Exercices de mathématiques fonctions de plusieurs variables
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Énoncés des exercices
Exercice 1
Deux cercles (C) et (C'), du plan, de rayons R et R', sont tangents extérieurement en O. Un point M décrit (C) et un point M' décrit (C'). Trouver l'aire maximale du triangle OMM'.
Exercice 2
Résoudre l'équation aux dérivées partielles :
y² ∂²f/∂x² - 2xy ∂²f/∂x∂y + x² ∂²f/∂y² = x ∂f/∂x + y ∂f/∂y - f,
où f est une fonction de classe C².
Exercice 3
On pose la fonction h(x, y) = (xpyq) / (x² - xy + y²), avec (p, q) ∈ R², et h(0, 0) = 0.
Étudier la continuité et la différentiabilité de h en (0, 0).
Exercice 4
Étudier les extrémums locaux de la fonction f(x, y) = x⁴ + y⁴ - x² - 2λxy - y² (où λ ∈ R est un paramètre réel).
Exercice 5
Soit f : R⁺ × R⁺ → R, une fonction continue. Montrer que l'application (x, y) ↦ ϕ(x, y) définie par
ϕ(x, y) = ∫0x ∫0y f(u, v) dv du
est de classe C¹.
Exercice 6
Étudier, au voisinage de l'origine (0,0), la fonction f(x, y) = (y(x² + xy² + y⁴)) / (x² + y⁴).
Exercice 7
Soit u(x, y, z) = f(r), avec r = (x² + y² + z²)1/2, et f une fonction de classe C² sur R+* (l'ensemble des réels strictement positifs).
Rechercher les solutions de l'équation différentielle partielle ∆u = λu, où ∆ est l'opérateur laplacien et λ ∈ R est une constante réelle.
Exercice 8
Soit f : R → R, et g : R² → R, définie par g(x, y) = (f(x) - f(y)) / (x - y) pour x ≠ y.
À quelle condition sur la fonction f l'application g admet-elle un prolongement continu sur R² tout entier ?
FAQ sur les Fonctions de Plusieurs Variables
Qu'est-ce qu'une fonction de plusieurs variables ?
Une fonction de plusieurs variables est une fonction dont la valeur dépend de deux ou plusieurs variables indépendantes. Par exemple, f(x, y) = x² + y² est une fonction de deux variables, x et y.
À quoi servent les dérivées partielles ?
Les dérivées partielles mesurent la variation d'une fonction de plusieurs variables par rapport à une seule de ses variables, en considérant les autres variables comme des constantes. Elles sont fondamentales pour étudier le comportement local des fonctions, les taux de changement dans différentes directions et pour résoudre des problèmes d'optimisation.
Comment trouve-t-on les extrémums locaux d'une fonction de plusieurs variables ?
Pour trouver les extrémums locaux (maximums ou minimums) d'une fonction de plusieurs variables, on commence par calculer les dérivées partielles premières par rapport à chaque variable et on les annule pour trouver les points critiques. Ensuite, on utilise le critère de la dérivée seconde (impliquant le hessien) pour déterminer si ces points sont des maximums, des minimums ou des points de selle.