Td rdm s4 caractéristiques géométriques sections droites pdf

Td rdm s4 caractéristiques géométriques sections droites rés

Télécharger PDF

Module RDM – Caractéristiques géométriques des sections droites

Ce module est dédié à l'étude des caractéristiques géométriques des sections droites, essentielles pour la Résistance des Matériaux (RDM). La détermination du centre de gravité, des moments d'inertie et des axes principaux d'inertie est fondamentale pour l'analyse des contraintes, des déformations et du comportement des structures.

Exercice 1 : Détermination des caractéristiques géométriques

Pour des sections droites données (images non fournies, mais typiquement des formes composées comme des 'T', 'L', 'I' ou des cercles et rectangles évidés), l'objectif est de déterminer plusieurs caractéristiques géométriques clés :

La position de leur centre de gravité G par rapport à un repère OXY donné. Le centre de gravité est le point où toute la masse d'une section est considérée comme concentrée, et sa détermination est la première étape cruciale.
Les moments d'inertie (IX, IY) et le produit d'inertie (IXY) par rapport aux axes centraux XG et YG. Ces valeurs quantifient la résistance d'une section à la flexion autour de ces axes.
Le moment d'inertie polaire (Ip), qui mesure la résistance d'une section à la torsion.
Les moments d'inertie et le produit d'inertie par rapport à d'autres axes X' et Y' (non centraux ou orientés différemment).
Les moments d'inertie principaux (I1, I2) par rapport aux axes centraux principaux d'inertie. Ces axes représentent les directions pour lesquelles les moments d'inertie sont maximaux et minimaux, et pour lesquelles le produit d'inertie est nul.

Explication :

Pour des sections composées, la méthode consiste généralement à :

Décomposer la section en formes élémentaires (rectangles, triangles, cercles).
Calculer l'aire (S) et la position du centre de gravité (xi, yi) de chaque forme élémentaire.
Calculer le centre de gravité global (XG, YG) de la section en utilisant la formule :
- XG = Σ(xi * Si) / ΣSi
- YG = Σ(yi * Si) / ΣSi
Calculer les moments d'inertie de chaque forme élémentaire par rapport à ses propres axes centraux (Ixi, Iyi, Ixiyi). Pour un rectangle de base b et hauteur h, par exemple : Ix = (b * h^3) / 12 et Iy = (h * b^3) / 12, Ixy = 0.
Utiliser le théorème de Huygens-Steiner (ou théorème des axes parallèles) pour transférer les moments d'inertie de chaque forme élémentaire vers les axes centraux globaux XG et YG. Par exemple, pour IXG : IXG = Σ(Ixi + Si * dyi^2), où dyi est la distance verticale entre le centre de gravité de la forme élémentaire et l'axe XG. Des formules similaires s'appliquent pour IYG et IXGYG.
Déterminer les moments d'inertie principaux (I1, I2) et l'orientation des axes principaux à l'aide des formules de transformation des moments d'inertie ou du cercle de Mohr.

Exercice 2 : Application des concepts d'inertie

Soit la section droite ci-représentée (image non fournie, mais la solution suggère une section composée de deux rectangles). L'objectif est de déterminer les caractéristiques géométriques principales.

Données et Calculs Préliminaires

La section est composée de deux sous-sections (1 et 2). Les dimensions et les coordonnées des centres de gravité locaux (G1, G2) sont les suivantes, en considérant un repère d'origine implicite (0,0) :

Pour la section 1 :
- Dimensions : 20 x 60 mm
- Aire S1 = 20 x 60 = 1200 mm²
- Centre de gravité G1 : XG1 = 10 mm, YG1 = 30 mm
Pour la section 2 :
- Dimensions : 20 x 20 mm
- Aire S2 = 20 x 20 = 400 mm²
- Centre de gravité G2 : XG2 = 30 mm, YG2 = 10 mm

1. Détermination du centre de gravité (G) de la section droite

Le centre de gravité global (XG, YG) est calculé par la méthode des aires composées :

XG = (XG1 * S1 + XG2 * S2) / (S1 + S2) = (10 * 1200 + 30 * 400) / (1200 + 400) = (12000 + 12000) / 1600 = 24000 / 1600 = 15 mm
YG = (YG1 * S1 + YG2 * S2) / (S1 + S2) = (30 * 1200 + 10 * 400) / (1200 + 400) = (36000 + 4000) / 1600 = 40000 / 1600 = 25 mm

Le centre de gravité de la section est G(15 ; 25) mm.

2. Calcul des moments d'inertie par rapport aux axes centraux XG et YG

Les axes XG et YG sont centraux (passent par G), mais ne sont pas nécessairement principaux (car ils ne sont pas des axes de symétrie de la forme composée). Nous devons d'abord calculer les moments d'inertie de chaque sous-section par rapport à ses propres axes centraux, puis les transférer aux axes XG et YG via le théorème de Huygens-Steiner.

Moments d'inertie des sections élémentaires par rapport à leurs propres axes centraux :

Pour la section 1 (20 x 60 mm) :
- IXG1(1) = (20 * 60³) / 12 = 360000 mm⁴ = 36 × 10⁴ mm⁴
- IYG1(1) = (60 * 20³) / 12 = 40000 mm⁴ = 4 × 10⁴ mm⁴
- IXG1YG1(1) = 0 (axe de symétrie)
Pour la section 2 (20 x 20 mm) :
- IXG2(2) = (20 * 20³) / 12 = 13333,33 mm⁴ ≈ 1,33 × 10⁴ mm⁴
- IYG2(2) = (20 * 20³) / 12 = 13333,33 mm⁴ ≈ 1,33 × 10⁴ mm⁴
- IXG2YG2(2) = 0 (axes de symétrie)

Distances entre les axes centraux locaux et les axes centraux globaux (XG, YG) :

Entre XG et XG1 : a = YG1 - YG = 30 - 25 = 5 mm
Entre XG et XG2 : b = YG - YG2 = 25 - 10 = 15 mm
Entre YG et YG1 : c = XG - XG1 = 15 - 10 = 5 mm
Entre YG et YG2 : d = XG2 - XG = 30 - 15 = 15 mm

Application du théorème de Huygens-Steiner (transfert vers G) :

Pour la section 1 :
- IXG(1) = IXG1(1) + S1 * a² = 360000 + 1200 * 5² = 360000 + 30000 = 390000 mm⁴
- IYG(1) = IYG1(1) + S1 * c² = 40000 + 1200 * 5² = 40000 + 30000 = 70000 mm⁴
- IXGYG(1) = IXG1YG1(1) + S1 * a * c = 0 + 1200 * 5 * 5 = 30000 mm⁴
Pour la section 2 :
- IXG(2) = IXG2(2) + S2 * b² = 13333,33 + 400 * 15² = 13333,33 + 90000 = 103333,33 mm⁴
- IYG(2) = IYG2(2) + S2 * d² = 13333,33 + 400 * 15² = 13333,33 + 90000 = 103333,33 mm⁴
- IXGYG(2) = IXG2YG2(2) + S2 * b * d = 0 + 400 * 15 * 15 = 90000 mm⁴

Moments d'inertie totaux par rapport aux axes centraux XG et YG :

IXG(total) = IXG(1) + IXG(2) = 390000 + 103333,33 = 493333,33 mm⁴ ≈ 49,33 × 10⁴ mm⁴
IYG(total) = IYG(1) + IYG(2) = 70000 + 103333,33 = 173333,33 mm⁴ ≈ 17,33 × 10⁴ mm⁴
IXGYG(total) = IXGYG(1) + IXGYG(2) = 30000 + 90000 = 120000 mm⁴ = 12 × 10⁴ mm⁴

3. Détermination des moments d'inertie principaux et des directions principales d'inertie

Les moments d'inertie principaux (I1, I2) et l'angle (θ) d'orientation des axes principaux par rapport aux axes XG et YG peuvent être trouvés via le cercle de Mohr ou les formules de transformation :

Le centre du cercle de Mohr est C = ((IXG + IYG) / 2) = (49,33 + 17,33) / 2 × 10⁴ = 33,33 × 10⁴ mm⁴
Le rayon du cercle de Mohr est R = √[((IXG - IYG) / 2)² + IXGYG²] = √[((49,33 - 17,33) / 2)² + 12²] × 10⁴ = √[ (32 / 2)² + 144 ] × 10⁴ = √[16² + 144] × 10⁴ = √[256 + 144] × 10⁴ = √400 × 10⁴ = 20 × 10⁴ mm⁴

Les moments d'inertie principaux sont :

I1 = C + R = (33,33 + 20) × 10⁴ = 53,33 × 10⁴ mm⁴
I2 = C - R = (33,33 - 20) × 10⁴ = 13,33 × 10⁴ mm⁴

L'orientation des axes principaux est donnée par l'angle 2θ sur le cercle de Mohr :

tg(2θ) = 2 * IXGYG / (IXG - IYG) = (2 * 12 × 10⁴) / ((49,33 - 17,33) × 10⁴) = 24 / 32 = 0,75
2θ = arctan(0,75) ≈ 36,87°
θ ≈ 18,44°

Cette rotation se fait dans le sens horaire si l'on considère la convention standard de Mohr pour les moments d'inertie (IXGYG positif est représenté vers le bas sur l'axe vertical pour la rotation dans le sens anti-horaire, donc un IXGYG positif et un IXG > IYG impliquent que I1 est obtenu par une rotation anti-horaire si on part de l'axe XG; une rotation horaire de 18,44° mène à l'axe I2, le plus faible, si θ est l'angle de l'axe principal I1 par rapport à XG). En pratique, l'axe principal 1 (direction forte) est à +18,44° de XG et l'axe principal 2 (direction faible) est à -71,56° (ou +18,44 + 90 = 108,44°). Le texte indique "Rotation dans le sens horaire" pour atteindre un axe faible, ce qui est cohérent avec la convention.

Conséquences pour la Résistance des Matériaux

Les axes 1 et 2 sont les axes centraux principaux d'inertie. La direction de l'axe pour laquelle le moment d'inertie est minimal est appelée la "direction faible" (ici, I2). La direction de l'axe pour laquelle le moment d'inertie est maximal est appelée la "direction forte" (ici, I1).

Si une poutre est soumise à une compression axiale, son flambage (instabilité) se réalise généralement dans la direction de son axe principal d'inertie le plus faible (l'axe 2, pour lequel I2 est minimal), car c'est là qu'elle offre le moins de résistance à la déformation latérale.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce que le centre de gravité d'une section ?

Le centre de gravité est le point géométrique où l'on peut considérer que toute l'aire de la section est concentrée. Il est essentiel pour situer les axes neutres en flexion et pour calculer les moments d'inertie par rapport à ces axes.

Pourquoi les moments d'inertie principaux sont-ils importants ?

Les moments d'inertie principaux (I1 et I2) représentent les moments d'inertie maximal et minimal que l'on peut trouver pour une section. Les axes associés, appelés axes principaux d'inertie, sont les directions autour desquelles une pièce résiste le mieux ou le moins à la flexion ou au flambage. Il n'y a pas de produit d'inertie par rapport à ces axes.

Comment le cercle de Mohr aide-t-il dans l'analyse d'inertie ?

Le cercle de Mohr est une représentation graphique qui permet de visualiser et de calculer facilement les moments d'inertie pour n'importe quelle orientation d'axes, ainsi que de déterminer les moments d'inertie principaux et l'orientation de leurs axes. Il simplifie la compréhension des transformations d'inertie.