M111 td 1 -Analyse 1 - Télécharger pdf
Télécharger PDFAnnée universitaire 2019-2020 : Parcours MIP - (M111) Analyse 1, Série 1 : Nombres Réels
Cette série d'exercices aborde les concepts fondamentaux liés aux nombres réels, incluant les inégalités, les propriétés de la partie entière, la détermination des bornes d'ensembles et les opérations sur ceux-ci. Ces exercices sont conçus pour renforcer la compréhension des bases de l'analyse réelle.
Exercice 1
Soient x et y deux réels. Montrer que :
|x| + |y| ≤ |x + y| + |x − y|
1 + |xy − 1| ≤ (1 + |x − 1|)(1 + |y − 1|)
Exercice 2
E(x) désigne la partie entière du réel x. Montrer les propriétés suivantes :
∀x ∈ Z, E(x) + E(−x) = 0 et ∀x ∈ R \ Z, E(x) + E(−x) = −1.
∀x, y ∈ R, E(x) + E(y) ≤ E(x + y) ≤ E(x) + E(y) + 1.
Exercice 3
Déterminer (s'ils existent) les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le maximum et le minimum des ensembles suivants :
Les ensembles N (nombres entiers naturels), [0, 1] ∩ Q (nombres rationnels entre 0 et 1 inclus), et ]0, 1[∩Q (nombres rationnels strictement entre 0 et 1).
A = {1 − 1/n | n ∈ N*}
B = {(-1)^n + 1/n^2 | n ∈ N*}
C = {x − y | x ∈ ]2, 9[, y ∈ ]−1, 10[}
Exercice 4
Soient A et B deux parties non vides et bornées de R et x ∈ R. On note les ensembles suivants :
−A = {−a | a ∈ A}
A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}
x + A = {x + a | a ∈ A}
AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B}
Montrer que : sup(−A) = −inf(A), sup(A + B) = sup(A) + sup(B), sup(x + A) = x + sup(A).
A-t-on toujours sup(AB) = sup(A) * sup(B) ? Quelle hypothèse peut-on ajouter pour que cela soit vrai ?
Exercice 5
Rappeler la caractérisation de la borne inférieure d'une partie de R, et montrer que inf{1 + 1/(4n^2) | n ∈ N*} = 1.
Démontrer que pour tout x ∈ R, 0 ≤ E(2x) − 2E(x) ≤ 1.
Soit (a, b) ∈ (Q+)², tel que √ab ∉ Q. Montrer que √a + 3√b ∉ Q.
Démontrer que pour tout réel x, E(x) + E(x + 1/2) = E(2x).
Foire Aux Questions (FAQ) sur les Nombres Réels et l'Analyse
Qu'est-ce qu'un nombre réel ?
Un nombre réel est un nombre qui peut représenter une quantité continue, comme une distance, une durée ou une température. L'ensemble des nombres réels (noté ℝ) inclut tous les nombres rationnels (entiers, fractions) et irrationnels (comme √2 ou π). Ils sont représentés par une ligne continue, la droite numérique.
Quelle est la différence entre un majorant et une borne supérieure ?
Un majorant d'un ensemble E est un nombre M tel que tous les éléments de E sont inférieurs ou égaux à M. La borne supérieure (ou supremum) est le plus petit de tous les majorants d'un ensemble. Elle est unique et, si l'ensemble possède un maximum, la borne supérieure est égale à ce maximum.
À quoi sert la partie entière d'un nombre ?
La partie entière d'un nombre réel x, notée E(x) ou ⌊x⌋, est le plus grand entier inférieur ou égal à x. Elle est fondamentale en arithmétique et en théorie des nombres pour étudier les propriétés des entiers dans le contexte des nombres réels, et sert à modéliser des phénomènes discrets ou à tronquer des valeurs.