Exercices de topologie licence mathématiques artois analyse
Télécharger PDFLicence de Math´ematiques Universit´e d’Artois Exercices de Topologie P. Lef`evre
Topologie. 2 1 R´evisions : Th´eorie des ensembles et Topologie de R
Exercice 1.1 Soient E et F des ensembles, f une application de E dans F. a) Soit (Ai)i∈I une famille d’ensembles de E. Montrer que f(∩i∈IAi) ⊂\ i∈I f(Ai) et que si f est injective alors on a ´egalit´e. R´eciproquement, montrer que si on a toujours ´egalit´e, alors f est injective. b) Montrer que f est injective si et seulement si pour toute partie A de E, f−1(f(A)) = A. c) Montrer que f est surjective si et seulement si pour toute partie B de F, f(f−1(B)) = B.
Exercice 1.2 Soit X un ensemble, montrer que l’inclusion dans P(X) est une relation d’ordre. Est-il total ? Montrer que toute partie de P(X) admet une borne sup´erieure et une borne inf´erieure.
Exercice 1.3 Soient E un ensemble et A, B ⊂ E. On consid`ere l’application f de P(E) dans P(A) × P(B) d´efinie par f(X) = (X ∩ A, X ∩ B). Montrer que f est injective si et seulement si E = A ∪ B.
Exercice 1.4 Montrer que Q et R \ Q sont denses dans R.
Exercice 1.5 Th´eor`eme de C´esaro. 1) Soit (an)n∈N une suite de complexes convergente vers a. On d´efinit pour tout n ∈ N vn =1 n + 1 Montrer que cette suite converge aussi vers a. Xn k=0 ak. 2) Soit (αn)n∈N une suite de r´eels strictement positifs. A toute suite (an)n∈N de complexes, on associe a˜n = Pnk=0 αkak Pnk=0 αk. Montrer l’´equivalence entre les deux assertions suivantes : i) La s´erie P∞k=0 αk diverge. ii) Pour toute (an)n∈N convergente vers a, la suite (˜an)n∈N associ´ee converge aussi vers a.
Exercice 1.6 Sous-groupes additifs de R. On ´etudie les sous-groupes de (R, +). Soit H un sous-groupe non r´eduit `a 0. On pose a = inf{x ∈ H| x > 0}. Justifier l’existence de a. 1) On veut montrer que si a > 0, H = aZ. i) En utilisant la caract´erisation de la borne inf´erieure, montrer que a ∈ H. En d´eduire aZ ⊂ H. ii) Soit h ∈ H ∩ R+∗. Consid´erer k = max{n ∈ N| na ≤ h} et montrer que h = ak. Conclure. 2) Montrer que si a = 0, H est dense dans R. 3) Soient a, b ∈ R∗+, montrer que aZ + bZ est dense dans R ssiab∈/ Q. 4) Montrer que cos(Z) est dense dans [−1, 1]. 5) Soient a, b ∈ R∗+, montrer que aN + bZ est dense dans R siab∈/ Q et que sin(N) est dense dans [−1, 1].
Topologie. 3
Exercice 1.7 Soit (xn)n∈N une suite born´ee de r´eels. a) Montrer que les suites (sn)n∈N et (in)n∈N suivantes sont bien d´efinies : sn = sup k≥n xk in = inf k≥nxk. b) Montrer que ces deux suites sont convergentes. On note lim xn la limite de (sn)n∈N et lim xn la limite de (in)n∈N. c) Montrer que lim xn est la plus grande valeur d’adh´erence de (xn)n∈N et que lim xn est la plus petite valeur d’adh´erence de (xn)n∈N. d) Etablir le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass pour les suites r´eelles. e) Montrer que (xn)n∈N converge si et seulement si lim xn = lim xn.
Exercice 1.8 Examen Septembre 2003 1) Soient a < b deux r´eels. Soit no un entier sup´erieur `a 1 un entier n ≥ n0 tels que ln(n) + 2kπ ∈ [a, b]. Pour n ∈ N, n ≥ 1, on pose : un = sin(ln(n)). 2) Montrer que cette suite est dense dans [−1, 1]. 3) Est-ce que cette suite converge ? b − a. Montrer qu’il existe k ∈ Z et
Exercice 1.9 Soient deux suites (an)n∈N et (bn)n∈N de [0, 1] telles que le produit anbn converge vers 1. Montrer que chacune des suites converge vers 1. Indication : on pourra raisonner en termes de sous-suites ou trouver un argument tr`es ´el´ementaire (niveau premi`ere)
Exercice 1.10 On pose R˜ = R ∪ {−∞, +∞} et on met sur R˜ l’ordre suivant : pour tout x ∈ R, −∞ < x < +∞; et sur R, l’ordre usuel. Montrer que tout partie de R˜ admet un majorant et un minorant; une borne sup´erieure et une borne inf´erieure.
Topologie. 4 2 Espaces m´etriques.
Exercice 2.1 V´erifier que, sur R, d(x, y) = | arctan(x) − arctan(y)| est une distance.
Exercice 2.2 Montrer que d2, d1 et d∞ (cf cours) sont bien des distances.
Exercice 2.3 Soit E un ensemble. Soit d d´efinie par d(x, y) = 1 si x = y et d(x, y) = 0 sinon (o`u x, y ∈ E). Montrer que d est une distance sur E.
Exercice 2.4 Pour A et B des parties de N∗, on d´efinit : d(A, B) = min(A∆B) −1si A 6= B et d(A, B) = 0 si A = B. On rappelle que A∆B = (A ∪ B) \ (A ∩ B). a) Montrer que, pour tout m ∈ N∗et tous A, B ⊂ N∗, d(A, B) <1m⇐⇒ A∩[1, m] = B∩[1, m]. b) Montrer que d est une distance sur l’ensemble des parties de N∗. c) Montrer que la suite Xn = {1, 2n, 3n, 4n, . . .} converge.
Exercice 2.5 Pour x, y ∈ Z, on pose d(x, y) = 0 si x = y et d(x, y) = 1msinon, o`u m ≥ 1 v´erifie : x − y est divisible par 10m−1 mais pas par 10m. a) Montrer que, pour tout p ∈ N et tous x, y ∈ Z, d(x, y) <1p⇐⇒ x − y est divisible par 10p. b) Montrer que d est une distance sur Z. c) On pose xn =Xn k=1 k.k! pour tout entier n. Montrer que cette suite converge vers −1 dans (Z, d). Indication : xn + 1 = (n + 1)!. d) Montrer que la suite (10n)n∈N converge vers 0 et que la suite (2n)n∈N diverge dans (Z, d).
Exercice 2.6 Soit (E, d) un espace m´etrique. Montrer que l’application δ d´efinie sur E × E par δ(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y), pour x, y ∈ E, est une distance.
Exercice 2.7 Montrer que l’adh´erence d’une partie born´ee est born´ee.
Exercice 2.8 Donner un exemple d’espace m´etrique o`u l’adh´erence d’une boule ouverte n’est pas la boule ferm´ee correspondante et l’int´erieur d’une boule ferm´ee n’est pas la boule ouverte correspondante.
Exercice 2.9 Soient (E, d) un espace m´etrique et A ⊂ E, non vide, distinct de E. Montrer que (pour x ∈ E) x ∈◦A ⇔ d(x, Ac) > 0. A-t-on toujours d(x, A) = d(x,◦A) ?
Exercice 2.10 Soit f une fonction strictement croissante continue et born´ee de R dans R. On pose ˜f = f sur R et ˜f(+∞) = lim+∞f et ˜f(−∞) = lim−∞f (justifier l’existence de ces limites). On d´efinit alors, sur R˜ = R ∪ {−∞, +∞}, d(x, y) = |˜f(x) − ˜f(y)|, o`u x, y ∈ R˜. Montrer que d est une distance sur R˜.
Exercice 2.11 Soient (E, k.k) un espace vectoriel norm´e et K une partie convexe non vide de E. Montrer que K¯ et◦K sont convexes.
Topologie. 5
Exercice 2.12 Soient kfk1 = Z 1 0 |f(t)|dt et kfk∞ = sup t∈[0,1] |f(t)|. Montrer que ces normes ne sont pas ´equivalentes sur C([0, 1]).
Exercice 2.13 On consid`ere Cc(R) l’espace des fonctions continues sur R `a support compact. Montrer que les normes k.k1, k.k2 et k.k∞ ne sont pas comparables sur cet espace.
Exercice 2.14 D´eterminer les adh´erences et les int´erieurs des parties A suivantes de Rn(muni de la distance euclidienne). a) (n = 1) A = [a, b]. b) (n = 1) A = [a, +∞[. c) (n = 2) A = [a, b] × {0} d) (n = 2) A = {(x, y)| x2 + y2 = 1} e) (n = 1) A = Q∩]0, 1[. f) (n = 2) A = Q × Q g) (n = 2) A = Q × Qc h) (n = 1) A = {1/n| n ∈ N∗}. i) (n = 1) A = {sin(1/n)| n ∈ N∗}. j) (n = 1) A = {sin(n)| n ∈ N∗}. k) (n = 4) A = {(a, b, c, d)| ad − bc 6= 0}. l) l’ensemble des matrices orthogonales d’ordre 2. m) l’ensemble des matrices inversibles
Exercice 2.15 Soit p > 0. On rappelle que `p = {(an) ∈ CN;X|an|p < +∞} et k(an)kp = (X|an|p)1p est alors d´efini sur `p. Pour p = +∞ : `∞ = {(an) ∈ CN; supn|an| < +∞} et k(an)k∞ = supn|an| est alors d´efini sur `∞. Enfin, c0 = {(an) ∈ CN; limnan = 0}. Soient p, q ≥ 1 tels que 1p+1q= 1. a)i) Montrer l’in´egalit´e de Young : pour tous x, y ∈ R+, xy ≤1pxp +1qyq. ii) En d´eduire l’in´egalit´e de H¨older : pour tout a ∈ `pet tout b ∈ `q, montrer que ab ∈ `1 avec k(an.bn)k1 ≤ k(an)kp.k(bn)kq. b) En d´eduire l’in´egalit´e de Minskowski, c’est `a dire l’in´egalit´e triangulaire pour la norme k.kp et montrer que k.kp est effectivement une norme.
Exercice 2.16 Montrer que c0 est s´eparable mais que `∞ est non s´eparable. Pour ce deuxi`eme point, on suppose qu’il existe une partie d´enombrable dense (vn)n≥1. Soit x une suite `a valeurs 0 ou 1. On note ωx =◦B (x, 12). 1) Montrer que x 6= x0 ⇒ ωx ∩ ωx0 = ∅. 2) Montrer que pour tout x ∈ {0, 1}N, il existe un entier n(x) tel que vn(x) ∈ ωx. Justifier que pour x 6= x0, on a n(x) 6= n(x0). 3) En d´eduire que {0, 1}N devrait alors ˆetre d´enombrable et conclure (on pourra faire un raisonnement via la diagonale de Cantor).
Exercice 2.17 Soient (E, k.k) un espace vectoriel norm´e et F un sous-espace vectoriel, distinct de E. Montrer que F est d’int´erieur vide.
Exercice 2.18 Soient E l’espace des fonctions sur [a, b] `a valeurs r´eelles, qui sont born´ees et A ⊂ [a, b], non vide. On consid`ere X le sous-ensemble de E des fonctions nulles sur A. Montrer que X = F rX.
Topologie. 6 3 Espaces topologiques.
Exercice 3.1 Lesquelles des familles suivantes de parties de [0, 1] forment une topologie sur [0, 1] ? τ1 = {A ⊂ [0, 1]| A ⊂]0, 1[ ou A = [0, 1]}. τ2 = {A ⊂ [0, 1]| A ⊂ Q ∩ [0, 1] ou Q ∩ [0, 1] ⊂ A}. τ3 = {A ⊂ [0, 1]| A.A ⊂ A}. τ4 = {A ⊂ [0, 1]| A + A ∩ [0, 1] ⊂ A ou Q ∩ [0, 1] ⊂ A}. τ5 = {A ⊂ [0, 1]| 0 ∈/ A ou A = [0, 1]}. τ6 = {A ⊂ [0, 1]| 0 ∈ A ou A = ∅}.
Exercice 3.2 Montrer que toute intersection de topologies est une topologie.
Exercice 3.3 Soit Σ une famille de parties sur un ensemble X. On suppose que cette famille est presque stable par intersection : ∀A, B ∈ Σ, ∀x ∈ A ∩ B, ∃C ∈ Σ, x ∈ C ⊂ A ∩ B. Montrer que la topologie engendr´ee par Σ est l’ensemble des r´eunions d’´el´ements de Σ, auquel on ajoute {X}.
Exercice 3.4 Soit (X, τ ) un espace topologique, que l’on suppose s´epar´e. On dit qu’il est r´egulier si pour tout x ∈ X et tout ferm´e F ne contenant pas x, il existe deux ouverts disjoints, l’un contenant x et l’autre contenant F. 1) Montrer que (X, τ ) est r´egulier si et seulement si tout ´el´ement de X a une base de voisinages ferm´es. 2) Montrer (X, τ ) est normal si et seulement si tout ferm´e de X a une base de voisinages ferm´es.
Exercice 3.5 Soit (X, τ ) un espace topologique. 1) Soit Y une partie de X. Montrer que l’int´erieur de F r(F r(Y )) est vide. 2) Donner un exemple de partie Y de R telle que F r(F r(Y )) 6= F r(Y ).
Exercice 3.6 Soient (X, τ ) un espace topologique et A, B ⊂ X. On suppose que A est ouvert. a) Montrer que A ∩ B¯ ⊂ A ∩ B. b) Donner un contre-exemple dans R si on ne suppose pas A ouvert.
Exercice 3.7 Soit (X, τ ) un espace topologique. Pour A ⊂ X, on note A0l’ensemble des points d’accumulation de A. Soient A, B ⊂ X. i) Montrer que (A ∪ B)0 = A0 ∪ B0et que (A ∩ B)0 ⊂ A0 ∩ B0. A-t-on ´egalit´e en g´en´eral ? (Indication : construire un contre-exemple dans R o`u le seul point d’accumulation de A et de B est 0 et o`u 0 est leur seul point commun) ii) On suppose que (X, τ ) est un espace s´epar´e. Montrer que A0est ferm´e.
Topologie. 7 4 Continuit´e et Convergence.
Exercice 4.1 Montrer que l’application suivante est continue (on calculera la norme; montrer qu’elle n’est pas atteinte sur la boule unit´e) ϕ : c0 −→ R u 7−→ X n∈N un 2n+1
Exercice 4.2 Soit (E, d) un espace m´etrique. Montrer que l’application δ d´efinie sur E × E par δ(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y), pour x, y ∈ E, est une distance. Montrer que δ est topologiquement ´equivalente `a d. Mˆeme questions avec δa(x, y) = min(a, d(x, y)), o`u a > 0.
Exercice 4.3 Soit (E, k.k) un espace vectoriel norm´e r´eel. On consid`ere V un sous-espace ferm´e et F de dimension finie en somme directe avec V . Montrer par r´ecurrence sur la dimension de F que V ⊕F est ferm´e. Indication, il suffit de le faire pour dim F = 1 et on uilisera la caract´erisation de la continuit´e des formes lin´eaires.
Exercice 4.4 Soient (E, k.k) un espace vectoriel norm´e r´eel et ψ dans le dual alg´ebrique. On suppose que l’image par ψ de toute suite convergente vers 0 est born´ee. Montrer que ψ est continue.
Exercice 4.5 Soient (X, d) et (Y, δ) deux espaces m´etriques. Soient f et g continues de X dans Y . i) Montrer que {x ∈ X| f(x) = g(x)} est ferm´e dans X. ii) Soit A une partie dense de X. Montrer que si f et g co¨ıncident sur A alors f = g.
Exercice 4.6 Soit f l’application [0, 1[ dans le cercle unit´e du plan complexe qui `a t ∈ [0, 1[ associe e2iπt. i) Montrer que f est une bijection continue. ii) f est-il un hom´eomorphisme ?
Exercice 4.7 Soient D le disque unit´e ferm´e de R2(i.e. la boule unit´e ferm´ee pour la norme euclidienne) et K le carr´e unit´e ferm´e : K = {(x, y) ∈ R2| max(|x|, |y|) ≤ 1}. Ils sont munis de la topologie induite par la structure euclidienne de R2. Montrer que D et K sont hom´eomorphes. Pour cela, on pourra consid´erer l’application de D dans K d´efinie par max(|x|, |y|),y√x2 + y2 f(0) = 0 et f(x, y) = x√x2 + y2 max(|x|, |y|) pour (x, y) ∈ D \ {0}.
Exercice 4.8 Soient (fn) une suite d’applications uniform´ement continues de (X, d) dans (Y, δ) (deux espaces m´etriques), convergeant uniform´ement vers f sur X. Montrer que f est uni form´ement continue.
Exercice 4.9 Montrer que l’ensemble des endomorphismes cycliques est un ouvert (que le corps soit R ou C).
Topologie. 8
Exercice 4.10 Soit f(x) = x sin(ln(x)) pour x > 0 et f(0) = 0. Est-ce que f est uniform´ement continue sur R+ ? Soit g(x) = x sin(x) pour x ∈ R. Est-ce que g est uniform´ement continue sur R ?
Exercice 4.11 Pour f ∈ C([0, 1]), on d´efinit les normes kfk∞ = sup t∈[0,1] |f(t)| et kfk1 = Z 1 0 |f(t)|dt. Les applications lin´eaires suivantes sont-elles continues ? On calculera ´eventuellement leur norme. ϕ : (C([0, 1]), k.k∞) −→ R f 7−→ f(0) ϕ : (C([0, 1]), k.k1) −→ R f 7−→ f(0) ϕ : (C([0, 1]), k.k1) −→ (C([0, 1]), k.k∞) f 7−→ f ϕ : (C([0, 1]), k.k1) −→ (C([0, 1]), k.k∞) f 7−→ x 7→Z x 0 ϕ : (C([0, 1]), k.k1) −→ R Z 1 f(t)dt Z 1 f 7−→ 2 0 f(t)dt − 1 2 f(t)dt
Exercice 4.12 Soit σ l’application de R dans R d´efinie par σ(x) = 1 si x ≥ 0 et σ(x) = −1 q sinon. Soit f l’application de R dans R d´efinie par f(x) = σ(x) |x| pour tout r´eel x. q Montrer que f est un hom´eomorphisme v´erifiant pour tous x, y ∈ R, |f(x)−f(y)| ≤ 2 |x − y| et |f−1(x) − f−1(y)| ≤ |x − y|(|x| + |y|). Est-ce que f et f−1sont uniform´ement continues ?
Exercice 4.13 Hahn-Banach fini-dimensionnel. Soit E un R-espace vectoriel de dimension n ≥ 1. Soient F un sous-espace de E et f une forme lin´eaire continue sur F. Montrer que f se prolonge en une forme lin´eaire ˜f sur E avec k˜fk = kfk. Indication : on raisonnera par r´ecurrence sur la dimension. On consid`ere alors f une forme lin´eaire continue sur F, de dimension finie et a /∈ F. On prouvera l’existence de α ∈ R tel que pour tous x, y ∈ F, on ait f(x) − kfk.kx − ak ≤ α ≤ kfk.ky + ak − f(y) pour conclure avec E = F ⊕ Ra.
Topologie. 9 5 Topologie produit - Topologie quotient.
Exercice 5.1 Soit (Ei)i∈I une famille d’espaces topologiques. Leur produit est muni de la topologie produit. Montrer qu ’une suite (un)n est convergente vers ` = (`i)i∈I si et seulement si pour chaque i ∈ I, (un,i)n converge vers `i.
Exercice 5.2 Soit f une application d´erivable de R dans R. On d´efinit l’application F : R2 −→ R (x, y) 7−→f(x) − f(y) x − ysi x 6= y (x, y) 7−→ f0(x) si x = y L’espace R2est muni de la topologie produit (R est muni de sa topologie usuelle). Montrer que F est continue si et seulement si f est de classe C1sur R.
Exercice 5.3 Sur l’espace ([0, 1], |.|), on d´efinit la relation d’´equivalence : xRy si x−y ∈ Z (i.e. l’´egalit´e modulo 1). Montrer que l’espace quotient [0, 1]/R (muni de la topologie quotient) est hom´eomorphe au cercle unit´e Γ du plan, via l’application g qui, `a ˙t ∈ [0, 1]/R, associe (cos 2πt,sin 2πt) ∈ Γ. On pourra utiliser l’application f = g ◦ σ, o`u σ est la surjection canonique de [0, 1] sur [0, 1]/R.
Exercice 5.4 Groupes topologiques. On appelle groupe topologique, un groupe (G, .) muni d’une topologie telle que les applications suivantes soient continues (G×G est muni de la topologie produit) G × G −→ G (x, y) 7−→ x.y G −→ G g 7−→ g−1 a) Montrer que tout sous-groupe d’un groupe topologique G est un groupe topologique. De plus, montrer que si G est s´epar´e, tout sous-groupe aussi. b) Montrer qu’un groupe topologique est s´epar´e si et seulement si {e} est ferm´e. c) Montrer que GLn(R) est un groupe topologique s´epar´e (pour la topologie induite par la topologie d’espace vectoriel norm´e de Mn(R)). d) En d´eduire que les sous-groupes suivants de GLn(R) sont des groupes topologiques s´epar´es : GL+n(R), On(R) et SOn(R).
Topologie. 10 6 Espaces compacts.
Exercice 6.1 Soient E et F des espaces topologiques s´epar´es. 1) Soit f|E → F bijective et ouverte. Montrer que pour toute partie compacte B de F, f−1(B) est une partie compacte de E. 2) On suppose E compact. Soit A une partie ferm´ee de E × F. Montrer que la projection de A sur F est ferm´ee. Donner un exemple o`u la projection de A sur E n’est pas ferm´ee.
Exercice 6.2 Montrer qu’il n’existe pasde partition d´enombrable de [0, 1] en ferm´es (non vides). Pour cela, on raisonnera par l’absurde en supposant que [0, 1] = Tn∈N Fn o`u les Fn sont des ferm´es disjoints non vides. Consid´erer les extr´emit´es (borne sup. et bornes inf.) de certains d’entre eux pour mettre en ´evidence une suite de segments emboˆıt´es et aboutir `a une contradiction.
Exercice 6.3 Soient (E, d) un espace m´etrique compact et f : E → E une isom´etrie. Montrer que f est bijective. Indication : consid´erer les images it´er´ees d’un point.
Exercice 6.4 Soient (E, d) un espace m´etrique compact et f : E → E une application continue telle que pour tous x, y ∈ E, d(f(x), f(y)) ≥ d(x, y). Montrer que f est une isom´etrie bijective. Indication : consid´erer les images it´er´ees d’un point.
Exercice 6.5 Montrer que le groupe orthogonal On(R) est compact. Mˆeme question avec le groupe unitaire Un(C)
Exercice 6.6 Nombres de Lebesgue. Dans la suite, K d´esigne R ou C. Soient n ≥ 1 un entier et ε > 0. On note dn = n si K = R et dn = 2n si K = C. On note N(ε) la cardinal minimum d’un ε-r´eseau dans la boule unit´e de Kn, muni d’une norme k.k (on rappelle qu’un ε-r´eseau est une partie R de la boule unit´e de Kntel que tout point de cette boule est distant d’au plus ε de R). Montrer que1 εdn≤ N(ε) ≤ 1 +2ε dn. Etablir le mˆeme r´esultat dans un espace vectoriel norm´e de dimension n. En d´eduire le th´eor`eme de Riesz.
Exercice 6.7 Soit (K, d) un espace m´etrique compact. Montrer que les id´eaux maximaux de C(K, R) sont les id´eaux annulateurs en un point, i.e. de la forme Ix = {f ∈ C(K, R)| f(x) = 0}, o`u x ∈ K.
Exercice 6.8 Lemme d’Auerbach Soit E un R-espace vectoriel norm´e de dimension n ≥ 1. Montrer qu’il existe une base (x1, . . . , xn) de E telle que kx1k = . . . = kxnk = kx∗1k = . . . = kx∗nk = 1, o`u les x∗isont les formes lin´eaires coordonn´ees associ´ees. Pour cela, on consid`erera l’application du produit des n sph`eres unit´es de E dans R qui `a (x1, . . . , xn) associe leur d´eterminant (dans une base fix´ee). Soient X un R-espace vectoriel norm´e et E un sous-espace vectoriel de dimension n ≥ 1. On admet que toute forme lin´eaire sur E admet un prolongement `a X de mˆeme norme. Montrer qu’il existe une projection de X sur E de norme inf´erieure `a n.
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Exercice 6.9 Soit (E, k.k) un R-espace vectoriel norm´e de dimension finie. L(E) est muni de la norme op´erateur usuelle kfk = sup kxk=1 kf(x)k. Montrer que si p est un projecteur, on a kpk ≥ 1. Montrer que l’ensemble des projecteurs ayant une image donn´ee est un convexe ferm´e de L(E).
Exercice 6.10 Soit K une partie non vide de Rn, convexe, compacte, sym´etrique par rapport `a 0 telle que 0 soit un point int´erieur. On veut montrer qu’il existe une norme p sur Rntelle que K soit la boule unit´e de Rn pour p. On introduit la jauge de Lorentz-Minkowski : p(x) = inf{t > 0|xt∈ K}. Montrer que p est une norme qui r´epond au probl`eme. Pour cela, i) Montrer que p(x) = 0 ssi x = 0. ii) Pour x non nul, montrer que p(x)−1x ∈ K. iii) Pour x non nul et t > 0, montrer que p(tx) ≤ tp(x). iv) Conclure.
Exercice 6.11 Th´eor`eme d’Ascoli. Soit K m´etrique compact et H une partie de C(K). On suppose que H est born´ee ponctuellement (∀x ∈ K, sup H |h(x)| < ∞) et ´equicontinue (∀ε > 0, ∀x ∈ K, ∃αx > 0, d(x, t) < αx ⇒ ∀h ∈ H, |h(x) − h(t)| < ε). On veut montrer que H est relativement compacte i.e. H compacte. 1) Justifier qu’il existe x1, . . . , xn tels que K =[ 1≤i≤n ◦B (xi, αxi). 2) Soit D le disque ferm´e (du plan complexe) de centre 0 et de rayon M, o`u M est la borne sup´erieure des |h(xi)| pour i ∈ {1, . . . , n} et h ∈ H. En utilisant l’application p(h) = (h(x1), . . . , h(xn)) de H dans D ×. . .×D (avec la norme sup), montrer qu’il existe h1, · · · , hm ∈ H tels que pour tout h ∈ H, il existe j ∈ {1, · · · , m} tel que sup |hj (xi) − h(xi)| < ε. 3) Montrer que H ⊂ [ 1≤j≤m 1≤i≤n ◦B (hj, 3ε) puis conclure (on rappelle qu’un espace pr´ecompact et complet est compact : cf exos espaces complets).
Topologie. 12 7 Espaces connexes.
Exercice 7.1 Soient U1 et U2 des connexes d’un espace topologique. Montrer que la r´eunion est connexe si et seulement si U1 ∩ U2 6= ∅ ou U1 ∩ U2 6= ∅.
Exercice 7.2 Soit (E, d) un espace m´etrique connexe et non born´e. Montrer que toute sph`ere est non vide.
Exercice 7.3 Montrer que R2et R ne sont pas hom´eomorphes.
Exercice 7.4 Dans (R2, k.k2), quelles sont les composantes connexes de (Q × Q)c? Celles de Qc × Qc?
Exercice 7.5 Soient I un intervalle de R et f une application continue et strictement croissante (resp. d´ecroissante) a) Montrer que l’image de f est un intervalle. b) Montrer que l’image de [a, b] est [f(a), f(b)] et que celle de ]a, b[ est ]f(a), f(b)[. c) Montrer que l’application ˆf corestreinte `a l’image de f est un hom´eomorphisme (i.e. ˆf : I → f(I) avec ˆf(x) = f(x) pour x ∈ I).
Exercice 7.6 Soient I et J des intervalles de R. En utilisant la connexit´e, a) Montrer que si I est ouvert et J ne l’est pas alors I et J ne sont pas hom´eomorphes. b) Montrer que si I est ferm´e et J ne l’est pas alors I et J ne sont pas hom´eomorphes. c) Montrer que si I est ferm´e born´e et J ne l’est pas alors I et J ne sont pas hom´eomorphes.
Exercice 7.7 Soit U un ouvert ferm´e d’un espace topologique E. a) Montrer que si x ∈ U alors C(x) ⊂ U, o`u C(x) est la composante connexe de x dans E, et donc que C(x) = CU (x) (CU (x) est la composante connexe de x dans U). b) En d´eduire que U =[ x∈U C(x).
Exercice 7.8 Montrer que GL+n(R) = {M| det(M) > 0} est connexe par arcs. Est-ce le cas de GLn(R) ? Montrer que GLn(C) est connexe par arcs.
Exercice 7.9 Montrer que l’ensemble des endomorphismes cycliques est un ouvert connexe (que le corps soit R ou C). On utilisera l’exercice pr´ec´edent et l’´ecriture matricielle de tels endomorphismes sous forme de matrice compagnon.
Exercice 7.10 Dans (R2, k.k2), montrer que E est connexe puis que son adh´erence est connexe mais n’est pas connexe par arcs, o`u E =[ n∈N∗ n(1n, y)| y ∈ Ro∪[ n∈N∗ n + 1≤ x ≤1no. n(x, n)|1
Exercice 7.11 Soit (E, d) un espace m´etrique. On dit que E est bien enchaˆın´e si pour tous x, y ∈ E et tout ε > 0, il existe un nombre fini de points x0, . . . , xn ∈ E tels que x0 = x, xn = y et d(xi, xi+1) < ε (0 ≤ i ≤ n − 1). 1) Montrer que si E est connexe, il est bien enchaˆın´e.
Topologie. 13 Indication : consid´erer les ensembles Ex = {y ∈ E| il existe un nombre fini de points x0, . . . , xn ∈ E tels que x0 = x, xn = y et d(xi, xi+1) < ε; 0 ≤ i ≤ n − 1}. On montrera que les Ex sont ouverts et que les Ex distincts forment une partition de E. 2) Montrer que si E est bien enchaˆın´e et compact alors il est connexe. Exerc