Exercices de mathématiques fonctions de plusieurs variables
Télécharger PDFExercices de Mathematiques ´ Fonctions de plusieurs variables (II) Enonc´es ´
Enonc´es des exercices ´
Exercice 1Deux cercles (C), (C0) du plan, de rayons R, R0, sont tangents ext´erieurement en O. Un point M d´ecrit (C) et un point M0 d´ecrit (C0). Trouver l’aire maximum du triangle OMM0.
Exercice 2R´esoudre y2∂2f ∂x2− 2xy∂2f ∂x∂y + x2∂2f ∂y2= x∂f ∂x + y∂f ∂y − f, o`u f est de classe C2.
Exercice 3On pose h(x, y) = xpyq x2 − xy + y2avec (p, q) ∈ R2, et h(0, 0) = 0. Etudier h en (0, 0).
Exercice 4Etudier les extremums locaux de f(x, y) = x4 + y4 − x2 − 2λxy − y2(λ ∈ R).
Exercice 5Soit f : R+ × R+ → R, continue. Montrer que l’application (x, y) 7→ ϕ(x, y) =
Exercice 6Z x 0 Z y 0 f(u, v) dv du est de classe C1. Etudier, au voisinage de l’origine, f(x, y) = y(x2 + xy2 + y4) x2 + y4.
Exercice 7Soit u(x, y, z) = f(r), avec r = (x2 + y2 + z2)1/2, et f de classe C2sur R+∗. Rechercher les solutions de ∆u = λu, avec λ ∈ R.
Exercice 8Soit f : R → R, et g : R2 → R, d´efinie par g(x, y) = f(x) − f(y) x − y. A quelle condition sur f l’application g admet-elle un prolongement continu sur R2? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.