Exercices rdm cisaillement Résistance des matériaux Téléchar
Télécharger PDFThéorie Générale du Cisaillement
Cette section regroupe des exercices fondamentaux sur la contrainte moyenne de cisaillement et de compression, essentiels pour comprendre les bases de la résistance des matériaux dans diverses applications techniques.
50.01. Cisaillement sur une Butée
Considérons la figure représentée ci-contre. La force P tend à cisailler la butée le long du plan a-a. Si P = 40 kN, calculer la contrainte moyenne de cisaillement sur le plan a-a. Réponse : τ moy = 0,47 N/mm².
50.02. Résistance au Cisaillement de Joints Collés
Dans l’industrie du bois, on utilise des blocs inclinés pour déterminer la résistance compression-cisaillement des joints collés. Soit les deux blocs A et B collés ayant 4 cm de profondeur perpendiculairement au plan de la figure. Calculer la résistance maximale au cisaillement de la colle pour une force verticale F de 40 kN nécessaire pour provoquer la rupture du joint. À ce moment, quelle est la contrainte de compression ? Réponses : τ cis = 19,3 N/mm² ; σ comp = 52 N/mm².
50.03. Cisaillement dans la Tête d'un Boulon
Soit un boulon de 10 mm de diamètre sollicité par une charge axiale de 1000 daN, comme le montre la figure ci-dessous. Calculez la contrainte moyenne de cisaillement dans la tête du boulon en supposant que le cisaillement agit sur une surface cylindrique de même diamètre que le boulon, comme le montrent les lignes pointillées. Réponse : τ moy = 39,8 N/mm².
50.04. Essai de Cisaillement des Fontes (Machine de Frémont)
La figure ci-contre représente le schéma de la machine de Frémont pour l’essai des fontes au cisaillement. L’éprouvette est constituée d’un prisme à section carrée, de surface A = 25 mm². Elle se rompt lorsque l’effort F atteint une certaine valeur.
a) Écrire la relation qui existe entre la force variable F et l’effort constant P.
b) Calculer la résistance à la rupture par cisaillement d’un barreau qui s’est rompu lorsque P = 400 N, sachant que l = 10 mm et L = 150 mm. Réponse : τ rupt = 240 N/mm².
50.05. Transfert de Charges par Rivets
Dans la pratique des structures, des équerres en acier sont couramment utilisées pour transférer des charges de traverses horizontales à des colonnes verticales. La réaction de la traverse sur l’équerre est une charge de 50 kN dirigée vers le bas, comme le montre la figure ci-contre. Deux rivets identiques de 2 cm de diamètre résistent à cette charge. On suppose que le rivet remplit le trou dont le diamètre est supérieur de 0,15 cm au diamètre du rivet. Que vaut la contrainte moyenne de cisaillement dans chacun des deux ? Réponse : τ cis moy = 68,9 N/mm².
50.06. Conception d'un Crochet et de son Ancrage
Un crochet est fixé dans un plafond de hauteur h et supporte une charge verticale de 2 kN comme le montre la figure ci-dessous. La contrainte admissible au cisaillement du matériau du plafond est de 1 N/mm² et la contrainte admissible en traction du crochet est de 100 N/mm².
a) Quelle est la hauteur minimale h pour que le plafond résiste au cisaillement ?
b) Quel est le diamètre minimum d pour que le crochet résiste à la traction ? Réponses : a) h = 10,6 mm ; b) d ≈ 5 mm.
50.07. Résistance au Cisaillement d'un Joint Collé
L’assemblage représenté ci-contre est souvent utilisé pour déterminer la résistance au cisaillement d’un joint collé. Pour une force F à la rupture de 12 kN, quelle est la contrainte moyenne dans le joint à cet instant ? Réponse : τ moy = 139 N/mm².
Dimensionnement d'une Clavette
Ces exercices se concentrent sur le calcul et le dimensionnement des clavettes, des éléments mécaniques essentiels pour la transmission de couple entre un arbre et un moyeu, en évaluant les contraintes de cisaillement et de matage.
51.01. Taux de Travail au Cisaillement d'une Clavette
Un levier ayant un entr’axe de 300 mm supporte un effort de 1000 N à une extrémité. Il est calé sur un arbre de 40 mm de diamètre par une cale de 10 mm de largeur et 50 mm de longueur. Quel est le taux de travail de la cale au cisaillement ? Réponse : τ cis = 30 N/mm².
51.02. Dimensionnement Complet d'une Clavette
Une poulie est soumise à un couple moteur de 1,1 kNm, transmis à l’arbre par l’intermédiaire d’une clavette. L’arbre a un diamètre de 50 mm. Déterminer complètement la clavette. On peut admettre une contrainte admissible du matériau de 100 N/mm². Réponses : a = 14 mm ; b = 9 mm ; l = 90 mm < 100 mm OK.
51.03. Comparaison des Contraintes d'une Clavette en Acier
Une chape comporte une clavette en acier E235-B. Calculez la contrainte de cisaillement et comparez-la avec la contrainte admissible si le coefficient de sécurité est égal à 3. Réponses : τ cis = 408 N/mm² ; τ adm = 454 N/mm².
Dimensionnement d'une Goupille ou d'un Rivet
Cette section aborde le dimensionnement des goupilles et des rivets, en calculant les diamètres nécessaires et en analysant les contraintes de cisaillement et de matage pour assurer la sécurité et la fonctionnalité des assemblages.
52.01. Détermination du Diamètre d'une Goupille Cylindrique
Une goupille cylindrique permet l’articulation de deux barres plates. L’effort maximum supporté par la liaison est de 50 kN. La résistance pratique (admissible) au cisaillement du matériau de la goupille est de 50 N/mm². Déterminer le diamètre d de la goupille. Réponse : d = 35,7 mm ⇒ 40 mm.
52.02. Diamètre de Goupilles dans un Accouplement
Un accouplement (3) à deux goupilles (4) et (5) permet la transmission de puissance d’un arbre (1) vers un arbre (2). Le couple maximal à transmettre est de 300 Nm, le diamètre des arbres est de 40 mm. Si la contrainte admissible au cisaillement du matériau des goupilles est de 300 MPa, déterminer leur diamètre d. Réponse : d ≥ 5,64 mm ⇒ 6 mm.
52.03. Analyse des Contraintes dans un Assemblage par Goupille Plate
Les tirants (1) et (2) sont assemblés par l’intermédiaire d’une goupille plate (3). Le montage est soumis à un effort de traction de 45 kN.
a) Repérer et calculer les surfaces des sections cisaillées de la goupille.
b) Calculer les contraintes de cisaillement de la goupille.
c) Calculer les contraintes dues au matage entre la goupille et les tirants. Indiquer les surfaces matées. Réponses : a) A cis = 132 mm² ; b) τ cis = 341 N/mm² ; c) contrainte de matage p_matage1 = 500 N/mm² ; contrainte de matage p_matage2 = 1000 N/mm².
52.04. Détermination du Diamètre d'un Axe d'Articulation
L’articulation cylindrique proposée sur la figure ci-contre, assure la liaison entre les solides 1 et 2 au moyen d’un axe 3 (articulation en chape). L’arrêt en translation de l’axe est assuré par deux circlips 4. La résistance admissible au cisaillement de l’axe est de 80 N/mm². L’effort maximum supporté par la liaison est de 110 kN. Déterminer le diamètre de l’axe. Réponse : d = 29,6 mm ⇒ 30 mm (diamètre de circlips normalisé).
52.05. Contraintes de Cisaillement dans un Maillon de Chaîne
L’ensemble proposé ci-dessous est un maillon de chaîne à montage et démontage rapides. Le maillon permet la constitution rapide d’élingues, ainsi que des assemblages entre chaînes, crochets et anneaux. Le maillon est construit à partir de deux demi-anneaux 1 et 2. La liaison est assurée par l’axe 3 de 8 mm de diamètre. L’effort F admissible par le maillon est de 20,1 kN. Déterminer les contraintes de cisaillement dans l’axe 3. Réponse : τ axe = 99,9 N/mm².
Dimensionnement d'un Joint Collé
Cette section explore les principes du dimensionnement des joints collés, en calculant les longueurs et les efforts admissibles basés sur la résistance au cisaillement de l'adhésif pour assurer une liaison fiable.
54.01. Longueur Minimale d'un Joint Collé
Deux planches de bois (1) et (2), d’épaisseur e = 20 mm, sont collées comme l’indique la figure ci-contre. Si la contrainte admissible au cisaillement du joint collé est de 900 kPa et si l’effort de traction F = 3000 N, déterminer la longueur minimale a nécessaire pour réaliser l’assemblage. Réponse : a min = 23,8 mm.
54.02. Longueur de Joint Collé pour Cylindres Concentriques
Un cylindre de 30 mm de diamètre est emmanché concentriquement dans un autre de 5 mm d’épaisseur. La résistance à la rupture au cisaillement de la colle est de 18 N/mm². La colle est répartie uniformément sur le cylindre intérieur et de longueur l inconnue. L’effort F supporté par le montage est de 26 kN. Calculer la longueur à donner au joint collé du montage. On vérifiera de plus la longueur de recouvrement maximum efficace. Réponses : 19,2 mm < l < 37,3 mm.
54.03. Effort Admissible d'un Joint Collé Rectangulaire
Deux plats sont collés l’un sur l’autre. La résistance à la rupture par cisaillement de la colle est de 175 daN/cm². La colle étant uniformément répartie sur la surface rectangulaire (30 x 70 mm²), déterminer l’effort de traction admissible par le montage. Réponses : V rupt = 36 750 N ; V adm = 22 050 N.
Cisaillage et Poinçonnage
Ces exercices traitent des opérations de cisaillage et de poinçonnage, calculant les efforts nécessaires et les contraintes associées pour la découpe de tôles et la fabrication de pièces par déformation plastique.
55.01. Effort Tranchant pour Découpe de Flasques
Les flasques d’une chaîne Galle sont découpés dans une tôle d’acier demi-dur XC42 de 3 mm d’épaisseur dont la résistance à la rupture par traction est de 700 N/mm². Sachant que l = 57 mm et a = 25 mm, déterminer l’intensité de l’effort tranchant nécessaire pour obtenir la débouchure. Réponse : V = 300 kN.
55.02. Force et Déformation pour Poinçonnage d'un Trou
Que vaut la force nécessaire pour poinçonner un trou de 25 mm de diamètre dans une plaque d’acier (résistance à la rupture R_m = 550 N/mm²) d’une épaisseur de 10 mm. Calculer la déformation de cisaillement au bord de ce trou lorsque la contrainte de cisaillement est de 150 N/mm². Réponses : F_max = 432 kN ; γ = -1,875 x 10⁻³ rad.
55.03. Vérification de Contraintes lors du Poinçonnage
On désire découper un trou dans une tôle par l’intermédiaire d’un poinçon exerçant un effort de cisaillement qui se répartit sur toute la section cisaillée de la pièce. Le poinçon travaillant en compression ne doit pas subir de contrainte normale trop importante pouvant entraîner sa déformation permanente. La tôle à poinçonner a pour épaisseur e = 4 mm et l’acier qui la constitue a une contrainte tangentielle moyenne de rupture τ_rupt = 200 MPa. La contrainte pratique (admissible) de compression du poinçon vaut 240 MPa. Le trou à réaliser est carré de côté a = 20 mm.
a) Quel effort minimal le poinçon doit-il exercer sur la tôle pour la poinçonner ?
b) La contrainte de compression dans le poinçon est-elle satisfaisante ? Justifier. Réponses : a) F = 110,3 kN ; b) non.
55.04. Force Minimale de Poinçonnage
Un poinçon réalise un trou dans une tôle de 4 mm d’épaisseur. La forme du trou est représentée à la figure ci-contre. La résistance à la rupture par cisaillement du matériau de la tôle est de 250 N/mm². Quelle est la force F minimale nécessaire au poinçonnage (sans tenir compte des frottements) ? Réponse : F_min = 251,3 kN.
55.05. Effort et Contrainte de Compression lors du Poinçonnage Oblong
Un poinçon réalise un trou oblong dans une tôle de 3 mm d’épaisseur. Si la résistance à la rupture par cisaillement du matériau de la tôle est de 250 N/mm², déterminer l’effort F nécessaire au poinçonnage et en déduire la contrainte de compression dans le poinçon. Réponses : F = 197,1 kN (F_réel = 328,5 kN) ; σ comp = 852 N/mm².
Calcul d'Assemblages Soudés
Cette section présente des exercices sur le calcul des caractéristiques des soudures et des assemblages soudés, afin de garantir leur intégrité structurelle sous diverses sollicitations et conditions de charge.
56.01. Dimensionnement Complet de Soudures
Déterminer complètement les soudures sachant que le métal de base est de l'acier E235. Réponse : l_s = 55 mm (4x).
56.02. Force de Traction Maximale Admissible pour Soudures d'Angle
Pour réunir deux plaques, on utilise souvent des soudures d’angle. On demande de calculer la force de traction maximale admissible en sachant que l’acier utilisé est de l'acier Fe235. La charge est appliquée au milieu de l’intervalle entre les deux soudures. Réponse : F_adm = 337 kN.
56.03. Dimensionnement de Pattes de Fixation et Boulons Soudés
On demande la longueur des soudures, les dimensions des pattes de fixation, les diamètres des boulons sachant qu’il y a 4 pattes et que σ_adm dans les tôles est de 120 N/mm². Réponses : [Les réponses spécifiques ne sont pas fournies dans le texte original].
56.04. Caractéristiques d'un Cordon de Soudure pour UPN
Calculer les caractéristiques du cordon de soudure (longueur l_s et hauteur h_c) d’un assemblage d’un UPN 220, en acier E235, supportant un effort de traction de 300 kN, avec un gousset d’une épaisseur de 12 mm. UPN 220 : 220 x 70 x 8 x 11. Réponse : l_s = 208 mm (l_s effective = 225 mm) avec h_c = 8 mm.
Exercices de Synthèse sur le Cisaillement
Ces exercices de synthèse intègrent plusieurs concepts de la résistance des matériaux pour résoudre des problèmes complexes de dimensionnement d'assemblages rivetés, clavetés et soudés, en prenant en compte diverses contraintes.
5S.01. Assemblage de Cornières par Rivets ou Soudures
Deux cornières de 60 x 60 x 6 sont assemblées par rivets à un gousset d’épaisseur 6 mm. Sachant que la contrainte de cisaillement admissible de ceux-ci est de 100 N/mm² et que l’effort de traction supporté par les cornières est N = 100 kN.
a) Déterminer le diamètre des rivets ;
b) Calculer la contrainte dans les cornières, section pleine et section affaiblie par un trou de rivet ;
c) Déterminer le nombre des rivets ;
d) Dessiner et coter l’assemblage ;
e) Étudier l’assemblage précédent réalisé par quatre cordons de soudure (cote h_c = 4 mm). Réponses : a) d = 14 mm ; b) τ_nominal = 73 N/mm² ; c) nombre de rivets = 10 ; e) l_cordon > 69,4 mm.
5S.02. Transmission de Couple par Manchon d'Accouplement
Un arbre A transmet un couple de 14 000 Nm à un arbre B par l’intermédiaire d’un manchon d’accouplement à plateaux dont les boulons sont répartis sur une circonférence de 380 mm. On admet que ces boulons se comportent comme de simples broches sollicitées au cisaillement (les deux plateaux du manchon tendent, en effet, à tourner l’un par rapport à l’autre). De fréquents changements de marche et de brusques variations de charge étant prévus, on adoptera une résistance pratique τ_adm = 20 N/mm².
a) Calculer l’effort tranchant qui tend à cisailler chaque boulon ;
b) Déterminer son diamètre ;
c) Quel est l’effort tranchant qui sollicite la clavette C ? En déduire la contrainte tangentielle correspondante ;
d) Que vaut la pression de matage au niveau de la clavette ? Réponses : a) V = 12 300 N ; b) d > 28 mm ⇒ M30 ; c) V_C = 187 105 N ; τ_cis C = 20,7 N/mm² ; d) p_matage = 74,6 N/mm².
5S.03. Contraintes dans une Poutrelle Sollicitée en Traction
La poutrelle (IPE 200 200 x 100 x 5,6 x 8,5) ci-dessous est sollicitée en traction. Sa section nette est de 2850 mm². L’effort dans la section sera au maximum de 198 kN.
Quelle sera la contrainte maximale atteinte :
a) dans la poutre ;
b) dans les rivets ;
c) dans le couvre-joint.
Remarque : Attention au diamètre de perçage des trous de rivets ! Réponses : [Les réponses spécifiques ne sont pas fournies dans le texte original].
Foire Aux Questions (FAQ) sur le Cisaillement en Résistance des Matériaux
Qu'est-ce que le cisaillement en résistance des matériaux ?
Le cisaillement est une sollicitation mécanique où des forces agissent parallèlement à une section d'un matériau, tendant à faire glisser une partie de ce matériau par rapport à l'autre. La contrainte de cisaillement (τ) est une mesure de la force par unité de surface dans le plan de cisaillement, exprimée en N/mm² ou MPa, et est fondamentale pour le dimensionnement des assemblages.
Quelle est la différence entre cisaillement et matage dans les assemblages ?
Le cisaillement concerne la rupture ou la déformation d'un élément due à des forces agissant dans le plan de sa section (par exemple, une goupille qui se coupe sous l'effet d'une force). Le matage, quant à lui, est une déformation locale par écrasement due à une pression de contact excessive entre deux pièces en contact, comme la surface d'un trou où s'appuie une goupille. Les deux phénomènes sont cruciaux à vérifier pour la conception sécuritaire des assemblages rivetés ou goupillés.
Pourquoi un coefficient de sécurité est-il utilisé en dimensionnement ?
Un coefficient de sécurité est appliqué pour garantir qu'une pièce ou une structure peut supporter des charges supérieures aux charges de service prévues sans atteindre la rupture ou la déformation excessive. Il intègre une marge de sécurité pour compenser les incertitudes liées aux propriétés des matériaux, aux tolérances de fabrication, aux charges réelles et aux limites des modèles de calcul, assurant ainsi la fiabilité et la durabilité de l'assemblage.