M111 td 2 (solution) -Analyse 1 - Télécharger pdf
Télécharger PDF1x - y r D sin(n)+ fn(n) -1 sin (n) (1 nEIN no On (n)>, o 1+ ln (n) [sin(n) + ln (n) (1+ lm (n) Excercice B Un co (n) Serie 2: Suite réelle on a 1 1 1 -Wh 14 On (n) sin (n) + In(n) -1+ en (n) on a lim Un = lim Wh 400 80 40 on a: | cos(n) | < ± = cos(a) est convergent H 0 lim 4 O sin (n) en (n) d'où lim Un =0 4:00 Thermos (B Un 1x3x+(24) Ила 1x3x. (241) J Un 1,3 (2+3) (2,3) ग 2n43 21 lim 400 en (4) π = 0 2143 "In (6) さん Bun (5) Enn (7) d'où lim Un In (2n) En (2044) Unti In (4) xlor (6) x m (2x)+ b (2n, 2) lu (5)x lu (7) x lu (2n+1). Un On (5) x bn (7)xx ln (2n+1). En (n+3) Una d bu (2142) <1 Ик In (2143) En (4)x ba (6) x. b (2n) → Ungd < Un par 0 5/5 on Un )O = (Un) est minorée (Un) est décroissante et minorée par Odonc convergente 6 UE(S) れ d'où lim Un=0 400 on sait √n_1 (E (Jn) [ √n lim £ 4 lim 1 Sh = n +00 Un D 2 n n d'où: lim Un=0 4:00 Silv σχ u 3n+1 4- on a V n 4 1 3n+n 3n & 114 3n2th Y < 1201 Inoy) + 1x-yl @ 4 3n1 1 H multiplie par 21+1 3n+1 3nd En Un < 2n 1 1 3nth 3nd 3n2 n 3n2+ k 1 3n2 1 lim W = lim W = 1/3= lim Un @ 4h - (E(n))2 400 (Un_1)2 2 (E (√n ))2 alm 2 3 (√) 2 (N-1) (E(√n))2 / 1 = Wn < lim Unlim W = 1 lim "U2 = 1 400 Excercice Q converge vers l↔ (Yon) et (Uen 14) converge vers (U) est con Max VEXO, 3 NEW / n > N: | Un_e\ <E Soit EXO: 3N EIN /Vx)N, Soit ny M 6 JU2n-e/cε @ N = maxe (2N, 8N1 + 1) 20+1 Sin est pair 36/n = 2k/ | Un- ||<ε d'après @ Sin est impair 3k/n = 2k+1/ | Un-l/<ε d'après @D d'ari: VEXO, 3N/Vn>N: /U1- | <ε on pose ose Un Pourn! on pose V1 = U11 = 1.4 Uzn Wn = Venas cad lim U1 = l (-1)+5 k Un=l Mg (2) est convergente 1 + 24 4 4 1 t 2 3 21 2n+1 3 -91 + 12-yl Thermos F TD: 4 Excercice B O Un + + - Un 20 44 Σ Wary-Wa 2042 2n+3 2741 (2n++) (2n+2) (2n+2) (2n+3) → WT) Vn < 人 Wn lim W-V2 = 0 donc (Th) et (W.) sont 2 suites adjacents 4:00 →→ convergente vers la même limite la monotonie (Un) et (Vn) Σ k=1 k! R=1 k! れ M4 H Σ 4 + k-k! (n+1) A-1 R! Uny 3-Un 士 30 (144)! Vars – Un = Unes + 1 (C++)! (n+4) nin 1 fl (43)! (143)! (44) nin (n+1)! (n+) n Un - Un 4 lim V-Up = Un lim 4 nin + Conclusion: (Un) et (Vn) sont adjacents. 6 On a (Un) est croimante (U) croissante et majoree part, lea, done (1) est crolmante `n (n+1)+h_(m + d) 2 (nd)! (24) n done (Un) est décormante Alors Up & Un Alors lim Vp U2 = 0. =0 Alors Or Un < Vn LV g Supposons que lεQ, 3p+q € ZA IN Cq l = p/q b existe conclusions: (1) converge vers LCK car Vq est Ugut & ex Vq++ V q In it I can Up est ? Up < Uget <l< Ngos 2 Vq Ug = Donc d'où Σ 1 cad: Uq <l <Vq Uq 29 / p < Mq+ 9:9 Ugg!q <pq! <Uq q! 9 + 1 + 21 31 +1 9! Exprice Ar Montrons que |x| = |g| < |ry| + |u-yl dx Au 1x1+dy / Tayl 12x1 < 1 жауак-ур 1201 Inay | + 1x-yl @ 9! Uq = 9! + 3.6 9+ 4+ 511, 9+11 s Abrunde car: 9!q Uq EZ Alors n'exclote pas un élément de Z Conclusion: lim Un = l & Q Excercice 4 Ven ان 1+블 EN CZ 1 2n U1n Un=1+2 R = > च 2 En d'où: V2- Un 7 1/2 26 02 s 21 En 444 A en 4 n4E h En 2n & Rapel: (Un) est une suite cauchy ← EXO, IN(E), Jn)N(E) Up> 0; / Unpp- and <ε (a)(Un) n'est pas de cauchy ← JE>0, VN (E),] p>0= | Unep - Un | >ε il exciste p = n; | Un+p - Un>E d'où: (Un) n'est pas cauchy A Soit ε 8 = 2/143 L Excercice C Alors (Un) croissant or U, n'est pas cauchy done Un divergente et comme (UN) croissante done: lim Un = 100 on pose f(x) = √x + 5 @ 8'(x) = 2√x45 √xy-1 8 est croissant on 3-1; 400 [ Or U1 = √Z YU = 1 Mg: U, est majore "par 2 on Un est croissant mpore n=0U = 1/2 Vraie on repose que Un <2 et Mq: Unry < 2 on a Ux < 2 par hypothese U4143 √Ux++ (√3 (& →→ Uars (2 <2 d'ou: d'après la principe de récurrence: VnEIN: Un <2. 2 C.Q. F.D on a : Un est croissant et majorée par & donc Un est une suite. convergente vers une limites I sur [1:2] vérifiant f(l) = l d'où: lim U1 = ++ √5 +00 f'(x) = on pose on a: 2 e e 1-√5 2 €[1:2] 2 on pose f(x) 110 22 & est décroissante on pose g = fof Un = Ven Venty U。 = V1 = 1 W1 = v1 = 2 g est croissante U2 = Vo W1 = V1 جالنا UV2 = 3 U1 = V2 = 13 Uxxx = g(Un) Wats 3/95/3 g(w) Therma * We 2 w S No 12U = 3 2 (Un) est croissant 中 (Wn) est décroissant 3 Vrave Ven < Venry?? on pose n=O V2 = ± <V1 = 2. on suppose que VnCIN: V2n <Vents et Mq: Venue < Ven+3? on a: Ven < Venty par hypothese to be org est croisante g (Ven) ≤g (Ver+1) Vence & Ven+ 3 C. Q.F.D d'où, d'après la principe de recurence on EIN: Ven (Vents Ven est croissante est majore par 2 V1n est une suite converge vers une libute I sur [1, 2] fiat (1) [1,2] version (190) 1xl+dy / layl 12x1 <\**y*.y/ 120 (Ing|+|x-yl @ 2y = y+y = y + x + y = x car 1-Vo < 17- Vo? Ven < Venay < V1 = 2 → g(e) = l → 8( 1 + 1/2 ) e e e 0 e+stl 19 =l 2 ety l 2 €[1:2] 4-15 2 20 → e ed e 0-4=0 lum Ven 2 de même
Exercice 6Cim Vents 14√5 2 l-l' d'ou lim V2 = 1+√5 A 780 ε Un n 2 V ΣΗ n E Elln + Z Un ε Un 124 1 22 n U1 + Us // Un n & Un en { Un _ (max) & Un n(n+y) น. Un est croimante on Uns » & Ul; <> { U^ > n Un n n E n (ny) EU Yn Un & Un- & in = n Una y Eun Jo (x+1) - n(n+1) Vnes-V1 JO Vned) Vn = (Vn) est croissant @ Mq yn Ven> Un Un yn ⇒ > ✪ Mq + 21 2 Unt Un & Un Un + 1⁄2 Un /n L 21 21 Un - 2 n Un - ε Un L + 1x-y1 @ -x d'ou 3 VER Z Un + E. Un -n Un Un + Vn L Mq. lim V. Il 400 Alors 2 on a lim Un - e 38 Use Un <e { Un <ne → (Un) est croissante et majorée par I, converge vers l' donc lim Un-l' aussi lim Vn-le 8 d on a Und V n 2 4 & Un 20 (Un) chalmart Ven » Un x V n 2 (Un) est croisante. { Un < nl Vn <l <nl h donc "("un) est une suite on a. Vakl alors lim Un + Vn 400 2 d'ou L'ill N lim Ven 700 cad l { l · d'après C et C = l = l'< d'où lim V1e +00 2 Thermos