Exercices de topologie des espaces vectoriels normes analyse

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Topologie des Espaces Vectoriels Normés : Exercices

Exercices sur les Normes

Exercice 1

Soit N : (x, y) → |5x + 3y|. Est-elle une norme sur ℜ²?

Exercice 2

On définit sur ℜ² les 3 applications suivantes : ||α||₁ = |x| + |y|, ||α||₂ = √(x² + y²), ||α||_∞ = max(|x|, |y|), pour α = (x, y). Prouver que ||.||₁, ||.||₂, et ||.||_∞ définissent 3 normes sur ℜ². Prouver que l’on a : ∀α ∈ ℜ², ||α||_∞ ≤ ||α||₂ ≤ ||α||₁ ≤ 2||α||_∞. Ces trois normes sont-elles équivalentes ? Dessiner les boules unités fermées associées à ces normes.

Exercice 3

Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs dans ℜ. On définit pour f ∈ E : ||f||_∞ = sup {|f(x)|; x ∈ [0, 1]} et ||f||₁ = ∫₀¹ |f(t)|dt. Vérifier que ||.||_∞ et ||.||₁ sont deux normes sur E. Montrer que, pour tout f ∈ E, ||f||₁ ≤ ||f||_∞. En utilisant la suite de fonctions f_n(x) = xⁿ, prouver que ces deux normes ne sont pas équivalentes.

Exercice 4

On définit une application sur M_n(ℜ) en posant N(A) = n max_i,j|a_i,j| si A = (a_i,j). Vérifier que l’on définit bien une norme sur M_n(ℜ), puis qu’il s’agit d’une norme d’algèbre, c’est-à-dire que N(AB) ≤ N(A)N(B) pour toutes matrices A, B ∈ M_n(ℜ).

Exercice 5

Soit E = ℜ[X] l’espace vectoriel des polynômes. On définit sur E trois normes par, si P = ∑_i=0^p a_iXⁱ : ||P||₁ = ∑_i=0^p |a_i|, ||P||₂ = (∑_i=0^p |a_i|²)^1/2, ||P||_∞ = max_i|a_i|. Vérifier qu’il s’agit de 3 normes sur ℜ[X]. Sont-elles équivalentes deux à deux ?

Exercice 6

Soient N₁ et N₂ deux normes sur un espace vectoriel E. On pose N = max(N₁, N₂). Démontrer que N est une norme sur E.

Exercice 7

Soit a, b > 0. On pose, pour tout (x, y) ∈ ℜ², N(x, y) = √(a²x² + b²y²).

Prouver que N est une norme.
Dessiner la boule de centre (0,0) et de rayon 1.
Déterminer le plus petit nombre p > 0 tel que N ≤ p||.||₂ et le plus grand nombre q tel que q||.||₂ ≤ N.

Exercice 8

Soit a ≥ 0. Pour P ∈ ℜ[X], on définit N_a(P) = |P(a)| + 1. Démontrer que N_a est une norme sur ℜ[X].

∫₀¹ |P'(t)|dt.
Soit a, b ≥ 0 avec a ≠ b et b > 1. Démontrer que N_a et N_b ne sont pas équivalentes.
Démontrer que si (a, b) ∈ [0, 1], alors N_a et N_b sont équivalentes.

Exercice 9

Soit N l’application de ℜ² dans ℜ : (x, y) → sup_t∈ℜ(|x+ty| / √(1+t²)).

Montrer que N est une norme sur ℜ².
La comparer à la norme euclidienne.
Expliquer.

Exercice 10

Soit E = C([0, 1], ℜ). Pour f, g ∈ E, on pose N_g(f) = ||fg||_∞.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur g pour que N_g soit une norme.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur g pour que N_g soit équivalente à la norme infinie.

Exercice 11

Soit E un espace vectoriel normé. Pour a ∈ E et r > 0, on note B(a, r) la boule fermée de centre a et de rayon r. On fixe a, b ∈ E et r, s > 0.

On suppose que B(a, r) ⊂ B(b, s). Démontrer que ||a − b|| ≤ s − r.
On suppose que B(a, r) ∩ B(b, s) = ∅. Montrer que ||a − b|| > r + s.

Ouverts, Fermés, Adhérence, Intérieur

Exercice 12

Dire si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés :

A = {(x, y) ∈ ℜ² | 0 < |x − 1| < 1}
B = {(x, y) ∈ ℜ² | 0 ≤ x ≤ y}
C = {(x, y) ∈ ℜ² | |x| < 1, |y| ≤ 1}
D = {(x, y) ∈ ℜ² | x ∈ ℚ, y ∈ ℚ}
E = {(x, y) ∈ ℜ² | x ∉ ℚ, y ∉ ℚ}
F = {(x, y) ∈ ℜ² | x² + y² < 4}
G = {(x, y) ∈ ℜ² | x² − exp(sin y) ≤ 12}
H = {(x, y) ∈ ℜ² | ln |x² + 1| > 0}

Exercice 13

On définit un sous-ensemble A de ℜ² en posant A = {(x, y) ∈ ℜ² | x² + y² ≤ 2} \ {(x, y) ∈ ℜ² | (x − 1)² + y² < 1}. Déterminer l’intérieur, l’adhérence et la frontière de A.

Exercice 14

Soit C une partie convexe d’un espace vectoriel normé. Démontrer que l’adhérence de C est convexe, puis que l’intérieur de C est convexe.

Exercice 15

Soit E un espace vectoriel normé, et V un sous-espace vectoriel de E.

Montrer que ‾V est un sous-espace vectoriel de E.
Montrer que si ˚V ≠ ∅, alors V = E.

Exercice 16

Soit E un espace vectoriel normé. Montrer que l’adhérence d’une boule ouverte est la boule fermée de même rayon.

Exercice 17

Donner un exemple d’ensemble A tels que : A, l’adhérence de A, l’intérieur de A, l’adhérence de l’intérieur de A et l’intérieur de l’adhérence de A sont des ensembles distincts deux à deux.

Exercice 18

Soit E un espace vectoriel normé, et A et B deux parties de E. On définit : A + B = {z ∈ E; ∃x ∈ A, ∃y ∈ B, z = x + y}. Montrer que si A est ouvert, alors A + B est ouvert.

Exercice 19

Soit A une partie d’un espace vectoriel normé E. On rappelle que la frontière de A est l’ensemble Fr(A) = ‾A − ˚A. Montrer que :

Fr(A) = {x ∈ E | ∀ε > 0, B(x, ε) ∩ A ≠ ∅ et B(x, ε) ∩ C_EA ≠ ∅}
Fr(A) = Fr(C_EA)
A est fermé si et seulement si Fr(A) est inclus dans A.
A est ouvert si et seulement si Fr(A) ∩ A = ∅.

Exercice 20

Soit E un espace vectoriel normé. Soit A une partie non vide et bornée de E. On définit diam(A) = sup{||y − x||, x, y ∈ A}.

Montrer que si A est bornée, alors ‾A et Fr(A) sont bornés.
Comparer diam(A), diam(˚A) et diam(‾A) lorsque ˚A est non vide.
(a) Montrer que diam(Fr(A)) ≤ diam(A).

(b) Soit x un élément de A, et u un élément de E avec u ≠ 0. On considère l’ensemble X = {t ≥ 0 | x + tu ∈ A}. Montrer que sup X existe.

(c) En déduire que toute demi-droite issue d’un point x de A coupe Fr(A).

(d) En déduire que diam(Fr(A)) = diam(A).

Exercice 21

Soit E = C([0, 1], ℜ) et F = {f ∈ E; f(0) = 0}.

Si N est une norme sur E, montrer que F est ou bien une partie fermée, ou bien une partie dense de (E, N).
Donner un exemple de norme pour laquelle F est fermé, et un exemple pour laquelle F est dense.

Espaces Vectoriels Normés de Dimension Finie

Exercice 22

Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie. Montrer que tout sous-espace vectoriel de E est fermé.

Exercice 23

Soit n ≥ 1 et E_n l’ensemble des polynômes de ℜ[X] unitaires de degré n. Montrer que inf_{P∈E_n} ∫₀¹ |P(t)|dt > 0.

Applications Linéaires Continues

Exercice 24

Soit E l’espace vectoriel des fonctions à valeurs dans ℜ, définies, continues et dérivables sur [0,1] et vérifiant f(0) = 0. On définit sur cet espace les deux normes suivantes : N₁(f) = ||f||_∞ et N₂(f) = ||f'||_∞.

Montrer que N₁(f) ≤ N₂(f). En déduire que l’application identique de (E, N₂) vers (E, N₁) est continue.
À l’aide de la fonction f_n(x) = xⁿ, montrer que l’application identique de (E, N₁) vers (E, N₂) n’est pas continue.

Exercice 25

Déterminer si l’application linéaire T : (E, N₁) → (F, N₂) est continue dans les cas suivants :

E = C([0, 1], ℜ) muni de ||f||₁ = ∫₀¹ |f(t)|dt et T : (E, ||.||₁) → (E, ||.||₁), f → fg où g ∈ E est fixé.
E = ℜ[X] muni de ||∑_k≥0 a_kX^k|| = ∑_k≥0|a_k| et T : (E, ||.||) → (E, ||.||), P → P'.
E = ℜ_n[X] muni de ||∑_k=0ⁿ a_kX^k|| = ∑_k=0ⁿ |a_k| et T : (E, ||.||) → (E, ||.||), P → P'.
E = ℜ[X] muni de ||∑_k≥0 a_kX^k|| = ∑_k≥0 k!|a_k| et T : (E, ||.||) → (E, ||.||), P → P'.
E = C([0, 1], ℜ) muni de ||f||₂ = (∫₀¹ |f(t)|²dt)^1/2, F = C([0, 1], ℜ) muni de ||f||₁ = ∫₀¹ |f(t)|dt et T : (E, ||.||₂) → (F, ||.||₁), f → fg où g ∈ E est fixé.

Exercice 26

Soit E = ℜ[X], muni de la norme ||∑_i a_iXⁱ|| = ∑_i|a_i|.

Est-ce que l’application linéaire φ : (E, ||.||) → (E, ||.||), P(X) → P(X + 1) est continue sur E ?
Est-ce que l’application linéaire ψ : (E, ||.||) → (E, ||.||), P(X) → AP, où A est un élément fixé de E, est continue sur E ?

Exercice 27

Soit E = C([0, 1], ℜ). Pour f ∈ E, on pose ||f||₁ = ∫₀¹ |f(t)|dt, dont on admettra qu’il s’agit d’une norme sur E. Soit φ l’endomorphisme de E défini par φ(f)(x) = ∫₀^x f(t)dt.

Justifier la terminologie : ”φ est un endomorphisme de E.”
Démontrer que φ est continue.
Pour n ≥ 0, on considère f_n l’élément de E défini par f_n(x) = n e^−nx, x ∈ [0, 1]. Calculer ||f_n||₁ et ||φ(f_n)||₁.
On pose |||φ||| = sup_{f∈E, f≠0} (||φ(f)||₁ / ||f||₁). Déterminer |||φ|||.

Exercice 28

On munit ℜ[X] de la norme suivante : ||∑_k=0ⁿ a_kX^k|| = sup{|a_k|; 0 ≤ k ≤ n}. Pour c ∈ ℜ, on définit la forme linéaire φ_c : (ℜ[X], ||.||) → (ℜ, |.|), P → P(c). Pour quelles valeurs de c la forme linéaire φ_c est-elle continue ? Dans ce cas, déterminer la norme de φ_c.

Exercice 29

Soit E = C^∞([0, 1], ℜ). On considère l’opérateur de dérivation D : E → E, f → f'. Montrer que, quelle que soit la norme N dont on munit E, D n’est jamais une application linéaire continue de (E, N) dans (E, N).

Exercice 30

Soit I = [a, b] un intervalle de ℜ. On munit C(I) de la norme ||.||_∞. On dit qu’une forme linéaire u : C(I) → ℜ est positive si u(f) ≥ 0 pour tout f ∈ C(I) vérifiant f(x) ≥ 0 si x ∈ I.

Démontrer que, pour toute forme linéaire u : C(I) → ℜ positive, |u(f)| ≤ u(|f|).
Soit e la fonction définie par e(x) = 1 pour tout x ∈ I. Déduire de la question précédente que toute forme linéaire positive est continue, et calculer ||u|| en fonction de u(e).

FAQ sur les Espaces Vectoriels Normés

Qu'est-ce qu'une norme et à quoi sert-elle ?

Une norme est une fonction qui associe à chaque vecteur d'un espace vectoriel un nombre réel positif, représentant sa "longueur" ou sa "taille". Elle doit satisfaire trois propriétés : être positive définie (uniquement nulle pour le vecteur nul), homogène (la multiplication par un scalaire étire la longueur en proportion) et vérifier l'inégalité triangulaire. Les normes sont essentielles pour définir des notions de distance, de convergence et de continuité dans les espaces vectoriels, transformant ainsi un espace algébrique en un espace topologique.

Quand dit-on que deux normes sont équivalentes ?

Deux normes N₁ et N₂ sur un même espace vectoriel E sont dites équivalentes s'il existe des constantes réelles positives c et C telles que, pour tout vecteur x ∈ E, on ait c N₂(x) ≤ N₁(x) ≤ C N₂(x). L'équivalence de normes implique que les deux normes définissent la même topologie sur l'espace, c'est-à-dire les mêmes ensembles ouverts, fermés, et les mêmes suites convergentes. Sur un espace de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

Pourquoi est-il important de distinguer les ouverts et les fermés en topologie des EVN ?

La distinction entre ensembles ouverts et fermés est fondamentale en topologie des espaces vectoriels normés (EVN) car elle permet de définir des concepts clés comme la convergence, la continuité et la compacité. Les ouverts sont des ensembles où chaque point est entouré d'une "boule" entièrement contenue dans l'ensemble, tandis que les fermés contiennent tous leurs points d'accumulation (limites de suites de points de l'ensemble). Cette distinction est cruciale pour l'analyse, notamment pour l'étude des fonctions continues (qui transforment les ouverts ou fermés d'une certaine manière) et pour la résolution de problèmes d'optimisation (où l'existence de minima ou maxima est souvent garantie sur des ensembles fermés et bornés).