Fonctions de plusieurs variables et calcul intégral m1 m2

Fonctions de plusieurs variables et calcul intégral m1 m2 an

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Fonctions de plusieurs variables et calcul intégral

Ce document est destiné aux étudiants du parcours MIP.

Avant-propos

Ce cours s'adresse à des étudiants de deuxième année d'une Licence MASS. Il a pour objectif de donner les bases en calcul différentiel pour des fonctions de plusieurs variables, indispensables à toute formation en mathématiques appliquées à l'économie. Les notions supposées connues correspondent au programme de la première année. L'objet de cet aide-mémoire est de proposer une explication succincte des concepts vus en cours. De nombreux livres, parfois très fournis, existent. Ici, nous avons cherché, compte tenu des contraintes de volume horaire, des acquis des étudiants de première année et des exigences pour la suite du cursus, à dégager les points clés permettant de structurer le travail personnel de l'étudiant, voire de faciliter la lecture d'autres ouvrages.

Ce polycopié ne dispense pas des séances de cours et de TD, ni de prendre des notes complémentaires. Il est d'ailleurs important de comprendre et d'apprendre le cours au fur et à mesure. Ce polycopié est là pour éviter un travail de copie qui empêche parfois de se concentrer sur les explications données oralement, mais ce n'est pas un livre autosuffisant (il est loin d'être exhaustif).

Nous avons inclus dans ce texte de nombreux exercices corrigés. Ceux-ci, de difficulté variée, répondent à une double nécessité. Il est important de jongler avec les différents concepts introduits en cours et même de faire certaines erreurs une fois pour bien identifier les pièges. Les exercices permettent d'orienter les raisonnements vers d'autres domaines (physique, économie, etc.), afin d'exhiber l'intérêt et l'omniprésence des fonctions de plusieurs variables et de l'optimisation. Cependant, veuillez noter que vous n'obtiendrez pas grand-chose si vous vous limitez à choisir un exercice, y réfléchir une minute et aller vite voir le début de la correction en passant tout le temps à essayer de comprendre la correction qui va paraître incompréhensible.

Pour que la méthode d'étude soit vraiment efficace, il faut d'abord vraiment essayer de chercher la solution. En particulier, il faut avoir un papier brouillon à côté de soi et un crayon. La première étape consiste alors à traduire l'énoncé (pas le recopier), en particulier s'il est constitué de beaucoup de jargon mathématique. Ensuite, il faut essayer de rapprocher les hypothèses de la conclusion souhaitée, et pour cela faire quelques calculs ou transformer les hypothèses pour appliquer un théorème dont on aura vérifié que les hypothèses sont bien satisfaites. C'est ici que l'intuition joue un grand rôle et il ne faut pas hésiter à remplir des pages pour s'apercevoir que l'idée qu'on a eue n'est pas la bonne. Elle pourra toujours resservir dans une autre situation. Quand finalement on pense tenir le bon bout, il faut rédiger soigneusement en s'interrogeant à chaque pas sur la validité (logique, mathématique) de ce qu'on a écrit. Si l'étape précédente ne donne rien, il faut chercher de l'aide (voir le début de la correction, en parler à un autre étudiant, interroger les tuteurs).

Citations

Dieu a créé les nombres, le reste est l'œuvre de l'homme.

L'enseignement est un habit tout fait et pas un habit sur mesure. Si l'esprit d'un homme s'égare, faites-lui étudier les mathématiques car dans les démonstrations, pour peu qu'il s'écarte, il sera obligé de recommencer. Pour l'enseignant il ne s'agit pas d'aimer ou de détester, il s'agit avant tout de ne pas se tromper. [André Lévy]

On n'enseigne pas ce que l'on sait ou ce que l'on croit savoir : on n'enseigne et on ne peut enseigner que ce que l'on est. Quand une société ne peut pas enseigner, c'est que cette société ne peut pas s'enseigner. [Charles Péguy]

La science, c'est ce que le père enseigne à son fils. La technologie, c'est ce que le fils enseigne à son papa. [Michel Serres]

Une société qui n'aime pas ses enseignants est une société qui n'a pas compris le défi de la mondialisation de demain. [Valérie Pécresse]

Il y a des sciences bonnes dont l'existence est nécessaire et dont la culture est inutile. Telles sont les mathématiques. [Joseph Joubert]

Les mathématiques sont une gymnastique de l'esprit et une préparation à la philosophie. [Isocrate]

La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard Herriot]

Dieu n'est pas l'éternité, il n'est pas l'infini, mais il est éternel et infini. Il n'est ni la durée ni l'espace ; mais il a existé de tout temps et sa présence est partout. [Isaac Newton]

La vie n'est belle qu'à étudier et à enseigner les mathématiques.

Fonctions de plusieurs variables

Introduction

Qu'il s'agisse de traiter des questions relatives à la biologie, la chimie, la physique, la production, la consommation ou encore l'environnement, etc., une modélisation adéquate s'exprime le plus souvent à l'aide de fonctions de plusieurs variables. Ce chapitre introduit les fonctions de plusieurs variables réelles en élargissant les définitions énoncées dans le module M11 pour les fonctions d'une variable réelle. Évidemment, la représentation géométrique devient plus lourde : une fonction de n variables se visualise a priori dans un espace à (n+1) dimensions (n pour les variables, 1 pour la fonction), alors que les pages d'un livre sont, par nature, bidimensionnelles. Pour contourner cette impossibilité technique, nous nous limiterons aux représentations des fonctions de deux variables, soit sous forme de dessins en perspective, soit sous forme de coupes par des plans horizontaux ou verticaux qui donnent des informations souvent utiles, quoique parcellaires. Ce problème de visualisation introduit une rupture nette par rapport aux fonctions d'une variable étudiées antérieurement. Nous prenons le parti de privilégier les thèmes qui s'écartent des notions vues pour les fonctions d'une seule variable. À l'opposé, les définitions et les propriétés qui apparaissent comme des généralisations évidentes sont évoquées ou présentées brièvement.

L'étude des fonctions de plusieurs variables commence au 18e siècle mais ses fondements solides ne sont posés qu'au début du 20e siècle. La notion de dérivée partielle est connue à la fin du 17e siècle, mais les premières équations aux dérivées partielles n'apparaissent qu'à partir de 1740 dans des problèmes de mécaniques. Deux mathématiciens sont considérés comme les pères des dérivées partielles. Tout d'abord, le français CLAIRAUT Alexis-Claude (1713-1765) en 1747, puis le suisse EULER Leonhard (Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783) dans son traité Institutiones calculi differentialis de 1755. Ils étudient ce que l'on nomme maintenant, la différentielle totale pour des fonctions de deux variables réelles : df(x, y) = (∂f/∂x)(x, y) dx + (∂f/∂y)(x, y) dy. Au 18e siècle, les mathématiciens doivent apprendre à maîtriser des équations d'ordre supérieur lorsqu'ils se consacrent aux problèmes de la Mécanique des corps déformables, de la théorie de l'élasticité et de l'hydrodynamique. Les dérivées partielles secondes apparaissent notamment lors de la fameuse étude de l'équation aux cordes vibrantes qui, avec celle de la propagation de la chaleur, donna naissance à la théorie des séries de FOURIER (1768-1830). Le français D'ALEMBERT Jean Le Rond (Paris 1717 - Paris 1783) a le premier donné en 1747, une solution de ce problème qui se ramène à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles (avec d'autres notations) : ∂²y/∂t²(x, y) = a²∂²y/∂x²(x, y).

Exemples :

La température, la pression comme fonction de la position sur une carte : fonction de deux variables x et y.
L'altitude en un point d'une carte : fonction de deux variables x et y.
La température, la pression en chaque point d'une pièce (en trois dimensions) : fonction de trois variables x, y et z.
Le volume d'une boîte en fonction de la hauteur, de la largeur et de la profondeur : fonction de trois variables H, L et l.

Généralités et définitions

On veut généraliser pour ce type de fonctions les notions et résultats étudiés pour les fonctions réelles de la variable réelle vues, à savoir : régularité (continuité, dérivabilité...), existence d'extrema locaux ou globaux pour les fonctions à valeurs dans R, intégrabilité... Pour cela, il sera nécessaire de préciser certains outils topologiques déjà plus ou moins abordés pour l'étude des fonctions de R dans R : norme, distances associée, ouvert, fermé, notion de limite...

Fonctions numériques

Définition 1.2.1 On appelle fonction numérique de plusieurs variables toute application f d'une partie Ω de Rⁿ dans R qu'on note : f : Ω ⊂ Rⁿ → R : x = (x₁, x₂, ..., x_n) → y = f(x) = f(x₁, x₂, ..., x_n).

Exemple 1.2.1.1

f : R² → R : (x, y) → f(x, y) = x² - y + 2 est une fonction de deux variables.
f : R³ → R : (x, y, z) → f(x, y, z) = x² + z - 2 est une fonction de trois variables.
f : R⁴ → R : (x, y, z, t) → f(x, y, z, t) = x² + (1 + y² + z²) / sqrt(t² + 2) est une fonction de quatre variables.

Domaine de définition de plusieurs variables

Définition 1.2.2 Le domaine de définition d'une fonction numérique de plusieurs variables f est l'ensemble D_f défini par : D_f = {(x₁, x₂, ..., x_n) ∈ Ω : f(x₁, x₂, ..., x_n) ∈ R}.

Exemple 1.2.2.1

f : R² → R, (x, y) → sqrt(1 - x² + y). D_f = {(x, y) ∈ R², 1 - x² + y ≥ 0 } c'est donc la partie au-dessus de la parabole d'équation : y = x² - 1.
f : Ω ⊂ R³ → R, (x, y, z) → (ln(1 - x² - y² - z²)) / sqrt(z). D_f = {(x, y, z) ∈ Ω, 1-x²-y²-z² > 0 et z ≥ 0 } c'est donc l'intérieur de la demi-sphère supérieure sans sa frontière.

Graphe d'une fonction

Rappel. Le graphe d'une fonction d'une seule variable : f : [a, b] ⊂ R → R, x → y = f(x) est une partie de R² définie par : C_f = {(x, y) ∈ R², x ∈ D_f : y = f(x)}.

Dans R², considérons l'ensemble de points connu depuis le lycée z = 2x + y qui définit un plan de vecteur normal →n (2, 1, -1). Si l'on pose z = f(x, y), on obtient une fonction de deux variables dont le graphe est ce plan.

Définition 1.2.3 Soit Ω une partie de Rⁿ et f : Ω → R,(x₁, x₂, ..., x_n) → f((x₁, x₂, ..., x_n)) de domaine de définition D_f ; le graphe de f est la partie, notée G_f de Rⁿ⁺¹, définie par : G_f = {(x₁, x₂, ..., x_n, z) ∈ Rⁿ⁺¹, (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ D_f ; z = f(x₁, x₂, ..., x_n)}.

Cas particuliers.

Dans le cas d'une fonction d'une seule variable, le graphe est une partie de R² et prend le nom de courbe.
Dans le cas d'une fonction de deux variables, le graphe est une partie de R³ et prend le nom de surface.

Exemple 1.2.3.1

f(x, y) = x + y - 3. G_f = {(x, y, z) ∈ R³, (x, y) ∈ R² et z = x + y - 3}, c'est donc le plan de vecteur normal →n(1, 1, -1).
f(x, y) = x² - y². G_f = {(x, y, z) ∈ R³, (x, y) ∈ R² et z = x² - y² }.
f(x, y) = x² + y², avec x² + y² ≤ 1. G_f = {(x, y, z) ∈ R³, (x, y) ∈ R² et z = x² + y² et x² + y² ≤ 1}. G_f est donc une portion de paraboloïde, délimitée par la condition x² + y² ≤ 1.
f(x, y) = sqrt(1 - x² - y²). G_f est la demi-sphère supérieure avec sa frontière.
f(x, y) = x² + y². G_f est un paraboloïde.
Intersection d'un plan et d'une surface.

Lignes ou courbes de niveau

De la même manière, on peut considérer des coupes horizontales du graphe d'une fonction de deux variables et on obtient, de façon générale, des courbes planes, dites courbes de niveau. En pratique, on représente simultanément différentes courbes de niveau pour visualiser la progression du graphe. Cette représentation s'apparente aux cartes géographiques où le niveau correspond à l'altitude.

Définition 1.2.4 Soit k ∈ R et f une fonction de D ⊂ R² dans R ; l'ensemble {(x, y) ∈ R²: f(x, y) = k} est la courbe de niveau k de la fonction f. Les courbes de niveau d'une fonction f fournissent une représentation géométrique de f sur le plan, alors que son graphe en donne une dans l'espace. La courbe de niveau k est la projection sur le plan d'équation z = 0 de l'intersection du graphe de f avec le plan horizontal z = k.

Remarque 1.2.1 Géométriquement, la ligne de niveau est la projection sur le plan (x, y) de l'intersection de la surface représentative de f avec le plan d'équation z = k. Par exemple, si f représente la hauteur d'un point de la surface terrestre, ses courbes de niveau sont celles apparaissant sur les cartes topographiques. Les lignes de niveau reflètent souvent une réalité physique. Sur une carte topographique, elles désignent les points de même altitude. Sur une carte météorologique, elles sont les isothermes (lignes reliant les points d'égale température) ou les isobares (lignes reliant les points d'égale pression).

Fonctions partielles

Définition 1.2.5 Soit une fonction de n variables f : Ω ⊂ Rⁿ → R : x = (x₁, x₂, ..., x_n) → y = f(x) = f(x₁, x₂, ..., x_n). On appelle fonction partielle d'ordre i (ou i^ème fonction partielle) la fonction d'une seule variable en variant la i^ème coordonnée et en fixant les autres. Elle est définie par : f_i :]a, b[ ⊂ R → R : x_i → f_i(x_i) = f(x₁, ..., x_i, ..., x_n).

Exemple 1.2.5.1 Soit la fonction définie sur R² \ {(0, 0)} par : f : R² \ {(0, 0)} → R : (x, y) → f(x, y) = (1 - cos(sqrt(x² + y²))) / (x² + y²). Les première et deuxième fonctions partielles de f sont, en fixant les autres variables :

f₁ : R* → R : x → f₁(x) = (1 - cos(sqrt(x² + y²))) / (x² + y²), pour un y fixé.
f₂ : R* → R : y → f₂(y) = (1 - cos(sqrt(x² + y²))) / (x² + y²), pour un x fixé.

Notions de topologie dans Rⁿ

Vecteurs et normes euclidiennes dans Rⁿ

La distance usuelle entre deux points de R² ou R³ vue dans les petites classes est ce qu'on appelle la distance euclidienne. On définit également ainsi la longueur d'un vecteur →u, encore appelée la norme euclidienne de ce vecteur et notée ||→u|| : si →u a pour composantes (u₁ et u₂) dans un repère orthonormé (O, →i, →j), alors le Théorème de Pythagore donne : ||→u|| = sqrt(u₁² + u₂²).

Rappelons qu'en dimension 2, on identifie un vecteur →u de coordonnées (u₁ et u₂) avec un point M du plan de coordonnées (u₁, u₂) une fois fixée une origine O et on écrit : →OM = →u. On généralisera ici cette identification en désignant le point ou le vecteur de coordonnées (x₁, ..., x_n) par x = (x₁, ..., x_n) ∈ Rⁿ. La norme euclidienne d'un vecteur x = (x₁, ..., x_n) ∈ Rⁿ est définie par : ||x|| = sqrt(x₁² + ... + x_n²). Ainsi, ||x||² = x₁² + ... + x_n².

Le produit scalaire de x = (x₁, ..., x_n) avec y = (y₁, ..., y_n) est défini par x.y = x₁y₁ + ... + x_ny_n. On a en particulier ||x||² = x.x.

Inégalité de Cauchy-Schwarz : pour tout x et y dans Rⁿ, |x.y| ≤ ||x|| . ||y|| avec égalité si et seulement si x et y sont proportionnels.

Inégalité triangulaire : pour tout x et y dans Rⁿ, ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.

Norme sur l'espace vectoriel Rⁿ

Définition 1.3.1 On appelle norme sur Rⁿ toute application N : Rⁿ → R⁺, x → N(x), vérifiant, pour tout couple (x, y) de Rⁿ × Rⁿ et tout scalaire λ de R :

N(x) = 0 si et seulement si x = 0.
N(λx) = |λ| N(x), pour tout x ∈ Rⁿ.
N(x + y) ≤ N(x) + N(y), pour tout x, y de Rⁿ.

Distance sur l'espace vectoriel

Définition 1.3.2 Soit E un espace vectoriel. On appelle distance sur E une application d : E × E → R⁺ qui vérifie les trois axiomes :

∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = d(y, x). (symétrie)
∀(x, y) ∈ E × E, d(x, y) = 0 ↔ x = y. (séparation)
∀(x, y, z) ∈ E³, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). (inégalité triangulaire)

L'ensemble E muni de cette distance est dit : espace métrique et on note (E, d).

Proposition 1.3.1 (distance sur Rⁿ). Soit une norme N sur l'espace vectoriel Rⁿ. Une distance d sur Rⁿ est définie par la formule suivante : ∀x, y ∈ Rⁿ, d(x, y) = N(x - y).

D'un point de vue géométrique, la norme euclidienne ||x|| correspond à la longueur du vecteur x (ou encore à la distance du point x à l'origine). C'est-à-dire la longueur du vecteur reliant le point x au point y. La norme euclidienne n'est pas l'unique façon de mesurer la taille d'un vecteur x.

Boule et sphère associées à une norme

Définition 1.3.3

La boule ouverte de centre a de Rⁿ et de rayon r est : B(a, r) = {x ∈ E | N(x - a) < r}.

FAQ sur les Fonctions de Plusieurs Variables

Qu'est-ce qu'une fonction numérique de plusieurs variables ?: Une fonction numérique de plusieurs variables est une application qui prend plusieurs valeurs réelles en entrée (par exemple, x₁, x₂, ..., x_n) et renvoie une unique valeur réelle en sortie. Elle est notée f : Ω ⊂ Rⁿ → R.
Comment visualiser le graphe d'une fonction de plusieurs variables ?: Le graphe d'une fonction d'une seule variable est une courbe dans R². Pour une fonction de deux variables, son graphe est une surface dans R³. Au-delà de deux variables, la visualisation directe dans notre espace habituel devient complexe, mais on peut l'imaginer dans un espace de dimension supérieure (Rⁿ⁺¹).
À quoi servent les courbes de niveau d'une fonction ?: Les courbes de niveau d'une fonction de deux variables sont des courbes planes obtenues en coupant le graphe de la fonction par des plans horizontaux (z=k). Elles permettent de visualiser la progression du graphe sur un plan bidimensionnel, à l'image des lignes d'altitude sur une carte topographique ou des isothermes sur une carte météorologique, représentant des points où la fonction prend la même valeur.