Fonctions de plusieurs variables calcul intégral td analyse

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Avant-propos

Ce document s'adresse à des étudiants de deuxième année de DEUST (Diplôme d'Études Universitaires Scientifiques et Techniques). Il a pour objectif de fournir les bases essentielles du calcul différentiel pour les fonctions de plusieurs variables, matière indispensable dans toute formation en mathématiques appliquées, notamment en économie. Les notions préalablement acquises correspondent au programme de première année.

De nombreux ouvrages, parfois très exhaustifs, existent sur ce sujet. Ici, compte tenu des contraintes de volume horaire, des acquis des étudiants en première année et des exigences pour la suite du cursus, nous avons cherché à dégager les points clés permettant de structurer le travail personnel de l'étudiant et de faciliter la lecture d'autres ouvrages.

Ce support ne dispense pas des séances de cours et de Travaux Dirigés (TD) ni de la prise de notes complémentaires. Il est d'ailleurs important de comprendre et d'apprendre le cours au fur et à mesure. Ce document est là pour éviter un travail de copie qui empêche parfois de se concentrer sur les explications données oralement, mais ce n'est pas un livre auto-suffisant (il est loin d'être exhaustif).

Pour que la méthode d'étude soit vraiment efficace, il faut d'abord véritablement essayer de chercher la solution d'un problème. En particulier, il faut avoir un papier brouillon à côté de soi et un crayon. La première étape consiste alors à traduire l'énoncé (non pas le recopier), surtout s'il est constitué de beaucoup de jargon mathématique. Ensuite, il faut essayer de rapprocher les hypothèses de la conclusion souhaitée, et pour cela faire quelques calculs ou transformer les hypothèses pour appliquer un théorème dont on aura vérifié que les hypothèses sont bien satisfaites. C'est ici que l'intuition joue un grand rôle et il ne faut pas hésiter à remplir des pages pour s'apercevoir que l'idée que l'on a eue n'est pas la bonne. Elle pourra toujours resservir dans une autre situation. Quand finalement on pense tenir le bon bout, il faut rédiger soigneusement en s'interrogeant à chaque pas sur la validité (logique, mathématique) de ce qu'on a écrit. Si l'étape précédente ne donne rien, il faut chercher de l'aide.

Introduction

Qu'il s'agisse de traiter des questions relatives à la biologie, la chimie, la physique, la production, la consommation ou encore l'environnement, etc., une modélisation adéquate s'exprime le plus souvent à l'aide de fonctions de plusieurs variables. Cet article introduit les fonctions de plusieurs variables réelles en élargissant les définitions des fonctions d'une variable réelle.

Évidemment, la représentation géométrique devient plus lourde : une fonction de n variables se visualise a priori dans un espace à (n+1) dimensions (n pour les variables, 1 pour la fonction), alors que les pages d'un livre sont, par nature, bidimensionnelles. Pour contourner cette impossibilité technique, on se limite souvent à des représentations en perspective ou à des coupes par des plans horizontaux ou verticaux qui fournissent des informations utiles, quoique partielles. Ce problème de visualisation introduit une rupture nette par rapport aux fonctions d'une variable étudiées antérieurement. Nous privilégions ici les thèmes qui s'écartent des notions vues pour les fonctions d'une seule variable. À l'opposé, les définitions et les propriétés qui apparaissent comme des généralisations évidentes sont évoquées ou présentées brièvement.

L'étude des fonctions de plusieurs variables commence au 18^e siècle. La notion de dérivée partielle est connue dès la fin du 17^e siècle, mais les premières équations aux dérivées partielles n'apparaissent qu'à partir de 1740 dans des problèmes de mécanique. Deux mathématiciens sont considérés comme les pères des dérivées partielles : le Français CLAIRAUT Alexis Claude (1713-1765) en 1747, puis le Suisse EULER Leonhard (Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783) dans son traité Institutiones calculi differentialis de 1755. Ils étudient ce que l'on nomme maintenant la différentielle totale pour des fonctions de deux variables réelles.

Au 18^e siècle, les mathématiciens doivent apprendre à maîtriser des équations d'ordre supérieur lorsqu'ils se consacrent aux problèmes de la mécanique des corps déformables, de la théorie de l'élasticité et de l'hydrodynamique. Les dérivées partielles secondes apparaissent notamment lors de la fameuse étude de l'équation aux cordes vibrantes qui, avec celle de la propagation de la chaleur, donna naissance à la théorie des séries de FOURIER (1768-1830). Le Français D'ALEMBERT Jean Le Rond (Paris 1717 - Paris 1783) a le premier donné en 1747 une solution de ce problème qui se ramène à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles (avec d'autres notations) : ∂²y/∂t² = a² ∂²y/∂x², connue aujourd'hui comme l'équation d'onde unidimensionnelle.

Exemples d'applications des fonctions de plusieurs variables :

La température sous la surface de la Terre est une fonction de la profondeur (x) et du temps de l'année (t). Si nous mesurons x en pieds et t comme un nombre de jours écoulés depuis une date de référence, nous pouvons modéliser la variation de température avec une fonction comme : w(x, t) = cos(0.017t − 0.2x)e^−0.2x.
La température et la pression comme fonction de la position sur une carte : fonctions de deux variables (x et y).
L'altitude en un point d'une carte : fonction de deux variables (x et y).
La température et la pression en chaque point d'une pièce (en trois dimensions) : fonctions de trois variables (x, y et z).
Le volume d'une boîte en fonction de la hauteur (H), de la largeur (L) et de la profondeur (l) : fonction de trois variables (H, L et l).

Topologie dans Rⁿ

Normes et distances dans Rⁿ

La distance usuelle entre deux points de R² ou R³ vue dans les petites classes est ce qu'on appelle la distance euclidienne. On définit également ainsi la longueur d'un vecteur u, encore appelée la norme euclidienne de ce vecteur et notée ||u||. Si u a pour composantes (u₁, u₂) dans un repère orthonormal (O, i, j), alors le théorème de Pythagore donne : ||u|| = √(u₁² + u₂²).

Rappelons qu'en dimension 2, on identifie un vecteur u de coordonnées (u₁, u₂) avec un point M du plan de coordonnées (u₁, u₂) une fois fixée une origine O et écrit OM = u. On généralisera ici cette identification en désignant le point ou le vecteur de coordonnées (x₁, ..., x_n) par x = (x₁, ..., x_n) ∈ Rⁿ. La norme euclidienne d'un vecteur x = (x₁, ..., x_n) ∈ Rⁿ est définie par : ||x|| = √(x₁² + ... + x_n²).

Le produit scalaire de x = (x₁, ..., x_n) avec y = (y₁, ..., y_n) est défini par x · y = x₁y₁ + ... + x_ny_n. On a en particulier ||x||² = x · x.

Inégalité de Cauchy-Schwarz : pour tout x et y dans Rⁿ, |x · y| ≤ ||x|| · ||y|| avec égalité si et seulement si x et y sont proportionnels.

Inégalité triangulaire : pour tout x et y dans Rⁿ, ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.

Norme sur l’espace vectoriel Rⁿ

Définition 1.1.1 (Norme)

On appelle norme sur Rⁿ toute application N : Rⁿ → R⁺, x → N(x), vérifiant, pour tout couple (x, y) de Rⁿ × Rⁿ et tout scalaire λ de R :

N(x) = 0 si et seulement si x = 0.
N(λx) = |λ| N(x), pour tout x ∈ Rⁿ.
N(x + y) ≤ N(x) + N(y) (inégalité triangulaire), pour tout x, y de Rⁿ.

Distance sur un espace vectoriel

Définition 1.1.2 (Distance)

Soit E un espace vectoriel. On appelle distance sur E une application d : E×E → R⁺ qui vérifie les trois axiomes :

∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = d(y, x) (symétrie).
∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = 0 ⇔ x = y (séparation).
∀(x, y, z) ∈ E³, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (inégalité triangulaire).

L'ensemble E muni de cette distance est dit : espace métrique et on le note (E, d).

Proposition 1.1.1 (Distance induite par une norme sur Rⁿ)

Soit N une norme sur l'espace vectoriel Rⁿ. Une distance d sur Rⁿ est définie par la formule suivante : ∀x, y ∈ Rⁿ, d(x, y) = N(x − y).

D'un point de vue géométrique, la norme euclidienne ||x|| correspond à la longueur du vecteur x (ou encore à la distance du point x à l'origine). La distance d(x,y) = ||x−y|| représente la longueur du vecteur reliant le point x au point y. La norme euclidienne n'est pas l'unique façon de mesurer la "taille" d'un vecteur x.

Définition 1.1.3 (Normes équivalentes)

Deux normes N et N' sont dites équivalentes s'il existe des constantes C₁, C₂ > 0 telles que pour tout vecteur x de Rⁿ, on ait C₁ N(x) ≤ N'(x) ≤ C₂ N(x).

Exemple 1.1.2.1 Dans R, la fonction valeur absolue (|x|) est une norme.

Théorème 1.1.1 (Admis)

Sur un espace vectoriel normé de dimension finie (comme Rⁿ), toutes les normes sont équivalentes. Dans la suite, on notera ||.|| sans préciser de quelle norme il s'agit, car leur équivalence garantit que beaucoup de propriétés topologiques sont indépendantes du choix de la norme.

Normes classiques dans Rⁿ

Les trois normes les plus couramment utilisées sur Rⁿ sont données par : pour tout x = (x₁, ..., x_n) ∈ Rⁿ :

Norme 1 (Norme de Manhattan ou Taxicab) :
N₁(x) = ||(x₁, ..., x_n)||₁ = ∑_i=1ⁿ |x_i|
Norme 2 (Norme euclidienne) :
N₂(x) = ||(x₁, ..., x_n)||₂ = √(∑_i=1ⁿ x_i²)
Norme ∞ (Norme du maximum) :
N∞(x) = ||(x₁, ..., x_n)||∞ = sup_1≤i≤n (|x_i|)

On vérifie facilement que ces trois normes satisfont les trois propriétés d'une norme.

Boule et sphère associées à une norme

Définition 1.1.4

La boule ouverte de centre a ∈ Rⁿ et de rayon r > 0 est B(a, r) = {x ∈ Rⁿ / N(x − a) < r}.
La boule fermée de centre a ∈ Rⁿ et de rayon r > 0 est B(a, r) = {x ∈ Rⁿ / N(x − a) ≤ r}.
La sphère de centre a ∈ Rⁿ et de rayon r > 0 est S(a, r) = {x ∈ Rⁿ / N(x − a) = r}.
Les boules ou les sphères de centre O (l'origine) de Rⁿ et de rayon r = 1 sont appelées boules unités ou sphères unités.

Exercice 1.1.1

Soit l'application d définie par : d : R × R → R⁺ telle que d(x, y) = | f(x) − f(y) | où f(x) = x / (1 + |x|).

Montrer que d est une distance sur R.
La distance d est-elle induite par une norme ?
On munit R de la distance d. Calculer le diamètre de R.

Corrigé 1.1.1

On vérifie les trois propriétés d'une distance.
1. ∀x, y ∈ R, il est clair que d(x, y) = d(y, x) car la valeur absolue est commutative.
2. ∀x, y ∈ R, d(x, y) = 0 ⇔ |f(x) − f(y)| = 0 ⇔ f(x) = f(y). La fonction f(x) = x / (1 + |x|) est injective. Si x ≥ 0, f(x) = x / (1 + x). Sa dérivée f'(x) = ((1+x) − x) / (1+x)² = 1 / (1+x)² > 0. Si x < 0, f(x) = x / (1 − x). Sa dérivée f'(x) = ((1-x) − x(−1)) / (1-x)² = 1 / (1-x)² > 0. De plus, f(0)=0. La fonction f est strictement croissante sur R. Donc f(x) = f(y) ⇔ x = y. La propriété de séparation est démontrée.
3. Reste à montrer l'inégalité triangulaire. On a : d(x, y) = |f(x) − f(y)|. L'inégalité triangulaire pour la valeur absolue dit que pour tout a, b, c ∈ R, |a − b| ≤ |a − c| + |c − b|. En appliquant cette propriété avec a=f(x), b=f(y) et c=f(z), on obtient : |f(x) − f(y)| ≤ |f(x) − f(z)| + |f(z) − f(y)|. Ce qui est exactement d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). La propriété est démontrée.
Si d était induite par une norme ||.||, cette norme serait donnée par la formule ||x|| = d(x, 0) = |x| / (1 + |x|). Pour qu'il s'agisse d'une norme, la propriété ||λx|| = |λ| ||x|| devrait être vérifiée pour tout λ ∈ R et tout x ∈ R. Vérifions : ||λx|| = |λx| / (1 + |λx|) = (|λ| |x|) / (1 + |λ| |x|). Et |λ| ||x|| = |λ| × (|x| / (1 + |x|)). Prenons par exemple λ = 2 et x = 1. ||2 · 1|| = |2| / (1 + |2|) = 2 / 3. |2| ||1|| = 2 × (|1| / (1 + |1|)) = 2 × (1 / 2) = 1. Comme 2/3 ≠ 1, la propriété ||λx|| = |λ| ||x|| n'est pas vérifiée. Par conséquent, la distance d n'est pas induite par une norme.
Pour calculer le diamètre de R muni de la distance d, rappelons que le diamètre δ(E) d'un ensemble E est sup_{x, y ∈ E} d(x, y). Pour tout réel x, d(x, 0) = |x| / (1 + |x|). Or, pour tout x ∈ R, |x| < 1 + |x|, donc |x| / (1 + |x|) < 1. Ainsi, d(x, 0) < 1. Cela signifie que R est entièrement inclus dans la boule ouverte de centre 0 et de rayon 1 pour cette distance (B(0,1)). R est donc un ensemble borné. Pour tous réels x et y, d(x, y) = |f(x) − f(y)| ≤ |f(x)| + |f(y)|. Puisque |f(x)| = |x|/(1+|x|) < 1 pour tout x, on a d(x, y) < 1 + 1 = 2. Donc le diamètre δ(R) de R est inférieur ou égal à 2. Étudions la fonction f(x) = x / (1 + |x|) : Lorsque x est positif, f(x) = x / (1 + x). La limite quand x→+∞ est 1. Lorsque x est négatif, f(x) = x / (1 − x). La limite quand x→−∞ est −1. La fonction f est strictement croissante de R sur l'intervalle ]−1, 1[. Par conséquent, pour tout ε > 0, il existe des réels x et y suffisamment grands (en valeur absolue, x négatif et y positif) tels que f(x) soit proche de −1 (par exemple −1 + ε/2) et f(y) soit proche de 1 (par exemple 1 − ε/2). Alors d(y, x) = |f(y) − f(x)| > (1 − ε/2) − (−1 + ε/2) = 2 − ε. Comme δ(R) ≥ 2 − ε pour tout ε > 0, on en déduit δ(R) ≥ 2. Puisque nous avons démontré δ(R) ≤ 2 et δ(R) ≥ 2, nous pouvons conclure que δ(R) = 2.

Exercice 1.1.2

On munit R² de la distance euclidienne associée à la norme N₂. Soit A le sous-ensemble de R² défini par : A = {(x, y) ∈ R² / x² − 2x ≤ y ≤ 2x − x²}

Représenter sommairement l'ensemble A.
Montrer que A est borné.
Vérifier que : ∀(x, y) ∈ A, y² ≤ |y|.
Calculer le diamètre de A.

Corrigé 1.1.2

L'ensemble A est formé des points situés entre les courbes d'équations : y = x² − 2x et y = 2x − x². La première est une parabole s'ouvrant vers le haut, de sommet (1, −1). La seconde est une parabole s'ouvrant vers le bas, de sommet (1, 1). Les deux paraboles se coupent lorsque x² − 2x = 2x − x², ce qui donne 2x² − 4x = 0, soit 2x(x − 2) = 0. Les points d'intersection sont (0, 0) et (2, 0).
Si (x, y) ∈ A, alors x² − 2x ≤ y ≤ 2x − x². L'inégalité x² − 2x ≤ 2x − x² implique 2x² − 4x ≤ 0, soit 2x(x − 2) ≤ 0. Cela équivaut à 0 ≤ x ≤ 2. Pour la variable y, la fonction g(x) = x² − 2x a son minimum à x=1, g(1) = −1. Elle vaut 0 pour x=0 et x=2. La fonction h(x) = 2x − x² a son maximum à x=1, h(1) = 1. Elle vaut 0 pour x=0 et x=2. Donc, pour tout (x, y) ∈ A, on a −1 ≤ y ≤ 1. Finalement, 0 ≤ x ≤ 2 et |y| ≤ 1 pour tout (x, y) ∈ A. Cela prouve que A est borné.
Si (x, y) ∈ A, alors d'après la question précédente, |y| ≤ 1. Puisque y² est toujours positif et |y| est positif, et que pour tout nombre réel z tel que |z| ≤ 1, on a z² ≤ |z|, la vérification est immédiate. Par exemple, si y = 0.5, y² = 0.25 et |y| = 0.5, donc 0.25 ≤ 0.5. Si y = −0.5, y² = 0.25 et |y| = 0.5. Si y = 1, y² = 1 et |y| = 1.
Le diamètre de A, noté δ(A), est le supremum des distances entre deux points quelconques de A. On remarque que A est inclus dans le disque fermé D = B((1, 0), 1) de centre (1, 0) et de rayon R = 1. En effet, pour tout (x,y) ∈ A, (x−1)² ≤ 1 (car x ∈ [0,2]) et y² ≤ 1 (car y ∈ [−1,1]). De plus, tous les points extrêmes (0,0), (2,0), (1,1), (1,-1) sont sur le cercle (x-1)²+y²=1. Pour les autres points de A, comme y est borné par x(2-x) et x(x-2), le carré de y est toujours plus petit que ou égal au carré de la valeur y pour les points du cercle de rayon 1. Ainsi, (x−1)² + y² ≤ 1² est vérifié pour tous les points de A. Par conséquent, ∀(u, v) ∈ A², d(u, v) ≤ diam(D) = 2. Comme les points (1, 1) et (1, −1) appartiennent à A et sont distants de √((1−1)² + (1−(−1))²) = √(0² + 2²) = 2, on conclut que δ(A) ≥ 2. Ayant δ(A) ≤ 2 et δ(A) ≥ 2, nous avons δ(A) = 2.

Définitions et propriétés de parties de Rⁿ

Définition 1.2.1 (Ensemble ouvert)

Un ensemble U de Rⁿ est dit ouvert si et seulement si pour tout x ∈ U, il existe r > 0 tel que la boule ouverte B(x, r) soit entièrement incluse dans U (B(x, r) ⊂ U). Par convention, l'ensemble vide ∅ est ouvert. L'ensemble des points intérieurs à E est appelé intérieur de E et est noté E°. On vérifie que E° est le plus grand ouvert contenu dans E et que E est ouvert si et seulement si il est égal à son intérieur (E = E°).

Définition 1.2.2 (Ensemble fermé)

Un ensemble F de Rⁿ est dit fermé si et seulement si son complémentaire (F^c = Rⁿ \ F) est ouvert.

Définition 1.2.3 (Ensemble borné et compact)

Un ensemble E ⊂ Rⁿ est dit borné si et seulement si il existe R > 0 tel que E soit entièrement inclus dans une boule de centre l'origine et de rayon R (E ⊂ B(0, R)). Un ensemble qui est à la fois fermé et borné dans Rⁿ est dit compact. (C'est le théorème de Heine-Borel pour Rⁿ).

FAQ

Qu'est-ce qu'une fonction de plusieurs variables ?

Une fonction de plusieurs variables est une fonction dont la valeur dépend de deux ou plusieurs variables indépendantes. Par exemple, la température d'une pièce peut dépendre de sa position (longueur, largeur, hauteur), ce qui en fait une fonction de trois variables. Ces fonctions sont essentielles pour modéliser des phénomènes complexes en science, ingénierie et économie.

Quelle est la différence entre une norme et une distance ?

Une norme mesure la "taille" ou la "longueur" d'un vecteur dans un espace vectoriel, satisfaisant des propriétés comme l'homogénéité et l'inégalité triangulaire. Une distance (ou métrique) mesure l'écart entre deux points dans un ensemble, satisfaisant la symétrie, la séparation et l'inégalité triangulaire. Bien qu'une norme puisse induire une distance (d(x,y) = ||x−y||), toutes les distances ne sont pas induites par une norme, comme le montre l'exercice 1.1.1.

Qu'est-ce qu'un ensemble compact en topologie ?

Dans Rⁿ, un ensemble est dit compact s'il est à la fois fermé et borné. Intuitivement, un ensemble fermé inclut sa frontière, tandis qu'un ensemble borné peut être contenu dans une boule de rayon fini. Les ensembles compacts sont d'une grande importance en analyse car ils garantissent l'existence d'extremums pour les fonctions continues, entre autres propriétés.