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Année universitaire 2019-2020 Parcours MIP - (M111) Analyse 1, Série 1 : Nombres Réels

Exercice 1

Soient x et y deux réels. Montrer que : 1. |x| + |y| ≤ |x + y| + |x − y| 2. 1 + |xy − 1| ≤ (1 + |x − 1|)(1 + |y − 1|)

Exercice 2

E(x) designe la partie entière du réel x. Montrer les propriétés suivantes : 1. ∀x ∈ Z, E(x) + E(−x) = 0 et ∀x ∈ R \ Z, E(x) + E(−x) = −1. 2. ∀x, y ∈ R, E(x) + E(y) ≤ E(x + y) ≤ E(x) + E(y) + 1.

Exercice 3

Déterminer (s'ils existent) les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le maximun et le minimum des ensembles suivants : 1. N; [0, 1] ∩ Q; ]0, 1[∩Q 2. A = 1 −1n| n ∈ N∗ 3. B = (−1)n +1n2| n ∈ N∗ 4. C = x − y | x ∈]2, 9[, y ∈] − 1, 10[

Exercice 4

Soient A et B deux parties non vide et bornées de R et x ∈ R. On note : −A = − a | a ∈ A ; A + B = a + b | a ∈ A, b ∈ B ; x + A = x + a | a ∈ A AB = ab | a ∈ A, b ∈ B 1. Montrer que : sup(−A) = − inf(A), sup(A + B) = sup(A) + sup(B), sup(x + A) = x + sup(A). 2. A-t-on toujours sup(AB) = sup(A)∗sup(B) ? Quelle hypothèse peut-on ajouter pour que cela soit vrai ?

Exercice 5

1. Rappeler la caractérisation de la borne inférieure d'une partie de R, montrer que inf{1 +14n2, n ∈ N∗} = 1 2. ∀x ∈ R, 0 ≤ E(2x) − 2E(x) ≤ 1. 3. Soit (a, b) ∈ (Q+)2, tel que √ab /∈ Q. Montrer que √a + 3√b /∈ Q. 4. Démontrer que pour tout réel x, E(x) + E(x +12) = E(2x).