (x + y − |x − y|) / 2 = (x + y − (x − y)) / 2 = (x + y − x + y) / 2 = 2y / 2 = y.
Si x < y, alors |x − y| = -(x − y) = y − x. Donc (x + y − |x − y|) / 2 = (x + y − (y − x)) / 2 = (x + y − y + x) / 2 = 2x / 2 = x.

Dans les deux cas, la formule donne bien le minimum entre x et y.

Formule pour max(x, y, z) :

Nous pouvons utiliser la propriété max(x, y, z) = max(max(x, y), z). En appliquant la formule du maximum pour deux éléments :

max(x, y, z) = (max(x, y) + z + |max(x, y) − z|) / 2

En substituant max(x, y) par sa formule :

max(x, y, z) = ( (x + y + |x − y|) / 2 + z + | (x + y + |x − y|) / 2 − z | ) / 2

Correction de l'Exercice 4

L'ensemble A est défini par A = {u_n | n ∈ ℕ} avec u_n = 2ⁿ si n est pair et u_n = 2^-n sinon (c'est-à-dire si n est impair).

Considérons les termes pour n pair : u_2k = 2^2k = 4^k. Cette suite (u_2k)_k∈ℕ tend vers +∞ quand k → +∞ (ex: u₀=1, u₂=4, u₄=16...). Donc l'ensemble A n'est pas majoré et ne possède pas de borne supérieure. On écrit alors sup A = +∞.

Considérons les termes pour n impair : u_2k+1 = 2^-(2k+1) = 1 / 2^(2k+1). Cette suite (u_2k+1)_k∈ℕ tend vers 0 quand k → +∞ (ex: u₁=1/2, u₃=1/8, u₅=1/32...).

Toutes les valeurs de (u_n) sont positives (puisque 2ⁿ > 0 et 2^-n > 0). La plus petite valeur que peut prendre u_n s'approche de 0. En effet, la suite des termes impairs s'approche de 0. Par conséquent, l'ensemble A est minoré par 0.

Le plus grand minorant est la borne inférieure. Puisque 0 est un minorant et que des éléments de A peuvent être arbitrairement proches de 0 (comme 1/2, 1/8...), la borne inférieure de A est inf A = 0. Le 0 n'est pas atteint par u_n pour n ∈ ℕ.

Correction de l'Exercice 5

Pour chaque ensemble, nous allons déterminer les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément et le plus petit élément.

[0, 1] ∩ ℚ (Intervalle fermé de rationnels)
- Les majorants : [1, +∞[
- Les minorants : ]−∞, 0]
- La borne supérieure : 1
- La borne inférieure : 0
- Le plus grand élément : 1 (car 1 ∈ [0,1]∩ℚ)
- Le plus petit élément : 0 (car 0 ∈ [0,1]∩ℚ)
]0, 1[ ∩ ℚ (Intervalle ouvert de rationnels)
- Les majorants : [1, +∞[
- Les minorants : ]−∞, 0]
- La borne supérieure : 1
- La borne inférieure : 0
- Il n'existe pas de plus grand élément (car 1 ∉ ]0,1[∩ℚ et on peut toujours trouver un rationnel plus grand que tout autre rationnel dans l'intervalle, mais toujours inférieur à 1).
- Il n'existe pas de plus petit élément (car 0 ∉ ]0,1[∩ℚ et on peut toujours trouver un rationnel plus petit que tout autre rationnel dans l'intervalle, mais toujours supérieur à 0).
ℕ (Ensemble des nombres naturels {0, 1, 2, ...})
- Pas de majorants, donc pas de borne supérieure, ni de plus grand élément (car ℕ est non borné supérieurement).
- Les minorants : ]−∞, 0]
- La borne inférieure : 0
- Le plus petit élément : 0 (car 0 ∈ ℕ)
A = { (-1)ⁿ + 1/n² | n ∈ ℕ* }
Listons les premiers termes pour comprendre l'ensemble :
- n=1 : (-1)¹ + 1/1² = -1 + 1 = 0
- n=2 : (-1)² + 1/2² = 1 + 1/4 = 5/4
- n=3 : (-1)³ + 1/3² = -1 + 1/9 = -8/9
- n=4 : (-1)⁴ + 1/4² = 1 + 1/16 = 17/16
- n=5 : (-1)⁵ + 1/5² = -1 + 1/25 = -24/25
Les termes d'indice pair (1 + 1/n²) tendent vers 1 en décroissant. Le maximum est 5/4 (pour n=2).
Les termes d'indice impair (-1 + 1/n²) tendent vers -1 en croissant. Le minimum n'est pas atteint, -1 est la limite.
- Les majorants : [5/4, +∞[
- Les minorants : ]−∞, -1]
- La borne supérieure : 5/4
- La borne inférieure : -1
- Le plus grand élément : 5/4 (atteint pour n=2)
- Pas de plus petit élément (car la valeur -1 n'est jamais atteinte par un terme de la suite, et les termes s'en rapprochent de manière asymptotique, mais sans l'égaler).

Correction de l'Exercice 6

Nous voulons montrer que pour a, b des réels positifs ou nuls : √a + √b ≤ √(2(a + b)).

Puisque les deux membres de l'inégalité sont positifs (somme de racines carrées), nous pouvons élever l'inégalité au carré sans changer son sens, car la fonction x ↦ x² est croissante sur ℝ⁺.

L'inégalité est équivalente à : (√a + √b)² ≤ (√(2(a + b)))²

(√a + √b)² ≤ 2(a + b)

Développons le membre de gauche et comparons-le au membre de droite :

a + b + 2√ab ≤ 2a + 2b

Cela équivaut à montrer que : 2√ab ≤ a + b.

Cette inégalité est une version de l'inégalité arithmético-géométrique (AM-GM), qui est vraie pour a, b ≥ 0. Pour le prouver, on peut écrire :

0 ≤ (√a - √b)²

0 ≤ a - 2√ab + b

2√ab ≤ a + b

En remontant les équivalences, l'inégalité originale est donc prouvée.

Correction de l'Exercice 7

Soit f : ℝ → ℝ une fonction additive telle que ∀(x, y) ∈ ℝ², f(x + y) = f(x) + f(y).

1. Pour n ∈ ℕ :

Calculons d'abord f(0). Nous savons que f(1) = f(1 + 0) = f(1) + f(0), donc f(0) = 0.

Montrons le résultat par récurrence sur n :

Cas de base (n=0 ou n=1) :
Pour n = 0 : f(0) = 0, et 0 ⋅ f(1) = 0. Donc f(0) = 0 ⋅ f(1).
Pour n = 1 : nous avons bien f(1) = 1 ⋅ f(1).
Étape d'hérédité :
Supposons que f(n) = n⋅f(1) pour un certain n ∈ ℕ.
Alors f(n + 1) = f(n) + f(1) (par la propriété d'additivité)
f(n + 1) = n⋅f(1) + f(1) (par hypothèse de récurrence)
f(n + 1) = (n + 1)⋅f(1).

Par le principe de récurrence, f(n) = n⋅f(1) pour tout n ∈ ℕ.

2. Pour n ∈ ℤ :

Nous savons que f(0) = 0. Aussi, f(0) = f(-1 + 1) = f(-1) + f(1). Donc f(-1) = -f(1).

Pour tout entier négatif n, soit n = -m avec m ∈ ℕ*. Alors f(n) = f(-m) = f(-1 + ... + -1) (m fois).
Par additivité, f(-m) = m⋅f(-1) = m⋅(-f(1)) = -m⋅f(1) = n⋅f(1).

Donc, f(n) = n⋅f(1) pour tout n ∈ ℤ.

3. Pour q ∈ ℚ :

Soit q = a/b, où a ∈ ℤ et b ∈ ℕ*.

Nous avons f(a) = f(b ⋅ (a/b)) = f(a/b + a/b + ... + a/b) (b termes dans cette somme).
Par additivité, f(a) = b ⋅ f(a/b).

D'après le point précédent, f(a) = a⋅f(1).
Donc, a⋅f(1) = b⋅f(a/b).

Ceci s'écrit aussi f(a/b) = (a/b)⋅f(1), soit f(q) = q⋅f(1).

Donc, f(q) = q⋅f(1) pour tout q ∈ ℚ.

4. Pour x ∈ ℝ si f est croissante :

Fixons x ∈ ℝ. Puisque ℚ est dense dans ℝ, nous pouvons construire :

une suite croissante de rationnels (α_i) qui tend vers x (α_i → x et α_i ≤ x)
une suite décroissante de rationnels (β_i) qui tend vers x (β_i → x et β_i ≥ x)

Ainsi, nous avons α_i ≤ x ≤ β_i pour tout i.

Comme f est croissante, cela implique : f(α_i) ≤ f(x) ≤ f(β_i).

D'après la question précédente (point 3), nous savons que f(q) = q⋅f(1) pour tout rationnel q. Appliquons cela :

α_i⋅f(1) ≤ f(x) ≤ β_i⋅f(1).

En passant à la limite quand i → +∞ :

lim_i→+∞ (α_i⋅f(1)) = x⋅f(1)

lim_i→+∞ (β_i⋅f(1)) = x⋅f(1)

Par le théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement), nous obtenons :

x⋅f(1) ≤ f(x) ≤ x⋅f(1)

Soit f(x) = x⋅f(1) pour tout x ∈ ℝ (si f est croissante).

FAQ : Questions Fréquentes en Analyse

Qu'est-ce qu'un nombre rationnel et irrationnel ?

Un nombre rationnel est un nombre qui peut être exprimé comme une fraction p/q, où p est un entier et q est un entier non nul. Son développement décimal est soit fini, soit périodique. Les entiers, les décimaux finis et les fractions en sont des exemples.

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas être exprimé comme une fraction p/q. Son développement décimal est infini et non périodique. Des exemples célèbres incluent √2, π (Pi) et e (nombre d'Euler).

Comment convertir un développement décimal périodique en fraction ?

Pour convertir un développement décimal périodique en fraction (p/q), on utilise généralement la méthode suivante :

Égalez le nombre à une variable (ex: x = 0,1212...).
Multipliez l'équation par une puissance de 10 (ex: 100x = 12,1212...) telle que la partie périodique se retrouve après la virgule.
Si la partie non périodique est avant la partie périodique, multipliez aussi par une puissance de 10 pour aligner la virgule juste avant la partie périodique.
Soustraire l'équation originale (ou celle alignée) de la nouvelle équation pour éliminer la partie périodique.
Résolvez l'équation résultante pour x et simplifiez la fraction obtenue.

Quelle est la différence entre majorant, borne supérieure et plus grand élément ?

Un majorant d'un ensemble E est un nombre M tel que tous les éléments de E sont inférieurs ou égaux à M. Un ensemble peut avoir une infinité de majorants (s'il en a au moins un).
La borne supérieure (ou supremum) d'un ensemble E, notée sup(E), est le plus petit de ses majorants. Elle n'appartient pas nécessairement à l'ensemble E.
Le plus grand élément (ou maximum) d'un ensemble E est un majorant qui appartient lui-même à E. Si un ensemble possède un plus grand élément, alors celui-ci est unique et est également sa borne supérieure. Un ensemble n'a pas toujours de plus grand élément, même s'il a une borne supérieure (par exemple, l'intervalle ]0, 1[).