Fonctions de plusieurs variables calcul intégral td analyse
Télécharger PDFUniversite Hassan II- Casablanca ´ Facult´e des Sciences et Techniques de Mohammedia Fonctions de plusieurs variables Calcul int´egral Parcours MIP Promo 2015-2016 Par : Dr Mohammed Harfaoui
Citations Dr M.Harfaoui Citations
Dieu a cr´ee les nombres, le reste est l’oeuvre de l’homme. L’enseignement est un habit tout fait et pas un habit sur mesure. Si l’esprit d’un homme s’´egare, faites-lui ´etudier les math´ematiques car dans les d´emonstrations, pour peu qu’il s’´ecarte, il sera oblig´e de recommencer. Pour l’enseignant il ne s’agit pas d’aimer ou de d´etester, il s’agit avant tout de ne pas se tromper. [Andr´e L´evy] On n’enseigne pas ce que l’on sait ou ce que l’on croit savoir : on n’enseigne et on ne peut enseigner que ce que l’on est. Quand une soci´et´e ne peut pas enseigner, c’est que cette soci´et´e ne peut pas s’enseigner. [Charles P´eguy] La science, c’est ce que le p`ere enseigne `a son fils. La technologie, c’est ce que le fils enseigne `a son papa. [Michel Serres] Une soci´et´e qui n’aime pas ses enseignants est une soci´et´e qui n’a pas compris le d´efi de la mondia lisation de demain. [Val´erie P´ecresse] Il y a des sciences bonnes dont l’existence est n´ecessaire et dont la culture est inutile. Telles sont les math´ematiques. [Joseph Joubert] Les math´ematiques sont une gymnastique de l’esprit et une pr´eparation `a la philosophie. [Isocrate] La musique est une math´ematique sonore, la math´ematique une musique silencieuse. [Edouard Her riot] Dieu n’est pas l’´eternit´e, il n’est pas l’infini, mais il est ´eternel et infini. Il n’est ni la dur´ee ni l’espace ; mais il a exist´e de tout temps et sa pr´esence est partout. [Isaac Newton] La vie n’est belle qu’`a ´etudier et `a enseigner les math´ematiques. mharfaoui04@yahoo.fr ii El´emnents sous droits d’auteur ´
Dr M.Harfaoui Table des mati`eres mharfaoui04@yahoo.fr 1 El´emnents sous droits d’auteur ´
Table des mati`eres Dr M.Harfaoui mharfaoui04@yahoo.fr 2 El´emnents sous droits d’auteur ´
` TABLE DES MATIERES 0.1 Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.2 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 Toplogie dans Rn 9 1.1 Normes et distances dans Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Norme sur l’espace vectoriel Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2 Distance sur un espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Normes classiques dans Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4 Boule et sph`ere associ´ees `a une norme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 D´efintions et propri´et´es de parties de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Fonctions num´eriques `a plusieurs variables 17 2.1 G´en´eralit´e et d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Fonctions num´eriques de plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Domaine de d´efinition de fonctions de plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3 Graphe d’une fonction de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.4 Lignes ou courbe de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.5 Fonctions partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Limite et continuit´e des fonctions num´eriques de plusieurs variables. . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Limite et continuit´e d’une fonction en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Continuit´e d’une fonction sur un ouvert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 D´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1 Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.2 D´eriv´ee partielle premi`ere ou d’ordre un. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3 D´eriv´ee partielle seconde ou d’ordre deux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.4 D´eriv´ee suivant un vecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Diff´erentielle totale d’une fonction de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1 Diff´erentiabilit´e dans R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3
Table des mati`eres Dr M.Harfaoui 2.4.2 Propri´et´es de la diff´erentiabilit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.3 D´eriv´ees partielles d’une fonction compos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5 Fonctions homog`enes et th´eor`ene des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5.1 Fonctions homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5.2 Th´eor`emes de fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Formules de Taylor et d´eveloppement limit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6.1 Formule de Taylor d’une fonction de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . 39 2.6.2 D´eveloppement limit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 Extremums libres de fonctions de Rn dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.7.1 D´efinitions et g´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.7.2 Quelques graphes ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.7.3 Conditions d’extremums libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.8 Extremums li´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.8.1 D´efinitions et g´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.8.2 M´ethode de substitution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.8.3 M´ethode de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.9 Etudes d’extremums sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 Fonction de plusieurs variables `a valeurs dans Rp 57 3.1 Limites et continuit´e d’une fonction de plusieurs variables `a valeurs dans IRp. . . . . . 57 3.2 Diff´erentielle d’une fonction de plusieurs variables `a valeurs dans IRp. . . . . . . . . . 58 3.3 Matrice jacobienne et Jacobien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4 Int´egrales doubles et triples 65 4.1 Int´egrales doubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.1 Int´egrale double sur un rectangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.1.2 Int´egrale double sur un domaine born´e R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.1.3 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.1.4 Changement de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.1.5 Applications des int´egrales doubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2 Int´egrales triples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2.1 Int´egrale triple sur un parall´el´epip`ede. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2.2 Int´egrale triple sur un domaine born´e de R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2.3 Th´eor`eme de changement de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2.4 Applications des int´egrales triples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 mharfaoui04@yahoo.fr 4 El´emnents sous droits d’auteur ´
Dr M.Harfaoui Avant propos Avant-propos
0.1 Avant-propos Ce cours s’adresse `a des ´etudiants de la deuxi`eme ann´ee d’un DEUST. Il a pour objectif de donner les bases en calcul diff´erentiel pour des fonctions de plusieurs variables indispensables `a toute formation en math´ematiques appliqu´ees `a l’´economie. Les notions suppos´ees connues correspondent au programme de la premi`ere ann´ee. De nombreux livres, parfois tr`es four nis, existent. Ici on a cherch´e, compte tenu des contraintes de volume horaire, des acquis des ´etudiants `a la premi`ere ann´ee et des exi gences pour la suite du cursus, `a d´egager les points cl´es permettant de structurer le tra vail personnel de l’´etudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Ce polycopi´e ne dispense pas des s´eances de cours et de TD ni de prendre des notes compl´ementaires. Il est d’ailleurs important de comprendre et ap prendre le cours au fur et `a mesure. Ce poly copi´e est l`a pour ´eviter un travail de copie qui empˆeche parfois de se concentrer sur les expli cations donn´ees oralement mais ce n’est pas un livre auto-suffisant (il est loin d’ˆetre exhaustif). De plus, ne vous ´etonnez pas si vous d´ecouvrez des erreurs (merci de me les communiquer). Cependant, veuillez noter que vous n’ob tiendrez pas grande chose si vous vous limitez `a choisir un exercice, y r´efl´echir une minute et aller vite voir le d´ebut de la cor rection en passant tout le temps `a essayer de comprendre la correction qui va paraˆıtre in compr´ehensible. Pour que la m´ethode d’´etude soit vraiment efficace, il faut d’abord vraiment essayer de chercher la solution. En particu lier, il faut avoir un papier brouillon `a cot´e de soi et un crayon. La premi`ere ´etape consiste alors `a traduire l’´enonc´e (pas le recopier), en particulier s’il est constitu´e de beaucoup de jargon math´ematique. Ensuite il faut essayer de rapprocher les hypoth`eses de la conclusion souhait´ee, et pour cela faire quelques calculs ou transformer les hypoth`eses pour appliquer un th´eor`eme dont on aura v´erifier que les hy poth`eses sont bien satisfaite. C’est ici que l’in tuition joue un grand rˆole et il ne faut pas h´esiter `a remplir des pages pour s’apercevoir que l’id´ee qu’on a eu n’est pas la bonne. Elle pourra toujours resservir dans une autre situa tion. Quand finalement on pense tenir le bon bout, il faut r´ediger soigneusement en s’inter rogeant `a chaque pas sur la validit´e (logique, math´ematique) de ce qu’on a ´ecrit. Si l’´etape pr´ec´edente ne donne rien, il faut chercher de l’aide. mharfaoui04@yahoo.fr 5 El´emnents sous droits d’auteur ´
Introduction. Dr M.Harfaoui 0.2 Introduction. Qu’il s’agisse de traiter des questions rela tives `a la biologie, la chimie, la physique, la production, la consommation ou encore l’en vironnement, etc..., une mod´elisation ad´equate s’exprime le plus souvent `a l’aide de fonctions de plusieurs variables. Ce chapitre introduit les fonctions de plusieurs variables r´eelles en ´elargissant les d´efinitions des fonctions d’une variable r´eelle. Evidemment, la repr´esentation ´ g´eom´etrique devient plus lourde : une fonc tion de n variables se visualise `a priori dans un espace `a (n, 1) dimensions (n pour les va riables, 1 pour la fonction), alors que les pages d’un livre sont, par nature, bi-dimensionnelles. Pour contourner cette impossibilit´e technique, nous nous limiterons aux repr´esentations des solides ne sont pos´es qu’au d´ebut du 20e si`ecle. La notion de d´eriv´ee partielle est connue `a la fin du 17e si`ecle, mais les premi`eres ´equations aux d´eriv´ees partielles n’apparaissent qu’`a par tir de 1740 dans des probl`emes de m´ecaniques. Deux math´ematiciens sont consid´er´es comme les p`eres des d´eriv´ees partielles. Tout d’abord , le fran¸cais CLAIRAUT Alexis Claude (1713-1765) en 1747, puis le suisse EU LER Leonhard (Bˆale 1707 - Saint-P´etersbourg 1783) dans son trait´e Institutiones calculi dif ferentialis de 1755. Ils ´etudient ce que l’on nomme maintenant, la diff´erentielle totale pour des fonctions de deux variables r´eelles : ∂x(x, y) + ∂f fonctions de deux variables, soit sous forme df(x, y) = ∂f ∂y (x, y). de dessins en perspective, soit sous forme de coupes par des plans horizontaux ou verti caux qui donnent des informations souvent utiles, quoique parcellaires. Ce probl`eme de visualisation introduit une rupture nette par rapport aux fonctions d’une variable ´etudi´ees ant´erieurement. Nous prenons le parti de pri vil´egier les th`emes qui s’´ecartent des notions vues pour les fonctions d’une seule variable. A` l’oppos´e, les d´efinitions et les propri´et´es qui ap paraissent comme des g´en´eralisations ´evidentes sont ´evoqu´ees ou pr´esent´ees bri`evement. La temp´erature sous la surface de la Terre est une funcion de la profondeur x sous la sur face et le temps t de l’ann´ee. Je nous mesu rons en pieds x et t comme un certain nombre de jours ´ecoul´es entre la date pr´evue de la temp´erature de l’habitable annuel le plus ´elev´e, Au 18e si`ecle, les math´ematiciens doivent apprendre `a maˆıtriser des ´equations d’ordre sup´erieur lorsqu’ils se consacrent aux probl`emes de la M´ecanique des corps d´eformables, de la th´eorie de l’´elasticit´e et de l’hydrodynamique. Les d´eriv´ees partielles secondes apparaissent notamment lors de la fameuse ´etude de l’´equation aux cordes vi brantes qui, avec celle de la propagation de la chaleur, donna naissance `a la th´eorie des s´eries de FOURIER (1768-1830). Le fran¸cais D’ALEMBERT Jean Le Rond (Paris 1717 - Paris 1783) a le premier donn´e en 1747, une solution de ce probl`eme qui se ram`ene `a l’int´egration de l’´equation aux d´eriv´ees par tielles (avec d’autres notations) : ∂t2(x, y) = a2 ∂2y nous pouvons mod´eliser la variation de tempe tarure avec la fonction ∂2y Exemples : ∂x2(x, y). w(x, t) = cos(0.017t − 0.2x)e−0.2x. L’´etude des fonctions de plusieurs variables commence au 18e si`ecle mais ses fondements La temp´erature, la pression comme fonc tion de la position sur une carte : fonction de deux variables x et y. L’altitude en un point d’une carte : fonc tion de deux variables x et y. mharfaoui04@yahoo.fr 6 El´emnents sous droits d’auteur ´
Dr M.Harfaoui Introduction. La temp´erature, la pression en chaque point d’une pi`ece (en trois dimensions) : fonc tion de trois variables x, y et z. Le volume d’une boˆıte en fonction de la hauteur, de la largeur et de la profondeur : fonction de trois variables H et L et l. mharfaoui04@yahoo.fr 7 El´emnents sous droits d’auteur ´
Introduction. Dr M.Harfaoui mharfaoui04@yahoo.fr 8 El´emnents sous droits d’auteur ´
CHAPITRE 1 Toplogie dans Rn 1.1 Normes et distances dans Rn La distance usuelle entre deux points de R2 ou R3 vue dans les petites classes est ce qu’on appelle la distance euclidienne. On d´efinit ´egalement ainsi la longueur d’un vec teur −→u , encore appel´ee la norme euclidienne de ce vecteur et not´ee k−→u k : si −→u a pour compo santes (u1 et u2) dans un rep`ere orthonormale (O, −→i , −→j ), alors le Th´eor`eme de Pythagorer donne (figure 1.7) : k−→u k=pu21 + u22. Rappelons qu’en dimension 2, on identifie un vecteur −→u de coordonn´ees (u1 et u2) avec un point M du plan de coordonn´ees (u1, u2) une fois fix´ee une origine O et ´ecrit −−→OM =−→u . On g´en´eralisera ici cette identification en d´esignant le point ou le vecteur de coordonn´ees (x1, ..., xn) par x = (x1, ..., xn) ∈ Rn. La norme euclidienne d’un vecteur x = (x1, ..., xn) ∈ Rnest d´efinie par q Le produit scalaire de x = (x1, ..., xn) avec y = (y1, ..., yn) est d´efini par x.y = x1y1 + ... + xnyn. On a en particulier k x k2= x∆x. In´egalit´e de Cauchy-Schwarz : pour tout x et y dans Rn | x.y |≤k x k . k y k avec ´egalit´e si et seulement si x et y sont proportionnels. In´egalit´e triangulaire : pour tout x et y dans Rn k x k2= x21 + ... + x2n | x + y |≤k x k + k y k . 9
Chapitre-1- Distance sur un espace vectorie Dr M.Harfaoui 1.1.1 Norme sur l’espace vectoriel Rn. D´efinition 1.1.1 On appelle norme sur Rntoute application N : Rn −→ R+ x −→ N (x), v´erifiant, pour tout couple (x, y) de Rn × Rnet tout scalaire λ de R : 1. N (x) = 0 si et seulement si x = 0. 2. N(λx) =| λ | N (x), pour tout x ∈ Rn. 3. N(x + y) ≤ N (x) + N (y), pour tout x, y de Rn. 1.1.2 Distance sur un espace vectoriel. D´efinition 1.1.2 Soit E un espace vectoriel. On appelle distance sur E est une application d : E×E → R+ qui v´erifient les trois axiomes 1. ∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = d(y, x).(sym´etrie) 2. ∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = 0 ⇔ x = y.(s´eparation) 3. ∀(x, y, z) ∈ E3, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).(in´egalit´e triangulaire) L’ensemble E muni de cette distance est dit : espace m´etrique et on note (E, d) Proposition 1.1.1 (distance sur Rn). Soit une norme N sur l’espace vectoriel Rn. Une distance d sur Rn par la formule suivante ∀x, y ∈ Rn, d(x, y) = N (x − y). D’un point de vue g´eom´etrique, la norme euclidienne k x k correspond `a la longueur du vecteur x (ou encore `a la distance du point x `a l’origine). C’est `a dire la longueur du vecteur reliant le point x au point y. La norme euclidienne n’est pas l’unique fa¸con de mesurer la taille d’un vecteur x. D´efinition 1.1.3 Deux normes N et N 0sont dites ´equivalentes s’il existe α, β et γ de R tels que : αN ≤ βN0 ≤ γN Exemple 1.1.2.1 Dans R la fonction valeur absolue est une norme. Proposition 1.1.2 1. Les trois normes N1(x), N2(x) et N∞(x) sont ´equivalentes. 2. Toutes les normes de R3sont ´equivalentes. Th´eor`eme 1.1.1 (Admis.) Sur un espace vectoriel norm´e de dimension finie, toutes les normes sont ´equivalentes. Dans la suite, on notera ||.|| sans pr´eciser de quelle norme il s’agit. mharfaoui04@yahoo.fr 10 El´emnents sous droits d’auteur ´
Dr M.Harfaoui Chapitre-1- Distance sur un espace vectorie 1.1.3 Normes classiques dans Rn Les trois normes sur Rnsont donn´ees par : pour tout x = (x1, ..., xn) ∈ Rn 1. N1(x)N1(x1, ..., xn) =k (x1, ..., xn) k1=Xn i=1 2. N2(x) = N2(x1, ..., xn) =k (x1, ..., xn) k2= | xi| vuutXn i=1 x2i 3. N∞(x) = N∞(x1, ..., xn) = sup 1≤i≤n (| xi|). Exemple 1.1.3.1 Repr´esentation des trois normes usuelles dans R2(Figure `a cˆot´e). On v´erifie facilement que ces trois normes v´erifient les trois propri´et´es d’une normes. 1.1.4 Boule et sph`ere associ´ees `a une norme. D´efinition 1.1.4 . 1. La boule ouverte de centre a de Rnet de rayon r est B(a, r) = {x ∈ E/N (x − a) < r}. 2. La boule ferm´ee de centre a de Rnet de rayon r est B(a, r) = {x ∈ E/N (x − a) ≤ r}. 3. La sph`ere de centre a de Rnet de rayon r est B(a, r) = {x ∈ E/N (x − a) = r}. 4. Les boules ou les sph`eres de centre O de Rnet de rayon r = 1 sont appel´ees boules unit´es ou sph`eres unit´es.
Exercice 1.1.1 Soit l’application d d´efinie par : R × R −→ R ¯¯¯¯ ¯¯¯¯x 1+ | x |−y d : (x, y) −→ d(x, y) = 1+ | y | 1. Montrer que d est une distance sur R. 2. La distance d est-elle induite par une norme ? 3. On munit R de la distance d. Montrer que
Corrig´e 1.1.1 1. On v´erifie les trois propri´et´es d’une distance. (a) ∀x, y ∈ R, il est clair que d(x, y) = d(y, x), mharfaoui04@yahoo.fr 11 El´emnents sous droits d’auteur ´
Chapitre-1- Distance sur un espace vectorie Dr M.Harfaoui (b) ∀x, y ∈ R, on a 1+ | x |=y x 1+ | y |(1) . si x ≥ 0, alors x 1+ | x |≥ et les seuls y qui v´erifient (1) seront positifs. Dans ce cas (1) ⇔ (y ≥ 0 1 + x=y x 1 + y ⇔ ½y ≥ 0 x + xy = y + xy⇔ x = y On raisonnerait de la mˆeme fa¸con pour x ≤ 0 et la deuxi`eme propri´et´e est d´emontr´ee. (c) Reste `a montrer l’in´egalit´e triangulaire. Posons f(x) = x 1+ | x |. On a : d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ⇔ |f(x) − f(y)| ≤ |f(z) − f(y)| + |f(z) − f(y)| et l’assertion `a droite de l’´equivalence est triviale ( il s’agit de l’in´egalit´e triangulaire v´erifi´ee par la valeur absolue, et appliqu´ee en f(x), f(y) et f(z)). 2. Si d ´etait induite par une norme k . k, cette norme serait donn´ee par la formule k x k= d(x, 0) = |x| 1+ | x |, et l’on aurait ∀λ, ∀x ∈ R, k λx k=| λ | . k x k autrement dit 1 + |λ|.|x|= |λ|.|x| ∀λ, ∀x ∈ R,|λ|.|x| 1+ | x |. c’est absurde, comme on le v´erifie en prenant par exemple λ = 2 et x = 1. 3. I Pour tout r´eel x, d(x, 0) = x 1+ | x |< 1, donc R est enti`erement inclus dans la boule ouverte de centre O et de rayon 1. C’est donc un ensemble born´e pour cette distance. I Pour tous r´eels x et y, d(x, y) ≤ d(x, 0) + d(0, y) ≤ 1 + 1 = 2, donc le diam`etre δ(R) de R est inf´erieur ou ´egal `a 2. On ´etudie la fonction f : R −→ R x −→ f(x) = ¯¯¯¯x 1+ | x | ¯¯¯¯ en envisageant deux cas : le cas o`u x est positif, et celui o`u x est n´egatif. mharfaoui04@yahoo.fr 12 El´emnents sous droits d’auteur ´
Dr M.Harfaoui Chapitre-1- Ouverts ferm´es et compact de Rn Lorsque x est positif f coincide avec la fonction homographique f(x) = x 1 + xdont le graphe est une hyperbole d’asymptote x = −1 et y = 1. Lorsque x est n´egatif f coincide avec la fonction homographique f(x) = x 1 − xdont le graphe est une hyperbole d’asymptote x = 1 et y = −1. La courbe repr´esentative est donc form´ee de deux arcs d’hyperboles. La fonction f est strictement croissante de R sur [−1, 1], et l’on a : lim x→−∞f(x) = −1, lim x→+∞f(x) = 1. Par cons´equent, pour tout ² > 0, il existe x et y tels que : −1 < f(x) < −1 + ² et 1 − ² < f(x) < 1. Pour ces ´el´ements on a : d(x, y) = f(x) − f(y) ≥ (1 − ²) + (1 − ²) = 2 − 2² donc δ(R) ≥ 2 − 2². Cela est pour tout ² donc δ(R) ≥ 2. Comme on a d´ej`a d´emontr´e δ(R) ≤ 2 on peut conclure `a δ(R) = 2.
Exercice 1.1.2 On munit R de la distance euclidienne associ´ee `a la norme N2. Soit A le sous-ensemble de R2 d´efini par : A = {(x, y) ∈ R2/x2 − 2x ≤ y ≤ 2x − x2} 1. Repr´esenter sommairement l’ensemble A. 2. Montrer que A est born´e. 3. V´erifier que : ∀(x, y) ∈ A2, y2 ≤| y |. 4. calculer, dim(A), le diam`etre de A.
Corrig´e 1.1.2 1. L’ensemble A est form´e des points situ´es entre les courbes d’´equations : y = x2−2x et y = 2x−x2. 2. la figure montre bien que A est born´e et nous donne une indication sur le diam`etre de A. Si (x, y) ∈ A alors y = x2 − 2x ≤ 2x − x2et donc x(x − 2) ≤ 0, et cela ´equivaut `a 0 ≤ x ≤ 2. Ensuite | y |≤ sup 0≤x≤2 | x2 − 2x |= 1. Finalement 0 ≤ x ≤ 2 et | y |≤ 1 pour tout (x, y) ∈ A, et cela prouve que A est born´e. 3. Si (x, y) ∈ A, alors | y |≤ 1 et donc y2 ≤| y |. 4. On remarque que A est inclus dans le disque ferm´e D = B((1, 0), 1) de centre (1, 0) et de rayon R = 1, par cons´equent ∀(u, v) ∈ A2, d(u, v) ≤ diam(D) = 2. Comme (1, 1) et (1, −1) appartiennent `a A et sont distants de 2 , on conclut `a dim(A) = 2. mharfaoui04@yahoo.fr 13 El´emnents sous droits d’auteur ´
1.2. DEFINTIONS ET PROPRI ´ ET´ ES DE PARTIES DE ´ RN . Dr M.Harfaoui 1.2 D´efintions et propri´et´es de parties de Rn. D´efinition 1.2.1 Un ensemble U de Rnest dit ouvert si et seulement si pour tout x ∈ U il existe r > 0 tel que : B(x, r) ⊂ U. Par convention ensemble vide ∅ est ouvert. L’ensemble des points int´erieur a E est appel´e int´erieur de E et est note E◦. On v´erifie que E◦est le plus grand ouvert contenu dans E et que E est ouvert si et seulement si il est ´egal `a son int´erieur. D´efinition 1.2.2 Un ensemble F de Rnest dit ferm´e si et seulement si son compl´ementaire Fc = Rn\F est ouvert. D´efinition 1.2.3 Un ensemble E ⊂ Rnest dit born´e si et seulement si il existe R > 0 tel que E ⊂ B(0, R). Un ensemble ferm´e et born´e de Rnest dit compact. D´efinition 1.2.4 Dans Rn un ensemble E est dit compact si et seulement si il e