Plan du chapitre topologie des espaces vectoriels normes ana
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La topologie est une branche fondamentale des mathématiques, souvent perçue comme abstraite. Bien qu'elle soit un pilier de l'analyse, son enseignement est parfois décalé dans les programmes pour des raisons pédagogiques, car de nombreux problèmes peuvent être abordés sans une connaissance approfondie de ses concepts initiaux. Ce chapitre vise à démystifier la topologie en présentant les bases des espaces vectoriels normés.
Un certain nombre de résultats d’analyse sont intrinsèquement liés à la topologie. Par exemple, la définition de la convergence d’une suite réelle, la notion d’intervalle ouvert (qui intervient dans le théorème « si f est dérivable sur un intervalle ouvert à valeurs dans ℝ et admet un extremum en x₀ ∈ I, alors f′(x₀) = 0 ») ou fermé (qui intervient dans le théorème « si f est continue sur un intervalle fermé borné, à valeurs dans ℝ, alors f admet un minimum et un maximum »). Le défi est de généraliser ces notions. Comment définir un intervalle ouvert dans le plan, ou qu'est-ce qu’un domaine ouvert du plan ? De même, la convergence d’une suite réelle est définie à partir de l’évaluation de la distance d’un terme de la suite à sa limite grâce à la valeur absolue : |u₂ − ℓ| ≤ ε. Comment cette notion de distance s'applique-t-elle à deux points du plan ou à deux polynômes dans l’espace des polynômes ? C’est ici qu'intervient la notion de norme, par laquelle nous commencerons. Plus généralement, il s’agit d’analyser l’« espace » en tant que tel. Le mot topologie vient des mots grecs « topos » (lieu) et « logia » (étude). Littéralement, la topologie est l’étude du lieu. Dans tout le chapitre, K désigne ℝ ou ℂ.
I - Espaces Vectoriels Normés
1. Normes et leurs définitions
Définition 1 : Norme.
Soit E un K-espace vectoriel. Une norme sur E est une application N de E dans ℝ vérifiant les quatre axiomes :
- 1) ∀x ∈ E, N(x) > 0 (positivité) ;
- 2) ∀x ∈ E, N(x) = 0 ⇒ x = 0 (axiome de séparation) ;
- 3) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, N(λx) = |λ|N(x) (homogénéité) ;
- 4) ∀(x, y) ∈ E², N(x + y) ≤ N(x) + N(y) (inégalité triangulaire).
Remarque. Une conséquence des axiomes précédents est que N(0) = 0 (en appliquant 3) avec λ = 0).
Définition 2 : Espace vectoriel normé.
Un espace vectoriel normé est un couple (E, N) où E est un K-espace vectoriel et N est une norme sur E.
Théorème 1.
Soient E un K-espace vectoriel et N une norme sur E. ∀(x, y) ∈ E², |N(x) − N(y)| ≤ N(x − y).
Démonstration.
Soit (x, y) ∈ E². N(x) = N(x − y + y) ≤ N(x − y) + N(y) et donc N(x) − N(y) ≤ N(x − y). En échangeant les rôles de x et y, on obtient N(y) − N(x) ≤ N(y − x) = N(x − y) et finalement, |N(x) − N(y)| ≤ N(x − y).
2. Exemples de normes
Dans les exemples qui suivent, nous n’effectuerons qu’une seule démonstration explicite, la plus délicate, à savoir montrer que ∥∥∞ est une norme sur B(I, K). Néanmoins, vous devez considérer comme du cours toutes les normes explicitées ci-dessous.
Exemple 1 : Trois normes sur Kn.
Pour x = (x₁)₁≤k≤n ∈ K₂, on pose ∥x∥₁ = ∑₂₁ |x₂|, ∥x∥₂ = √(∑₂₁ |x₂|²) et ∥x∥∞ = Max {|x₂| , 1 ≤ k ≤ n}.
∥∥₁, ∥∥₂ et ∥∥∞ sont des normes sur K₂.
Exemple 2 : Norme hilbertienne.
Si (E,( | )) est un espace préhilbertien réel, alors on sait que ∥∥ : x ↦ ∥x∥ = √(x|x) est une norme sur E. ∥∥ est la norme hilbertienne associée au produit scalaire ( | ).
Exemple 3 : Trois normes sur des espaces de fonctions.
- Soit E = B(I, K) (espace des fonctions bornées sur l’intervalle I de ℝ à valeurs dans K) que l’on peut aussi noter L∞(I, K). Pour f ∈ E, on pose ∥f∥∞ = Sup {|f(x)|, x ∈ I}. ∥∥∞ est une norme sur E appelée norme de la convergence uniforme.
Démontrons-le.
Soit f ∈ E. f est bornée sur I et admet donc |f| admet sur I une borne supérieure dans ℝ. ∥∥∞ est donc une application de E dans ℝ.
Soit f ∈ E. |f| est positive sur I et donc ∥f∥∞ est un réel positif.
Soit f ∈ E. ∥f∥∞ = 0 ⇒ ∀x ∈ I, |f(x)| ≤ 0 ⇒ ∀x ∈ I, f(x) = 0 ⇒ f = 0.
Soient f ∈ E et λ ∈ K. Si λ = 0, alors ∥λf∥∞ = ∥0∥∞ = 0 = |0| × ∥f∥∞. On suppose dorénavant λ ≠ 0. Pour tout x de I, |λf(x)| = |λ| × |f(x)| ≤ |λ| × ∥f∥∞. Ainsi, |λ| × ∥f∥∞ est un majorant de {|λf(x)|, x ∈ I}. Puisque ∥λf∥∞ est le plus petit de ces majorants, on a montré que ∥λf∥∞ ≤ |λ| × ∥f∥∞. Pour l'inégalité inverse, on a ∥f∥∞ = ∥(1/λ)λf∥∞ ≤ |1/λ| ∥λf∥∞ = (1/|λ|) ∥λf∥∞, ce qui implique |λ| × ∥f∥∞ ≤ ∥λf∥∞. Finalement, ∥λf∥∞ = |λ| × ∥f∥∞.
Soient (f, g) ∈ E². Pour tout x de I, |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)| + |g(x)| ≤ ∥f∥∞ + ∥g∥∞. Ainsi, ∥f∥∞ + ∥g∥∞ est un majorant de {|f(x) + g(x)|, x ∈ I}. Puisque ∥f + g∥∞ est le plus petit de ces majorants, on a montré que ∥f + g∥∞ ≤ ∥f∥∞ + ∥g∥∞.
Tout ceci démontre que ∥∥∞ est effectivement une norme dans B(I, K).
- Soit E = L₁(I, K) l’espace des fonctions continues et intégrables sur l’intervalle I de ℝ à valeurs dans K. Pour f ∈ E, on pose ∥f∥₁ = ∫⁰ |f(x)| dx. ∥∥₁ est une norme sur E appelée norme de la convergence en moyenne.
- Soit E = L₂(I, K) l’espace des fonctions continues de carré intégrable sur l’intervalle I de ℝ à valeurs dans K. Pour f ∈ E, on pose ∥f∥₂ = √(∫⁰ |f(x)|² dx). ∥∥₂ est une norme sur E appelée norme de la convergence en moyenne quadratique.
Dans le cas particulier où E = C₀([a, b], K), ∥∥₁, ∥∥₂ et ∥∥∞ sont trois normes sur E.
Exemple 4 : Trois normes sur des espaces de suites.
- Soit E = ℓ∞(K) l’espace des suites bornées d’éléments de K. Pour u ∈ E, on pose ∥u∥∞ = Sup {|u₂|, n ∈ ℕ}. ∥∥∞ est une norme sur E.
- Soit E = ℓ₁(K) l’espace des suites sommables d’éléments de K. Pour u ∈ E, on pose ∥u∥₁ = ∑₂₀⁺∞ |u₂|. ∥∥₁ est une norme sur E.
- Soit E = ℓ₂(K) l’espace des suites de carré sommable d’éléments de K. Pour u ∈ E, on pose ∥u∥₂ = √(∑₂₀⁺∞ |u₂|²). ∥∥₂ est une norme sur E.
3. Distance associée à une norme
Une norme sur E sert à mesurer l’écart entre deux éléments de E. Par exemple, quand on voudra analyser la convergence d’une suite (u₂)₂∈ℕ d’éléments de E vers un élément ℓ de E, il faudra analyser le comportement de ∥u₂ − ℓ∥ quand n tend vers +∞. Donc,
Définition 3 : Distance.
Soit (E, ∥∥) un espace vectoriel normé. Pour (x, y) ∈ E², la distance de x à y est d(x, y) = ∥x − y∥.
Commentaire. La notion de distance est une notion mathématique qui est normalement définie par une liste d’axiomes, comme les normes. On ne donnera pas ici cette définition complète.
4. Normes équivalentes
Supposons qu’un même espace vectoriel E soit muni de deux normes N et N′. Quand on parlera par exemple de la convergence d’une suite (u₂)₂∈ℕ d’éléments de E vers un élément ℓ de E, on analysera la distance de u₂ à ℓ. Cette distance est N(u₂ − ℓ) dans l’espace vectoriel normé (E, N) et N′(u₂ − ℓ) dans l’espace vectoriel normé (E, N′). Un problème se posera alors : est-il équivalent de dire N(u₂ − ℓ) tend vers 0 quand n tend vers +∞ et N′(u₂ − ℓ) tend vers 0 quand n tend vers +∞ ou encore est-il équivalent de dire « la suite (u₂)₂∈ℕ converge vers ℓ dans l’espace vectoriel normé (E, N) » et « la suite (u₂)₂∈ℕ converge vers ℓ dans l’espace vectoriel normé (E, N′) » ? On met maintenant en place une notion qui permettra le moment venu de régler ce problème, la notion de normes équivalentes :
Définition 4 : Normes équivalentes.
Soient E un K-espace vectoriel puis N et N′ deux normes sur E. N′ est équivalente à N si et seulement si il existe deux réels strictement positifs α et β tels que ∀x ∈ E, αN(x) ≤ N′(x) ≤ βN(x).
Théorème 2.
Soit E un K-espace vectoriel. La relation « N′ est équivalente à N » est une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes sur E.
Démonstration.
Notons ℟ la relation considérée.
- Soit N une norme sur E. Soit α = β = 1. α et β sont deux réels strictement positifs tels que pour tout x de E, αN(x) ≤ N(x) ≤ βN(x). Donc, N est équivalente à N. Ceci montre que ℟ est réflexive.
- Soient N et N′ deux normes sur E. Supposons que N′ soit équivalente à N. Il existe deux réels strictement positifs α et β tels que pour tout x de E, αN(x) ≤ N′(x) ≤ βN(x). Mais alors, pour tout x de E, (1/β)N′(x) ≤ N(x) ≤ (1/α)N′(x). Puisque 1/β et 1/α sont deux réels strictement positifs, N est équivalente à N′. Ceci montre que ℟ est symétrique.
- Soient N, N′ et N′′ trois normes sur E. Supposons N′ équivalente à N et N′′ équivalente à N′. Il existe quatre réels strictement positifs α, β, α′ et β′ tels que pour tout x de E, αN(x) ≤ N′(x) ≤ βN(x) et α′N′(x) ≤ N′′(x) ≤ β′N′(x). Mais alors, pour tout x de E, αα′N(x) ≤ α′N′(x) ≤ N′′(x) ≤ β′N′(x) ≤ ββ′N(x). Puisque αα′ et ββ′ sont deux réels strictement positifs, N′′ est équivalente à N. Ceci montre que ℟ est transitive.
On a montré que ℟ est une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes sur E.
Commentaire 1. On peut donc se permettre de dire : « N et N′ sont équivalentes ».
Commentaire 2. Les réels α et β de la définition ont deux caractéristiques : ils sont strictement positifs et ils sont indépendants de x.
Exercice 1 : Équivalence des normes sur Rn
Dans E = ℝ₂, montrer que ∥∥₁, ∥∥₂ et ∥∥∞ sont des normes deux à deux équivalentes.
Solution 1.
- Pour tout x = (x₁, ..., x₂) ∈ ℝ₂, ∥x∥₁ = ∑₂₁ |x₂| ≤ ∑₂₁ ∥x∥∞ = n ∥x∥∞. Inversement, si i₀ est un indice tel que ∥x∥∞ = |x₂₀|, alors ∥x∥∞ = |x₂₀| ≤ |x₁| + ... + |x₂| = ∥x∥₁. Donc, ∥x∥∞ ≤ ∥x∥₁ ≤ n ∥x∥∞. Ceci montre que ∥∥₁ et ∥∥∞ sont deux normes équivalentes.
- Pour tout x = (x₁, ..., x₂) ∈ ℝ₂, ∥x∥₂ = √(∑₂₁ x²₂) ≤ √(∑₂₁ ∥x∥∞²) = √n ∥x∥∞. Inversement, si i₀ est un indice tel que ∥x∥∞ = |x₂₀|, alors ∥x∥∞ = √(x²₂₀) ≤ √(x²₁ + ... + x²₂) = ∥x∥₂. Donc, ∥x∥∞ ≤ ∥x∥₂ ≤ √n ∥x∥∞. Ceci montre que ∥∥₂ et ∥∥∞ sont deux normes équivalentes.
- Par transitivité, on en déduit que ∥∥₁ et ∥∥₂ sont deux normes équivalentes.
Commentaire 1. On verra plus loin que quand E est un K-espace vectoriel de dimension finie sur K, deux normes données sur E sont toujours équivalentes.
Commentaire 2. On peut obtenir directement des inégalités entre ∥∥₁ et ∥∥₂ sans passer par ∥∥∞. Pour x = (x₂)₁≤₂≤₂ ∈ K₂, l’inégalité de Cauchy-Schwarz fournit ∥x∥₁ = 1 × |x₁| + ... + 1 × |x₂| ≤ √(1² + ... + 1²) √(|x₁|² + ... + |x₂|²) = √n ∥x∥₂. D’autre part, ∥x∥₂ = √(∑₂₁ |x₂|²) ≤ √(∑₁≤₂,₀≤₂ |x₂| |x₀|) = √((∑₂₁ |x₂|)²) = ∑₂₁ |x₂| = ∥x∥₁.
Exercice 2 : Comparaison de normes sur un espace de fonctions
Dans E = C₁([0, 1], ℝ), on pose N(f) = ∫₀₁ |f(x)| dx et N′(f) = |f(0)| + ∫₀₁ |f′(x)| dx.
1) Montrer que N′ est une norme sur E.
2) Comparer les normes N et N′ et en particulier vérifier que N et N′ ne sont pas équivalentes.
Solution 2.
1)
- Soit f ∈ E. f′ est alors définie et continue sur le segment [0, 1]. On en déduit que N′(f) existe dans ℝ.
- Soit f ∈ E. N′(f) = |f(0)| + ∫₀₁ |f′(x)| dx ≥ 0.
- Soit f ∈ E. N′(f) = 0 ⇒ |f(0)| = 0 et ∫₀₁ |f′(x)| dx = 0 ⇒ |f(0)| = 0 et ∀x ∈ [0, 1], |f′(x)| = 0 (fonction continue, positive, d’intégrale nulle) ⇒ f(0) = 0 et f′ = 0 ⇒ f(0) = 0 et ∀x ∈ [0, 1], f(x) = f(0) ⇒ f = 0.
- Soient f ∈ E et λ ∈ ℝ. N′(λf) = |λf(0)| + ∫₀₁ |λf′(x)| dx = |λ| |f(0)| + |λ| ∫₀₁ |f′(x)| dx = |λ|N′(f).
- Soit (f, g) ∈ E². N′(f + g) = |f(0) + g(0)| + ∫₀₁ |f′(x) + g′(x)| dx ≤ |f(0)| + |g(0)| + ∫₀₁ (|f′(x)| + |g′(x)|) dx = |f(0)| + ∫₀₁ |f′(x)| dx + |g(0)| + ∫₀₁ |g′(x)| dx = N′(f) + N′(g).
On a montré que N′ est une norme sur E.
2) Soit f ∈ E. Pour x ∈ [0, 1], on utilise le Théorème Fondamental de l'Analyse : f(x) = f(0) + ∫₀ f′(t) dt. Par conséquent, |f(x)| = |f(0) + ∫₀ f′(t) dt| ≤ |f(0)| + ∫₀ |f′(t)| dt ≤ |f(0)| + ∫₀₁ |f′(t)| dt = N′(f).
Par suite, N(f) = ∫₀₁ |f(x)| dx ≤ ∫₀₁ N′(f) dx = N′(f). On a montré que N ≤ N′.
Pour n ∈ ℕ⁼ et x ∈ [0, 1], posons f₂(x) = x₂. Chaque f₂ est un élément de E tel que N(f₂) = 1/(n + 1) et N′(f₂) = 1 (car f₂(0)=0 pour n≥1, et f′₂(x)=nx₂₁ donc ∫ |f′₂(x)| dx = ∫ nx₂₁ dx = [x₂] = 1).
Supposons par l’absurde qu’il existe un réel strictement positif α tel que αN′ ≤ N. En particulier, pour tout n ∈ ℕ⁼, αN′(f₂) ≤ N(f₂) ou encore ∀n ∈ ℕ⁼, 0 < α ≤ 1/(n + 1). Quand n tend vers +∞, on obtient 0 < α ≤ 0 ce qui est impossible. Donc, il n’existe pas un réel strictement positif α tel que αN′ ≤ N. Ceci montre que les normes N et N′ ne sont pas des normes équivalentes.
Commentaire. Quand E est un K-espace vectoriel de dimension infinie, il est donc possible que deux normes données sur E ne soient pas des normes équivalentes.
5. Produits d'espaces vectoriels normés
Nous vous laissons démontrer le théorème suivant :
Théorème 3.
Soient (E₁, N₁), ..., (E₂, N₂) des K-espaces vectoriels normés. Pour x = (x₁, ..., x₂) ∈ E₁×...×E₂, on pose N(x) = Max {N₂(x₂), 1 ≤ i ≤ k}. Alors, N est une norme sur E₁×...×E₂.
6. Boules et Sphères
Définition 5.
Soit (E, ∥∥) un K-espace vectoriel normé. Soient x₀ ∈ E et R ∈ ]0, +∞[.
La boule ouverte de centre x₀ et de rayon R est B₀(x₀, R) = {x ∈ E / ∥x − x₀∥ < R}.
Soient x₀ ∈ E et R ∈ [0, +∞[.
La boule fermée de centre x₀ et de rayon R est Bₕ(x₀, R) = {x ∈ E / ∥x − x₀∥ ≤ R}.
Soient x₀ ∈ E et R ∈ [0, +∞[.
La sphère de centre x₀ et de rayon R est S(x₀, R) = {x ∈ E / ∥x − x₀∥ = R}.
La boule unité fermée (resp. ouverte) est Bₕ(0, 1) (resp. B₀(0, 1)). La sphère unité est l’ensemble des vecteurs de E de norme 1 ou encore l’ensemble des vecteurs unitaires de E.
Théorème 4.
Soit (E, ∥∥) un K-espace vectoriel normé. Toute boule ouverte (resp. fermée) est un convexe de l’espace vectoriel E.
Démonstration.
- Soient x₀ ∈ E et R > 0. Soient (x, y) ∈ Bₕ(x₀, R)² et λ ∈ [0, 1]. ∥((1 − λ)x + λy) − x₀∥ = ∥(1 − λ) (x − x₀) + λ (y − x₀)∥ ≤ |1 − λ| ∥x − x₀∥ + |λ| ∥y − x₀∥ = (1 − λ) ∥x − x₀∥ + λ ∥y − x₀∥ ≤ (1 − λ)R + λR = R. Donc, ∀(x, y) ∈ Bₕ(x₀, R)², ∀λ ∈ [0, 1], (1 − λ)x + λy ∈ Bₕ(x₀, R). Ceci montre que Bₕ(x₀, R) est convexe.
- Soient x₀ ∈ E et R > 0. Soient (x, y) ∈ B₀(x₀, R)² et λ ∈ [0, 1]. ∥((1 − λ)x + λy) − x₀∥ = ∥(1 − λ) (x − x₀) + λ (y − x₀)∥ ≤ |1 − λ| ∥x − x₀∥ + |λ| ∥y − x₀∥ = (1 − λ) ∥x − x₀∥ + λ ∥y − x₀∥. Si λ ∈ ]0, 1], on a λ > 0 et ∥y − x₀∥ < R et donc λ ∥y − x₀∥ < λR. D’autre part, (1 − λ) ∥x − x₀∥ ≤ (1 − λ)R et donc ∥((1 − λ)x + λy) − x₀∥ < (1 − λ)R + λR = R. Cette inégalité reste vraie quand λ = 0 car ∥x − x₀∥ < R. Donc, ∀(x, y) ∈ B₀(x₀, R)², ∀λ ∈ [0, 1], (1 − λ)x + λy ∈ B₀(x₀, R). Ceci montre que B₀(x₀, R) est convexe.
Exercice 3 : Dessin des sphères unités dans R2
Dessiner les sphères unités de E = ℝ² muni de ∥∥₁, ∥∥₂, ∥∥∞.
Solution 3.
Notons respectivement S₁, S₂, et S∞ les sphères unités de ℝ² munies respectivement de ∥∥₁, ∥∥₂, ∥∥∞. De manière générale, si N est une norme et S la sphère unité associée, alors S est symétrique par rapport à 0 car pour tout u de ℝ², N(−u) = N(u) et donc N(u) = 1 ⇎ N(−u) = 1. S₁, S₂ et S∞ sont donc symétriques par rapport à O.
S₁ = {(x, y) ∈ ℝ² / |x| + |y| = 1 }
S₂ = {(x, y) ∈ ℝ² / x² + y² = 1 }
S∞ = {(x, y) ∈ ℝ² / Max(|x|, |y|) = 1 }
Dans les trois cas, pour tout (x, y) de ℝ², N((x, y)) = 1 ⇎ N((±x, ±y)) = 1. S₁, S₂ et S∞ sont donc symétriques par rapport à O, (Ox) et (Oy).
Dans les trois cas, on a également N((x, y)) = 1 ⇎ N((y, x)) = 1. Les trois sphères sont également symétriques par rapport à la droite d’équation y = x. On dessine la partie de S contenue dans le premier quadrant, puis on utilise les symétries pour obtenir la sphère complète.
FAQ sur les Espaces Vectoriels Normés
Q1 : Qu'est-ce qu'une norme et à quoi sert-elle ?
Une norme est une fonction qui attribue une "longueur" ou une "taille" à chaque vecteur d'un espace vectoriel, respectant des propriétés spécifiques (positivité, séparation, homogénéité, inégalité triangulaire). Elle permet de mesurer la "distance" entre deux vecteurs et est fondamentale pour définir des concepts comme la convergence de suites ou la continuité de fonctions dans ces espaces.
Q2 : Quand dit-on que deux normes sont équivalentes ?
Deux normes N et N′ sur un même espace vectoriel E sont dites équivalentes s'il existe des réels strictement positifs α et β tels que pour tout vecteur x ∈ E, αN(x) ≤ N′(x) ≤ βN(x). Cela signifie que les deux normes induisent la même topologie sur l'espace, c'est-à-dire qu'elles définissent les mêmes notions de convergence, de boules ouvertes, etc. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
Q3 : Quelle est la différence entre une boule ouverte et une boule fermée ?
Dans un espace vectoriel normé, une boule ouverte de centre x₀ et de rayon R (B₀(x₀, R)) est l'ensemble des points dont la distance au centre est strictement inférieure à R (∥x − x₀∥ < R). Une boule fermée (Bₕ(x₀, R)), en revanche, inclut les points dont la distance est inférieure ou égale à R (∥x − x₀∥ ≤ R), incluant ainsi sa "frontière".