M111 td 2 (solution) -Analyse 1

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Série 2 : Suites réelles

Exercice B – Convergence de suites

Nous allons étudier la convergence de différentes suites réelles.

Cas 1

Soit une suite \(U_n\) telle que \(U_n = \frac{1}{\sin(n) + \ln(n) - 1 + o_n(n)}\) (en supposant que \(o_n(n)\) représente une fonction négligeable devant \(\ln(n)\) ou une erreur de transcription).

On sait que \(-1 \le \cos(n) \le 1\). Par comparaison, si l'on suppose une autre suite \(W_n\) qui encadre \(U_n\), on peut trouver sa limite.

Si la suite se comportait comme \(W_n = \frac{1}{\ln(n)}\), alors \(\lim_{n \to +\infty} W_n = 0\).

Considérons l'expression d'origine et supposons que la convergence est recherchée. Si l'on a \(\lim_{n \to +\infty} \frac{\sin(n)}{o_n(n)} = 0\), alors \(\lim_{n \to +\infty} U_n = 0\).

Cas 2

Soit une suite définie par \(U_n = \frac{1 \times 3 \times \dots \times (2n-1)}{2 \times 4 \times \dots \times (2n)}\). Cette suite est souvent étudiée en relation avec la fonction Gamma.

Pour l'étude de sa convergence, on utilise le critère de d'Alembert (critère du rapport) en calculant le rapport \(U_{n+1}/U_n\).

On a \(U_{n+1} = \frac{1 \times 3 \times \dots \times (2n-1) \times (2n+1)}{2 \times 4 \times \dots \times (2n) \times (2n+2)}\).

Donc, \(\frac{U_{n+1}}{U_n} = \frac{2n+1}{2n+2}\).

Pour de grandes valeurs de \(n\), \(\frac{2n+1}{2n+2} < 1\). Plus précisément, \(\frac{2n+1}{2n+2} = 1 - \frac{1}{2n+2}\). Puisque \(\frac{U_{n+1}}{U_n} < 1\), la suite \(U_n\) est décroissante.

De plus, tous les termes de \(U_n\) sont positifs, donc \(U_n > 0\). La suite \(U_n\) est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente.

Une suite du type \(U_n = \frac{\ln(2n)}{\ln(2n+3)}\) a pour limite 1 car \(\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(2n)}{\ln(2n+3)} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(2n)}{\ln(2n(1+3/(2n)))} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(2n)}{\ln(2n) + \ln(1+3/(2n))} = 1\).

Cependant, pour la suite \(U_n = \frac{1 \times 3 \times \dots \times (2n-1)}{2 \times 4 \times \dots \times (2n)}\), sa limite est 0 (peut être prouvé en utilisant la formule de Wallis ou une comparaison avec \(1/\sqrt{\pi n}\)).

Cas 3

Soit la suite \(U_n\) définie par \(U_n = \frac{\sqrt{n-1}}{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}\) (où \(\lfloor x \rfloor\) est la partie entière de \(x\)).

Pour \(n \to +\infty\), on a \(\sqrt{n}-1 < \lfloor\sqrt{n}\rfloor \le \sqrt{n}\).

Donc, \(\frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}} \le U_n < \frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}-1}\).

On calcule les limites des suites encadrantes :

\(\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to +\infty} \sqrt{1 - \frac{1}{n}} = 1\).
\(\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}-1} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{n(1-1/n)}}{\sqrt{n}(1-1/\sqrt{n})} = \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{1-1/n}}{1-1/\sqrt{n}} = 1\).

D'après le théorème des gendarmes, \(\lim_{n \to +\infty} U_n = 1\).

Cas 4

Soit une suite \(U_n\) pour laquelle on cherche à montrer que \(\lim_{n \to +\infty} U_n = \frac{1}{3}\).

Si \(U_n\) est encadrée par des suites \(V_n\) et \(W_n\) telles que \(\frac{1}{3n^2+n} < U_n < \frac{1}{3n}\), cela ne fonctionne pas car les limites des encadrantes sont 0. L'encadrement original est probablement mal retranscrit.

Considérons l'encadrement : \(\frac{n}{3n^2+n} < U_n < \frac{n}{3n^2}\).

Alors \(\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{3n^2+n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{3n+1} = 0\).

Et \(\lim_{n \to +\infty} \frac{n}{3n^2} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{3n} = 0\).

Pour obtenir une limite de 1/3, l'encadrement devrait être de la forme :

\(\frac{3n}{9n^2+3n} < U_n < \frac{3n+1}{9n^2+1}\) (exemple hypothétique si la suite est \(U_n = \frac{1}{3n+k}\), alors la limite est 0).

Si la suite était \(U_n = \frac{n}{3n+1}\), alors \(\lim_{n \to +\infty} U_n = \frac{1}{3}\).

L'encadrement \(\frac{1}{3n+1} < U_n < \frac{1}{3n-1}\) donnerait \(\lim U_n = 0\). Il semble y avoir une erreur dans l'encadrement proposé.

Exercice Q – Critère de convergence des suites

Pour qu'une suite \((U_n)\) converge vers une limite \(l\), il faut et il suffit que pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un entier naturel \(N\) tel que pour tout \(n > N\), on ait \(|U_n - l| < \varepsilon\).

Si les sous-suites des termes pairs et impairs convergent vers la même limite, alors la suite converge. C'est-à-dire : si \((U_{2k})\) converge vers \(l\) et \((U_{2k+1})\) converge vers \(l\), alors \((U_n)\) converge vers \(l\).

Démonstration :

Soit \(\varepsilon > 0\).

Puisque \((U_{2k})\) converge vers \(l\), il existe \(N_1 \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(k > N_1\), \(|U_{2k} - l| < \varepsilon\).
Puisque \((U_{2k+1})\) converge vers \(l\), il existe \(N_2 \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(k > N_2\), \(|U_{2k+1} - l| < \varepsilon\).

Posons \(N = \max(2N_1, 2N_2+1)\). Alors pour tout \(n > N\) :

Si \(n\) est pair, \(n = 2k\). Alors \(k > N_1\), donc \(|U_n - l| < \varepsilon\).
Si \(n\) est impair, \(n = 2k+1\). Alors \(k > N_2\), donc \(|U_n - l| < \varepsilon\).

D'où : pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe \(N\) tel que pour tout \(n > N\), \(|U_n - l| < \varepsilon\). La suite \((U_n)\) converge vers \(l\).

TD 4 – Suites adjacentes et irrationalité de e

Exercice B – Suites adjacentes

Soient deux suites \((U_n)\) et \((V_n)\) définies pour \(n \ge 1\) par :

\(V_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\) (par convention, \(0! = 1\))
\(U_n = V_n + \frac{1}{n \cdot n!}\)

Pour vérifier si elles sont adjacentes, nous devons prouver trois conditions :

L'une est croissante, l'autre est décroissante.
\(\lim_{n \to +\infty} (V_n - U_n) = 0\).

1. Monotonie :

Étude de \(V_n\) :

\(V_{n+1} - V_n = \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{k!} - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = \frac{1}{(n+1)!}\).

Puisque \(\frac{1}{(n+1)!} > 0\), la suite \((V_n)\) est strictement croissante.
Étude de \(U_n\) :

\(U_{n+1} - U_n = \left( V_{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} \right) - \left( V_n + \frac{1}{n \cdot n!} \right)\)

\(= (V_{n+1} - V_n) + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n \cdot n!}\)

\(= \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n \cdot n!}\)

\(= \frac{1}{(n+1)!} \left( 1 + \frac{1}{n+1} - \frac{n+1}{n} \right)\)

\(= \frac{1}{(n+1)!} \left( \frac{n+1+1}{n+1} - \frac{n+1}{n} \right)\)

\(= \frac{1}{(n+1)!} \left( \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} \right)\)

\(= \frac{1}{(n+1)!} \left( \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} \right)\)

\(= \frac{1}{(n+1)!} \left( \frac{n^2+2n - (n^2+2n+1)}{n(n+1)} \right)\)

\(= \frac{1}{(n+1)!} \left( \frac{-1}{n(n+1)} \right)\)

\(= -\frac{1}{n(n+1)(n+1)!}\).

Puisque \(-\frac{1}{n(n+1)(n+1)!} < 0\), la suite \((U_n)\) est strictement décroissante.

2. Limite de la différence :

\(\lim_{n \to +\infty} (U_n - V_n) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n \cdot n!} = 0\).

Les suites \((U_n)\) et \((V_n)\) sont adjacentes, elles convergent donc vers la même limite. Cette limite est le nombre \(e\) (base du logarithme népérien).

Exercice Ar – Preuve de l'irrationalité de e

Nous allons prouver que \(e\) est un nombre irrationnel en utilisant les suites adjacentes \((V_n)\) et \((U_n)\) définies précédemment. Elles convergent toutes deux vers \(e\).

On a \(V_n < e < U_n\).

C'est-à-dire : \(\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} < e < \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + \frac{1}{n \cdot n!}\).

Multiplions cette inégalité par \(n!\) :

\(n! \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} < n!e < n! \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} + \frac{1}{n}\).

Soit \(S_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = n! \left( 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!} \right)\).

Chaque terme \(n!/k!\) pour \(k \le n\) est un entier. Donc \(S_n\) est un entier.

L'inégalité devient : \(S_n < n!e < S_n + \frac{1}{n}\).

Supposons par l'absurde que \(e\) est rationnel. Alors \(e = p/q\) pour des entiers \(p, q \in \mathbb{N}^*\) avec \(q \ge 1\).

Choisissons \(n=q\). L'inégalité devient : \(S_q < q! \frac{p}{q} < S_q + \frac{1}{q}\).

Simplifiant, nous obtenons : \(S_q < p(q-1)! < S_q + \frac{1}{q}\).

Comme \(S_q\) est un entier et \(p(q-1)!\) est également un entier (notons-le \(M\)), l'inégalité est \(S_q < M < S_q + \frac{1}{q}\).

Si \(q \ge 2\), alors \(0 < \frac{1}{q} \le \frac{1}{2}\). Cela signifie qu'il existe un entier \(M\) strictement compris entre deux entiers \(S_q\) et \(S_q + \frac{1}{q}\), ce qui est impossible car il n'existe pas d'entier entre \(S_q\) et \(S_q + \frac{1}{q}\) si \(q \ge 2\).

Si \(q=1\), alors \(e=p\), ce qui signifierait que \(e\) est un entier. Or on sait que \(2 < e < 3\), donc \(e\) n'est pas un entier. La contradiction est atteinte. Par conséquent, \(e\) est un nombre irrationnel.

Exercice 4 – Suite harmonique et critère de Cauchy

Soit la suite \((U_n)\) définie par \(U_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}\). C'est la série harmonique.

Rappel du critère de Cauchy :

Une suite \((U_n)\) est de Cauchy si pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un entier \(N\) tel que pour tout \(p, q > N\), on ait \(|U_p - U_q| < \varepsilon\).

Pour montrer qu'une suite n'est pas de Cauchy, il faut montrer qu'il existe un \(\varepsilon_0 > 0\) tel que pour tout \(N\), il existe \(p, q > N\) pour lesquels \(|U_p - U_q| \ge \varepsilon_0\).

Démonstration que \((U_n)\) n'est pas de Cauchy :

Prenons \(p = 2n\) et \(q = n\). Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), considérons \(|U_{2n} - U_n|\).

\(U_{2n} - U_n = \sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}\).

Cette somme contient \(2n - (n+1) + 1 = n\) termes.

Chacun de ces termes est supérieur ou égal à \(\frac{1}{2n}\) (car le plus petit terme est \(\frac{1}{2n}\)).

Donc, \(U_{2n} - U_n = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{n+j} \ge \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{2n} = n \times \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}\).

Nous avons trouvé \(\varepsilon_0 = \frac{1}{2}\). Pour tout \(N\), on peut choisir \(n > N\). Alors pour \(p=2n\) et \(q=n\), qui sont tous deux supérieurs à \(N\), on a \(|U_p - U_q| = U_{2n} - U_n \ge \frac{1}{2}\).

Par conséquent, la suite \((U_n)\) n'est pas une suite de Cauchy.

Comme toute suite convergente est une suite de Cauchy, et que \((U_n)\) n'est pas de Cauchy, \((U_n)\) est divergente.

De plus, \((U_n)\) est une suite croissante (car \(U_{n+1} - U_n = \frac{1}{n+1} > 0\)). Une suite croissante non bornée (ou non majorée, car elle diverge) diverge vers \(+\infty\).

Exercice C – Suites définies par récurrence (point fixe)

Soit la suite \((U_n)\) définie par \(U_0 = 1\) et \(U_{n+1} = \sqrt{U_n + 5}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1. Monotonie :

Calculons les premiers termes : \(U_0 = 1\), \(U_1 = \sqrt{1+5} = \sqrt{6} \approx 2.45\).

Puisque \(U_1 > U_0\), la suite semble croissante. Montrons-le par récurrence.

Initialisation : \(U_1 = \sqrt{6} > U_0 = 1\). La propriété est vraie pour \(n=0\).
Hérédité : Supposons que \(U_n \le U_{n+1}\) pour un certain \(n\).

Alors \(U_n + 5 \le U_{n+1} + 5\).

Comme la fonction racine carrée est croissante, \(\sqrt{U_n + 5} \le \sqrt{U_{n+1} + 5}\).

C'est-à-dire \(U_{n+1} \le U_{n+2}\).

Donc, par le principe de récurrence, la suite \((U_n)\) est croissante.

2. Majorée par 2 ? (Attention, cette partie semble avoir une erreur dans l'énoncé original, car \(\sqrt{6} \approx 2.45\) est déjà supérieur à 2)

Vérifions si la suite est majorée par 2. Nous avons \(U_1 = \sqrt{6} \approx 2.45\), ce qui est déjà supérieur à 2. Donc, la suite ne peut pas être majorée par 2.

L'énoncé doit vouloir dire majorée par une autre valeur, ou la condition initiale \(U_0\) doit être différente, ou la fonction \(f(x)\) est différente.

Si la suite converge, sa limite \(l\) doit satisfaire \(l = \sqrt{l+5}\).

\(l^2 = l+5 \implies l^2 - l - 5 = 0\).

Les solutions sont \(l = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+20}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}\).

Puisque \(U_n\) est une suite de termes positifs, la limite doit être positive : \(l = \frac{1+\sqrt{21}}{2} \approx \frac{1+4.58}{2} \approx 2.79\).

La suite est croissante et converge vers \(\frac{1+\sqrt{21}}{2}\).

Pour qu'elle soit majorée par 2, le point fixe doit être inférieur ou égal à 2. C'est le cas par exemple pour \(U_{n+1} = \sqrt{U_n + 1}\) où la limite est \(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618 < 2\).

3. Étude de sous-suites (V2n) et (V2n+1)

Considérons le cas où \(U_{n+1} = \sqrt{U_n + 1}\) avec \(U_0 = 1\).

Alors \(U_1 = \sqrt{2}\), \(U_2 = \sqrt{1+\sqrt{2}}\), etc.

Ici, la limite est \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Pour cette fonction, on peut étudier les sous-suites \(V_n = U_{2n}\) et \(W_n = U_{2n+1}\). La fonction \(g(x) = f(f(x))\) serait utilisée pour \(V_{n+1} = g(V_n)\).

Si \(f(x)\) est croissante, alors \(g(x) = f(f(x))\) est également croissante.

Dans ce cas, \(V_{2n}\) est croissante et majorée par la limite, et \(V_{2n+1}\) est décroissante et minorée par la limite, et elles convergent toutes deux vers la même limite \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\).

Exercice 6 – Suites adjacentes

Soient deux suites \((U_n)\) et \((V_n)\) définies pour \(n \ge 1\).

On a \((U_n)\) est croissante.

Soit \(V_n = U_n + \frac{1}{n(n+1)}\).

Pour montrer que \((U_n)\) et \((V_n)\) sont adjacentes :

\((U_n)\) est croissante : C'est donné dans l'énoncé.
\((V_n)\) est décroissante :

\(V_{n+1} - V_n = \left( U_{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) - \left( U_n + \frac{1}{n(n+1)} \right)\)

\(= (U_{n+1} - U_n) + \frac{1}{(n+1)(n+2)} - \frac{1}{n(n+1)}\)

\(= (U_{n+1} - U_n) + \frac{n - (n+2)}{n(n+1)(n+2)}\)

\(= (U_{n+1} - U_n) - \frac{2}{n(n+1)(n+2)}\).

Si \((U_n)\) est croissante, \(U_{n+1} - U_n \ge 0\). Il faut que cette différence soit suffisamment petite pour que \(V_{n+1} - V_n\) soit négative. Par exemple, si \(U_{n+1} - U_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\), alors \(V_{n+1} - V_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)} - \frac{2}{n(n+1)(n+2)} = - \frac{1}{n(n+1)(n+2)} < 0\).

Si \(U_n\) est croissante et majorée par \(l\), alors elle converge. Si \(U_n < l < V_n\).
\(\lim_{n \to +\infty} (V_n - U_n) = 0\) :

\(\lim_{n \to +\infty} (V_n - U_n) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 0\).

Si toutes ces conditions sont remplies (avec la condition supplémentaire sur \(U_{n+1} - U_n\) pour la décroissance de \(V_n\)), alors les suites \((U_n)\) et \((V_n)\) sont adjacentes et convergent vers la même limite \(l\).

Questions Fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce qu'une suite convergente ?

Une suite \((U_n)\) est dite convergente si ses termes se rapprochent indéfiniment d'une valeur fixe, appelée sa limite \(l\), à mesure que \(n\) tend vers l'infini. Mathématiquement, pour tout \(\varepsilon > 0\), il existe un entier \(N\) tel que pour tout \(n > N\), \(|U_n - l| < \varepsilon\).

Comment prouver qu'une suite est convergente ?

Il existe plusieurs méthodes pour prouver la convergence d'une suite :

Définition de la limite : Montrer que la suite satisfait la définition formelle de la limite.
Théorème des suites monotones et bornées : Si une suite est croissante et majorée, ou décroissante et minorée, alors elle est convergente.
Théorème des gendarmes (d'encadrement) : Si une suite est encadrée par deux autres suites qui convergent vers la même limite, alors la suite encadrée converge aussi vers cette limite.
Suites adjacentes : Deux suites adjacentes (l'une croissante, l'autre décroissante, et leur différence tend vers zéro) convergent vers la même limite.
Critère de Cauchy : Une suite est convergente si et seulement si elle est une suite de Cauchy.

Pourquoi étudier les suites de Cauchy ?

Les suites de Cauchy sont importantes car elles permettent de définir la notion de convergence sans avoir besoin de connaître la limite à l'avance. Dans un espace métrique complet (comme \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)), une suite est convergente si et seulement si elle est de Cauchy. Cela est particulièrement utile dans les espaces où les limites peuvent être difficiles à expliciter, ou pour montrer l'existence d'une limite avant de la calculer.