Exercices de topologie des espaces vectoriels normes analyse
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Exercice 1- Pour commencer... - L2/Math Sp´e - ? N : (x, y) 7→ |5x + 3y| est-elle une norme sur R2?
Exercice 2- Les classiques ! - L2/Math Sp´e - ? On d´efinit sur R2les 3 applications suivantes : q N1((x, y)) = |x| + |y|, N2((x, y)) = x2 + y2, N∞((x, y)) = max(|x|, |y|). Prouver que N1, N2, N3 d´efinissent 3 normes sur R2. Prouver que l’on a : ∀α ∈ R2, N∞(α) ≤ N2(α) ≤ N1(α) ≤ 2N∞(α). N1, N2 et N3 sont-elles ´equivalentes ? Dessiner les boules unit´es ferm´ees associ´ees `a ces normes.
Exercice 3- Fonctions continues - L2/Math Sp´e - ? Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues sur [0, 1] `a valeurs dans R. On d´efinit pour f ∈ E Z 1 kfk∞ = sup {|f(x)|; x ∈ [0, 1]} , kfk1 = 0 |f(t)|dt. V´erifier que k.k∞ et k.k1 sont deux normes sur E. Montrer que, pour tout f ∈ E, kfk1 ≤ kfk∞. En utilisant la suite de fonctions fn(x) = xn, prouver que ces deux normes ne sont pas ´equivalentes.
Exercice 4- Espace de matrices - L2/Math Sp´e - ? On d´efinit une application sur Mn(R) en posant N(A) = n max i,j|ai,j | si A = (ai,j ). V´erifier que l’on d´efinit bien une norme sur Mn(R), puis qu’il s’agit d’une norme d’alg`ebre, c’est-`a-dire que N(AB) ≤ N(A)N(B) pour toutes matrices A, B ∈ Mn(R).
Exercice 5- Des polynˆomes - L2/Math Sp´e - ? Soit E = R[X] l’espace vectoriel des polynˆomes. On d´efinit sur E trois normes par, si P =Ppi=0 aiXi: N1(P) = Xp i=0 |ai|, N2(P) = Xp i=0 |ai|2 !1/2 , N∞(P) = max i|ai|. V´erifier qu’il s’agit de 3 normes sur R[X]. Sont-elles ´equivalentes deux `a deux ?
Exercice 6- Sup de deux normes - L2/Math Sp´e - ? Soient N1 et N2 deux normes sur un espace vectoriel E. On pose N = max(N1, N2). D´e montrer que N est une norme sur E.
Exercice 7- Norme 2 ”perturb´ee” - L2/Math Sp´e - ?? Soit a, b > 0. On pose, pour tout (x, y) ∈ R2, N(x, y) = pa2x2 + b2y2. http://www.bibmath.net 1
Exercices - Topologie des espaces vectoriels normes´ : ´enonc´e 1. Prouver que N est une norme. 2. Dessiner la boule de centre 0 et de rayon 1. 3. D´eterminer le plus petit nombre p > 0 tel que N ≤ pk.k2 et le plus grand nombre q tel que qk.k2 ≤ N.
Exercice 8- Normes sur les polynˆomes - L2/Math Sp´e - ?? Soit a ≥ 0. Pour P ∈ R[X], on d´efinit Na(P) = |P(a)| + 1. D´emontrer que Na est une norme sur R[X]. Z 1 0 |P0(t)|dt. 2. Soit a, b ≥ 0 avec a 6= b et b > 1. D´emontrer que Na et Nb ne sont pas ´equivalentes. 3. D´emontrer que si (a, b) ∈ [0, 1], alors Na et Nb sont ´equivalentes.
Exercice 9- Drˆole de norme ! - L2/Math Sp´e - ?? Soit N l’application de R2 dans R : (x, y) 7→ supt∈R|x+ty| √1+t2. 1. Montrer que N est une norme sur R2. 2. La comparer `a la norme euclidienne. 3. Expliquer.
Exercice 10- Une norme ? - L1/Math Sup/Oral Centrale - ??? Soit E = C([0, 1], R). Pour f, g ∈ E, on pose Ng(f) = kgfk∞. 1. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur g pour que Ng soit une norme. 2. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur g pour que Ng soit ´equivalente `a la norme infinie.
Exercice 11- Oh les boules ! - L2/Math Sp´e - ?? Soit E un espace vectoriel norm´e. Pour a ∈ E et r > 0, on note B(a, r) la boule ferm´ee de centre a et de rayon r. On fixe a, b ∈ E et r, s > 0. 1. On suppose que B(a, r) ⊂ B(b, s). D´emontrer que ka − bk ≤ s − r. 2. On suppose que B(a, r) ∩ B(b, s) = ∅. Montrer que ka − bk > r + s. Ouverts, fermes, adh ´ erence, int ´ erieur... ´
Exercice 12- - L2/Math Sp´e - ? Dire si les ensembles suivants sont ouverts ou ferm´es : A = {(x, y) ∈ R2| 0 < |x − 1| < 1}, B = {(x, y) ∈ R2| 0 ≤ x ≤ y}, C = {(x, y) ∈ R2| |x| < 1, |y| ≤ 1}, D = {(x, y) ∈ R2| x ∈ Q, y ∈ Q}, E = {(x, y) ∈ R2| x 6∈ Q, y 6∈ Q}, F = {(x, y) ∈ R2| x2 + y2 < 4}, n G = (x, y) ∈ R2; x2 − exp(sin y) ≤ 12o, H = {(x, y) ∈ R2; ln |x2 + 1| > 0}. http://www.bibmath.net 2
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Exercice 13- - L2/Math Sp´e - ? On d´efinit un sous-ensemble A de R2en posant A = {(x, y) ∈ R2| x2 + y2 ≤ 2} \ {(x, y) ∈ R2| (x − 1)2 + y2 < 1}. D´eterminer l’int´erieur, l’adh´erence et la fronti`ere de A.
Exercice 14- Fermeture et adh´erence d’un convexe - L2/Math Sp´e - ?? Soit C une partie convexe d’un espace vectoriel norm´e. D´emontrer que l’adh´erence de C est convexe, puis que l’int´erieur de C est convexe.
Exercice 15- Adh´erence et int´erieur d’un sous-espace vectoriel - L2/Math Sp´e - ? Soit E un espace vectoriel norm´e, et V un sous-espace vectoriel de E. 1. Montrer que V¯ est un sous-espace vectoriel de E. 2. Montrer que si◦V 6= ∅, alors V = E.
Exercice 16- Adh´erence de boules - L2/Math Sp´e - ? Soit E un espace vectoriel norm´e. Montrer que l’adh´erence d’une boule ouverte est la boule ferm´ee de mˆeme rayon
Exercice 17- - L2/Math Sp´e - ?? Donner un exemple d’ensemble A tels que : A, l’adh´erence de A, l’int´erieur de A, l’adh´e rence de l’int´erieur de A et l’int´erieur de l’adh´erence de A sont des ensembles distincts deux `a deux.
Exercice 18- Somme d’un ensemble et d’un ouvert - L2/Math Sp´e - ?? Soit E un evn, et A et B deux parties de E. On d´efinit : A + B = {z ∈ E; ∃x ∈ A, ∃y ∈ B, z = x + y} . Montrer que si A est ouvert, alors A + B est ouvert.
Exercice 19- La fronti`ere ! - L2/Math Sp´e - ?? Soit A une partie d’un espace vectoriel norm´e E. On rappelle que la fronti`ere de A est l’ensemble Fr(A) = A¯−◦A. Montrer que : 1. Fr(A) = {x ∈ E | ∀ > 0, B(x, ) ∩ A 6= ∅ et B(x, ) ∩ CA 6= ∅} 2. Fr(A) = Fr(CA) 3. A est ferm´e si et seulement si Fr(A) est inclus dans A. 4. A est ouvert si et seulement si Fr(A) ∩ A = ∅.
Exercice 20- Diam`etre d’une partie born´ee - L2/Math Sp´e - ??? Soit E un espace vectoriel norm´e. Soit A une partie non vide et born´ee de E. On d´efinit diam(A) = sup{ky − xk, x, y ∈ A}. 1. Montrer que si A est born´ee, alors A¯ et Fr(A) sont born´es. 2. Comparer diam(A), diam(◦A) et diam(A¯) lorsque◦A est non vide. 3. (a) Montrer que diam(Fr(A)) ≤ diam(A). http://www.bibmath.net 3
Exercices - Topologie des espaces vectoriels normes´ : ´enonc´e (b) Soit x un ´el´ement de A, et u un ´el´ement de E avec u 6= 0. On consid`ere l’ensemble X = {t ≥ 0 | x + tu ∈ A}. Montrer que sup X existe. (c) En d´eduire que toute demi-droite issue d’un point x de A coupe Fr(A). (d) En d´eduire que diam(Fr(A)) = diam(A).
Exercice 21- Dense ou ferm´e - L3/Math Sp´e/Oral Mines - ??? Soit E = C([0, 1], R) et F = {f ∈ E; f(0) = 0}. 1. Si N est une norme sur E, montrer que F est ou bien une partie ferm´ee, ou bien une partie dense de (E, N). 2. Donner un exemple de norme pour laquelle F est ferm´e, et un exemple pour laquelle F est dense. Espaces vectoriels normes de dimension finie ´
Exercice 22- Sous-espaces vectoriels - L2/Math Sp´e - ?? Soit E un espace vectoriel norm´e de dimension finie. Montrer que tout sous-espace vectoriel de E est ferm´e
Exercice 23- Int´egrale jamais nulle - L2/Math Sp´e/Oral Centrale - ?? Soit n ≥ 1 et En l’ensemble des polynˆomes de R[X] unitaires de degr´e n. Montrer que infP ∈EnR 10|P(t)|dt > 0. Applications lineaires continues ´
Exercice 24- - L2/Math Sp´e - ? Soit E l’espace vectoriel des fonctions `a valeurs dans R, d´efinies, continues et d´erivables sur [0,1] et v´erifiant f(0) = 0. On d´efinit sur cet espace les deux normes suivantes : N1(f) = kfk∞ et N2(f) = kf0k∞. 1. Montrer que N1(f) ≤ N2(f). En d´eduire que l’application identique de (E, N2) vers (E, N1) est continue. 2. A l’aide de la fonction fn(x) = xn (E, N2) n’est pas continue. n, montrer que l’application identique de (E, N1) vers
Exercice 25- Sont-elles continues ? - L2/Math Sp´e - ?? D´eterminer si l’application lin´eaire T : (E, N1) → (F, N2) est continue dans les cas suivants : 1. E = C([0, 1], R) muni de kfk1 =R 10|f(t)|dt et T : (E, k.k1) → (E, k.k1), f 7→ fg o`u g ∈ E est fix´e. 2. E = R[X] muni de kPk≥0 akXkk =Pk≥0|ak| et T : (E, k.k) → (E, k.k), P 7→ P0. 3. E = Rn[X] muni de kPnk=0 akXkk =Pnk=0 |ak| et T : (E, k.k) → (E, k.k), P 7→ P0. 4. E = R[X] muni de kPk≥0 akXkk =Pk≥0 k!|ak| et T : (E, k.k) → (E, k.k), P 7→ P0. R 1 5. E = C([0, 1], R) muni de kfk2 = R 1 0|f(t)|2dt 1/2, F = C([0, 1], R) muni de kfk1 = 0|f(t)|dt et T : (E, k.k2) → (F, k.k1), f 7→ fg o`u g ∈ E est fix´e. http://www.bibmath.net 4
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Exercice 26- Applications lin´eaires sur les polynˆomes - L2/Math Sp´e - ?? Soit E = R[X], muni de la norme kPi aiXik =Pi|ai|. 1. Est-ce que l’application lin´eaire φ : (E, k.k) → (E, k.k), P(X) 7→ P(X + 1) est continue sur E ? 2. Est-ce que l’application lin´eaire ψ : (E, k.k) → (E, k.k), P(X) 7→ AP, o`u A est un ´el´ement fix´e de E, est continue sur E ?
Exercice 27- - L2/Math Sp´e - ? Soit E = C([0, 1], R). Pour f ∈ E, on pose kfk1 = Z 1 0 |f(t)|dt, dont on admettra qu’il s’agit d’une norme sur E. Soit φ l’endomorphisme de E d´efini par φ(f)(x) = Z x 0 f(t)dt. 1. Justifier la terminologie : ”φ est un endomorphisme de E.” 2. D´emontrer que φ est continue. 3. Pour n ≥ 0, on consid`ere fn l’´el´ement de E d´efini par fn(x) = ne−nx, x ∈ [0, 1]. Calculer kfnk1 et kφ(fn)k1. 4. On pose k|φk| = supf6=0Ekφ(f)k1 kfk1. D´eterminer k|φk|.
Exercice 28- Formes lin´eaires sur les polynˆomes - L2/Math Sp´e - ? On munit R[X] de la norme suivante : kXn k=0 akXkk = sup{|ak|; 0 ≤ k ≤ n}. Pour c ∈ R, on d´efinit la forme lin´eaire φc : (R[X], k · k) → (R, | · |), P 7→ P(c). Pour quelles valeurs de c la forme lin´eaire φc est-elle continue ? Dans ce cas, d´eterminer la norme de φc.
Exercice 29- Jamais continue - L2/Math Sp´e - ?? Soit E = C∞([0, 1], R). On consid`ere l’op´erateur de d´erivation D : E → E, f 7→ f0. Montrer que, quelle que soit la norme N dont on munit E, D n’est jamais une application lin´eaire continue de (E, N) dans (E, N).
Exercice 30- Op´erateurs positifs - L2/Math Sp´e - ?? Soit I = [a, b] un intervalle de R. On munit C(I) de la norme k.k∞. On dit qu’une forme lin´eaire u : C(I) → R est positive si u(f) ≥ 0 pour tout f ∈ C(I) v´erifiant f(x) ≥ 0 si x ∈ I. 1. D´emontrer que, pour toute forme lin´eaire u : C(I) → R positive, |u(f)| ≤ u(|f|). 2. Soit e la fonction d´efinie par e(x) = 1 pour tout x ∈ I. D´eduire de la question pr´ec´edente que toute forme lin´eaire positive est continue, et calculer kuk en fonction de u(e). http://www.bibmath.net 5