Fonctions de plusieurs variables et calcul intégral m1 m2 an
Télécharger PDFFacult´e des Sciences et Techniques de Mohammedia Fonctions de plusieurs variables et calcul int´egral Pour ´etudiants du parcours MIP 17 septembre 2014 Par: Dr Mohammed HARFAOUI
Table des mati`eres M.Harfaoui mharfaoui04@yahoo.fr 2 El´emnents sous droits d’auteur
Table des mati`eres Avant-propos 7 1 Fonctions de plusieurs variables 9 1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 G´en´eralit´e, et d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Fonctions num´eriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Domaine de d´efinition de plusieurs variables. . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Graphe d’une d´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4 Lignes ou courbe de niveau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.5 Fonctions partielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Notions de topologie dans Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Vecteurs et normes euclidienne dans Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 Norme sur l’espace vectoriel Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Distance sur l’espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4 Boule et sph`ere associ´ees `a une norme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.5 Normes classiques dans Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.6 Quelques propri´et´es ´el´ementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Limite et continuit´e des fonctions num´eriques de plusieurs variables. . . . . . . . 22 1.4.1 Limite et continuit´e d’une fonction en un point. . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.2 Continuit´e d’une fonction sur un ouvert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5 D´eriv´ees partielles et diff´erentielle totale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5.1 D´eriv´ees partielles d’une fonction de plusieurs variables. . . . . . . . . . . 27 1.5.2 Diff´erentielle totale d’une fonction de plusieurs variables . . . . . . . . . 30 1.5.3 D´eriv´ee d’une fonction compos´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5.4 D´eriv´ees partielles d’une fonction compos´ee . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6 Fonctions homog`enes et th´eor`ene des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . 37 1.6.1 Fonctions homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.6.2 Th´eor`emes de fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.7 Formules de Taylor et d´eveloppement limit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.7.1 Formule de Taylor d’une fonction de plusieurs variables . . . . . . . . . . 40 1.7.2 D´eveloppement limit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.8 Optimisation libre et li´e de fonctions de Rn dans R . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.8.1 Extremums libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.8.2 Extremums li´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3
Table des mati`eres M. Harfaoui 1.8.3 Etudes d’extremums sur un ferm´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2 Fonction de plusieurs variables-calcul int´egral 57 2.1 Fonction de plusieurs variables dans Rp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.1.1 D´efinitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.1.2 Diff´erentielle d’une fonction de plusieurs variables `a valeurs dans IRp. . . 58 2.1.3 Matrice jacobienne et Jacobien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2 Calcul int´egral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.1 Int´egrales doubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.2 Changement de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2.3 Applications des int´egrales doubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.2.4 Int´egrales triples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.2.5 Th´eor`eme de changement de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.2.6 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 mharfaoui04@yahoo.fr 4 El´emnents sous droits d’auteur
M.Harfaoui Citations Citations :Enseignement :
Dieu a cr´ee les nombres, le reste est l’oeuvre de l’homme. L’enseignement est un habit tout fait et pas un habit sur mesure. Si l’esprit d’un homme s’´egare, faites-lui ´etudier les math´ematiques car dans les d´emonstrations, pour peu qu’il s’´ecarte, il sera oblig´e de recommencer. Pour l’enseignant il ne s’agit pas d’aimer ou de d´etester, il s’agit avant tout de ne pas se tromper. [Andr´e L´evy] On n’enseigne pas ce que l’on sait ou ce que l’on croit savoir : on n’enseigne et on ne peut enseigner que ce que l’on est. Quand une soci´et´e ne peut pas enseigner, c’est que cette soci´et´e ne peut pas s’enseigner. [Charles P´eguy] La science, c’est ce que le p`ere enseigne `a son fils. La technologie, c’est ce que le fils enseigne `a son papa. [Mi chel Serres] Une soci´et´e qui n’aime pas ses enseignants est une soci´et´e qui n’a pas compris le d´efi de la mondialisation de demain. [Val´erie P´ecresse] Il y a des sciences bonnes dont l’existence est n´ecessaire et dont la culture est inutile. Telles sont les math´ematiques. [Joseph Joubert] Les math´ematiques sont une gymnastique de l’esprit et une pr´eparation `a la philosophie. [Isocrate] La musique est une math´ematique sonore, la math´ematique une musique silencieuse. [Edouard Herriot] mharfaoui04@yahoo.fr 5 El´emnents sous droits d’auteur
Citations M.Harfaoui Dieu n’est pas l’´eternit´e, il n’est pas l’infini, mais il est ´eternel et infini. Il n’est ni la dur´ee ni l’espace ; mais il a exist´e de tout temps et sa pr´esence est partout. [Isaac Newton] La vie n’est belle qu’`a ´etudier et `a enseigner les math´ematiques. mharfaoui04@yahoo.fr 6 El´emnents sous droits d’auteur
Avant-propos
Ce cours s’adresse `a des ´etudiants de la deuxi`eme ann´ee d’une Licence MASS. Il a pour objectif de donner les bases en calcul diff´erentiel pour des fonctions de plusieurs variables indis pensables `a toute formation en math´ematiques appliqu´ees `a l”´economie. Les notions suppos´ees connues correspondent au programme de la premi`ere ann´ee. L’objet de ce aide-m´emoire est de proposer une explication succincte des concepts vu en cours. De nombreux livres, parfois tr`es fournis, existent. Ici on a cherch´e, compte tenu des contraintes de volume horaire, des acquis des ´etudiants `a la premi`ere ann´ee et des exigences pour la suite du cursus, `a d´egager les points cl´es permettant de structurer le travail personnel de l’´etudiant voire de faciliter la lecture d’autres ouvrages. Ce polycopi´ee ne dispense pas des s´eances de cours et de TD ni de prendre des notes compl´ementaires. Il est d’ailleurs important de comprendre et apprendre le cours au fur et `a mesure. Ce polycopi´e est l`a pour ´eviter un travail de copie qui empˆeche parfois de se concentrer sur les explications donn´ees oralement mais ce n’est pas un livre auto-suffisant (il est loin d’ˆetre exhaustif ). De plus, ne vous ´etonnez pas si vous d´ecouvrez des erreurs (merci de me les communiquer). On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrig´es. Ceux-ci, de difficult´e vari´ee, r´epondent `a une double n´ecessit´ee. Il est important de jongler avec les diff´erents concepts introduits en cours et mˆeme de faire certaines erreurs une fois pour bien identifier les pi`eges. Les exercices permettent d’orienter les raisonnements vers d’autres domaines (physique, ´economie, etc.), cela afin d’exhiber l’int´erˆet et l’omnipr´esence des fonctions de plusieurs va riables et de l’optimisation. Cependant, veuillez noter que vous n’obtiendrez pas grande chose si vous vous limit´e `a choisir un exercice, y r´efl´echir une minute et aller vite voir le d´ebut de la correction en passant tout le temps `a essayer de comprendre la correction qui va paraˆıtre incompr´ehensible. Pour que la m´ethode d’´etude soit vraiment efficace, il faut d’abord vraiment essayer de chercher la solution. En particulier, il faut avoir un papier brouillon `a cot´e de soi et un crayon. La premi`ere ´etape consiste alors `a traduire l’´enonc´e (pas le recopier), en particulier s’il est constitu´e de beaucoup de jargon math´ematique. Ensuite il faut essayer de rapprocher les hypoth`eses de la conclusion souhait´ee, et pour cela faire quelques calculs ou transformer les hypoth`eses pour appliquer un th´eor`eme dont on aura v´erifier que les hypoth`eses sont bien satisfaite. C’est ici que l’intuition joue un grand rˆole et il ne faut pas h´esiter `a remplir des pages pour s’apercevoir que l’id´ee qu’on a eu n’est pas la bonne. Elle pourra toujours resservir dans une autre situation. Quand finalement on pense tenir le bon bout, il faut r´ediger soigneusement en s’interrogeant `a chaque pas sur la validit´e (logique, math´ematique) de ce qu’on a ´ecrit. Si 7
Avant propos M.Harfaoui l’´etape pr´ec´edente ne donne rien, il faut chercher de l’aide (voir le d´ebut de la correction, en parler `a un autre ´etudiant, interroger les tuteurs). mharfaoui04@yahoo.fr 8 El´emnents sous droits d’auteur
Chapitre 1 Fonctions de plusieurs variables
1.1 Introduction. Qu’il s’agisse de traiter des questions relatives `a la biologie, la chimie, la physique, la pro duction, la consommation ou encore l’environnement, etc. une mod´elisation ad´equate s’exprime le plus souvent `a l’aide de fonctions de plusieurs variables. Ce chapitre introduit les fonctions de plusieurs variables r´eelles en ´elargissant les d´efinitions ´enonc´ees dans le module M11 pour les fonctions d’une variable r´eelle. Evidemment, la repr´esentation g´eom´etrique devient plus lourde : ´ une fonction de n variables se visualise `a priori dans un espace `a (n, 1) dimensions (n pour les va riables, 1 pour la fonction), alors que les pages d’un livre sont, par nature, bi-dimensionnelles. Pour contourner cette impossibilit´e technique, nous nous limiterons aux repr´esentations des fonctions de deux variables, soit sous forme de dessins en perspective, soit sous forme de coupes par des plans horizontaux ou verticaux qui donnent des informations souvent utiles, quoique parcellaires. Ce probl`eme de visualisation introduit une rupture nette par rapport aux fonc tions d’une variable ´etudi´ees ant´erieurement. Nous prenons le parti de privil´egier les th`emes qui s’´ecartent des notions vues pour les fonctions d’une seule variable. A l’oppos´e, les d´efinitions et ` les propri´et´es qui apparaissent comme des g´en´eralisations ´evidentes sont ´evoqu´ees ou pr´esent´ees bri`evement. L’´etude des fonctions de plusieurs variables commence au 18e si`ecle mais ses fondements solides ne sont pos´es qu’au d´ebut du 20e si`ecle. La notion de d´eriv´ee partielle est connue `a la fin du 17e si`ecle, mais les premi`eres ´equations aux d´eriv´ees partielles n’apparaissent qu’`a partir de 1740 dans des probl`emes de m´ecaniques. Deux math´ematiciens sont consid´er´es comme les p`eres des d´eriv´ees partielles. Tout d’abord , le fran¸cais CLAIRAUT Alexis-Claude (1713-1765) en 1747, puis le suisse EULER Leonhard (Bˆale 1707 - Saint-P´etersbourg 1783) dans son trait´e Institutiones calculi differentialis de 1755. Ils ´etudient ce que l’on nomme maintenant, la diff´erentielle totale pour des fonctions de deux variables r´eelles : df(x, y) = ∂f ∂x(x, y) + ∂f ∂y (x, y). Au 18e si`ecle, les math´ematiciens doivent apprendre `a maˆıtriser des ´equations d’ordre sup´erieur lorsqu’ils se consacrent aux probl`emes de la M´ecanique des corps d´eformables, de 9
Chapitre-1- Introduction M.Harfaoui la th´eorie de l’´elasticit´e et de l’hydrodynamique. Les d´eriv´ees partielles secondes apparaissent notamment lors de la fameuse ´etude de l’´equation aux cordes vibrantes qui, avec celle de la propagation de la chaleur, donna naissance `a la th´eorie des s´eries de FOURIER (1768-1830). Le fran¸cais D’ALEMBERT Jean Le Rond (Paris 1717 - Paris 1783) a le premier donn´e en 1747, une solution de ce probl`eme qui se ram`ene `a l’int´egration de l’´equation aux d´eriv´ees partielles (avec d’autres notations) : ∂2y ∂t2(x, y) = a2∂2y ∂x2(x, y). Exemples : La temp´erature, la pression comme fonction de la position sur une carte : fonction de deux variables x et y. L’altitude en un point d’une carte : fonction de deux variables x et y. La temp´erature, la pression en chaque point d’une pi`ece (en trois dimensions) : fonction de trois variables x, y et z. Le volume d’une boˆıte en fonction de la hauteur, de la largeur et de la profondeur : fonction de trois variables H et L et l. mharfaoui04@yahoo.fr 10 El´emnents sous droits d’auteur
M.Harfaoui Chapitre-1- G´en´eralit´e et d´efinitions 1.2 G´en´eralit´e, et d´efinitions On veut g´en´eraliser pour ce type de fonctions les notions et r´esultats ´etudi´es pour les fonc tions r´eelles de la variable r´eelle vues, `a savoir : r´egularit´e (continuit´e, d´erivabilit´e...), existence d’extrema locaux ou globaux pour les fonctions `a valeurs dans R, int´egrabilit´e... Pour cela, il sera n´ecessaire de pr´eciser certains outils topologiques d´ej`a plus ou moins abord´es pour l’´etude des fonctions de R dans R : norme, distances associ´ee, ouvert, ferm´e, notion de limite... 1.2.1 Fonctions num´eriques. D´efinition 1.2.1 On appelle fonction num´erique de plusieurs variables toute application f d’une partie Ω de IRndans IR qu’on note : f : Ω ⊂ IRn → IR : x = (x1, x2, ...xn) → y = f(x) = f(x1, x2, ...xn). Exemple 1.2.1.1 1. f : R2 → IR : (x, y) → f(x, y) = x2 − y + 2 est une fonction de deux variables. 2. f : R3 → R : (x, y, z) → f(x, y, z) = x2 + z − 2 variables. 3. f : R4 → R : (x, y, z, t) → f(x, y, z, t) = x2 + 1+ y2 + z2 − 1 est une fonction de trois √t2 + 2 x2 + y2 + 2est une fonction de quatre variables. 1.2.2 Domaine de d´efinition de plusieurs variables. D´efinition 1.2.2 Le domaine de d´efinition d’une fonction num´erique de plusieurs variables f est l’ensemble Df d´efini par : Df = {(x1, x2, ...xn) ∈ Ω : f(x1, x2, ...xn) ∈ IR}. Exemple 1.2.2.1 1. f : IR2 → IR, (x, y) →p1 − x2 + y. Df = {(x, y) ∈ IR2, 1 − x2 + y ≥ 0 } c’est donc la partie au-dessus de la parabole d’´equation : y = x2 − 1 (fig.1.1). 2. f : Ω ⊂ IR3 → IR, (x, y, z) → (ln(1 − x2 − y2 − z2))√z. Df = {(x, y, z) ∈ Ω, 1−x2−y2−z2 > 0 et z ≥ 0 } c’est donc l’int´erieur de la demi-sph`ere sup´erieure sans sa fronti`ere (fig.1.2). mharfaoui04@yahoo.fr 11 El´emnents sous droits d’auteur
Chapitre-1- G´en´eralit´e, et d´efinitions M.Harfaoui Fig. 1.1 – f(x) = x2 − 1 1.2.3 Graphe d’une d´efinition. Rappel. ½Le graphe d’une fonction d’une seule variable : f : [a, b] ⊂ IR → IR x → y = f(x) est une partie de R2 d´efinie par : Cf = {(x y) ∈ R2, x ∈ Df : y = f(x)}. Fig. 1.2 – p1 − x2 − y2
Dans R2consid´erons l’ensemble de point connu depuis le lyc´ee z = 2x + y qui d´efinit un plan de vecteur normal −→n (2, 1, −1), si on pose z = f(x, y) une obtient une fonction de deux variables dont le graphe est le plan (figure..). D´efinition 1.2.3 Soit Ω une partie de Rnet f : Ω → R,(x1, x2, ...xn) → f((x1, x2, ...xn) de domaine de d´efinition Df ; le graphe de f est la partie, not´ee Gf de IRn+1, d´efinie par : Gf = {(x1, x2, ...xn, z) ∈ IRn+1,((x1, x2, ...xn) ∈ Df ; z = f(x1, x2, ...xn)}. Cas particuliers. 1. Dans le cas d’une fonction d’une seule variable le graphe est une partie de IR2et prend le nom de courbe. 2. Dans le cas d’une fonction de deux variable le graphe est une partie de IR3et prend le nom de surface. Utilisation de Maple. Pour les repr´esentation on utilise Maple, vous avez ci-apr`es quelques exemples : mharfaoui04@yahoo.fr 12 El´emnents sous droits d’auteur
M.Harfaoui Chapitre-1- G´en´eralit´e, et d´efinitions 1. Sph`ere. > plots[implicitplot3d](subs(x2 + y2 + z2 − 4), x = −2..2, y = −2..2, z = −2..2); 2. Intersection d’un plan et une sh`ere. > plot3d([2 − x2 − y2, 3 − x − y], x = −P i..P i, y = −P i..P i, color = [blue, green]); 3. Intersection d’un cylindre et une sh`ere. C := x2 + y2 + z2 − a2, x2 + y2 − a ∗ x : plots[implicitplot3d](subs(a = 5, x2 + y2 + z2 − a2, x2 + y2 − a ∗ x), x = −5..5, y = −5..5, z = −5..7); 4. > plot3d(sqrt(4 − x2 − y2), x = −2..2, y = −2..2); Exemple 1.2.3.1 1. f(x, y) = x + y − 3. Gf = {(x, y, z) ∈ IR3,(x, y) ∈ IR2et z = x + y − 3}, c’est donc le plan de vecteur normal →n(1, 1, −1). 2. f(x, y) = x2 − y2.( fig.1.3) Gf = {(x, y, z) ∈ IR3,(x, y) ∈ IR2et z = x2 − y2 }. 3. f(x, y) = x2 + y2, avec x2 + y2 ≤ 1. Gf = {(x, y, z) ∈ IR3,(x, y) ∈ IR2} et z = x2 + y2et x2 + y2 ≤ 1}. Gf est donc un cˆone de rayon de la base R = 1(fig.1.4). mharfaoui04@yahoo.fr 13 El´emnents sous droits d’auteur
Chapitre-1- G´en´eralit´e, et d´efinitions M.Harfaoui Fig. 1.3 – f(x, y) = x2 − y2 Fig. 1.4 – f(x, y) = px2 + y2
4. f(x, y) = p1 − x2 − y2, G est la demi-sph`ere sup´erieure avec sa fronti`ere, (fig.1.5). 5. f(x, y) = x2 + y2, Gf est une parabolo¨ıde, (fig.1.6). Fig. 1.5 – f(x, y) = cos(x). cos(y) Fig. 1.7 – f(x, y) = cos(x2 + y2) Fig. 1.6 – f(x, y) = x2 + y2
Fig. 1.8 – f(x, y) = sin(xy)
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M.Harfaoui Chapitre-1- G´en´eralit´e, et d´efinitions Fig. 1.9 – cos(x). cos(y)
6. Intersection d’un plan et d’une surface. > plot3d(sin(x ∗ y), x + 2 ∗ y, x = −P i..P i, y = −P i..P i); Fig. 1.11 – Intersection d’un plan et d’une surface.
1.2.4 Lignes ou courbe de niveau. Fig. 1.10 –cos(1/x) − y x3 − y2.
De la mˆeme mani`ere, on peut consid´erer des coupes horizontales du graphe d’une fonction de deux variables et on obtient, de fa¸con g´en´erale, des courbes planes, dites courbes de ni veau. En pratique, on repr´esente simultan´ement diff´erentes courbes de niveau pour visualiser la progression du graphe. Cette repr´esentation s’apparente aux cartes g´eographiques o`u le niveau correspond `a l’altitude. D´efinition 1.2.4 mharfaoui04@yahoo.fr 15 El´emnents sous droits d’auteur
Chapitre-1- G´en´eralit´e, et d´efinitions M.Harfaoui Soit k ∈ R et f une fonction de D ⊂ R2 dans R ; l’ensemble {(x, y) ∈ R2: f(x, y) = k} est la courbe de niveau k de la fonction f . Les courbes de niveau d’une fonction f fournissent une repr´esentation g´eom´etrique de f sur le plan, alors que son graphe en donne une dans l’espace. La courbe de niveau k est la projection sur le plan d’´equation z = 0 de l’intersection du graphe de f avec le plan horizontal z = k. Fig. 1.12 – Courbes de niveau Remarque 1.2.1 Fig. 1.13 – Carte
G´eom´etriquement, la ligne de niveau est la projection sur le plan (x, y) de l’intersection de la surface repr´esentative de f avec le plan d’´equation z = k. Par exemple, si f repr´esente la hauteur d’un point de la surface terrestre, ses courbes de niveau sont celles apparaissant sur les cartes topographiques. Les lignes de niveau refl`etent souvent une r´ealit´e physique. Sur une carte topographique, elles d´esignent les points de mˆeme al titude (dans la figure ci-apr`es, l’altitude du point A est94 + d = 940 + cb/a). Sur une carte m´et´eorologique, elles sont les iso thermes (lignes reliant les points d’´egale temp´erature) ou les iso bares (lignes reliant les points d’´egale pression). mharfaoui04@yahoo.fr 16 El´emnents sous droits d’auteur
M.Harfaoui Chapitre-1- Notions de topologie dans Rn 1.2.5 Fonctions partielles. D´efinition 1.2.5 Soit une fonction de n variables f : Ω ⊂ IRn → IR : x = (x1, x2, ...xn) → y = f(x) = f(x1, x2, ...xn). On appelle fonction partielle d’ordre i (ou ieme fonction partielle) la fonction d’une seule variable en variant la ieme coordonn´ee et en fixant les autres. Elle est d´efinie par : fi:]a, b[⊂ IRn → IR : xi → fi(xi) = f(x1, ..., xi, ...xn). Exemple 1.2.5.1 Soit la fonction d´efinie sur IR2 − (0, 0) par : f : IR2 − (0, 0) → IR : (x, y) → f(x, y) = 1 − cos(px2 + y2) x2 + y2. La premi`ere et la deuxi`eme fonction partielles de f sont : 1. f : IR∗ → IR : x → f1(x) = 1 − cos(px2 + y2) x2 + y2, y fix´e. 2. f : IR∗ → IR : y → f2(y) = 1 − cos(px2 + y2) x2 + y2, x fix´e. 1.3 Notions de topologie dans Rn 1.3.1 Vecteurs et normes euclidienne dans Rn La distance usuelle entre deux points de R2 ou R3 vue dans les petites classes est ce qu’on appelle la distance euclidienne. On d´efinit ´egalement ainsi la longueur d’un vecteur −→u , encore appel´ee la norme euclidienne de ce vecteur et not´ee k−→u k : si −→u a pour composantes (u1 et u2) dans un rep`ere orthonormale (O, −→i , −→j ), alors le Th´eor`eme de Pythagore donne (figure 1.7) : k−→u k=pu21 + u22. Rappelons qu’en dimension 2, on identifie un vecteur −→u de coordonn´ees (u1 et u2) avec un point M du plan de coordonn´ees (u1, u2) une fois fix´ee une origine O et ´ecrit : −−→OM =−→u . On g´en´eralisera ici cette identification en d´esignant le point ou le vecteur de coordonn´ees (x1, ..., xn) par x = (x1, ..., xn) ∈ Rn. La norme euclidienne d’un vecteur x = (x1, ..., xn) ∈ Rnest d´efinie par : q k x k2= x21 + ... + x2n Le produit scalaire de x = (x1, ..., xn) avec y = (y1, ..., yn) est d´efini par x.y = x1y1 + ... + xnyn. mharfaoui04@yahoo.fr 17 El´emnents sous droits d’auteur
Chapitre-1- Fonctions de plusieurs variables M.Harfaoui On a en particulier k x k2= x∆x. In´egalit´e de Cauchy-Schwarz : pour tout x et y dans Rn | x.y |≤k x k . k y k avec ´egalit´e si et seulement si x et y sont proportionnels. In´egalit´e triangulaire : pour tout x et y dans Rn | x + y |≤k x k + k y k . 1.3.2 Norme sur l’espace vectoriel Rn. D´efinition 1.3.1 On appelle norme sur Rntoute application N : Rn −→ R+ x −→ N (x), v´erifiant, pour tout couple (x, y) de Rn × Rnet tout scalaire λ de R : 1. N (x) = 0 si et seulement si x = 0. 2. N(λx) =| λ | N (x), pour tout x ∈ Rn. 3. N(x + y) ≤ N (x) + N (y), pour tout x, y de Rn. 1.3.3 Distance sur l’espace vectoriel. D´efinition 1.3.2 Soit E un espace vectoriel. On appelle distance sur E est une application d : E ×E → R+ qui v´erifient les trois axiomes : 1. ∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = d(y, x).(sym´etrie) 2. ∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = 0 ⇔ x = y.(s´eparation) 3. ∀(x, y, z) ∈ E3, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).(in´egalit´e triangulaire) L’ensemble E muni de cette distance est dit : espace m´etrique et on note (E, d) Proposition 1.3.1 (distance sur Rn). Soit une norme N sur l’espace vectoriel Rn. Une distance d sur Rn par la formule suivante : ∀x, y ∈ Rn, d(x, y) = N (x − y). D’un point de vue g´eom´etrique, la norme euclidienne k x k correspond `a la longueur du vecteur x (ou encore `a la distance du point x `a l’origine). C’est `a dire la longueur du vecteur reliant le point x au point y. La norme euclidienne n’est pas l’unique fa¸con de mesurer la taille d’un vecteur x. mharfaoui04@yahoo.fr 18 El´emnents sous droits d’auteur
M.Harfaoui Chapitre-1- Fonctions de plusieurs variables 1.3.4 Boule et sph`ere associ´ees `a une norme. D´efinition 1.3.3 1. La boule ouverte de centre a de Rnet de rayon r est : B(a, r) = {x ∈ E/N (x − a) < r} . 2. La boule ferm´ee de cent