Exercices chapitre 6 théorie générale sections non circulair
Télécharger PDFPrincipes Fondamentaux de la Torsion
La torsion est une sollicitation mécanique où un corps est soumis à l'action d'un couple tendant à le faire tourner autour de son axe longitudinal. Cette section aborde des problèmes classiques de calcul de contraintes, de déformations, de puissances transmises et de dimensionnement d'arbres.
Exercices sur la Théorie Générale de la Torsion
Problème 60.01
Déterminer le diamètre d’un arbre de machine de 149,2 kW tournant à 120 tr/min, sachant que la contrainte admissible en torsion (τ_adm) est de 20 N/mm².
Problème 60.02
Un arbre de diamètre 90 cm tourne à 45 tr/min. Déterminer la puissance transmise si la contrainte tangentielle maximale est de 30 N/mm².
Problème 60.03
Un essai de torsion est réalisé sur des échantillons d’os de fémur (diamètre : 1,9 mm). Le couple de torsion moyen à la rupture est de 10 N·cm. Calculer la contrainte tangentielle à la rupture de l’os.
Problème 60.04
Une barre en fer rond de 2 m de long est soumise à un effort de 5000 N appliqué à l’extrémité d’un levier de 1200 mm. Quel diamètre doit-elle avoir pour une contrainte admissible de 50 N/mm² ? Quel est l'angle de torsion résultant ?
Problème 60.05
Un arbre plein (longueur : 2 m) relie un moteur à un récepteur. La puissance transmise est de 20 kW à 1500 tr/min. L'angle de torsion est limité à 0,2° entre les extrémités de l’arbre, et le module de glissement G = 80 kN/mm² (ou 80 GPa). Déterminer le diamètre minimal de l’arbre.
Problème 60.06
Un arbre cylindrique creux en acier, de diamètre extérieur 25 cm et intérieur 15 cm, tourne à 1000 tr/min. Calculer la puissance développée (en watts), sachant que la contrainte admissible en torsion est de 60 N/mm².
Problème 60.07
Des tubes de forage en 42CrMo4 (diamètre extérieur : 100 mm, diamètre intérieur : 70 mm) sont montés en série sur 800 m. La contrainte admissible de cisaillement en torsion est de 250 N/mm². Déterminer le couple de torsion admissible pour chaque tube et l'angle de torsion total sur 800 m dans le cas du couple maximal.
Problème 60.08
Un arbre d’hélice de bateau (longueur : 15 m) est creux, avec un rapport diamètre intérieur/diamètre extérieur de 0,6. Il transmet 4,5 MW à 350 tr/min. La contrainte admissible de torsion de l’acier est de 80 N/mm² et le module de glissement G = 80000 N/mm² (ou 80 GPa). a) Déterminer les diamètres intérieur et extérieur de cet arbre. b) Calculer l'angle de torsion total sur 15 m à pleine puissance.
Problème 60.09
Le moment de torsion maximal transmis par un arbre est de 500 Nm pour une contrainte de travail de 20 N/mm². Calculer : a) le diamètre de l’arbre plein ; b) les diamètres d’un arbre creux de même résistance dont le poids serait réduit de moitié.
Problème 60.10
Une éprouvette cylindrique en cuivre de 25 mm de diamètre et 1 m de long est soumise à un couple de 210 Nm. L'angle de torsion mesuré est de 4,9°. a) Calculer le module d’élasticité transversal G du cuivre testé. b) Si l'éprouvette mesurait 1,8 m, quel serait l'angle de torsion produit par un couple engendrant une contrainte de cisaillement de 140 N/mm² ?
Problème 60.11
Calculer l'épaisseur d'un arbre tubulaire en acier de diamètre extérieur 80 mm, transmettant 30 kW à 300 tr/min. La contrainte admissible est de 35 N/mm². Quel serait l’angle unitaire de torsion (°/m) dans ces conditions ?
Problème 60.12
Une tige d’agitateur de peinture (longueur : 700 mm) est montée sur une perceuse. La puissance transmise est de 500 watts à 1500 tr/min. La contrainte de cisaillement admissible du matériau est de 50 N/mm² et G = 80000 N/mm² (ou 80 GPa). a) Déterminer le diamètre minimal de la tige. b) Calculer l’angle de torsion total. c) Calculer le diamètre si l'angle unitaire de torsion est limité à 0,1 °/m.
Problème 60.13
Lors d’un essai de torsion, une éprouvette cylindrique en alliage de cuivre (diamètre : 25 mm, longueur : 1 m) est soumise à un couple de 210 Nm. L’angle de torsion mesuré est de 4,9°. a) Calculer le module d’élasticité transversal G de l’alliage testé. b) Déterminer l’angle de torsion d’un même arbre (même matériau et même diamètre) de 1,8 m de long, si la contrainte de cisaillement maximale est de 140 N/mm².
Problème 60.14
Un arbre cylindrique en acier, entre les sections A et B, est soumis à un moment de torsion M_t = 50 Nm. Pour cet acier, G = 81000 MPa (ou 81 GPa) et la contrainte élastique (τ_e) est de 180 N/mm². Un coefficient de sécurité de 3 est appliqué. Si l'angle unitaire de torsion admissible (θ_adm) est de 0,25 °/m, déterminer le diamètre de l'arbre selon ces deux critères (contrainte et rigidité).
Problème 60.15
Un axe de régulateur de turbine (longueur : 6 m) doit transmettre un couple de 1500 Nm avec un mouvement angulaire de 60°. La rotation relative des sections ne doit pas excéder 1 % de 60° (soit 0,6°). G = 80000 N/mm² (ou 80 GPa). a) Déterminer le diamètre de l’axe plein. b) Déterminer le diamètre extérieur d’un arbre creux équivalent de 8 mm d’épaisseur. c) Calculer les contraintes maximales dans les deux cas.
Problème 60.16
Un arbre cylindrique en acier de diamètre 30 mm est soumis à un moment de torsion M_t = 50 Nm. Pour cet acier, G = 80000 MPa (ou 80 GPa). a) Calculer l'angle unitaire de torsion en °/m. b) Calculer la contrainte tangentielle maximale. c) Pour alléger l'arbre, on le remplace par un arbre creux de diamètre intérieur 30 mm. En conservant la même contrainte tangentielle, calculer le nouveau diamètre extérieur. d) Calculer le gain de masse. e) Calculer l'angle unitaire de torsion de l'arbre creux.
Problème 60.17
Deux arbres de transmission en acier, de même longueur, transmettent une puissance P = 2094 kW à 2000 tr/min. Le premier est plein (diamètre extérieur d), le second est creux (diamètre extérieur d_e, diamètre intérieur d_i, avec d_i / d_e = 0,85). La contrainte de torsion admissible est de 150 N/mm² pour les deux. G = 80000 MPa (ou 80 GPa). a) Calculer le couple de torsion maximal transmissible. b) Déterminer le rapport de poids des deux arbres. c) Si l'angle de torsion maximal est limité à 0,25 °/m, déterminer le rapport de poids.
Exercices sur les Sections Non Circulaires
Problème 64.01
Estimer le moment de torsion qu'une section en caisson peut transmettre (dimensions en mm), avec une contrainte admissible τ_adm = 80 N/mm². Quelle est la déformation angulaire correspondante (θ) pour G = 80 kN/mm² (ou 80 GPa) ?
Exercices de Synthèse sur la Torsion
Problème 6S.01
Deux arbres de transmission de même longueur (2 m) transmettent la même puissance de 100 CV à la même vitesse de 1500 tr/min. L'un est plein, l'autre creux. Contrainte admissible (τ_adm) : 200 N/mm². G = 79000 N/mm² (ou 79 GPa) et masse volumique ρ = 7,8 kg/dm³. a) Sans tenir compte de la déformation, calculer le diamètre intérieur de l’arbre creux, sachant que son diamètre extérieur est le double de celui de l'arbre plein. Comparer les poids des deux arbres. b) En tenant compte d'une déformation de 0,25 °/m, recalculer ces arbres et comparer leurs poids.
Problème 6S.02
Un arbre de transmission creux (diamètre extérieur : 100 mm, diamètre intérieur : 60 mm) est équipé de quatre roues dentées (1, 2, 3, 4). Les roues 1 et 3 sont motrices (M1 = 17 kNm, M3 = 32 kNm) et la roue 4 est réceptrice (M4 = 10 kNm). G = 80000 N/mm² (ou 80 GPa). a) Déterminer le couple récepteur M2 sur la roue 2 pour assurer l'équilibre de l'arbre. b) Calculer la contrainte de torsion maximale sur l’arbre et identifier le tronçon le plus chargé. c) Déterminer l’angle de torsion total entre les extrémités A et B.
Problème 6S.03
Un moteur électrique de 12 kW transmet sa puissance à un réducteur de vitesse. Déterminer le diamètre de l’arbre supérieur, sachant que la déformation angulaire unitaire totale en charge des trois arbres ne doit pas dépasser 0,25 °/m. Les arbres travaillent uniquement en torsion, sans changement de section. La contrainte de cisaillement maximale admissible est de 100 N/mm².
Problème 6S.04
Un étudiant propose de corriger un problème de rigidité d'un arbre moteur en utilisant un acier allié de meilleure qualité. Le professeur ayant initialement signalé le problème de rigidité dû à la longueur de l'arbre, l'étudiant a-t-il raison ? Expliquer.
Explication : La rigidité d'un arbre en torsion dépend principalement de son module de cisaillement (G) et de son moment d'inertie polaire (lié à sa géométrie, notamment son diamètre). La "qualité" d'un acier allié se réfère souvent à sa résistance mécanique (limite élastique, résistance à la rupture), mais a peu d'impact sur son module G, qui est sensiblement le même pour tous les aciers. Pour augmenter la rigidité, il faudrait principalement augmenter le diamètre de l'arbre ou choisir un matériau avec un G plus élevé, ce qui n'est pas le cas pour un "meilleur acier" en général.
Problème 6S.05
Un moment de 250 Nm est appliqué suivant l’axe de l’arbre A. Cela agit sur une barre en acier de diamètre 16 mm, de longueur 500 mm, via des engrenages E1 (34 dents) et E2 (14 dents) de module 5. Le moment est appliqué périodiquement. a) Calculer la contrainte maximale de torsion dans la barre. b) Déterminer l'angle de rotation de E2. c) Donner une valeur approximative de la limite élastique de l'acier adaptée à cette construction.
Problème 6S.06
Une barre de torsion de suspension de véhicule en acier spécial (G = 80000 N/mm² ou 80 GPa) a un coefficient de sécurité de 2. Une concentration de contrainte (Kt = 2) est présente en A et B due aux variations de section. a) Déterminer le moment de torsion maximal admissible pour la condition de résistance (τ_adm = 500 MPa). b) Déterminer le moment de torsion maximal admissible pour la condition de rigidité (déformation ϕ_AB ≤ 4°).
Problème 6S.07
Étude d'un arbre de transmission de Mercedes CLK 55 AMG. Données : Puissance maximale : 367 CV à 5740 tr/min. Couple maximal : 520 Nm à 4000 tr/min. Arbre en acier avec Re = 800 MPa (coefficient de sécurité S = 2), longueur 1,5 m. Rapports de boîte de vitesses : 1ère 3,59, 2ième 2,19, 3ième 1,41, 4ième 1, 5ième 0,89. Rapport de pont AR : 3,06. a) Calculer le diamètre minimum d de l’arbre en fonction de la contrainte admissible. b) Calculer son angle total de déformation. c) Si l'angle unitaire de torsion θ est limité à 0,25 °/m, quel est le nouveau diamètre d' de l’arbre ? d) Quelle est la contrainte maximale dans ce nouvel arbre et quel est son poids ? e) Calculer les diamètres extérieur d'' et intérieur d_i d’un arbre tubulaire avec un rapport d''/d_i = 1,2 et un angle unitaire de torsion θ = 0,25 °/m. Quel est son poids et sa contrainte maximale ?
Foire Aux Questions (FAQ) sur la Torsion
Qu'est-ce que la torsion en mécanique des matériaux ?
La torsion est une sollicitation mécanique où un élément de structure (généralement un arbre ou une barre) est soumis à un couple (moment de torsion) qui tend à le faire vriller autour de son axe longitudinal. Cela engendre des contraintes de cisaillement et des déformations angulaires.
Quels sont les paramètres clés à considérer lors du dimensionnement d'un arbre soumis à la torsion ?
Les paramètres essentiels incluent : le couple de torsion appliqué (Mt), le diamètre (ou les dimensions de la section), la longueur de l'arbre, la contrainte de cisaillement admissible (τ_adm), le module de cisaillement du matériau (G), et l'angle de torsion maximal admissible (ϕ_adm) pour garantir la rigidité.
Quelle est la différence entre la résistance et la rigidité en torsion ?
La résistance en torsion concerne la capacité d'un matériau ou d'une pièce à supporter des contraintes sans rupture ou déformation plastique permanente (défaillance). Elle est liée à la limite élastique et à la résistance à la rupture du matériau. La rigidité, quant à elle, mesure la capacité de la pièce à s'opposer à la déformation sous l'effet du couple appliqué. Elle dépend principalement du module de cisaillement (G) du matériau et de la géométrie de la section (moment d'inertie polaire).