Ce document pédagogique est destiné aux étudiants universitaires en électronique et vise à explorer les principes fondamentaux des convertisseurs analogique-numérique (CAN).
Il aborde, à travers des explications détaillées et des exercices pratiques, les notions clés suivantes :
- Les générateurs de rampe, essentiels à plusieurs architectures de CAN ;
- Les convertisseurs CAN simple rampe, en détaillant leur fonctionnement et leurs caractéristiques ;
- Les CAN à comparaison directe (Flash ADC), en examinant leur vitesse et les enjeux de résolution ;
- Les concepts fondamentaux de quantum et de résolution dans la conversion analogique-numérique.
Électronique analogique : Td n°07 les convertisseurs can
Télécharger PDFLes Convertisseurs Analogique-Numérique (CAN)
Cet article explore les principes fondamentaux des convertisseurs analogique-numérique (CAN) à travers différents exercices. Nous aborderons les générateurs de rampe, les CAN simple rampe et les CAN à comparaison directe (Flash ADC).
Générateur de Rampe
Un générateur de rampe est un circuit électronique capable de produire une tension qui varie linéairement avec le temps. Ces générateurs sont des composants essentiels dans la conception de certains types de CAN, notamment les CAN à rampe, où ils fournissent une référence temporelle pour la conversion.
Principe de Fonctionnement du Générateur de Rampe
Dans un générateur de rampe basé sur la charge d'un condensateur par un courant constant, la relation fondamentale entre le courant \(I_0\) et la variation de tension aux bornes du condensateur \(C\) est :
\(I_0 = C \frac{du_C}{dt}\)
Cette expression indique que si le courant \(I_0\) et la capacité \(C\) sont constants, la dérivée de la tension \(u_C\) par rapport au temps (\(du_C/dt\)) est également constante. Cela signifie que la courbe de la tension \(u_C(t)\) en fonction du temps est une droite, caractérisant une rampe.
Équation de la Rampe
Si l'on considère une condition initiale où la tension aux bornes du condensateur est nulle à l'instant \(t=0\), soit \(u_C(0) = 0\), l'équation de la rampe \(u_C(t)\) s'obtient par intégration de l'expression précédente :
\(u_C(t) = \frac{I_0}{C} t\)
Le coefficient directeur de cette droite, souvent appelé pente de la rampe, est égal à \(\frac{I_0}{C}\).
Exemple de Calcul de Pente
Pour illustrer, calculons la pente de la rampe pour les valeurs suivantes : \(I_0 = 1 \text{ mA}\) (soit \(1 \times 10^{-3} \text{ A}\)) et \(C = 470 \text{ pF}\) (soit \(470 \times 10^{-12} \text{ F}\)).
Pente \( = \frac{I_0}{C} = \frac{1 \times 10^{-3} \text{ A}}{470 \times 10^{-12} \text{ F}} \approx 2,127 \times 10^6 \text{ V/s}\)
La pente de cette rampe est d'environ 2,127 millions de volts par seconde, ou 2,127 MV/s.
Intégrateur Opérationnel
Un circuit intégrateur, généralement réalisé à l'aide d'un amplificateur opérationnel, est une autre méthode courante et précise pour générer une tension de rampe. Il produit une tension de sortie proportionnelle à l'intégrale temporelle de la tension d'entrée, ce qui le rend idéal pour la création de signaux linéaires.
Tension de Sortie d'un Intégrateur
Pour un intégrateur avec une résistance \(R\) en entrée et un condensateur \(C\) en contre-réaction, et une tension d'entrée constante \(E\), la tension de sortie \(u_S(t)\) est donnée par :
\(u_S(t) = -\frac{1}{RC} \int E dt\)
Si l'on suppose que la tension de sortie initiale \(u_S(0) = 0\), alors l'intégration donne :
\(u_S(t) = -\frac{E}{RC} t\)
La pente de cette rampe est \(-\frac{E}{RC}\). Le signe négatif indique une rampe décroissante si \(E\) est positif.
Génération d'une Rampe avec une Pente Spécifique
Supposons que nous voulions générer une rampe avec une pente de \(1 \text{ V/\mu s}\) (ce qui équivaut à \(10^6 \text{ V/s}\)). Avec les composants \(R = 1 \text{ k\Omega}\) (soit \(1 \times 10^3 \text{ \Omega}\)) et \(C = 5 \text{ nF}\) (soit \(5 \times 10^{-9} \text{ F}\)), nous pouvons calculer la valeur de la tension d'entrée \(E\) nécessaire :
Pente \( = \frac{E}{RC}\)
\(10^6 \text{ V/s} = \frac{E}{(1 \times 10^3 \text{ \Omega})(5 \times 10^{-9} \text{ F})}\)
\(10^6 = \frac{E}{5 \times 10^{-6}}\)
En résolvant pour \(E\) :
\(E = 10^6 \times 5 \times 10^{-6} = 5 \text{ V}\)
Pour obtenir une pente de \(1 \text{ V/\mu s}\) (en valeur absolue), la tension d'entrée \(E\) doit être de \(5 \text{ V}\). Si une rampe croissante est souhaitée, \(E\) devra être de \(-5 \text{ V}\).
CAN Simple Rampe
Le convertisseur analogique-numérique (CAN) à simple rampe est une architecture de CAN qui utilise une tension de rampe interne pour déterminer la valeur numérique d'une tension analogique d'entrée. Sa conception est simple, mais il est généralement plus lent que d'autres types de CAN.
Principe et Expression de la Rampe Interne
Le cœur du CAN simple rampe est un générateur de rampe qui produit une tension \(u_r(t)\). Cette tension est généralement générée par la charge d'un condensateur \(C\) par un courant constant \(I_0\). Son expression est la même que celle d'un générateur de rampe standard :
\(u_r(t) = \frac{I_0}{C} t\)
Processus de Conversion
Le processus de conversion débute avec la fermeture d'un interrupteur (souvent noté \(K\)). Le contenu du compteur est initialisé à zéro. La tension analogique d'entrée \(u_e\) est maintenue constante pendant toute la durée de la conversion. Un comparateur compare en permanence \(u_e\) avec la tension de rampe croissante \(u_r(t)\). Le compteur, synchronisé par une horloge, commence à compter dès le début de la rampe.
Lorsque la tension de rampe \(u_r(t)\) atteint ou dépasse la tension d'entrée \(u_e\), le comparateur change d'état, ce qui arrête le compteur à l'instant \(t_0\). À cet instant \(t_0\), nous avons \(u_r(t_0) = u_e\).
La relation entre le temps d'arrêt \(t_0\), le nombre numérique \(N\) affiché par le compteur, et la période d'horloge \(T_H\) est :
\(t_0 = N \times T_H\)
En substituant \(t_0\) dans l'équation de la rampe, nous obtenons la relation entre la tension d'entrée \(u_e\) et le nombre numérique \(N\) :
\(u_e = \frac{I_0}{C} \times N \times T_H\)
Le nombre \(N\) est l'image numérique de la tension analogique \(u_e\).
Quantum (Pas de Quantification)
Le quantum \(q\), ou pas de quantification, représente la plus petite variation de tension analogique que le CAN peut discerner, correspondant à un incrément d'une unité dans le nombre numérique \(N\). Il est défini par la relation :
\(q = \frac{I_0}{C} \times T_H\)
Le quantum peut également être exprimé en fonction de la tension pleine échelle (\(U_{pe}\)) et du nombre total de pas (\(2^n\)) d'un convertisseur \(n\)-bits : \(q = \frac{U_{pe}}{2^n}\).
Calcul du Quantum et de la Fréquence d'Horloge
Considérons un CAN avec un compteur 12 bits, ce qui signifie qu'il peut représenter \(2^{12} = 4096\) niveaux distincts. Si la tension pleine échelle (\(U_{pe}\)) est de \(12 \text{ V}\), le quantum \(q\) est :
\(q = \frac{U_{pe}}{2^{12}} = \frac{12 \text{ V}}{4096} \approx 0,0029296875 \text{ V} \approx 2,93 \text{ mV}\)
Pour déterminer la fréquence d'horloge \(f_H = 1/T_H\), en utilisant \(I_0 = 0,1 \text{ mA}\) (\(0,1 \times 10^{-3} \text{ A}\)) et \(C = 10 \text{ pF}\) (\(10 \times 10^{-12} \text{ F}\)) :
\(T_H = \frac{q \times C}{I_0} = \frac{0,0029296875 \text{ V} \times 10 \times 10^{-12} \text{ F}}{0,1 \times 10^{-3} \text{ A}} \approx 2,93 \times 10^{-10} \text{ s}\)
La fréquence d'horloge correspondante est :
\(f_H = \frac{1}{T_H} \approx \frac{1}{2,93 \times 10^{-10} \text{ s}} \approx 3,41 \text{ GHz}\)
Cette fréquence d'horloge est extrêmement élevée pour un CAN à simple rampe typique, ce qui souligne que les paramètres choisis dans cet exemple peuvent être à des fins pédagogiques ou théoriques.
Durée de Conversion
La durée de conversion pour un CAN simple rampe dépend de la tension d'entrée. Elle correspond au temps \(t_0\) que met la rampe pour atteindre \(u_e\), ou, de manière équivalente, au produit \(N \times T_H\).
Pour \(u_e = 4 \text{ V}\) :
Le nombre de pas \(N\) est \(\frac{u_e}{q} = \frac{4 \text{ V}}{0,0029296875 \text{ V}} \approx 1365,25\). On retient \(N = 1365\) (par troncature).
La durée de conversion est \(t_{conv} \approx 1365 \times 2,93 \times 10^{-10} \text{ s} \approx 3,998 \times 10^{-7} \text{ s} \approx 0,4 \text{ µs}\)
Pour \(u_e = 10 \text{ V}\) :
Le nombre de pas \(N\) est \(\frac{u_e}{q} = \frac{10 \text{ V}}{0,0029296875 \text{ V}} \approx 3413,33\). On retient \(N = 3413\) (par troncature).
La durée de conversion est \(t_{conv} \approx 3413 \times 2,93 \times 10^{-10} \text{ s} \approx 9,998 \times 10^{-7} \text{ s} \approx 1 \text{ µs}\)
CAN à Comparaison Directe (Flash ADC)
Le CAN à comparaison directe, souvent appelé Flash ADC, est une architecture de convertisseur analogique-numérique connue pour sa très haute vitesse de conversion. Il convertit la tension d'entrée en une valeur numérique en un seul cycle d'horloge en utilisant un réseau parallèle de comparateurs. Cette rapidité en fait le choix privilégié pour les applications nécessitant un échantillonnage très rapide, bien qu'au détriment de la complexité et du coût pour de hautes résolutions.
Résolution du Convertisseur Numérique-Analogique (CNA)
Dans un CAN à comparaison directe ou à approximations successives, un Convertisseur Numérique-Analogique (CNA) est souvent utilisé pour générer des tensions de référence. La résolution \(q_0\) du CNA est la plus petite variation de tension analogique qu'il peut produire. Pour un CNA de \(n\) bits avec une étendue de mesure maximale \(U_{max}\) (par exemple, 10 V), la résolution est :
\(q_0 = \frac{U_{max}}{2^n}\)
Pour une étendue de mesure de \(0 \le u_e < 10 \text{ V}\) et un CNA de \(n = 8 \text{ bits}\), le nombre de niveaux numériques est \(2^8 = 256\). La résolution \(q_0\) est :
\(q_0 = \frac{10 \text{ V}}{2^8} = \frac{10}{256} \approx 0,0390625 \text{ V} \approx 39,06 \text{ mV}\)
Expression de \(u_{CNA}\) et Nombre Numérique Correspondant
La tension de sortie \(u_{CNA}\) du CNA pour un nombre numérique \(N\) est donnée par :
\(u_{CNA} = N \times q_0\)
Pour une tension d'entrée \(u_e = 8 \text{ V}\), le nombre numérique \(N_e\) que le CAN afficherait ou utiliserait pour représenter cette tension est :
\(N_e = \frac{u_e}{q_0} = \frac{8 \text{ V}}{0,0390625 \text{ V}} = 204,8\)
Étant donné que \(N_e\) doit être un entier, il sera arrondi (par exemple, à 205 par arrondi au plus proche, ou 204 par troncature, selon la logique du CAN).
Temps de Conversion
Bien que les CAN Flash soient conçus pour une conversion quasi instantanée (en un seul cycle d'horloge), l'exercice décrit ici un processus de conversion séquentiel. Ce mécanisme, où le nombre \(N\) est incrémenté jusqu'à ce que la tension \(u_{CNA}\) corresponde à \(u_e\), est en réalité caractéristique d'architectures comme le CAN à approximations successives ou le CAN à simple rampe. Pour ces types de CAN, le temps de conversion dépend du nombre de pas \(N\) et de la période d'horloge.
Pour une fréquence d'horloge \(f_H = 1 \text{ MHz}\) (soit une période \(T_H = 1 \text{ µs}\)) et une tension d'entrée \(u_e = 5 \text{ V}\) :
Le nombre numérique \(N\) correspondant est de \(\frac{u_e}{q_0} = \frac{5 \text{ V}}{0,0390625 \text{ V}} = 128\).
Le temps de conversion serait alors \(N \times T_H = 128 \times 1 \text{ µs} = 128 \text{ µs}\).
Amélioration de la Résolution
Pour obtenir une résolution \(q_1 \approx 1 \text{ mV}\) avec un CNA 8 bits existant, la stratégie la plus simple, sans modifier fondamentalement l'architecture du CNA (c'est-à-dire sans augmenter le nombre de bits), est de réduire la tension de pleine échelle (référence) de son CNA. En réduisant la tension de référence, la plage de mesure du CAN diminue, ce qui augmente sa résolution effective sur cette nouvelle plage.
Si la tension \(u_{CNA}\) est réduite par un coefficient d'atténuation \(A_0\) avant d'être injectée sur le comparateur, la résolution effective pour la tension d'entrée est \(\text{Résolution effective} = A_0 \times q_0\).
Pour obtenir \(q_1 = 1 \text{ mV}\) :
\(A_0 = \frac{q_1}{q_0} = \frac{1 \text{ mV}}{39,0625 \text{ mV}} \approx 0,0256\)
Le coefficient d'atténuation \(A_0\) doit être d'environ 0,0256. Cela signifie que la tension \(u_{CNA}\) doit être réduite à environ 2,56 % de sa valeur originale. La nouvelle tension maximale que le CAN pourra convertir sera alors :
\(U_{max\_nouvelle} = A_0 \times U_{max\_initial} = 0,0256 \times 10 \text{ V} \approx 0,256 \text{ V}\)
Avec cette modification, le CAN de 8 bits pourra mesurer des tensions jusqu'à 0,256 V avec une résolution de 1 mV.
Nombre de Bits Nécessaires pour une Résolution Spécifique
Si l'objectif est de conserver une étendue de mesure de \(10 \text{ V}\) tout en atteignant une résolution \(q_1 \approx 1 \text{ mV}\), il est nécessaire d'augmenter le nombre de bits du CAN. La relation est :
\(q_1 = \frac{U_{max}}{2^n}\)
En réarrangeant pour \(n\) :
\(2^n = \frac{U_{max}}{q_1} = \frac{10 \text{ V}}{1 \times 10^{-3} \text{ V}} = 10000\)
Pour trouver \(n\), on utilise le logarithme en base 2 :
\(n = \log_2(10000)\)
\(n = \frac{\log_{10}(10000)}{\log_{10}(2)} = \frac{4}{0,30103} \approx 13,28\)
Pour garantir une résolution d'au minimum 1 mV sur une plage de 10 V, il faudrait donc un CAN d'au minimum \(14 \text{ bits}\).
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un convertisseur analogique-numérique (CAN) ?
Un CAN est un dispositif électronique qui transforme un signal analogique (qui varie de manière continue, comme une tension ou un courant) en un signal numérique (qui prend des valeurs discrètes et est représenté par une séquence de bits). Cette conversion est essentielle pour permettre aux systèmes numériques (microcontrôleurs, ordinateurs) d'interagir avec les signaux physiques du monde réel issus de capteurs.
Quels sont les principaux types de CAN et leurs caractéristiques ?
- CAN simple rampe : Simple et économique, mais généralement lent. Le temps de conversion dépend de la tension d'entrée.
- CAN à double rampe : Offre une excellente précision et est moins sensible aux variations des composants. Il est souvent utilisé dans les multimètres numériques pour des mesures précises, mais il est lent.
- CAN à approximations successives (SAR ADC) : C'est l'un des types les plus courants, offrant un bon équilibre entre vitesse et résolution. Il utilise une logique de recherche séquentielle pour déterminer la valeur numérique bit par bit.
- CAN Flash : Le plus rapide des convertisseurs, il convertit en un seul coup grâce à de nombreux comparateurs en parallèle. Cependant, il est coûteux, consomme beaucoup d'énergie et devient complexe pour des résolutions élevées.
Qu'est-ce que le quantum (pas de quantification) d'un CAN ?
Le quantum, également appelé pas de quantification ou LSB (Least Significant Bit), est la plus petite variation de tension analogique que le CAN peut détecter et transformer en une variation d'un bit dans sa sortie numérique. Il est défini par la plage de tension pleine échelle (\(U_{pe}\)) du convertisseur et son nombre de bits (\(n\)) par la formule : \(q = U_{pe} / 2^n\). Un quantum plus petit indique une résolution plus fine et donc une meilleure capacité à distinguer de faibles variations de la tension d'entrée.