M111 td 2 -Analyse 1 - Télécharger pdf
Télécharger PDFAnnée universitaire 2019-2020 – Parcours MIP (M111) : Analyse 1, Série 2 – Suites
Exercice 1
Calculer, lorsqu'elles existent, les limites des suites suivantes :
- a) Un = cos(n) / (sin(n) + ln(n))
- b) Un = πn / (ln(7) × ... × ln(2n))
- c) Un = ln(4) ln(5) × ln(6)
- d) Un = E(√n) / n
- e) Un = (2n+1) / (1 × 3 × ... × (2n+1))
- f) Un = (E(√n))² / ln(2n+1)
- g) Un = (3n² + n) / (3n² + 1) + (2n+1) / (3n² + 2) + ... + (2n+1) / n
Exercice 2
- Montrer qu'une suite (Un)n converge vers l ∈ ℜ si et seulement si les deux sous-suites (U2n)n et (U2n+1)n convergent vers la même limite l.
- Pour n ≥ 1, on pose Un = Σk=1n ((-1)k+1) / k. Montrer que la suite (Un)n est convergente.
Exercice 3
Soient (Un)n et (Vn)n deux suites définies par Un = Σk=0n 1/k! et Vn = Un + 1 / (n! × n).
- Montrer que (Un)n et (Vn)n sont adjacentes.
- En déduire que (Un)n converge vers une limite l.
- Montrer que l ∉ ℜ. (c'est-à-dire que l est irrationnel)
Exercice 4
Soit (Un)n une suite réelle de terme général : Un = 1 + 1/2 + ... + 1/n, ∀n ∈ ℕ*.
- Montrer que ∀n ∈ ℕ*, U2n − Un ≥ 1/2.
- En déduire que (Un)n n'est pas de Cauchy.
- Montrer que (Un) est croissante et conclure sur limn→+∞ Un.
Exercice 5
Étudier la convergence des suites définies par :
- Première suite : U0 = 1, Un+1 = √(Un + 1), ∀n ∈ ℕ.
- Deuxième suite : U0 = 1, Un+1 = 1 + 1/Un, ∀n ∈ ℕ.
Exercice 6
Soit (Un)n une suite croissante de limite l. On pose Vn = (U1 + U2 + ... + Un) / n.
- Montrer que la suite (Vn)n est croissante.
- Montrer que V2n ≥ (Un + Vn) / 2.
- Montrer que limn→+∞ Vn = l.
- Application :
- Soit (vn)n∈ℕ* la suite de terme général : vn = Σk=1n 1/(kn). Calculer limn→+∞ vn.
- Déterminer limn→+∞ wn, où (wn)n∈ℕ* est la suite de terme général : wn = Πk=1n (1 + 2k) / (kn).
Foire Aux Questions (FAQ)
- Qu'est-ce qu'une suite convergente ?
- Une suite est dite convergente si ses termes se rapprochent indéfiniment d'une valeur unique, appelée limite, à mesure que l'indice de la suite tend vers l'infini. Cette limite doit être un nombre réel fini.
- Comment montrer qu'une suite n'est pas de Cauchy ?
- Pour montrer qu'une suite n'est pas de Cauchy, il suffit de trouver un ε > 0 tel que, pour tout N, il existe des indices p, q ≥ N pour lesquels |Up - Uq| ≥ ε. Cela signifie que les termes de la suite ne se rapprochent pas arbitrairement les uns des autres.
- À quoi servent les suites adjacentes ?
- Deux suites sont dites adjacentes si l'une est croissante, l'autre est décroissante, et leur différence tend vers zéro. Les suites adjacentes sont particulièrement utiles car elles convergent toujours vers la même limite, ce qui permet d'encadrer et de démontrer l'existence d'une limite pour des suites complexes, comme celles impliquées dans la construction du nombre e.