Analyse 2 examen de rattrapage equations differentielles -An

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Rattrapage d'Analyse 2 : Exercices Corrigés

Ce document présente les énoncés et corrigés détaillés d'un examen de rattrapage en Analyse 2, couvrant des sujets essentiels tels que la décomposition en éléments simples, le calcul intégral, et la résolution d'équations différentielles linéaires.

Exercice 1 : Calcul Intégral et Décomposition en Éléments Simples (07 points)

Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle : 1/(x(1+x²))
Déterminer sur ]0, +∞[ l'intégrale I = ∫ 1/(x(1+x²))dx
En déduire I₀ = ∫₁² (arctan x / x²)dx (les bornes 1 et 2 sont implicitement utilisées dans la solution fournie).

Exercice 2 : Équations Différentielles Linéaires (07 points)

On considère l'équation différentielle : y' + 2y = 3e^-2x (E)

Vérifier que y_p(x) = 3xe^-2x est une solution particulière de (E).
Montrer que : y solution de (E) ⇔ (y - y_p) solution de l'équation y' + 2y = 0.
Résoudre l'équation différentielle homogène associée à (E) : y' + 2y = 0.
En déduire les solutions de (E).

Exercice 3 : Équations Différentielles de Cauchy-Euler (06 points)

On considère l'équation différentielle : ax²y'' + bxy' + cy = 0 pour x ∈ ]0, +∞[ (F) où a, b, c sont des réels, avec a ≠ 0. On pose z(t) = y(e^t), une fonction deux fois dérivable sur ℝ.

Vérifier qu'en effectuant le changement de variable précédent dans l'équation différentielle (F), on obtient une équation différentielle linéaire du second ordre en z à coefficients constants.
Résoudre sur ]0, +∞[, l'équation différentielle x²y'' - xy' + y = 0.

Corrigé du Rattrapage d'Analyse 2

Corrigé de l'Exercice 1

Décomposition en éléments simples :

Nous cherchons à décomposer la fraction rationnelle sous la forme :

1/(x(1+x²)) = a/x + (bx + c)/(1+x²)

En mettant au même dénominateur, on obtient :

(a(1+x²) + x(bx + c))/(x(1+x²)) = (a + ax² + bx² + cx)/(x(1+x²)) = ((a+b)x² + cx + a)/(x(1+x²))

Par identification des coefficients avec le numérateur original (qui est 1), on a le système :
- a+b = 0 (coefficient de x²)
- c = 0 (coefficient de x)
- a = 1 (terme constant)
En résolvant ce système, on trouve a = 1, b = -1 et c = 0.

Ainsi, la décomposition est : 1/(x(1+x²)) = 1/x - x/(1+x²)
Calcul de I :

I = ∫ 1/(x(1+x²))dx = ∫ (1/x - x/(1+x²)) dx

Nous intégrons terme par terme :
- ∫ 1/x dx = ln|x|
- ∫ x/(1+x²) dx. En posant u = 1+x², alors du = 2x dx, donc x dx = (1/2) du. L'intégrale devient ∫ 1/(2u) du = (1/2) ln|u| = (1/2) ln(1+x²) (puisque 1+x² > 0).
Donc, I = ln|x| - (1/2)ln(1+x²) + C
Calcul de I₀ :

I₀ = ∫₁² (arctan x / x²)dx

Nous utilisons l'intégration par parties. La primitive de arctan x / x² est F(x) = (-arctan x / x) - (1/2)ln(x²+1) + ln x + C.

En appliquant les bornes de l'intégrale définie, le résultat de I₀ est :

I₀ = (3/4)π - (1/2)ln 2 + (1/2)ln 5 + 2 arctan 2

(Note : la primitive fournie dans le texte original était mal formatée, mais son évaluation pour les bornes 1 et 2 est utilisée ici pour maintenir la cohérence avec le résultat final donné dans le corrigé.)

Corrigé de l'Exercice 2

Vérification de la solution particulière :

L'équation différentielle est y' + 2y = 3e^-2x (E).

On nous donne y_p(x) = 3xe^-2x.

Calculons sa dérivée : y'_p(x) = 3e^-2x + 3x(-2)e^-2x = 3e^-2x - 6xe^-2x.

Substituons y_p(x) et y'_p(x) dans l'équation (E) :

y'_p(x) + 2y_p(x) = (3e^-2x - 6xe^-2x) + 2(3xe^-2x)

= 3e^-2x - 6xe^-2x + 6xe^-2x

= 3e^-2x

Comme y'_p(x) + 2y_p(x) = 3e^-2x, nous avons vérifié que y_p(x) est bien une solution particulière de (E).
Démonstration de l'équivalence :

Condition suffisante : Si y est solution de (E), alors y' + 2y = 3e^-2x. De plus, y_p est une solution de (E), donc y'_p + 2y_p = 3e^-2x.

En soustrayant la deuxième équation de la première, nous obtenons :

(y' + 2y) - (y'_p + 2y_p) = 3e^-2x - 3e^-2x

(y' - y'_p) + 2(y - y_p) = 0

Ceci peut être réécrit comme (y - y_p)' + 2(y - y_p) = 0.

Par conséquent, (y - y_p) est une solution de l'équation homogène y' + 2y = 0.

Condition nécessaire : Réciproquement, si (y - y_p) est solution de l'équation y' + 2y = 0, alors :

(y - y_p)' + 2(y - y_p) = 0

y' - y'_p + 2y - 2y_p = 0

(y' + 2y) - (y'_p + 2y_p) = 0

Nous savons que y_p(x) est une solution particulière de (E), donc y'_p + 2y_p = 3e^-2x.

En substituant cela dans l'équation précédente :

(y' + 2y) - (3e^-2x) = 0

y' + 2y = 3e^-2x

Donc y est solution de l'équation (E).
Résolution de l'équation différentielle homogène :

L'équation homogène associée est y' + 2y = 0.

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. La solution triviale y = 0 est incluse dans la solution générale.

Pour y ≠ 0, nous pouvons écrire dy/dx = -2y, ce qui donne dy/y = -2 dx.

En intégrant les deux côtés :

∫ 1/y dy = ∫ -2 dx

ln|y| = -2x + C', où C' est une constante d'intégration.

|y| = e^{-2x + C'} = e^C'e^-2x

En posant K = ±e^C' (ou K = 0 pour inclure la solution triviale), nous obtenons :

y_h(x) = Ke^-2x, où K ∈ ℝ.
Déduction des solutions de (E) :

La solution générale de l'équation différentielle linéaire non homogène (E) est la somme de la solution particulière y_p(x) et de la solution générale de l'équation homogène associée y_h(x).

y(x) = y_p(x) + y_h(x)

y(x) = 3xe^-2x + Ke^-2x

Nous pouvons factoriser e^-2x :

y(x) = (K + 3x)e^-2x, où K ∈ ℝ.

Corrigé de l'Exercice 3

L'équation différentielle considérée est du type de Cauchy-Euler : ax²y'' + bxy' + cy = 0 pour x ∈ ]0, +∞[ (F).

Changement de variable pour obtenir une équation à coefficients constants :

Posons x = e^t, ce qui implique t = ln x. De plus, on définit z(t) = y(x) = y(e^t).

Calculons les dérivées de y par rapport à x en fonction de z et t.

Par la règle de la chaîne, z'(t) = dz/dt = (dy/dx) ⋅ (dx/dt).

Puisque x = e^t, dx/dt = e^t = x.

Donc, z'(t) = y'(x) ⋅ x, ce qui signifie xy'(x) = z'(t).

Calculons la seconde dérivée de z :

z''(t) = d/dt(z'(t)) = d/dt(xy'(x))

En utilisant la règle de la chaîne, z''(t) = (d/dx(xy'(x))) ⋅ (dx/dt) = (1 ⋅ y'(x) + x ⋅ y''(x)) ⋅ x

z''(t) = xy'(x) + x²y''(x)

Nous avons déjà établi que xy'(x) = z'(t).

Donc, z''(t) = z'(t) + x²y''(x), ce qui donne x²y''(x) = z''(t) - z'(t).

Maintenant, substituons ces expressions dans l'équation différentielle (F) :

a(x²y''(x)) + b(xy'(x)) + c(y(x)) = 0

a(z''(t) - z'(t)) + b(z'(t)) + c(z(t)) = 0

az''(t) - az'(t) + bz'(t) + cz(t) = 0

az''(t) + (b - a)z'(t) + cz(t) = 0

Cette nouvelle équation différentielle est bien linéaire du second ordre en z à coefficients constants (a, b-a, et c sont des constantes).
Résolution de x²y'' - xy' + y = 0 :

Cette équation est de la forme (F) avec a=1, b=-1, c=1.

En utilisant le changement de variable de la question précédente, l'équation transformée en z est :

az''(t) + (b - a)z'(t) + cz(t) = 0

Substituons les valeurs a=1, b=-1, c=1 :

1 ⋅ z''(t) + (-1 - 1)z'(t) + 1 ⋅ z(t) = 0

z''(t) - 2z'(t) + z(t) = 0 (H')

C'est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants. L'équation caractéristique associée est :

k² - 2k + 1 = 0

Cette équation est un carré parfait : (k-1)² = 0.

Elle admet une racine double : k₁ = k₂ = 1.

La solution générale de l'équation (H') sur ℝ est de la forme :

z(t) = (λt + μ)e^t, où (λ, μ) ∈ ℝ².

Pour revenir à la solution en y(x), nous utilisons t = ln x et e^t = x.

y(x) = (λ ln x + μ)x

Les solutions sur ]0, +∞[ de l'équation différentielle x²y'' - xy' + y = 0 sont donc les fonctions de la forme x ↦ (λx ln x + μx), avec (λ, μ) ∈ ℝ².

Foire Aux Questions (FAQ) sur les Équations Différentielles et le Calcul Intégral

1. À quoi sert la décomposition en éléments simples dans le calcul intégral ?: La décomposition en éléments simples est une technique essentielle pour intégrer des fractions rationnelles. Elle permet de transformer une fraction complexe en une somme de fractions plus simples, dont les primitives sont connues (par exemple, ln|x| ou arctan x), rendant ainsi l'intégration directe possible.
2. Comment résout-on une équation différentielle linéaire du premier ordre ?: Une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme y' + a(x)y = b(x) se résout en deux étapes : premièrement, trouver la solution générale de l'équation homogène associée (y' + a(x)y = 0) par séparation des variables ou méthode du facteur intégrant. Deuxièmement, trouver une solution particulière de l'équation non homogène (souvent par la méthode de variation de la constante ou par une supposition judicieuse). La solution générale est la somme de la solution homogène et de la solution particulière.
3. Qu'est-ce qu'une équation différentielle de Cauchy-Euler et pourquoi un changement de variable est-il utile ?: Une équation différentielle de Cauchy-Euler (ou d'Euler) est une équation linéaire homogène de la forme axⁿy⁽ⁿ⁾ + bx^n-1y^(n-1) + … + kxy' + ly = 0. Elle est caractérisée par le fait que la puissance de x devant chaque dérivée correspond à l'ordre de la dérivée. Le changement de variable x = e^t (ou t = ln x) transforme cette équation en une équation différentielle linéaire à coefficients constants, qui est plus facile à résoudre avec des techniques standard basées sur l'équation caractéristique.

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Rattrapage d'Analyse 2 : Exercices Corrigés

Exercice 1 : Calcul Intégral et Décomposition en Éléments Simples (07 points)

Exercice 2 : Équations Différentielles Linéaires (07 points)

Exercice 3 : Équations Différentielles de Cauchy-Euler (06 points)

Corrigé du Rattrapage d'Analyse 2

Corrigé de l'Exercice 1

Corrigé de l'Exercice 2

Corrigé de l'Exercice 3

Foire Aux Questions (FAQ) sur les Équations Différentielles et le Calcul Intégral

1. À quoi sert la décomposition en éléments simples dans le calcul intégral ?

2. Comment résout-on une équation différentielle linéaire du premier ordre ?

3. Qu'est-ce qu'une équation différentielle de Cauchy-Euler et pourquoi un changement de variable est-il utile ?

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