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CHAPITRE 7. FLEXION

Ce chapitre aborde les concepts fondamentaux de la flexion, un état de sollicitation courant dans les structures. Il explore les définitions, les types de flexion, les appuis et les charges, ainsi que l'analyse des contraintes et des déformations essentielles pour le dimensionnement des poutres.

7.1. Définitions et exemples

7.1.1. Flexion pure

La flexion pure est un état de charge tel que, dans toute section droite d’une pièce, il n’existe qu’un moment fléchissant Mf. Ce moment fléchissant doit être constant.

Une barre soumise à flexion pure est un exemple concret. Lorsque deux couples C agissent dans un plan de symétrie longitudinal de la poutre, tous les efforts internes sont nuls, sauf le moment fléchissant autour de l’axe Oz (perpendiculaire au plan où se trouve la poutre) qui est constant et égal à C. Grâce aux considérations de symétrie, toute section droite de la barre reste la même après déformation. Le moment fléchissant étant constant, la barre se déformera partout de façon identique, adoptant une courbure constante en forme d’arc de cercle.

7.1.2. Glissement et cisaillement dans les pièces fléchies

La rupture par glissement et cisaillement se produit quand une partie d'un corps glisse par rapport à une autre, car les efforts intérieurs dépassent la résistance à la rupture de la matière. Ce type d’effort interne se manifeste également dans les pièces fléchies.

Prenons l'exemple d'une poutre formée d’une série de blocs B juxtaposés et serrés. Si cette poutre est placée sur deux appuis C et D et chargée de forces F, les blocs B vont glisser les uns par rapport aux autres. C'est comme si la matière manquait de continuité selon les plans S. Dans ces plans, la résistance de la matière est nulle, seul le frottement des blocs s'oppose à leur déplacement par glissement.

Bien que les poutres fléchies soient généralement d’une seule pièce, elles présentent une tendance similaire au glissement transversal. Si la résistance de la matière est insuffisante, les mêmes déplacements verticaux pourraient également se produire. Dans la grande majorité des cas, ces efforts tranchants sont négligeables par rapport aux autres efforts sollicitant la poutre. Il faudra cependant en tenir compte lors de la conception des poutres soumises à flexion, notamment en prévoyant des raidisseurs aux appuis.

Supposons en second lieu que la poutre fléchie soit constituée d’une série de planches empilées et posées sur les appuis C et D. Une charge F fait fléchir l’ensemble. L’expérience très simple à réaliser, montre que chacune des planches fléchit et s’incurve pour son propre compte, ce qui les oblige à glisser les unes par rapport aux autres dans le sens longitudinal. Les extrémités des planches qui, avant l’application de la charge F, se trouvaient en coïncidence dans un même plan AA et BB, ne le sont plus après déformation. La seule résistance opposée à ce glissement longitudinal provient du frottement des planches les unes sur les autres. En réalité, on ne tient compte de ce glissement que dans les calculs des soudures ou des rivets des poutres composées.

7.1.3. Flexion simple

Il apparaît donc dans les sections transversales d’une barre, en même temps que les moments de flexion, des efforts tranchants, d’où :

La flexion simple est un état de charge tel que dans toute section droite d’une pièce il n’existe qu’un moment fléchissant Mf et un effort tranchant V associé.

La flexion simple entraîne sur toute la section perpendiculaire à la fibre moyenne de la pièce des contraintes normales et tangentielles. Ces dernières provoquent un gauchissement des sections droites. Toutefois, la déformation du plan des sections transversales n’influe pas d’une façon notable sur la grandeur des contraintes normales. L’erreur que l’on commet en ne tenant pas compte de cette déformation dans le calcul des contraintes normales est faible (voire nulle si l’effort tranchant est constant).

Une barre travaillant principalement à la flexion est appelée poutre.

Un exemple concret de poutre isostatique soumise à flexion simple est donné. Les charges sont toujours appliquées dans un plan longitudinal de symétrie. En effectuant une coupure au niveau de la charge P, on constate que comme efforts internes, il existe un moment fléchissant Mf et un effort tranchant V.

7.2. Appuis et charges

7.2.1 Types d’appuis

Si l'on se limite au cas plan, on rencontre trois types d’appuis :

1) L’encastrement : Degrés de liberté : aucun. L’encastrement interdit tout mouvement (horizontal, vertical, ou rotation). Il crée une force de réaction (qui peut se décomposer en une composante verticale et une composante horizontale) et un couple appelé moment d’encastrement.

2) L’appui fixe : Degré de liberté : un (rotation). L’appui fixe (aussi appelé appui à rotule ou appui articulé) permet uniquement la rotation. Il crée une force de réaction uniquement (qui peut se décomposer en une composante verticale et une composante horizontale).

3) L’appui mobile : Degrés de liberté : deux (rotation, glissement). L’appui mobile (aussi appelé appui simple, appui à rouleau, appui glissant) empêche uniquement le déplacement selon une perpendiculaire au chemin de roulement. Il crée une force de réaction perpendiculaire au chemin de roulement. Cet appui est largement utilisé afin de rendre possibles les déplacements horizontaux et empêcher ainsi la naissance de contraintes thermiques éventuelles.

Rappel : Si les réactions peuvent se déterminer à partir des équations de la statique, la poutre est dite isostatique. Dans le cas contraire, elle est hyperstatique.

7.2.2. Charges supportées par les poutres et les planchers

Les charges que les poutres et planchers ont à supporter se divisent en deux catégories :

le poids propre;
les charges proprement dites.

Le poids propre de la pièce s’évalue en Newton par mètre courant [N/m] pour les poutres, et en [N/m²] pour les planchers et les passerelles.

Les charges proprement dites sont les charges sollicitant les pièces. Il en existe de deux sortes :

les charges concentrées;
les charges réparties.

A) Les charges concentrées sont celles qui sont concentrées sur une très petite surface, comme une poutre s’appuyant sur une autre poutre qui lui est perpendiculaire, une colonne reposant sur une poutre, une charge suspendue (cas d’un palan) fixe ou roulante.

B) Au contraire, un mur élevé sur la longueur d’une poutre ou une matière répartie sur la surface d’un plancher sont des charges réparties. Elles sont dites uniformément réparties quand elles ont une valeur constante sur toute la longueur de la poutre ou sur toute la surface du plancher (le poids propre étant un exemple de charge répartie).

Suivant la position sur la poutre du point d’application d’une charge concentrée, la déformation et les efforts internes que la poutre subit varient beaucoup. Il en est de même, si pour un poids total égal, la charge est concentrée au lieu d’être répartie.

Conclusions :

Une poutre peut être capable de supporter une charge répartie de valeur donnée et peut ne pas pouvoir supporter la même charge appliquée localement.
Une charge concentrée locale peut agir très différemment sur une poutre suivant l’emplacement de son point d’application. De ce point de vue, il est toujours préférable de reporter la charge aussi près que possible des appuis.

Nous verrons les différentes possibilités de charge d’une poutre, qu'elle soit encastrée ou sur deux appuis, et l’influence de celles-ci sur la manière dont elles sont sollicitées.

7.3. Diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants

7.3.1. Conventions de signes

Par convention :

Le moment fléchissant est positif : s’il tend à mettre en traction les fibres inférieures longitudinales de la poutre.
L’effort tranchant associé est positif : s’il tend à faire tourner le petit élément dans le sens horlogique.
La charge (p(x)) est positive : si elle agit vers le bas.

Pour retrouver facilement le signe des moments fléchissants Mf, on peut se servir de la règle suivante :

Si une force F ou p agit vers le bas, le Mf correspondant est négatif.
Si une force F ou p agit vers le haut, le Mf correspondant est positif.

Pour le signe des efforts tranchants V :

Si une force F ou p agit vers le bas, le V correspondant est négatif.
Si une force F ou p agit vers le haut, le V correspondant est positif.

Remarque : Cela ne fonctionne que si on établit le diagramme des efforts tranchants de la gauche vers la droite.

7.3.2. Diagrammes des moments fléchissants

Ces diagrammes joueront un rôle très important dans la recherche des sections les plus sollicitées ainsi que dans la détermination des flèches. Ils remplissent donc une fonction primordiale dans le dimensionnement des poutres.

Pour construire les diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants, on effectue un certain nombre de coupures (entre les charges extérieures, entre une charge et une extrémité non appuyée, dans les zones où agissent les charges réparties). Pour chaque coupure, on détermine l’expression de Mf et de V en équilibrant le tronçon compris entre une extrémité de la poutre et la coupure. Les diagrammes sont tracés à partir des équations obtenues pour Mf et V. La convention de signe adoptée pour le dessin des diagrammes est celle explicitée ci-dessus. Ce choix implique que le diagramme des moments soit orienté du côté de la fibre tendue.

Effort tranchant dans une section : Somme des forces (réactions comprises) situées soit à droite, soit à gauche de la section considérée.

Moment fléchissant dans une section : Somme des moments, de toutes les forces (réactions comprises) situées soit à droite, soit à gauche de la section considérée.

7.3.3. Applications

7.3.3.A) Poutre sur deux appuis : charge ponctuelle

1) Recherche des réactions d’appuis. Il s'agit de déterminer les forces exercées par les appuis pour maintenir la poutre en équilibre.

2) Recherche des moments fléchissants. On effectue une coupure en un point et on équilibre de gauche à droite.

3) Recherche des efforts tranchants. De même, on effectue une coupure en un point et on équilibre de gauche à droite.

7.3.3.B) Poutre sur deux appuis soumise à une charge uniformément répartie sur la partie droite

Remarque importante : Lorsqu’il existe une charge répartie, on la remplace par une charge ponctuelle au centre de gravité de la charge répartie pour le calcul des réactions.

1) Recherche des réactions d’appuis.

2) Recherche des moments fléchissants.

3) Recherche des efforts tranchants.

7.3.3.C) Poutre soumise à une charge ponctuelle et répartie

Remarque importante : Si dans la zone où agit une charge répartie, il existe en outre des forces ponctuelles (actives ou réactives), il faut diviser la zone de charge répartie en tronçons limités par les lignes d’actions des charges ponctuelles.

1) Recherche des réactions d’appuis.

2) Recherche des moments fléchissants.

3) Recherche des efforts tranchants.

7.3.4. Relation entre le Mf, le V et le type de charge

7.3.4.A) Relations entre le moment fléchissant et l’effort tranchant

Le moment fléchissant Mf est maximum là où l'effort tranchant V s'annule.
Le moment fléchissant Mf croît dans une zone où l'effort tranchant V est positif.
Le moment fléchissant Mf décroît dans une zone où l'effort tranchant V est négatif.
À chaque ressaut du diagramme des efforts tranchants correspond un point d'inflexion (cassure) dans le diagramme des moments fléchissants.
Le moment fléchissant est nul (Mf = 0) au niveau des appuis d'extrémité et aux extrémités libres d’une poutre. Le moment fléchissant n’est jamais nul à un encastrement.
Le moment fléchissant en un point P d’une poutre est égal à la surface du diagramme des efforts tranchants d’une extrémité de cette poutre à ce point P.

7.3.4.B) Relations entre le type de charges et l’allure des diagrammes des moments fléchissants et des efforts tranchants

Sur une zone de poutre sans charge :
- V : constant ou V : nul (= 0)
- Mf : évolue linéairement ou Mf : constant
Sur une zone de poutre soumise à une charge uniformément répartie constante :
- V : évolue linéairement
- Mf : évolue paraboliquement
Au niveau d’une force concentrée (action ou réaction) :
- V : subit un ressaut ou une chute
- Mf : montre un point d'inflexion (cassure)

7.3.4.C) Relation entre le moment fléchissant et la déformée d’une poutre

Les conventions dans le signe des moments fléchissants que nous avons adopté font que le diagramme des moments fléchissants est positionné du côté de la fibre tendue (en traction).

En résumé :

Si le diagramme des moments fléchissants est positif, la déformée présente une concavité vers le haut (fibres inférieures tendues).
Si le diagramme des moments fléchissants est négatif, la déformée présente une concavité vers le bas (fibres supérieures tendues).
Dans la section où le moment fléchissant est nul (Mf = 0), il y a changement de sens de courbure de la déformée; celle-ci présente en cette section un point d'inflexion.

7.3.4.D) Relation entre le type de charge et la position du moment fléchissant maximum d’une poutre

Pour trouver la position du moment fléchissant maximum, il faut observer là où l'effort tranchant s'annule (voir 7.3.4.A).

Charge(s) ponctuelle(s) uniquement : Au niveau d’une des charges ponctuelles.
Charge répartie : La position du moment fléchissant maximum dépend de la répartition.

Remarque importante :

1) Ceci ne fonctionne que si la charge répartie est telle qu’elle agit de manière continue entre l’appui et l’endroit du moment fléchissant maximum.

2) Et sans charge ponctuelle en superposition.

7.3.4.E) Trucs et astuces

Dans le cas d’un dimensionnement de poutre à la contrainte, il s’agira de déterminer d’abord le diagramme des efforts tranchants. Le moment fléchissant maximum se situe à l'endroit où l'effort tranchant s'annule. Le calcul s'effectuera pour cette position uniquement.

7.4. Distribution des contraintes normales dans une section droite

7.4.1. Généralités

Si l'on considère une barre sur appuis simples, possédant un plan de symétrie longitudinal, dans lequel s’exerce une force F, celle-ci va se déformer. En raison de la courbure de la barre, les fibres longitudinales inférieures vont s’allonger et les fibres longitudinales supérieures se raccourcir. Il peut être démontré, par la loi de Hooke (contrainte proportionnelle au déplacement), que lors de la flexion d’une poutre, les contraintes dans une section transversale varient selon une loi linéaire. Ce sont donc bien des contraintes normales (c’est-à-dire perpendiculaires à la section).

Si les fibres inférieures s’allongent et les fibres supérieures se raccourcissent, il doit donc logiquement exister des fibres qui vont conserver leur longueur. D’où la définition :

Définition : Le lieu géométrique des points d’une section vérifiant la condition σ = 0 est appelé : ligne (ou fibre) neutre de la section.

Dans le cas de la flexion pure et de la flexion simple, il peut être montré que la fibre neutre se confond toujours avec le centre de gravité de la section.

FAQ sur la Flexion des Poutres

Qu'est-ce que la flexion pure ?: La flexion pure est un état de sollicitation où une pièce est soumise uniquement à un moment fléchissant constant sur toute sa longueur, sans effort tranchant. Cela provoque une déformation en arc de cercle avec une courbure constante.
Quelle est la différence entre un appui fixe et un appui mobile ?: Un appui fixe (ou articulé) permet uniquement la rotation de la poutre et s'oppose aux déplacements horizontaux et verticaux. Un appui mobile (ou à rouleau) permet la rotation et un déplacement horizontal, mais s'oppose seulement au déplacement vertical, souvent utilisé pour compenser les dilatations thermiques.
Comment la position d'une charge affecte-t-elle une poutre ?: La position d'une charge (concentrée ou répartie) influence grandement la déformation de la poutre et la magnitude des efforts internes (moment fléchissant et effort tranchant). Une même charge peut générer des contraintes très différentes selon son point d'application, il est souvent avantageux de placer les charges près des appuis pour minimiser les sollicitations maximales.