Rdm exercices serie 4 caractéristiques géométriques sections

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Module RDM-2 ST-GM – Série d'exercices N°4: Caractéristiques géométriques des sections droites

Questionnaire

1. La résistance d'une pièce ou d'une poutre dépend de 3 paramètres. Citez-les.

2. Quelles sont les unités de :

Le moment d'inertie d'une section droite par rapport à une droite
Le produit d'inertie par rapport à deux droites perpendiculaires
Le moment d'inertie polaire
Le moment statique par rapport à une droite

Quelles sont leurs utilisations ?

Exercice 1

Pour les sections droites représentées ci-dessous, déterminer :

La position de leur centre de gravité G par rapport au repère OXY.
Les moments d'inertie et le produit d'inertie par rapport aux axes centraux X_G et Y_G.
Le moment d'inertie polaire.
Les moments d'inertie et le produit d'inertie par rapport aux axes X, Y.
Les moments d'inertie principaux par rapport aux axes centraux principaux d'inertie.

(Schéma de section droite non fourni dans le texte original)

Exercice 2

Soit la section droite ci-représentée. Déterminer :

Le centre de gravité de cette section droite.
Les moments d'inertie principaux.
Les directions principales d'inertie ainsi que les axes centraux principaux d'inertie.

(Schéma de section droite non fourni dans le texte original)

Solution de l'exercice 2

Données du problème (extraites du texte original) :

X_G1 = 10, Y_G1 = 30
X_G2 = 30, Y_G2 = 10
S₁ = 20 × 60
S₂ = 20 × 20

Calcul du centre de gravité (G) :

X_G = (X_G1 S₁ + X_G2 S₂) / (S₁ + S₂) = (10 × (20 × 60) + 30 × (20 × 20)) / ((20 × 60) + (20 × 20))
Y_G = (Y_G1 S₁ + Y_G2 S₂) / (S₁ + S₂) = (30 × (20 × 60) + 10 × (20 × 20)) / ((20 × 60) + (20 × 20)) = 25 mm

Les axes X_G et Y_G sont centraux, mais ils ne sont pas principaux puisqu'ils ne sont pas des axes de symétrie.

Moments d'inertie pour chaque section par rapport à leurs propres axes centraux :

I_XG(1) = 36 × 10⁴ mm⁴
I_YG(1) = 4 × 10⁴ mm⁴
I_XGYG(1) = 0
I_XG(2) = 10 × 10⁴ mm⁴
I_YG(2) = 10 × 10⁴ mm⁴
I_XGYG(2) = 0

Calcul des distances entre les axes :

Entre X_G01 et X_G : a = Y_G1 - Y_G = 5 mm
Entre X_G02 et X_G : b = Y_G - Y_G2 = 15 mm
Entre Y_G01 et Y_G : c = X_G - X_G1 = 5 mm
Entre Y_G02 et Y_G : d = X_G - X_G2 = 15 mm

Moments d'inertie des sections par rapport aux axes centraux du système (Théorème de Huygens) :

I_XG(1) = I_XG0(1) + S₁ . a²
I_YG(1) = I_YG0(1) + S₁ . c²
I_XGYG(1) = I_XG0YG0(1) + S₁ . a . c
I_XG(2) = I_XG0(2) + S₂ . b²
I_YG(2) = I_YG0(2) + S₂ . d²
I_XGYG(2) = I_XG0YG0(2) + S₂ . b . d

Moments d'inertie totaux de la section composite :

I_XG(total) = I_XG(1) + I_XG(2) = 10 × 10⁴ mm⁴
I_YG(total) = I_YG(1) + I_YG(2) = 10 × 10⁴ mm⁴
I_XGYG(total) = I_XGYG(1) + I_XGYG(2) = 12 × 10⁴ mm⁴

Analyse des axes principaux d'inertie (Cercle de Mohr) :

Comme I_XG(total) > I_YG(total), on définit deux points N et M sur le plan de Mohr, dont les coordonnées sont :

N(I_XG(total), + I_XGYG(total))
M(I_YG(total), - I_XGYG(total))

Le produit d'inertie I_XGYG = 0.75 (valeur fournie dans le texte original, potentiellement pour un calcul d'angle).

L'angle 2θ est donné par la formule : tan(2θ) = 2 * I_XGYG / (I_XG - I_YG)

2θ = 18.44°

Rotation dans le sens horaire.

Conclusion sur les axes principaux d'inertie :

Les axes 1 et 2 sont les axes centraux principaux d'inertie. La direction 1 est appelée également la direction faible. La direction 2 est appelée également la direction forte. Si la poutre est soumise à une compression, son flambage se réalise dans la direction de l'axe 1.

Questions Fréquemment Posées

Qu'est-ce qu'un moment d'inertie ?

Le moment d'inertie d'une section droite est une propriété géométrique qui caractérise la résistance d'une pièce à la flexion ou au flambage. Il dépend de la forme et de la répartition de la matière autour d'un axe donné, et s'exprime généralement en unités de longueur à la puissance quatre (mm⁴, cm⁴).

Pourquoi calculer le centre de gravité d'une section ?

Le centre de gravité (ou centroïde) est le point où toute la masse d'une section peut être considérée comme concentrée. Son calcul est essentiel pour déterminer les axes centraux et, par conséquent, les moments d'inertie minimaux et maximaux, cruciaux pour l'analyse de la résistance des matériaux et la prévision du comportement structurel.

Quel est l'intérêt des axes principaux d'inertie ?

Les axes principaux d'inertie sont des axes particuliers par rapport auxquels le produit d'inertie est nul. Ils représentent les directions de résistance maximale et minimale d'une section à la flexion et au flambage. Connaître ces axes est fondamental pour prévoir le comportement d'une structure sous charge, notamment en identifiant la direction la plus susceptible de flamber.