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Télécharger PDFMachines Électriques LST GESA - Chapitre 2 : Circuits Monophasés
Plan du Chapitre
• Fonctions Périodiques • Grandeurs sinusoïdales • Importance du régime sinusoïdal • Réponse d’un circuit linéaire à une excitation sinusoïdale • Exemple
Fonctions Périodiques
Une fonction périodique est une fonction qui vérifie la relation f(t) = f(t + nT), où n est un nombre entier et T la période mesurée en unité de temps.
Quelques Définitions
• Valeur crête ou amplitude A : valeur maximale d’une fonction périodique
• Valeur crête à crête : écart maximal d’amplitude atteint durant une période
• Valeur moyenne : moyenne de la fonction périodique sur une période
• Valeur efficace : en anglais, rms value (Root Mean Square). La valeur efficace est toujours positive et calculée par la formule :
Xeff = √(X12 + X22 + ... + Xn2) / n
Facteurs de Forme et de Crête en Régime Sinusoïdal
• Facteur de forme : FX = Xeff / Xmoy (Régime sinusoïdal : FX = 1,11)
• Facteur de crête : FX = Xmax / Xmoy (Régime sinusoïdal : FX = 1,414)
Fonctions Sinusoïdales
• Fréquence : nombre de cycles par unité de temps
• Unité de mesure de la fréquence : le Hertz (Hz). Un Hertz correspond à une période de 1 seconde.
• Fréquence angulaire ou pulsation ω : unité rad/s
Valeurs Moyenne et Efficace d’une Fonction Sinusoïdale
• Valeur moyenne : moyenne sur une période
• Valeur efficace : calculée à partir de l’amplitude
Valeur Efficace d’une Grandeur Sinusoïdale
• Valeurs efficaces : calculées à partir de l’amplitude maximale
Déphasage entre Deux Grandeurs Sinusoïdales
• Déphasage entre u(t) et i(t) : φ = α − β
• Remarque : on considère toujours la valeur principale du déphasage comprise entre –π et π.
• φ > 0 : tension en avance sur le courant
• φ < 0 : tension en retard sur le courant
Échauffement d’une Résistance
Lorsque la tension est sinusoïdale, la puissance moyenne dissipée dans une résistance est égale à l’intégrale, sur une période, du produit du courant et de la tension instantanés.
La valeur efficace a été définie de sorte qu’un volt continu ou 1 volt alternatif produise le même échauffement dans une résistance.
Importance du Régime Sinusoïdal
La production d’énergie électrique fournit une tension sinusoïdale grâce à la conversion de l’énergie mécanique en énergie électrique, obtenue par la rotation d’un bobinage placé dans un champ magnétique.
La seule fonction périodique qui possède une dérivée et une intégrale analogues est la fonction sinusoïdale.
La somme de deux fonctions sinusoïdales est également une fonction sinusoïdale.
Développement en Série de Fourier
La série de Fourier permet de représenter un signal périodique f(t) par des fonctions sinusoïdales.
Exemples de Représentation par Série de Fourier
• Fonction sinusoïdale redressée : premiers termes de la série de Fourier
• Fonction triangulaire : 4 premiers termes de la série de Fourier
Transformation de Fourier
La transformation de Fourier généralise la série de Fourier pour l’analyse fréquentielle de signaux non périodiques.
Réponse d’un Circuit Linéaire à une Excitation Sinusoïdale
Analyse des circuits en régime sinusoïdal permanent.
Exemple 1 : Calculs en Régime Sinusoïdal
• Évaluer la valeur efficace, la fréquence et la période de la tension u(t) = 170cos(157,16t + π/6)
• Déterminer analytiquement le courant dans chaque élément (résistance R, condensateur C, inductance L) et celui fourni par la source
• Tracer chacun de ces courants
Phaseurs et Nombres Complexes
• Phaseurs : moyen simple de représenter des tensions et courants sinusoïdaux
• Transformation d’une fonction sinusoïdale v(t) = Vmaxcos(ωt + θ) en phaseur : V(t) = Vmaxexp(j(ωt + θ))
Nombres Complexes : Définition
Un nombre complexe z est de la forme z = a + jb, où j = √(-1).
Notions d’Algèbre Complexe
• Égalité de deux nombres complexes
• Conjugué complexe
• Addition et soustraction
• Multiplication
• Division
Représentation Géométrique des Nombres Complexes
• Plan complexe : partie réelle (a) et partie imaginaire (b)
• Module du nombre complexe : |z|
• Argument du nombre complexe : arg(z)
• Distance entre deux nombres complexes
Formule d’Euler
ejθ = cos(θ) + jsin(θ)
Dérivation et Intégration des Grandeurs Sinusoïdales
• Utilisation des nombres complexes pour remplacer les opérations de dérivation et d’intégration par une multiplication ou division par jω
• Une équation intégro-différentielle se transforme en équation algébrique
Impédance et Admittance
• Impédance complexe Z (en ohms) d’un bipôle en régime permanent sinusoïdal
• Admittance complexe Y (en siemens) d’un bipôle en régime permanent sinusoïdal
Applications à des Éléments de Base
• Résistance : impédance Z = R
• Inductance : impédance Z = jωL
• Condensateur : impédance Z = 1/(jωC)
Source avec Impédance Interne
• Généralisation de la notion de résistance interne : impédance interne Zi
• Équation : U = U0 − ZiI
• Représentation équivalente en source de courant : I1 = YZU0
Mise en Série et en Parallèle d’Impédances
• Série : Zs = Z1 + Z2 + ... + Zn
• Parallèle : Yp = Y1 + Y2 + ... + Yn
Diviseurs de Tension et de Courant
• Théorèmes de Thévenin et de Norton en régime sinusoïdal
FAQ
Qu’est-ce qu’une fonction périodique ?
Une fonction périodique est une fonction qui se répète à intervalles réguliers, appelés périodes. Elle satisfait la relation f(t) = f(t + nT), où T est la période et n un entier.
À quoi sert la valeur efficace ?
La valeur efficace permet de quantifier l’énergie dissipée par un signal alternatif dans une résistance, de manière analogue à une tension continue. Elle est toujours positive et calculée à partir de la racine carrée de la moyenne des carrés des valeurs instantanées.
Qu’est-ce qu’un phaseur ?
Un phaseur est une représentation simplifiée des tensions et courants sinusoïdaux par des nombres complexes. Il permet de caractériser une grandeur sinusoïdale uniquement par son amplitude et sa phase, facilitant les calculs en régime alternatif.