Plan du chapitre topologie des espaces vectoriels normes ana
Télécharger PDFTopologie des espaces vectoriels normés Plan du chapitre I - Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2 1) Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 2 1-a) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2 1-b) Exemples de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2 1-c) Distance associée à une norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 4 1-d) Normes équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 4 2) Produits d’espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 6 3) Boules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 6 II - Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 8 1) Suites bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 8 2) Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 9 2-a) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 9 2-b) Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 11 3) Suites extraites. Valeurs d’adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 12 III - Ouverts, fermés, compacts. Intérieur et adhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 14 1) Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 14 2) Ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 15 3) Fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 16 4) Intérieur, adhérence, frontière, partes denses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 18 4-a) Intérieur d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 18 4-b) Adhérence d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 19 4-c) Frontière d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 21 4-d) Parties denses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 21 5) Compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 21 6) Topologie induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 22 IV - Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .page 23 1) Limite d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 23 2) Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 25 2-a) Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 25 2-b) Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 27 3) Fonctions uniformément continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 28 3-a) Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 28 3-b) Le théorème de Heine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 29 3-c) Fonctions lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 29 4) Images directes ou réciproques par une application continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 30 4-a) Image réciproque d’un ouvert ou d’un fermé par une application continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 30 4-b) Image directe d’un compact par une application continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 31 4-c) Equivalence des normes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 31 5) Continuité des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 32 6) Connexité par arcs. Le théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 34 c Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr La chronologie adoptée pour écrire ce cours complet n’est pas mathématiquement correcte. Ce chapitre a le numéro 13 alors qu’il devrait arriver en tête des chapitres d’analyse de même que le chapitre sur les structures doit arriver en en tête des chapitres d’algèbre. La chronologie des chapitres a été choisie pour des raisons scolaires. Le chapitre « Topologie » est souvent vécu par bon nombre d’élèves comme difficile et abstrait et il peut être assez décourageant de le découvrir en début d’année. D’autre part, bon nombre de problèmes de concours peuvent être traités en totalité ou en grande partie sans connaissances particulières en topologie et il est donc tout à fait jouable de retarder l’apparition de ce chapitre dans l’année. De quoi s’agit-il ? Un certain nombre de résultats d’analyse en sup sont de la topologie : la définition de la convergence d’une suite réelle, la notion d’intervalle ouvert (notion qui intervient dans le théorème « si f est dérivable sur un intervalle ouvert à valeurs dans R et admet un extremum en x0 ∈ I, alors f′(x0) = 0 ») ou fermé (notion qui intervient dans le théorème « si f est continue sur un intervalle fermé borné, à valeurs dans R, alors f admet un minimum et un maximum ») ... Le problème est alors de généraliser ces différentes notions. Que devient la notion d’intervalle ouvert dans le plan ou encore qu’est-ce qu’un domaine ouvert du plan ? De même, la convergence d’une suite réelle est définie à partir d’une évaluation de la distance d’un terme de la suite à sa limite grâce à la valeur absolue : . . . |un − ℓ| 6 ε. Que devient cette notion de distance pour deux points du plan ou pour deux polynômes dans l’espace des polynômes ? Là, c’est la notion de norme par laquelle nous commencerons. Plus généralement, il s’agit d’analyser en tant que tel l’« espace ». Le mot topologie vient des mots grecs « topos » (qui signifie : lieu) et « logia » (qui signifie : étude). Littéralement, la topologie est l’étude du lieu. Dans tout le chapitre, K désigne R ou C. I - Espaces vectoriels normés 1) Normes 1-a) Définition Définition 1. Soit E un K-espace vectoriel. Une norme sur E est une application N de E dans R vérifiant les quatre axiomes : 1) ∀x ∈ E, N(x) > 0 (positivité) ; 2) ∀x ∈ E, N(x) = 0 ⇒ x = 0 (axiome de séparation) ; 3) ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, N(λx) = |λ|N(x) (homogénéité) ; 4) ∀(x, y) ∈ E2, N(x + y) 6 N(x) + N(y) (inégalité triangulaire). Remarque. Une conséquence des axiomes précédent est que N(0) = 0 (en appliquant 3) avec λ = 0). Définition 2. Un espace vectoriel normé est un couple (E, N) où E est un K-espace vectoriel et N est une norme sur E. Théorème 1. Soient E un K-espace vectoriel et N une norme sur E. ∀(x, y) ∈ E2, |N(x) − N(y)| 6 N(x − y). Démonstration. Soit (x, y) ∈ E2. N(x) = N(x−y+y) 6 N(x−y)+N(y) et donc N(x)−N(y) 6 N(x−y). En échangeant les rôles de x et y, on obtient N(y) − N(x) 6 (y − x) = N(x − y) et finalement, |N(x) − N(y)| 6 N(x − y). 1-b) Exemples de normes Dans les exemples qui suivent, nous n’effectuerons qu’une seule démonstration explicite, la plus délicate, à savoir montrer que k k∞ est une norme sur B(I, K). Néanmoins, vous devez considérer comme du cours toutes les normes explicitées ci-dessous. Exemple 1 (trois normes sur Kn). Pour x = (xk)16k6n ∈ Kn, on pose kxk1 =Xn k=1 |xk|, kxk2 = vuutXn k=1 |xk|2et kxk∞ = Max {|xk| , 1 6 k 6 n}. k k1, k k2 et k k∞ sont des normes sur Kn. Exemple 2 (norme hilbertienne). Si (E,( | )) est un espace prehilbertien réel, alors on sait que k k : x 7→ kxk =p(x|x) est une norme sur E. k k est la norme hilbertienne associée au produit scalaire ( | ). c Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés. 2 http ://www.maths-france.fr Exemple 3 (trois normes sur des espaces de fonctions). • Soit E = B(I, K) (espace des fonctions bornées sur l’intervalle I de R à valeurs dans K) que l’on peut aussi noter L∞(I, K). Pour f ∈ E, on pose kfk∞ = Sup {|f(x)|, x ∈ I} . k k∞ est une norme sur E appelée norme de la convergence uniforme. Démontrons-le. Soit f ∈ E. f est bornée sur I et admet donc |f| admet sur I une borne supérieure dans R. k k∞ est donc une application de E dans R. Soit f ∈ E. |f| est positive sur I et donc kfk∞ est un réel positif. Soit f ∈ E. kfk∞ = 0 ⇒ ∀x ∈ I, |f(x)| 6 0 ⇒ ∀x ∈ I, f(x) = 0 ⇒ f = 0. Soient f ∈ E et λ ∈ K. Si λ = 0, alors kλfk∞ = k0k∞ = 0 = |0| × kfk∞. On suppose dorénavant λ 6= 0. Pour tout x de I, |λf(x)| = |λ| × |f(x)| 6 |λ| × kfk∞. Ainsi, |λ| × kfk∞ est un majorant de {|λf(x)|, x ∈ I}. Puisque kλfk∞ est le plus petit de ces majorants, on a montré que kλfk∞ 6 |λ| × kfk∞. Pour tout λ 6= 0, on a kλfk∞ 6 |λ| × kfk∞. Par suite, kfk∞ = Finalement, kλfk∞ = |λ| × kfk∞. Soient (f, g) ∈ E2. Pour tout x de I, 1 λ(λf) 61|λ|kλfk∞ et donc |λ| × kfk∞ 6 kλfk∞. ∞ |f(x) + g(x)| 6 |f(x)| + |g(x)| 6 kfk∞ + kgk∞. Ainsi, kfk∞ + kgk∞ est un majorant de {|f(x) + g(x)|, x ∈ I}. Puisque kf + gk∞ est le plus petit de ces majorants, on a montré que kf + gk∞ 6 kfk∞ + kgk∞. Tout ceci démontre que k k∞ est effectivement une norme dans B(I, K). • Soit E = L1(I, K) l’espace des fonctions continues et intégrables sur l’intervalle I de R à valeurs dans K. Pour f ∈ E, on pose Z kfk1 = I |f(x)| dx. k k1 est une norme sur E appelée norme de la convergence en moyenne. • Soit E = L2(I, K) l’espace des fonctions continues de carré intégrable sur l’intervalle I de R à valeurs dans K. Pour f ∈ E, on pose sZ kfk2 = |f(x)|2 dx. I k k2 est une norme sur E appelée norme de la convergence en moyenne quadratique. Dans le cas particulier où E = C0([a, b], K), k k1, k k2 et k k∞ sont trois normes sur E. Exemple 4 (trois normes sur des espaces de suites). • Soit E = ℓ∞(K) l’espace des suites d’éléments bornées d’éléments de K. Pour u ∈ E, on pose kuk∞ = Sup {|un|, n ∈ N} . k k∞ est une norme sur E. • Soit E = ℓ1(K) l’espace des suites sommables d’éléments de K. Pour u ∈ E, on pose +∞ |un|. k k1 est une norme sur E. kuk1 =X n=0 • Soit E = ℓ2(K) l’espace des suites de carré sommable d’éléments de K. Pour u ∈ E, on pose c Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés. 3 http ://www.maths-france.fr |un|2. k k2 est une norme sur E. 1-c) Distance associée à une norme kuk2 = vuutX +∞ n=0 Une norme sur E sert à mesurer l’écart entre deux éléments de E. Par exemple, quand on voudra analyser la convergence d’une suite (un)n∈Nd’éléments de E vers un élément ℓ de E, il faudra analyser le comportement de kun − ℓk quand n tend vers +∞. Donc, Définition 3. Soit (E, k k) un espace vectoriel normé. Pour (x, y) ∈ E2, la distance de x à y est d(x, y) = kx − yk. Commentaire. La notion de distance est une notion mathématique qui est normalement définie par une liste d’axiomes, comme les normes. On ne donnera pas ici cette définition. ❏ 1-d) Normes équivalentes Supposons qu’un même espace vectoriel E soit muni de deux normes N et N′. Quand on parlera par exemple de la convergence d’une suite (un)n∈Nd’éléments de E vers un élément ℓ de E, on analysera la distance de un à ℓ. Cette distance est N (un − ℓ) dans l’espace vectoriel normé (E, N) et N′(un − ℓ) dans l’espace vectoriel normé (E, N′). Un problème se posera alors : est-il équivalent de dire N (un − ℓ) tend vers 0 quand n tend vers +∞ et N′(un − ℓ) tend vers 0 quand n tend vers +∞ ou encore est-il équivalent de dire « la suite (un)n∈Nconverge vers ℓ dans l’espace vectoriel normé (E, N) » et « la suite (un)n∈Nconverge vers ℓ dans l’espace vectoriel normé (E, N′) » ? On met maintenant en place une notion qui permettra le moment venu de régler ce problème, la notion de normes équivalentes : Définition 4. Soient E un K-espace vectoriel puis N et N′ deux normes sur E. N′est équivalente à N si et seulement si il existe deux réels strictement positifs α et β tels que ∀x ∈ E, αN(x) 6 N′(x) 6 βN(x). Théorème 2. Soit E un K-espace vectoriel. La relation « N′est équivalente à N » est une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes sur E. Démonstration. Notons R la relation considérée. • Soit N une norme sur E. Soit α = β = 1. α et β sont deux réels strictement positifs tels que pour tout x de E, αN(x) 6 N(x) 6 βN(x). Donc, N est équivalente à N. Ceci montre que R est réflexive. • Soient N et N′ deux normes sur E. Supposons que N′soit équivalente à N. Il existe deux réels strictement positifs α et β tels que pour tout x de E, αN(x) 6 N′(x) 6 βN(x). Mais alors, pour tout x de E, 1 βN′(x) 6 N(x) 61αN′(x). Puisque 1βet1αsont deux réels strictement positifs, N est équivalente à N′. Ceci montre que R est symétrique. • Soient N, N′et N′′ trois normes sur E. Supposons N′équivalente à N et N′′ équivalente à N′. Il existe quatre réels strictement positifs α, β, α′et β′tels que pour tout x de E, αN(x) 6 N′(x) 6 βN(x) et α′N′(x) 6 N′′(x) 6 β′N′(x). Mais alors, pour tout x de E, αα′N(x) 6 α′N′(x) 6 N′′(x) 6 β′N′(x) 6 ββ′N(x). Puisque αα′et ββ′sont deux réels strictement positifs, N′′ est équivalente à N. Ceci montre que R est transitive. On a montré que R est une relation d’équivalence sur l’ensemble des normes sur E. Commentaire 1. On peut donc se permettre de dire : « N et N′sont équivalentes ». ❏ Commentaire 2. Les réels α et β de la définition ont deux caractéristiques : ils sont strictement positifs et ils sont indépendants de x. ❏ c Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés. 4 http ://www.maths-france.fr
Exercice 1. Dans E = Rn, montrer que k k1, k k2 et k k∞ sont des normes deux à deux équivalentes. Solution 1. • Pour tout x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, kxk1 =Xn i=1 |xi| 6Xn i=1 kxk∞ = n kxk∞ . Inversement, si i0 est un indice tel que kxk∞ = |xi0|, alors kxk∞ = |xi0| 6 |x1| + . . . + |xn| = kxk1. Donc, k k∞ 6 k k1 6 nk k∞. Ceci montre que k k1 et k k∞ sont deux normes équivalentes. • Pour tout x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, kxk2 = vuutXn i=1 x2i 6 vuutXn i=1 kxk2∞ =√n kxk∞ Inversement, si i0 est un indice tel que kxk∞ = |xi0|, alors q x21 + . . . + x2n = kxk2. Donc, kxk∞ = q x2i06 k k∞ 6 k k2 6√nk k∞. Ceci montre que k k1 et k k∞ sont deux normes équivalentes. • Par transitivité, on en déduit que k k1 et k k2 sont deux normes équivalentes. Commentaire 1. On verra plus loin que quand E est un K-espace vectoriel de dimension finie sur K, deux normes données sur E sont toujours équivalentes. ❏ Commentaire 2. On peut obtenir directement des inégalités entre k k1 et k k2 sans passer par k k∞. Pour x = (xi)16i66n ∈ Kn, l’inégalité de Cauchy-Schwarz fournit kxk1 = 1 × |x1| + . . . + 1 × |xn| 6p12 + . . . + 12q|x1|2 + . . . + |xn|2 =√nkxk2. D’autre part, kxk2 = vuutXn i=1 |xi|2 6 s X 16i,j6n |xi| |xj| = vuut Xn i=1 !2 |xi| =Xn i=1 |xi| = kxk1. ❏ Z 1
Exercice 2. Dans E = C1([0, 1], R), on pose N(f) = 0 1) Montrer que N′est une norme sur E. |f(x)| dx et N′(f) = |f(0)| + Z 1 0 |f′(x)| dx. 2) Comparer les normes N et N′et en particulier vérifier que N et N′ ne sont pas équivalentes. Solution 2. 1) • Soit f ∈ E. f′est alors définie et continue sur le segment [0, 1]. On en déduit que N′(f) existe dans R. • Soit f ∈ E. N′(f) = |f′(0)| + • Soit f ∈ E. Z 1 0 |f′(x)| dx > 0. c Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés. 5 http ://www.maths-france.fr N′(f) = 0 ⇒ |f(0)| = Z 1 0 |f′(x)| dx = 0 ⇒ |f(0)| = 0 et ∀x ∈ [0, 1], |f′(x)| = 0 (fonction continue, positive, d’intégrale nulle) ⇒ f(0) = 0 et f′ = 0 ⇒ f(0) = 0 et ∀x ∈ [0, 1], f(x) = f(0) ⇒ f = 0. • Soient f ∈ E et λ ∈ R. ! = |λ|N′(f). • Soit (f, g) ∈ E2. N′(λf) = |λf(0)| + Z 1 0 |λf′(x)| dx = |λ| |f(0)| + Z 1 0 |f′(x)| dx
N′(f + g) = |f(0) + g(0)| + Z 1 0 |f′(x) + g′(x)| dx 6 |f(0)| + Z 1 0 |f′(x)| dx + |g(0)| + Z 1 0 |g′(x)| dx = N′(f) + N′(g). On a montré que N′est une norme sur E. 2) Soit f ∈ E. Pour x ∈ [0, 1], |f(x)| = f(0) + Zx0f′(t) dt 6 |f(0)| +Zx0|f′(t)| dt 6 |f(0)| + Z 1 0 |f′(t)| dt = N′(f). Par suite, N(f) = Z 1 0 |f(x)| dx 6 Z 1 N′(f) dx = N′(f). On a montré que N 6 N′. 0 Pour n ∈ N∗et x ∈ [0, 1], posons fn(x) = xn. Chaque fn est un élément de E tel que N (fn) = 1 n + 1et N′(fn) = 1. Supposons par l’absurde qu’il existe un réel strictement positif α tel que αN′ 6 N. En particulier, pour tout n ∈ N∗, αN′(fn) 6 N (fn) ou encore ∀n ∈ N∗, 0 < α 61 n + 1. Quand n tend vers +∞, on obtient 0 < α 6 0 ce qui est impossible. Donc, il n’existe pas un réel strictement positif α tel que αN′ 6 N. Ceci montre que les normes N et N′ ne sont pas des normes équivalentes. Commentaire. Quand E est un K-espace vectoriel de dimension infinie, il est donc possible que deux normes données sur E ne soient pas des normes équivalentes. ❏ 2) Produits d’espaces vectoriels normés Nous vous laissons démontrer le théorème suivant : Théorème 3. Soient (E1, N1), . . . , (Ek, Nk) des K-espaces vectoriels normés. Pour x = (x1, . . . , xn) ∈ E1×. . .×En, on pose N(x) = Max {Ni(xi), 1 6 i 6 k}. Alors, N est une norme sur E1×. . .×En. 3) Boules Définition 5. Soit (E, k k) un K-espace vectoriel normé. Soient x0 ∈ E et R ∈]0, +∞[. La boule ouverte de centre x0 et de rayon R est Bo (x0, R) = {x ∈ E/ kx − x0k < R}. Soient x0 ∈ E et R ∈ [0, +∞[. La boule fermée de centre x0 et de rayon R est Bf (x0, R) = {x ∈ E/ kx − x0k 6 R}. Soient x0 ∈ E et R ∈ [0, +∞[. La sphère de centre x0 et de rayon R est S (x0, R) = {x ∈ E/ kx − x0k = R}. La boule unité fermée (resp. ouverte) est Bf(0, 1) (resp. Bo(0, 1)). La sphère unité est l’ensemble des vecteurs de E de norme 1 ou encore l’ensemble des vecteurs unitaires de E. c Jean-Louis Rouget, 2017. Tous droits réservés. 6 http ://www.maths-france.fr Théorème 4. Soit (E, k k) un K-espace vectoriel normé. Toute boule ouverte (resp. fermée) est un convexe de l’espace vectoriel E. Démonstration. • Soient x0 ∈ E et R > 0. Soient (x, y) ∈ Bf (x0, R)2et λ ∈ [0, 1]. k((1 − λ)x + λy) − x0k = k(1 − λ) (x − x0) + λ (y − x0)k 6 |1 − λ| kx − x0k + |λ| ky − x0k = (1 − λ) kx − x0k + λ ky − x0k 6 (1 − λ)R + λR = R. Donc, ∀(x, y) ∈ Bf (x0, R)2, ∀λ ∈ [0, 1], (1 − λ)x + λy ∈ Bf (x0, R). Ceci montre que Bf (x0, R) est convexe. • Soient x0 ∈ E et R > 0. Soient (x, y) ∈ Bo (x0, R)2et λ ∈ [0, 1]. k((1 − λ)x + λy) − x0k = k(1 − λ) (x − x0) + λ (y − x0)k 6 |1 − λ| kx − x0k + |λ| ky − x0k = (1 − λ) kx − x0k + λ ky − x0k . Si λ ∈]0, 1], on a λ > 0 et ky − y0k < R et donc λ ky − y0k < λR. D’autre part, (1 − λ) kx − x0k 6 (1 − λ)R et donc k((1 − λ)x + λy) − x0k < (1 − λ)R + λR = R. Cette inégalité reste vraie quand λ = 0 car kx − x0k < R. Donc, ∀(x, y) ∈ Bo (x0, R)2, ∀λ ∈ [0, 1], (1 − λ)x + λy ∈ Bo (x0, R). Ceci montre que Bo (x0, R) est convexe.
Exercice 3. Dessiner les sphères unités de E = R2 muni de k k1, k k2, k k∞. Solution 3. Notons respectivement S1, S2, et S∞ les sphères unités de R2 muni de respectivement k k1, k k2, k k∞. De manière générale, si N est une norme et S la sphère unité associée, alors S est symétrique par rapport à 0 car pour tout u de R2, N(−u) = N(u) et donc N(u) = 1 ⇔ N(−u) = 1. S1, S2 et S∞ sont donc symétriques par rapport à O. S1 = (x, y) ∈ R2/ |x| + |y| = 1 , S2 = (x, y) ∈ R2/ x2 + y2 = 1 et S∞ = (x, y) ∈ R2/ Max(|x|, |y|) = 1 . Dans les trois cas, pour tout (x, y) de R2, N((x, y)) = 1 ⇔ N((±x, ±y)) = 1. S1, S2 et S∞ sont donc symétriques par rapport à O, (Ox) et (Oy). Dans les trois cas, on a également N((x, y)) = 1 ⇔ N((y, x)) = 1. Les trois sphères sont également symétriques par rapport à la droite d’équation y = x. On dessine la partie de S contenue dans le