Exercices de topologie licence mathématiques artois analyse

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1. Révisions : Théorie des ensembles et Topologie de R

Exercice 1.1

Soient E et F des ensembles, f une application de E dans F.

a) Soit (A_i)_i∈I une famille d'ensembles de E. Montrer que f(∩_i∈I A_i) ⊂ ∩_i∈I f(A_i) et que si f est injective alors on a égalité. Réciproquement, montrer que si on a toujours égalité, alors f est injective.

b) Montrer que f est injective si et seulement si pour toute partie A de E, f^-1(f(A)) = A.

c) Montrer que f est surjective si et seulement si pour toute partie B de F, f(f^-1(B)) = B.

Exercice 1.2

Soit X un ensemble, montrer que l'inclusion dans P(X) est une relation d'ordre. Est-il total ? Montrer que toute partie de P(X) admet une borne supérieure et une borne inférieure.

Exercice 1.3

Soient E un ensemble et A, B ⊂ E. On considère l'application f de P(E) dans P(A) × P(B) définie par f(X) = (X ∩ A, X ∩ B). Montrer que f est injective si et seulement si E = A ∪ B.

Exercice 1.4

Montrer que Q (l'ensemble des nombres rationnels) et R \ Q (l'ensemble des nombres irrationnels) sont denses dans R.

Exercice 1.5. Théorème de Cesaro

1) Soit (a_n)_n∈N une suite de complexes convergente vers a. On définit pour tout n ∈ N v_n = (1 / (n + 1)) * (la somme des a_k pour k allant de 0 à n). Montrer que cette suite converge aussi vers a.

2) Soit (α_n)_n∈N une suite de réels strictement positifs. À toute suite (a_n)_n∈N de complexes, on associe ã_n = (la somme des α_k * a_k pour k allant de 0 à n) / (la somme des α_k pour k allant de 0 à n). Montrer l'équivalence entre les deux assertions suivantes :

i) La série de terme général α_k diverge.

ii) Pour toute suite (a_n)_n∈N convergente vers a, la suite (ã_n)_n∈N associée converge aussi vers a.

Exercice 1.6. Sous-groupes additifs de R

On étudie les sous-groupes de (R, +). Soit H un sous-groupe non réduit à {0}. On pose a = inf{x ∈ H | x > 0}. Justifier l'existence de a.

1) On veut montrer que si a > 0, H = aZ.

i) En utilisant la caractérisation de la borne inférieure, montrer que a ∈ H. En déduire aZ ⊂ H.

ii) Soit h ∈ H ∩ R+*. Considérer k = max{n ∈ N | na ≤ h} et montrer que h = ak. Conclure.

2) Montrer que si a = 0, H est dense dans R.

3) Soient a, b ∈ R+*, montrer que aZ + bZ est dense dans R si et seulement si le rapport a/b n'appartient pas à Q.

4) Montrer que cos(Z) est dense dans [-1, 1].

5) Soient a, b ∈ R+*, montrer que aN + bZ est dense dans R si le rapport a/b n'appartient pas à Q et que sin(N) est dense dans [-1, 1].

Exercice 1.7

Soit (x_n)_n∈N une suite bornée de réels.

a) Montrer que les suites (s_n)_n∈N et (i_n)_n∈N suivantes sont bien définies : s_n = sup_k≥n x_k et i_n = inf_k≥n x_k.

b) Montrer que ces deux suites sont convergentes. On note lim sup x_n la limite de (s_n)_n∈N et lim inf x_n la limite de (i_n)_n∈N.

c) Montrer que lim sup x_n est la plus grande valeur d'adhérence de (x_n)_n∈N et que lim inf x_n est la plus petite valeur d'adhérence de (x_n)_n∈N.

d) Établir le théorème de Bolzano-Weierstrass pour les suites réelles.

e) Montrer que (x_n)_n∈N converge si et seulement si lim sup x_n = lim inf x_n.

Exercice 1.8

1) Soient a < b deux réels. Soit n₀ un entier supérieur à 1. Montrer qu'il existe k ∈ Z et un entier n ≥ n₀ tels que ln(n) + 2kπ ∈ [a, b]. Pour n ∈ N, n ≥ 1, on pose : u_n = sin(ln(n)).

2) Montrer que cette suite est dense dans [-1, 1].

3) Est-ce que cette suite converge ?

Exercice 1.9

Soient deux suites (a_n)_n∈N et (b_n)_n∈N de [0, 1] telles que le produit a_nb_n converge vers 1. Montrer que chacune des suites converge vers 1. Indication : on pourra raisonner en termes de sous-suites ou trouver un argument très élémentaire (niveau première).

Exercice 1.10

On pose R̃ = R ∪ {-∞, +∞} et on met sur R̃ l'ordre suivant : pour tout x ∈ R, -∞ < x < +∞; et sur R, l'ordre usuel. Montrer que toute partie de R̃ admet un majorant et un minorant, une borne supérieure et une borne inférieure.

2. Espaces métriques

Exercice 2.1

Vérifier que, sur R, d(x, y) = |arctan(x) - arctan(y)| est une distance.

Exercice 2.2

Montrer que d₂, d₁ et d_∞ (cf. cours) sont bien des distances.

Exercice 2.3

Soit E un ensemble. Soit d définie par d(x, y) = 1 si x ≠ y et d(x, y) = 0 si x = y (où x, y ∈ E). Montrer que d est une distance sur E.

Exercice 2.4

Pour A et B des parties de N*, on définit : d(A, B) = 1 / min(A∆B) si A ≠ B et d(A, B) = 0 si A = B. On rappelle que A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).

a) Montrer que, pour tout m ∈ N* et tous A, B ⊂ N*, d(A, B) < 1/m ⇔ A ∩ [1, m] = B ∩ [1, m].

b) Montrer que d est une distance sur l'ensemble des parties de N*.

c) Montrer que la suite X_n = {1, 2n, 3n, 4n, ...} converge.

Exercice 2.5

Pour x, y ∈ Z, on pose d(x, y) = 0 si x = y et d(x, y) = 1 / 10^m sinon, où m ≥ 1 vérifie : x - y est divisible par 10^m-1 mais pas par 10^m.

a) Montrer que, pour tout p ∈ N et tous x, y ∈ Z, d(x, y) < 1/10^p ⇔ x - y est divisible par 10^p.

b) Montrer que d est une distance sur Z.

c) On pose x_n = la somme des k*k! pour k allant de 1 à n pour tout entier n. Montrer que cette suite converge vers -1 dans (Z, d). Indication : x_n + 1 = (n + 1)!.

d) Montrer que la suite (10ⁿ)_n∈N converge vers 0 et que la suite (2ⁿ)_n∈N diverge dans (Z, d).

Exercice 2.6

Soit (E, d) un espace métrique. Montrer que l'application δ définie sur E × E par δ(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y)), pour x, y ∈ E, est une distance.

Exercice 2.7

Montrer que l'adhérence d'une partie bornée est bornée.

Exercice 2.8

Donner un exemple d'espace métrique où l'adhérence d'une boule ouverte n'est pas la boule fermée correspondante et l'intérieur d'une boule fermée n'est pas la boule ouverte correspondante.

Exercice 2.9

Soient (E, d) un espace métrique et A ⊂ E, non vide, distinct de E. Montrer que (pour x ∈ E) x appartient à l'intérieur de A ⇔ d(x, A^c) > 0. A-t-on toujours d(x, A) = d(x, intérieur de A) ?

Exercice 2.10

Soit f une fonction strictement croissante continue et bornée de R dans R. On pose f̃ = f sur R et f̃(+∞) = lim_+∞f et f̃(-∞) = lim_-∞f (justifier l'existence de ces limites). On définit alors, sur R̃ = R ∪ {-∞, +∞}, d(x, y) = |f̃(x) - f̃(y)|, où x, y ∈ R̃. Montrer que d est une distance sur R̃.

Exercice 2.11

Soient (E, ||.||) un espace vectoriel normé et K une partie convexe non vide de E. Montrer que l'adhérence de K et l'intérieur de K sont convexes.

Exercice 2.12

Soient ||f||₁ = l'intégrale de |f(t)| sur [0,1] et ||f||_∞ = le supremum de |f(t)| pour t dans [0,1]. Montrer que ces normes ne sont pas équivalentes sur C([0, 1]).

Exercice 2.13

On considère Cc(R) l'espace des fonctions continues sur R à support compact. Montrer que les normes ||.||₁, ||.||₂ et ||.||_∞ ne sont pas comparables sur cet espace.

Exercice 2.14

Déterminer les adhérences et les intérieurs des parties A suivantes de Rⁿ (muni de la distance euclidienne).

a) (n = 1) A = [a, b].

b) (n = 1) A = [a, +∞[.

c) (n = 2) A = [a, b] × {0}.

d) (n = 2) A = {(x, y) | x² + y² = 1}.

e) (n = 1) A = Q ∩ ]0, 1[.

f) (n = 2) A = Q × Q.

g) (n = 2) A = Q × (R \ Q).

h) (n = 1) A = {1/n | n ∈ N*}.

i) (n = 1) A = {sin(1/n) | n ∈ N*}.

j) (n = 1) A = {sin(n) | n ∈ N*}.

k) (n = 4) A = {(a, b, c, d) | ad - bc ≠ 0}.

l) l'ensemble des matrices orthogonales d'ordre 2.

m) l'ensemble des matrices inversibles.

Exercice 2.15

Soit p > 0. On rappelle que l_p = {(a_n) ∈ C^N; la série de |a_n|^p converge} et la norme p de la suite (a_n), ||(a_n)||_p = (la série de |a_n|^p)^1/p est alors définie sur l_p. Pour p = +∞ : l_∞ = {(a_n) ∈ C^N; le supremum de |a_n| est fini} et la norme infinie de la suite (a_n), ||(a_n)||_∞ = le supremum de |a_n| est alors définie sur l_∞. Enfin, c₀ = {(a_n) ∈ C^N; la limite de a_n quand n tend vers l'infini est 0}. Soient p, q ≥ 1 tels que 1/p + 1/q = 1.

a)i) Montrer l'inégalité de Young : pour tous x, y ∈ R+, xy ≤ (1/p)x^p + (1/q)y^q.

ii) En déduire l'inégalité de Hölder : pour tout a ∈ l_p et tout b ∈ l_q, montrer que ab ∈ l₁ avec ||(a_n.b_n)||₁ ≤ ||(a_n)||_p.||(b_n)||_q.

b) En déduire l'inégalité de Minkowski, c'est-à-dire l'inégalité triangulaire pour la norme ||.||_p et montrer que ||.||_p est effectivement une norme.

Exercice 2.16

Montrer que c₀ est séparable mais que l_∞ est non séparable. Pour ce deuxième point, on suppose qu'il existe une partie dénombrable dense (v_n)_n≥1. Soit x une suite à valeurs 0 ou 1. On note ω_x = la boule ouverte de centre x et de rayon 1/2.

1) Montrer que x ≠ x₀ ⇒ ω_x ∩ ω_x0 = ∅.

2) Montrer que pour tout x ∈ {0, 1}^N, il existe un entier n(x) tel que v_n(x) ∈ ω_x. Justifier que pour x ≠ x₀, on a n(x) ≠ n(x₀).

3) En déduire que {0, 1}^N devrait alors être dénombrable et conclure (on pourra faire un raisonnement via la diagonale de Cantor).

Exercice 2.17

Soient (E, ||.||) un espace vectoriel normé et F un sous-espace vectoriel, distinct de E. Montrer que F est d'intérieur vide.

Exercice 2.18

Soient E l'espace des fonctions sur [a, b] à valeurs réelles, qui sont bornées et A ⊂ [a, b], non vide. On considère X le sous-ensemble de E des fonctions nulles sur A. Montrer que X = Fr(X) (X est égal à sa frontière).

3. Espaces topologiques

Exercice 3.1

Lesquelles des familles suivantes de parties de [0, 1] forment une topologie sur [0, 1] ?

τ₁ = {A ⊂ [0, 1] | A ⊂ ]0, 1[ ou A = [0, 1] ou A = ∅}.

τ₂ = {A ⊂ [0, 1] | A ⊂ Q ∩ [0, 1] ou Q ∩ [0, 1] ⊂ A ou A = ∅ ou A = [0,1]}.

τ₃ = {A ⊂ [0, 1] | A.A ⊂ A ou A = ∅ ou A = [0,1]}.

τ₄ = {A ⊂ [0, 1] | A + A ∩ [0, 1] ⊂ A ou Q ∩ [0, 1] ⊂ A ou A = ∅ ou A = [0,1]}.

τ₅ = {A ⊂ [0, 1] | 0 ∉ A ou A = [0, 1] ou A = ∅}.

τ₆ = {A ⊂ [0, 1] | 0 ∈ A ou A = ∅}.

Exercice 3.2

Montrer que toute intersection de topologies est une topologie.

Exercice 3.3

Soit Σ une famille de parties sur un ensemble X. On suppose que cette famille est presque stable par intersection : ∀A, B ∈ Σ, ∀x ∈ A ∩ B, ∃C ∈ Σ, x ∈ C ⊂ A ∩ B. Montrer que la topologie engendrée par Σ est l'ensemble des réunions d'éléments de Σ, auquel on ajoute {∅, X}.

Exercice 3.4

Soit (X, τ) un espace topologique, que l'on suppose séparé. On dit qu'il est régulier si pour tout x ∈ X et tout fermé F ne contenant pas x, il existe deux ouverts disjoints, l'un contenant x et l'autre contenant F.

1) Montrer que (X, τ) est régulier si et seulement si tout élément de X a une base de voisinages fermés.

2) Montrer que (X, τ) est normal si et seulement si tout fermé de X a une base de voisinages fermés.

Exercice 3.5

Soit (X, τ) un espace topologique.

1) Soit Y une partie de X. Montrer que l'intérieur de la frontière de la frontière de Y est vide.

2) Donner un exemple de partie Y de R telle que la frontière de la frontière de Y ≠ la frontière de Y.

Exercice 3.6

Soient (X, τ) un espace topologique et A, B ⊂ X. On suppose que A est ouvert.

a) Montrer que A ∩ l'adhérence de B ⊂ l'adhérence de (A ∩ B).

b) Donner un contre-exemple dans R si on ne suppose pas A ouvert.

Exercice 3.7

Soit (X, τ) un espace topologique. Pour A ⊂ X, on note A° l'ensemble des points d'accumulation de A. Soient A, B ⊂ X.

i) Montrer que (A ∪ B)° = A° ∪ B° et que (A ∩ B)° ⊂ A° ∩ B°. A-t-on égalité en général ? (Indication : construire un contre-exemple dans R où le seul point d'accumulation de A et de B est 0 et où 0 est leur seul point commun).

ii) On suppose que (X, τ) est un espace séparé. Montrer que A° est fermé.

4. Continuité et Convergence

Exercice 4.1

Montrer que l'application suivante est continue (on calculera la norme; montrer qu'elle n'est pas atteinte sur la boule unité) ϕ : c₀ → R, u ↦ la somme des u_n / 2ⁿ⁺¹ pour n dans N.

Exercice 4.2

Soit (E, d) un espace métrique. Montrer que l'application δ définie sur E × E par δ(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y)), pour x, y ∈ E, est une distance. Montrer que δ est topologiquement équivalente à d. Même questions avec δ_a(x, y) = min(a, d(x, y)), où a > 0.

Exercice 4.3

Soit (E, ||.||) un espace vectoriel normé réel. On considère V un sous-espace fermé et F de dimension finie en somme directe avec V. Montrer par récurrence sur la dimension de F que V ⊕ F est fermé. Indication, il suffit de le faire pour dim F = 1 et on utilisera la caractérisation de la continuité des formes linéaires.

Exercice 4.4

Soient (E, ||.||) un espace vectoriel normé réel et ψ dans le dual algébrique. On suppose que l'image par ψ de toute suite convergente vers 0 est bornée. Montrer que ψ est continue.

Exercice 4.5

Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces métriques. Soient f et g continues de X dans Y.

i) Montrer que {x ∈ X | f(x) = g(x)} est fermé dans X.

ii) Soit A une partie dense de X. Montrer que si f et g coïncident sur A alors f = g.

Exercice 4.6

Soit f l'application de [0, 1[ dans le cercle unité du plan complexe qui à t ∈ [0, 1[ associe e^2iπt.

i) Montrer que f est une bijection continue.

ii) f est-il un homéomorphisme ?

Exercice 4.7

Soient D le disque unité fermé de R² (i.e. la boule unité fermée pour la norme euclidienne) et K le carré unité fermé : K = {(x, y) ∈ R² | max(|x|, |y|) ≤ 1}. Ils sont munis de la topologie induite par la structure euclidienne de R². Montrer que D et K sont homéomorphes. Pour cela, on pourra considérer l'application de D dans K définie par f(0) = 0 et f(x, y) = (x / (√(x² + y²)) * max(|x|, |y|), y / (√(x² + y²)) * max(|x|, |y|)) pour (x, y) ∈ D \ {0}.

Exercice 4.8

Soient (f_n) une suite d'applications uniformément continues de (X, d) dans (Y, δ) (deux espaces métriques), convergeant uniformément vers f sur X. Montrer que f est uniformément continue.

Exercice 4.9

Montrer que l'ensemble des endomorphismes cycliques est un ouvert (que le corps soit R ou C).

5. Topologie produit - Topologie quotient

Exercice 4.10

Soit f(x) = x sin(ln(x)) pour x > 0 et f(0) = 0. Est-ce que f est uniformément continue sur R+ ? Soit g(x) = x sin(x) pour x ∈ R. Est-ce que g est uniformément continue sur R ?

Exercice 4.11

Pour f ∈ C([0, 1]), on définit les normes ||f||_∞ = le supremum de |f(t)| pour t dans [0,1] et ||f||₁ = l'intégrale de |f(t)| sur [0,1]. Les applications linéaires suivantes sont-elles continues ? On calculera éventuellement leur norme.

ϕ : (C([0, 1]), ||.||_∞) → R, f ↦ f(0)

ϕ : (C([0, 1]), ||.||₁) → R, f ↦ f(0)

ϕ : (C([0, 1]), ||.||₁) → (C([0, 1]), ||.||_∞), f ↦ f

ϕ : (C([0, 1]), ||.||₁) → (C([0, 1]), ||.||_∞), f ↦ (x ↦ l'intégrale de f(t) sur [0,x])

ϕ : (C([0, 1]), ||.||₁) → R, f ↦ (1/2) * l'intégrale de f(t) sur [0,1] - (1/2) * l'intégrale de f(t) sur [0,1]

Exercice 4.12

Soit σ l'application de R dans R définie par σ(x) = 1 si x ≥ 0 et σ(x) = -1 sinon. Soit f l'application de R dans R définie par f(x) = σ(x) * √( |x| ) pour tout réel x. Montrer que f est un homéomorphisme vérifiant pour tous x, y ∈ R, |f(x)-f(y)| ≤ 2 * √( |x - y| ) et |f^-1(x) - f^-1(y)| ≤ |x - y|(|x| + |y|). Est-ce que f et f^-1 sont uniformément continues ?

Exercice 4.13. Hahn-Banach fini-dimensionnel

Soit E un R-espace vectoriel de dimension n ≥ 1. Soient F un sous-espace de E et f une forme linéaire continue sur F. Montrer que f se prolonge en une forme linéaire f̃ sur E avec ||f̃|| = ||f||. Indication : on raisonnera par récurrence sur la dimension. On considère alors f une forme linéaire continue sur F, de dimension finie et a ∉ F. On prouvera l'existence de α ∈ R tel que pour tous x, y ∈ F, on ait f(x) - ||f||.||x - a|| ≤ α ≤ ||f||.||y + a|| - f(y) pour conclure avec E = F ⊕ Ra.

5. Topologie produit - Topologie quotient

Exercice 5.1

Soit (E_i)_i∈I une famille d'espaces topologiques. Leur produit est muni de la topologie produit. Montrer qu'une suite (u_n)_n est convergente vers l = (l_i)_i∈I si et seulement si pour chaque i ∈ I, (u_n,i)_n converge vers l_i.

Exercice 5.2

Soit f une application dérivable de R dans R. On définit l'application F : R² → R par F(x, y) = (f(x) - f(y)) / (x - y) si x ≠ y et F(x, y) = f'(x) si x = y. L'espace R² est muni de la topologie produit (R est muni de sa topologie usuelle). Montrer que F est continue si et seulement si f est de classe C¹ sur R.

Exercice 5.3

Sur l'espace ([0, 1], |.|), on définit la relation d'équivalence : xRy si x-y ∈ Z (i.e. l'égalité modulo 1). Montrer que l'espace quotient [0, 1]/R (muni de la topologie quotient) est homéomorphe au cercle unité Γ du plan, via l'application g qui, à ṫ ∈ [0, 1]/R, associe (cos 2πt, sin 2πt) ∈ Γ. On pourra utiliser l'application f = g ◦ σ, où σ est la surjection canonique de [0, 1] sur [0, 1]/R.

Exercice 5.4. Groupes topologiques

On appelle groupe topologique, un groupe (G, .) muni d'une topologie telle que les applications suivantes soient continues (G×G est muni de la topologie produit) :

G × G → G, (x, y) ↦ x.y

G → G, g ↦ g^-1

a) Montrer que tout sous-groupe d'un groupe topologique G est un groupe topologique. De plus, montrer que si G est séparé, tout sous-groupe l'est aussi.

b) Montrer qu'un groupe topologique est séparé si et seulement si {e} est fermé.

c) Montrer que GL_n(R) est un groupe topologique séparé (pour la topologie induite par la topologie d'espace vectoriel normé de M_n(R)).

d) En déduire que les sous-groupes suivants de GL_n(R) sont des groupes topologiques séparés : GL_n⁺(R), O_n(R) et SO_n(R).

6. Espaces compacts

Exercice 6.1

Soient E et F des espaces topologiques séparés.

1) Soit f : E → F bijective et ouverte. Montrer que pour toute partie compacte B de F, f^-1(B) est une partie compacte de E.

2) On suppose E compact. Soit A une partie fermée de E × F. Montrer que la projection de A sur F est fermée. Donner un exemple où la projection de A sur E n'est pas fermée.

Exercice 6.2

Montrer qu'il n'existe pas de partition dénombrable de [0, 1] en fermés (non vides). Pour cela, on raisonnera par l'absurde en supposant que [0, 1] = l'union des F_n pour n dans N où les F_n sont des fermés disjoints non vides. Considérer les extrémités (borne supérieure et borne inférieure) de certains d'entre eux pour mettre en évidence une suite de segments emboîtés et aboutir à une contradiction.

Exercice 6.3

Soient (E, d) un espace métrique compact et f : E → E une isométrie. Montrer que f est bijective. Indication : considérer les images itérées d'un point.

Exercice 6.4

Soient (E, d) un espace métrique compact et f : E → E une application continue telle que pour tous x, y ∈ E, d(f(x), f(y)) ≥ d(x, y). Montrer que f est une isométrie bijective. Indication : considérer les images itérées d'un point.

Exercice 6.5

Montrer que le groupe orthogonal O_n(R) est compact. Même question avec le groupe unitaire U_n(C).

Exercice 6.6. Nombres de Lebesgue

Dans la suite, K désigne R ou C. Soient n ≥ 1 un entier et ε > 0. On note d_n = n si K = R et d_n = 2n si K = C. On note N(ε) le cardinal minimum d'un ε-réseau dans la boule unité de Kⁿ, muni d'une norme ||.|| (on rappelle qu'un ε-réseau est une partie R de la boule unité de Kⁿ tel que tout point de cette boule est distant d'au plus ε de R). Montrer que 1/ε^d_n ≤ N(ε) ≤ (1 + 2/ε)^d_n. Établir le même résultat dans un espace vectoriel normé de dimension n. En déduire le théorème de Riesz.

Exercice 6.7

Soit (K, d) un espace métrique compact. Montrer que les idéaux maximaux de C(K, R) sont les idéaux annulateurs en un point, i.e. de la forme I_x = {f ∈ C(K, R) | f(x) = 0}, où x ∈ K.

Exercice 6.8. Lemme d'Auerbach

Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension n ≥ 1. Montrer qu'il existe une base (x₁, ..., x_n) de E telle que ||x₁|| = ... = ||x_n|| = ||x*₁|| = ... = ||x*_n|| = 1, où les x*_i sont les formes linéaires coordonnées associées. Pour cela, on considérera l'application du produit des n sphères unités de E dans R qui à (x₁, ..., x_n) associe leur déterminant (dans une base fixée). Soient X un R-espace vectoriel normé et E un sous-espace vectoriel de dimension n ≥ 1. On admet que toute forme linéaire sur E admet un prolongement à X de même norme. Montrer qu'il existe une projection de X sur E de norme inférieure à n.

Exercice 6.9

Soit (E, ||.||) un R-espace vectoriel normé de dimension finie. L(E) est muni de la norme opérateur usuelle ||f|| = sup_||x||=1 ||f(x)||. Montrer que si p est un projecteur, on a ||p|| ≥ 1. Montrer que l'ensemble des projecteurs ayant une image donnée est un convexe fermé de L(E).

Exercice 6.10

Soit K une partie non vide de Rⁿ, convexe, compacte, symétrique par rapport à 0 telle que 0 soit un point intérieur. On veut montrer qu'il existe une norme p sur Rⁿ telle que K soit la boule unité de Rⁿ pour p. On introduit la jauge de Lorentz-Minkowski : p(x) = inf{t > 0 | x/t ∈ K}. Montrer que p est une norme qui répond au problème. Pour cela,

i) Montrer que p(x) = 0 si et seulement si x = 0.

ii) Pour x non nul, montrer que x/p(x) ∈ K.

iii) Pour x non nul et t > 0, montrer que p(tx) ≤ tp(x).

iv) Conclure.

Exercice 6.11. Théorème d'Ascoli

Soit K un espace métrique compact et H une partie de C(K). On suppose que H est bornée ponctuellement (∀x ∈ K, sup_h∈H |h(x)| < ∞) et équicontinue (∀ε > 0, ∀x ∈ K, ∃α_x > 0, d(x, t) < α_x ⇒ ∀h ∈ H, |h(x) - h(t)| < ε). On veut montrer que H est relativement compacte i.e. l'adhérence de H est compacte.

1) Justifier qu'il existe x₁, ..., x_n tels que K = l'union des boules ouvertes B(x_i, α_xi) pour i de 1 à n.

2) Soit D le disque fermé (du plan complexe) de centre 0 et de rayon M, où M est la borne supérieure des |h(x_i)| pour i ∈ {1, ..., n} et h ∈ H. En utilisant l'application p(h) = (h(x₁), ..., h(x_n)) de H dans D × ... × D (avec la norme sup), montrer qu'il existe h₁, ..., h_m ∈ H tels que pour tout h ∈ H, il existe j ∈ {1, ..., m} tel que le supremum de |h_j(x_i) - h(x_i)| pour i de 1 à n est inférieur à ε.

3) Montrer que H ⊂ l'union des boules ouvertes B(h_j, 3ε) pour j de 1 à m, puis conclure (on rappelle qu'un espace précompact et complet est compact : cf. exercices espaces complets).

7. Espaces connexes

Exercice 7.1

Soient U₁ et U₂ des connexes d'un espace topologique. Montrer que la réunion est connexe si et seulement si U₁ ∩ U₂ ≠ ∅.

Exercice 7.2

Soit (E, d) un espace métrique connexe et non borné. Montrer que toute sphère est non vide.

Exercice 7.3

Montrer que R² et R ne sont pas homéomorphes.

Exercice 7.4

Dans (R², ||.||₂), quelles sont les composantes connexes de (Q × Q)^c ? Celles de (R \ Q) × (R \ Q) ?

Exercice 7.5

Soient I un intervalle de R et f une application continue et strictement croissante (resp. décroissante).

a) Montrer que l'image de f est un intervalle.

b) Montrer que l'image de [a, b] est [f(a), f(b)] et que celle de ]a, b[ est ]f(a), f(b)[.

c) Montrer que l'application f̂ corestreinte à l'image de f est un homéomorphisme (i.e. f̂ : I → f(I) avec f̂(x) = f(x) pour x ∈ I).

Exercice 7.6

Soient I et J des intervalles de R. En utilisant la connexité,

a) Montrer que si I est ouvert et J ne l'est pas alors I et J ne sont pas homéomorphes.

b) Montrer que si I est fermé et J ne l'est pas alors I et J ne sont pas homéomorphes.

c) Montrer que si I est fermé borné et J ne l'est pas alors I et J ne sont pas homéomorphes.

Exercice 7.7

Soit U un ouvert fermé d'un espace topologique E.

a) Montrer que si x ∈ U alors C(x) ⊂ U, où C(x) est la composante connexe de x dans E, et donc que C(x) = C_U(x) (C_U(x) est la composante connexe de x dans U).

b) En déduire que U = l'union des C(x) pour x dans U.

Exercice 7.8

Montrer que GL_n⁺(R) = {M | det(M) > 0} est connexe par arcs. Est-ce le cas de GL_n(R) ? Montrer que GL_n(C) est connexe par arcs.

Exercice 7.9

Montrer que l'ensemble des endomorphismes cycliques est un ouvert connexe (que le corps soit R ou C). On utilisera l'exercice précédent et l'écriture matricielle de tels endomorphismes sous forme de matrice compagnon.

Exercice 7.10

Dans (R², ||.||₂), montrer que E est connexe puis que son adhérence est connexe mais n'est pas connexe par arcs, où E = (l'union des segments [1/(n+1), 1/n] × {y} pour y dans R) ∪ (l'union des segments {x} × [1/(n+1), 1/n] pour x dans R).

Exercice 7.11

Soit (E, d) un espace métrique. On dit que E est bien enchaîné si pour tous x, y ∈ E et tout ε > 0, il existe un nombre fini de points x₀, ..., x_n ∈ E tels que x₀ = x, x_n = y et d(x_i, x_i+1) < ε (0 ≤ i ≤ n - 1).

1) Montrer que si E est connexe, il est bien enchaîné. Indication : considérer les ensembles E_x = {y ∈ E | il existe un nombre fini de points x₀, ..., x_n ∈ E tels que x₀ = x, x_n = y et d(x_i, x_i+1) < ε; 0 ≤ i ≤ n - 1}. On montrera que les E_x sont ouverts et que les E_x distincts forment une partition de E.

2) Montrer que si E est bien enchaîné et compact alors il est connexe.

FAQ sur la Topologie

Qu'est-ce qu'un espace métrique ?

Un espace métrique est un ensemble muni d'une fonction appelée "distance" (ou métrique) qui permet de mesurer l'éloignement entre deux points de cet ensemble. Cette distance doit satisfaire certaines propriétés : être positive, symétrique, nulle si et seulement si les points sont identiques, et respecter l'inégalité triangulaire.

Pourquoi la connexité est-elle importante en topologie ?

La connexité est une propriété topologique fondamentale qui décrit les espaces qui ne peuvent pas être séparés en deux sous-ensembles ouverts non vides et disjoints. Elle est essentielle pour comprendre la "continuité" d'un espace. Par exemple, le théorème des valeurs intermédiaires est une conséquence directe de la connexité des intervalles de nombres réels.

Comment la notion de compacité est-elle définie en topologie ?

Un espace topologique est dit compact si de tout recouvrement par des ensembles ouverts, on peut extraire un sous-recouvrement fini. Dans le cas des espaces métriques, cela est équivalent à dire que l'espace est complet et précompact (ou séquentiellement compact, c'est-à-dire que toute suite admet une sous-suite convergente).