Exercices m112 analyse 2 equations différentielles s2 2019 2

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Série d'Exercices 2 : Analyse 2 (MIP-Module M112)

Université Hassan II - F.S.T. Mohammedia, Département de Mathématiques - Année 2019-2020

Exercice 1 : Équations à variables séparables

Résoudre les équations différentielles suivantes :

a) (2+x)y' = 2-y

b) y' = cos(x) tan(y)

c) 2yy' = √2-1

d) 1+ay' = e^x, avec condition initiale : y(1) = 1

Exercice 2 : Équations linéaires d'ordre 1

Résoudre les équations différentielles suivantes :

a) xy' + y = cos(x)

b) cosh(x)y' + sinh(x)y = 1+x^2

c) xy' - y = ln(x)

d) 1-xy' + xy = x

Exercice 3 : Équations de Bernoulli et de Riccati

Ces deux types d'équations sont des généralisations des équations linéaires. Les équations de Bernoulli peuvent être transformées en équations linéaires, tandis que celles de Riccati nécessitent la connaissance d'une solution particulière pour être ramenées à une équation linéaire.

a) xy' + y = xy^3

b) x^2(y' + y^2) = xy-1

Exercice 5 : Équations linéaires d'ordre 2

Résoudre les équations différentielles linéaires d'ordre 2 suivantes :

1. y'' - 3y' + 2y = e^(3x) (x^2 - 3x)

2. y'' + y' - 2y = 9e^x + x + 2

3. y'' - 4y' + 13y = cos(x)

4. y'' + y = cot(x)

5. y'' + y = sin(x), avec conditions initiales : y(0) = 0, y'(0) = 1

Exercice 6 : Extrait d'un Partiel sur les Équations de Riccati

On se propose d'intégrer sur l'intervalle le plus grand possible contenu dans ]0, +∞[ l'équation différentielle :

(E) y'(x) – y(x) -y^2(x)=-9x^2

1. Déterminer a ∈ ]0, +∞[ tel que y_0(x) = ax soit une solution particulière de (E).

2. Montrer que le changement de fonction inconnue y(x) = y_0(x) + 1/z(x) (substitution standard pour les équations de Riccati) transforme l'équation (E) en l'équation différentielle linéaire d'ordre 1 suivante :

(E1) z'(x)+(6x+1)z(x) = 1

3. Intégrer (E1) sur ]0, +∞[.

4. Donner toutes les solutions de (E) définies sur ]0, +∞[.

Exercice 7

Soit l'équation différentielle :

(E) y' = 2y - 2 ln(x)

1. En posant le changement de variables : z = ln(x), montrer que (E) est équivalente à l'équation différentielle :

(E') xz' + 2z = 1/x

2. Résoudre (E').

3. En déduire les solutions de (E) sur ]0, +∞[.

FAQ sur les Équations Différentielles

Qu'est-ce qu'une équation différentielle à variables séparables ?

Une équation différentielle est dite à variables séparables si elle peut être réécrite sous la forme f(y)dy = g(x)dx. Cela permet d'intégrer chaque côté indépendamment pour trouver la solution.

Quelle est la différence entre une équation de Bernoulli et une équation de Riccati ?

Une équation de Bernoulli est de la forme y' + P(x)y = Q(x)y^n, où n est un nombre réel. Elle peut être transformée en une équation linéaire à l'aide d'un changement de variable. Une équation de Riccati est de la forme y' = P(x) + Q(x)y + R(x)y^2 et nécessite la connaissance d'une solution particulière pour être linéarisée.

Pourquoi les conditions initiales sont-elles importantes pour les équations différentielles ?

Les conditions initiales permettent de déterminer une solution unique parmi l'infinité de solutions possibles d'une équation différentielle. Elles spécifient la valeur de la fonction (et parfois de ses dérivées) à un point donné, fixant ainsi la courbe de solution spécifique qui traverse ce point.