M111 td 2 -Analyse 1 - Télécharger pdf
Télécharger PDFAnnée universitaire 2019-2020 Parcours MIP - (M111) Analyse 1, Série 2 : Suites
Exercice 1Calculer, lorsqu'elle existent, les limites suivantes : sinn+lnn b) Un =πn ln7 × ... ×ln(2n) a) Un =cosn d) Un =E(√n) ne) Un =2n+1 1×3×...×(2n+1) c) Un =ln4 ln5 ×ln6 3n2+nf) Un =(E(√n))2 ln(2n+1) 3n2+1 +2n+1 3n2+2 + ...2n+1 n
Exercice 21. Montrer qu'une suite (Un)n converge vers l ∈ R si et seulement si les deux sous-suites (U2n)n et (U2n+1)n convergent vers la même limite l. 2. Pour n ≥ 1, on pose Un =Pn k=1 (−1)k+1 k. Montrer que la suite (Un)n est convergente.
Exercice 3Soient (Un)n et (Vn)n deux suites dé nies par Un =Pn k!, Vn = Un +1 1 n!.n. k=1 1. Montrer que (Un)n et (Vn)n sont adjacentes. 2. En déduire que (Un)n converge vers une limite l. 3. Montrer que l /∈ Q.
Exercice 4Soit (Un)n une suite réelle de terme général : Un = 1 +12+ ... +1n, ∀n ∈ N∗ 1. Montrer que ∀n ∈ N∗, U2n − Un ≥12. 2. En déduire que (Un)n n'est pas de Cauchy. 3. Montrer que (Un) est croissante et conclure lim n→+∞Un.
Exercice 5Etudier la convergence des suites (Un)n et (Vn)n dé nies par U0 = 1, Un+1 =√Un + 1, ∀n ∈ N U0 = 1, Un+1 = 1 + 1Un, ∀n ∈ N.
Exercice 6Soit (Un)n une suite croissante de limite l. On pose Vn =U1 + U2 + ... + Un n 1. Montrer que la suit (Vn)n est croissante. 2. Montrer que V2n ≥Un+Vn 2. 3. Montrer que lim n→+∞Vn = l. 4. Application : (a) Soit (vn)n∈N∗ la suite de terme général : vn =1n+12n+13n+ .... +1n2 Calculer lim n→+∞vn.
(b) Déterminer lim n→+∞wn, où (wn)n∈N∗ est la suite de terme général : wn =Yn k=1 (1 + 2k)kn