Travaux dirigés 2 – la logique des prédicats de premier ord

Intelligence Artificielle AI - Prolog : Travaux Dirigés 2 – La Logique des Prédicats de Premier Ord

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Exercices sur la Logique des Prédicats du Premier Ordre

Exercice 1

Traduire en logique des prédicats du premier ordre les assertions suivantes :

a) ∀x (Homme(x) → Primate(x))
b) ∀x (Dauphin(x) → ¬Primate(x))
c) ∃x (Dauphin(x) ∧ Intelligent(x))
d) ∃x (Intelligent(x) ∧ ¬Homme(x))

Exercice 2

Indiquez la traduction correcte des énoncés suivants :

1. Tous les socialistes ne sont pas des royalistes : ∃x (Socialiste(x) ∧ ¬Royaliste(x))
2. Les sarkozystes sont des libéraux conservateurs : ∀x (Sarkozyste(x) → (Libéral(x) ∧ Conservateur(x)))
3. Ce n'est pas parce qu'on n'est pas chiraquien qu'on est nécessairement sarkozyste : ¬∀x (¬Chiraquien(x) → Sarkozyste(x))

Exercice 3

Donnez la traduction en logique des prédicats du premier ordre des énoncés ci-dessous :

a) ∀x ( (Téléspectateur(x) ∧ Regarde(x, TF1)) → Psychotique(x) )
b) ∃x (Psychotique(x) ∧ ¬Regarde(x, TF1))
c) ∀x ( (Criminel(x) ∧ ¬Psychotique(x)) → Névrosé(x) )
d) ∀x ( (TF1(x) ∧ Montré(x, Criminel)) → ¬∃y (TF1(x) ∧ Montré(x, y) ∧ ¬Criminel(y)) )
e) ∀x ( (Personne(x) ∧ Montré(x, TF1)) → Spectateur(x, TF1) )

Exercice 4

Traduction des énoncés en utilisant les prédicats : Mange(x,y), Herbivore(x), Végétal(x), Bambou(x), Panda(x).

a) ∀x (Herbivore(x) → ∀y (Mange(x,y) → Végétal(y)))
b) ∀x (Herbivore(x) → ¬∀y (Végétal(y) → Mange(x,y)))
c) ∃y (Végétal(y) ∧ ¬∃x (Herbivore(x) ∧ Mange(x,y)))
d) ∀x (Panda(x) → (Herbivore(x) ∧ ∀y (Mange(x,y) → Bambou(y))))

Exercice 5

Traduction des énoncés en utilisant les prédicats : retro/1, vidéoproj/1, panne/1, amphi/1, salle_td/1, est_dans/2.

a) ∀x ( (Rétroprojecteur(x) ∧ Salle_td(y)) → Est_dans(x,y) )
b) ¬∃x ( (Vidéoprojecteur(x) ∧ Salle_td(B301)) → Est_dans(x,B301) )
c) ∀x (Vidéoprojecteur(x) → ∃y (Amphi(y) ∧ Est_dans(x,y)))
d) ∀x ( (∃y (Vidéoprojecteur(x) ∧ Est_dans(x,y))) → Amphi(x) )
e) ∀x ( (Salle_td(x) ∧ ∃y (Est_dans(y,x))) → Rétroprojecteur(y) )

Exercice 6

Traduction des énoncés en utilisant les prédicats : Feuille(x), Enveloppe(x), Tiroir(x), Classeur(x), Dans(x,y).

1) ∀x (Tiroir(x) → ∃y (Feuille(y) ∧ Dans(y,x)))
2) ∀x (Classeur(x) → ¬∃y (Enveloppe(y) ∧ Dans(y,x)))
3) ∃x (Classeur(x) ∧ ∀y (Dans(y,x) → Enveloppe(y)))
4) ∀x ( (¬∃y (Enveloppe(y) ∧ Dans(y,x) ∧ Classeur(x))) → ∃z (Tiroir(z) ∧ Dans(x,z)) )
5) ∀x ( (Tiroir(x) ∧ ∃y (Feuille(y) ∧ Dans(y,x))) → ¬∃z (Enveloppe(z) ∧ Dans(z,x)) )

Exercice 7

Traduction des énoncés en utilisant les prédicats : Est-enfant-de(x,y,z), Yeux_bleus(x), Yeux_bruns(y).

a) ∀x ∀y ∀z ( (Est-enfant-de(x,y,z) ∧ Yeux_bleus(y) ∧ Yeux_bleus(z)) → Yeux_bleus(x) )
b) ∃x ∃y ∃z ( (Est-enfant-de(x,y,z) ∧ Yeux_bleus(x)) ∧ (¬Yeux_bleus(y) ∨ ¬Yeux_bleus(z)) )
c) ∃x ∃y ∃z ( (Est-enfant-de(x,y,z) ∧ Yeux_bruns(y) ∧ Yeux_bruns(z)) ∧ (Yeux_bleus(x) ∨ Yeux_bruns(x)) )
d) ∀x ( (Yeux_bruns(x) ∧ ∃y ∃z (Est-enfant-de(x,y,z))) → (Yeux_bruns(y) ∨ Yeux_bruns(z)) )

Exercice 8

Traduction et négation des énoncés en utilisant les prédicats : Entier(n), ≥(n,m), =, +, *.

a) ∀n (Entier(n) → ∃m (Entier(m) ∧ n = m * m))
b) ∀n (Entier(n) → ∃m ∃p (Entier(m) ∧ Entier(p) ∧ n = (m * m) + (p * p)))
c) ∃n (Entier(n) ∧ ∃m ∃p (Entier(m) ∧ Entier(p) ∧ n = (m * m) + (p * p)))
d) ∀n (Entier(n) → ¬∀m (Entier(m) ∧ m ≥ n))

Exercice 9

Représentation des énoncés en logique des prédicats du premier ordre :

a) ∀x ( (Personne(x) ∧ ¬Connaît(x, Loi)) → Sensé(x) )
b) ∀x (Homme(x) → (Libre(x) ∧ Égal(x) ∧ ∃y (Droit(y) ∧ Possède(x,y))))
c) ∀x ( (Homme(x) ∧ ¬Coupable(x)) → Innocent(x) )
d) ∀x ( (Opinion(x) ∧ Manifestation(x)) → ¬Trouble(x, Ordre_public) )

FAQ

1. Qu'est-ce que la logique des prédicats du premier ordre ?

La logique des prédicats du premier ordre est un système formel utilisé pour exprimer des assertions sur des objets et leurs relations. Elle permet de définir des propriétés et des relations entre variables et de quantifier ces variables (∀ pour "pour tout", ∃ pour "il existe").

2. Comment traduire "aucun" en logique des prédicats ?

"Aucun" se traduit par une négation universelle : ¬∃x (P(x)). Cela signifie qu'il n'existe aucun x tel que P(x) soit vrai.

3. Comment exprimer des conditions dans la logique des prédicats ?

Les conditions s'expriment à l'aide de l'implication →. Par exemple, "Si P alors Q" se traduit par P → Q. Cela signifie que chaque fois que P est vrai, Q est également vrai.