Exercices td transformateur monophase calculs puissance appa

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Exercice 1 : Transformateur Monophasé 5 kV / 230 V

La puissance apparente d’un transformateur monophasé 5 kV / 230 V ; 50 Hz est S = 21 kVA. La section du circuit magnétique est s = 60 cm² et la valeur maximale du champ magnétique B_max = 1,1 T. L’essai à vide a donné les résultats suivants : U₁ = 5 000 V ; U₂₀ = 230 V ; I₁₀ = 0,50 A et P₁₀ = 250 W. L’essai en court-circuit avec I_2CC = I_2n a donné les résultats suivants : P_1CC = 300 W et U_1CC = 200 V.

1. Calculer le nombre de spires N₁ au primaire

Pour déterminer le nombre de spires N₁ au primaire, on utilise la relation suivante : \[ N_1 = \frac{U_1}{\sqrt{2} \cdot S \cdot B_{max} \cdot f} \] où \( U_1 = 5000 \, \text{V} \), \( S = 21000 \, \text{VA} \), \( B_{max} = 1,1 \, \text{T} \), \( f = 50 \, \text{Hz} \) et \( S = 60 \times 10^{-4} \, \text{m}^2 \).

2. Calculer le rapport de transformation m et le nombre N₂ de spires au secondaire

Le rapport de transformation m est donné par : \[ m = \frac{U_1}{U_2} = \frac{5000}{230} \] Pour calculer le nombre de spires N₂ au secondaire, on utilise : \[ N_2 = \frac{N_1}{m} \]

3. Quel est le facteur de puissance à vide de ce transformateur ?

Le facteur de puissance à vide est calculé par : \[ \cos \phi_0 = \frac{P_{10}}{S_0} \] où \( S_0 = U_1 \cdot I_{10} \) (puissance apparente à vide).

4. Quelle est l’intensité efficace du courant secondaire I_2n ?

L’intensité efficace du courant secondaire est donnée par : \[ I_{2n} = \frac{S}{U_2} \] où \( S = 21000 \, \text{VA} \) et \( U_2 = 230 \, \text{V} \).

5. Déterminer les éléments R_S, Z_S et X_S de ce transformateur

Les éléments du circuit équivalent ramené au secondaire sont calculés à partir des essais en court-circuit et à vide. Pour R_S (résistance des enroulements ramenée au secondaire) : \[ R_S = \frac{P_{1CC}}{I_{1CC}^2} \] où \( I_{1CC} = \frac{I_{2n}}{m} \).

Pour Z_S (impédance des enroulements ramenée au secondaire) : \[ Z_S = \frac{U_{1CC}}{I_{1CC}} \] Pour X_S (réactance des enroulements ramenée au secondaire) : \[ X_S = \sqrt{Z_S^2 - R_S^2} \]

6. Calculer le rendement de ce transformateur lorsqu’il débite un courant d’intensité nominale dans une charge inductive de facteur de puissance 0,83

Le rendement est donné par : \[ \eta = \frac{P_2}{P_1 + P_{Joule} + P_{fer}} \] où \( P_2 = m \cdot U_2 \cdot I_{2n} \cdot \cos \phi \), \( P_1 = U_1 \cdot I_1 \cdot \cos \phi_1 \), et \( I_1 = \frac{I_{2n}}{m} \).

Exercice 2 : Transformateur Monophasé Étudié

L’étude d’un transformateur monophasé a donné les résultats suivants : Mesure en continu des résistances des enroulements à la température de fonctionnement : r₁ = 0,2 Ω et r₂ = 0,007 Ω. Essai à vide : U₁ = U_1n = 230 V ; U₂₀ = 240 V ; I₁₀ = 1 A et P₁₀ = 275 W. Essai en court-circuit : U_1CC = 40 V ; I_2CC = 200 A.

1. Calculer le rapport de transformation m

Le rapport de transformation m est donné par : \[ m = \frac{U_1}{U_2} = \frac{230}{240} \]

2. Montrer que dans l’essai à vide les pertes Joule sont négligeables devant P₁₀

Les pertes Joule à vide sont données par : \[ P_{Joule0} = r_1 \cdot I_{10}^2 \] Comparer cette valeur à P₁₀ = 275 W.

3. Déterminer la valeur de la résistance ramenée au secondaire R_S

La résistance ramenée au secondaire est donnée par : \[ R_S = m^2 \cdot r_1 + r_2 \]

4. Calculer la valeur de P_1CC

Les pertes en court-circuit (P_1CC) sont égales aux pertes Joule et aux pertes fer sous tension réduite. Elles sont calculées à partir de : \[ P_{1CC} = \frac{U_{1CC}^2}{Z_S^2} \cdot (R_S + jX_S) \] où \( Z_S = \frac{U_{1CC}}{I_{1CC}} \) et \( I_{1CC} = \frac{I_{2CC}}{m} \).

5. Déterminer X_S

La réactance X_S est donnée par : \[ X_S = \sqrt{Z_S^2 - R_S^2} \] où \( Z_S = \frac{U_{1CC}}{I_{1CC}} \).

6. Déterminer par la méthode analytique la tension aux bornes du secondaire lorsqu’il débite un courant d’intensité I₂ = 180 A dans une charge capacitive de facteur de puissance 0,9

Utiliser le modèle équivalent pour calculer la tension secondaire U₂ : \[ U_2 = m \cdot U_1 - I_2 \cdot (R_S + jX_S) \]

Exercice 3 : Transformateur Monophasé Essais

Les essais d’un transformateur monophasé ont donné les résultats suivants : À vide : U₁ = 220 V, 50 Hz (tension nominale du primaire) ; U₂₀ = 44 V ; P₁₀ = 80 W et I₁₀ = 1 A. En continu au primaire : U₁ = 5 V ; I₁ = 10 A. En court-circuit : U_1CC = 40 V, P_1CC = 250 W, I_1CC = 20 A (courant nominal primaire).

1.1 Déterminer le rapport de transformation et le nombre de spires du secondaire si on en compte 520 au primaire

Le rapport de transformation m est donné par : \[ m = \frac{U_1}{U_2} = \frac{220}{44} \] Le nombre de spires N₂ au secondaire est : \[ N_2 = \frac{N_1}{m} \]

1.2 Vérifier que les pertes par effet Joule lors de l’essai à vide sont négligeables

Les pertes Joule à vide sont données par : \[ P_{Joule0} = r_1 \cdot I_{10}^2 \] Comparer cette valeur à P₁₀ = 80 W.

1.3 Déterminer les valeurs de X_S et R_S

À partir de l’essai en continu, calculer la résistance r₁ : \[ r_1 = \frac{U_1}{I_1} \] En court-circuit, les pertes fer sont négligeables devant les pertes Joule. Calculer R_S et X_S à partir de : \[ R_S = \frac{P_{1CC}}{I_{1CC}^2} \] \[ Z_S = \frac{U_{1CC}}{I_{1CC}} \] \[ X_S = \sqrt{Z_S^2 - R_S^2} \]

2.1 Déterminer graphiquement la tension secondaire du transformateur et en déduire la puissance délivrée au secondaire

Utiliser un diagramme de Fresnel pour représenter les tensions et courants, puis déterminer U₂ et la puissance active P₂ = U₂ · I₂ · cos φ.

2.2 Déterminer la puissance absorbée au primaire et le facteur de puissance

La puissance absorbée au primaire est donnée par : \[ P_1 = U_1 \cdot I_1 \cdot \cos \phi_1 \] où \( I_1 = \frac{I_2}{m} \). Le facteur de puissance est : \[ \cos \phi_1 = \frac{P_1}{S_1} \]

Exercice 4 : Transformateur Monophasé 1500 V / 225 V

L’étude d’un transformateur monophasé 1500 V, 225 V, 50 Hz de puissance apparente 44 kVA a donné les essais suivants : Essai en continu au primaire : U₁ = 2,5 V ; I₁ = 10 A. Essai à vide : U₁ = 1500 V ; I₁₀ = 2 A ; U₂₀ = 225 V ; P₁₀ = 300 W. Essai en court-circuit : U_1CC = 22,5 V ; I_1CC = 22,5 A ; P_1CC = 225 W.

1. Déterminer le rapport de transformation

Le rapport de transformation m est donné par : \[ m = \frac{U_1}{U_2} = \frac{1500}{225} \]

2.a Calculer la composante active du courant lors de l’essai à vide

La composante active I₀ est donnée par : \[ I_{0} = \frac{P_{10}}{U_1} \]

2.b Vérifier que les pertes par effet Joule lors de l’essai à vide sont négligeables

Les pertes Joule à vide sont données par : \[ P_{Joule0} = r_1 \cdot I_{10}^2 \] Comparer cette valeur à P₁₀ = 300 W.

2.c Montrer que les pertes fer sont négligeables dans l’essai en court-circuit

Les pertes fer sont proportionnelles au carré de la tension. Comparer P₁₀ (pertes fer à vide) et P_1CC (pertes en court-circuit) en ajustant la tension.

2. Calculer les éléments R_S et X_S des enroulements ramenés au secondaire

Calculer R_S (résistance ramenée au secondaire) : \[ R_S = m^2 \cdot \frac{P_{1CC}}{I_{1CC}^2} \] Calculer Z_S (impédance ramenée au secondaire) : \[ Z_S = \frac{U_{1CC}}{I_{1CC}} \cdot m \] Calculer X_S (réactance ramenée au secondaire) : \[ X_S = \sqrt{Z_S^2 - R_S^2} \]

3. Déterminer la valeur de φ₂ pour que la chute de tension soit nulle

La chute de tension est nulle lorsque le courant secondaire et la tension secondaire sont en phase. Ainsi, \( \cos \phi_2 = 1 \).

3.b Déterminer la chute de tension relative pour cos φ₂ = 0,8

La chute de tension relative est donnée par : \[ \Delta U = \frac{I_2 \cdot Z_S}{U_2} \] où \( U_2 = 225 \, \text{V} \) et \( I_2 = 200 \, \text{A} \).

4. Déterminer le rendement

Le rendement est donné par : \[ \eta = \frac{P_2}{P_1 + P_{Joule} + P_{fer}} \] où \( P_2 = m \cdot U_2 \cdot I_2 \cdot \cos \phi_2 \), \( P_1 = U_1 \cdot I_1 \cdot \cos \phi_1 \), et \( I_1 = \frac{I_2}{m} \).

Exercice 5 : Transformateurs en Cascade

Un ensemble de distribution d’énergie électrique sous tension sinusoïdale à 50 Hz est représenté en schéma monophasé équivalent. Les transformateurs sont considérés comme parfaits avec les rapports de transformation connus : m = 2,1 × 10^-3 et m’ = 100. La charge consomme par phase une puissance de 500 kW sous 230 V et avec un facteur de puissance cos φ = 0,8 arrière.

1. Calculer la valeur du courant I₂ et en déduire I₁ et V₁

Le courant I₂ est donné par : \[ I_2 = \frac{P}{U_2 \cdot \cos \phi} \] où \( P = 500000 \, \text{W} \) et \( U_2 = 230 \, \text{V} \).

Le courant I₁ est donné par : \[ I_1 = m \cdot I_2 \] La tension V₁ est donnée par : \[ V_1 = \frac{U_2}{m} \]

2. Représenter un diagramme de Fresnel

Un diagramme de Fresnel doit montrer les tensions et courants de la maille centrale, incluant les résistances r et inductances L.

3. Calculer la tension V’ en supposant la colinéarité des tensions V₁ et V’

La colinéarité implique que les tensions sont en phase. Calculer V’ en utilisant la relation : \[ V' = V_1 - I_2 \cdot (r + jX_L) \]

4. En déduire la tension V nécessaire pour assurer 230 V en bout de ligne

Calculer V en utilisant le modèle équivalent et les pertes actives et réactives.

FAQ

1. Comment calculer le rapport de transformation d’un transformateur ?

Le rapport de transformation m est donné par le rapport entre la tension primaire U₁ et la tension secondaire U₂ : \