Exercices optimisation linéaire td1 -Programmation linaire -
Télécharger PDFTD 11 : Optimisation linéaire
L'optimisation linéaire est une branche des mathématiques appliquées utilisée pour trouver la meilleure solution possible dans un modèle mathématique dont les exigences sont représentées par des relations linéaires. Voici la correction détaillée des exercices du TD 11.
Exercice 1 : Étude de systèmes d'inéquations
Cet exercice porte sur la définition des zones de solutions admissibles à partir de plusieurs droites de contraintes.
Partie A :
On considère les équations de droites suivantes :
- D1 : y = -3x + 18
- D2 : y = 10 - 2x
- D3 : y = 2 - 3x
Partie B :
Le système de contraintes est défini par :
- 2x + 3y ≤ 12
- 3x + y ≤ 9
- x + y = 2
Les équations des droites associées sont :
- D1 : y = (12 - 2x) / 3
- D2 : y = 9 - 3x
- D3 : y = 2 - x
Exercice 9 : Maximisation de la fonction économique
L'objectif est de maximiser la fonction Z = x + 3y sous les contraintes suivantes :
- x + 5y ≤ 10
- 3x + 4y ≤ 12
- x ≥ 0 et y ≥ 0
Résolution graphique :
On trace les droites de contraintes :
- D1 : y = (10 - x) / 5
- D2 : y = (12 - 3x) / 4
Le point d'intersection optimal se situe sur l'axe des ordonnées au point K(0 ; 2). En remplaçant ces coordonnées dans la fonction économique :
Zmax = 0 + 3(2) = 6.
Exercice 3 : Minimisation d'une fonction économique
L'objectif est de minimiser Z = 2x + 3y avec les contraintes :
- 2x + y = 0
- x - y ≤ 3
- y ≥ 5 + x (en fonction des droites D2 et D3)
Recherche du point d'intersection :
Pour trouver le point K, intersection de D1 et D2 :
- 2x + y = 0
- x - y = 3 => x = 3 + y
En substituant x : 2(3 + y) + y = 0 => 6 + 2y + y = 0 => 3y = -6 => y = -2.
On en déduit x : x = 3 + (-2) = 1.
Les coordonnées du point K sont (1 ; -2). La valeur minimale de Z est :
Zmin = 2(1) + 3(-2) = 2 - 6 = -4.
Exercice 5 : Maximisation sous contraintes multiples
Maximiser Z = 10x1 + 30x2 avec les contraintes :
- x1 + 3x2 ≤ 18
- x1 + x2 ≤ 8
- 2x1 + x2 ≤ 14
- x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Les droites limites sont :
- D1 : x2 = 6 - (1/3)x1
- D2 : x2 = 8 - x1
- D3 : x2 = 14 - 2x1
L'intersection optimale sur l'axe des ordonnées (où x1 = 0) donne x2 = 6.
Zmax = 10(0) + 30(6) = 180.
Exercice 4 : Calcul du maximum global
Maximiser Z = 40x + 50y avec les contraintes :
- 10x + 10y ≤ 50
- 10x + 20y ≤ 80
- 20x + 10y ≤ 80
Le point optimal K se trouve à l'intersection de D1 et D2 :
- D1 : 10x + 10y = 50
- D2 : 10x + 20y = 80
Par soustraction : 10y = 30 => y = 3. En remplaçant dans D1 : 10x + 30 = 50 => 10x = 20 => x = 2.
Le point K a pour coordonnées (2 ; 3).
Zmax = 40(2) + 50(3) = 80 + 150 = 230.
FAQ sur l'optimisation linéaire
1. Qu'est-ce qu'une solution admissible ?
C'est un ensemble de valeurs pour les variables de décision qui satisfait toutes les contraintes du problème (inéquations et égalités).
2. Comment détermine-t-on le maximum graphiquement ?
On trace la région de faisabilité définie par les contraintes. Le maximum se trouve généralement à l'un des sommets (points d'intersection) de cette région.
3. Que signifie une fonction économique ?
Il s'agit de la fonction mathématique (notée souvent Z) que l'on cherche à maximiser (pour un profit) ou à minimiser (pour un coût) dans un problème d'optimisation.