L2 mi examen final d analyse 2 session 2010 janvier sujet -A
Télécharger PDFAnalyse 2 : Exercices Corrigés sur les Suites, Séries et Intégrales Impropres
Cet article propose des exercices corrigés d'Analyse 2, couvrant des sujets fondamentaux comme la convergence des suites, la nature des séries numériques (critères de d'Alembert, séries de Riemann, séries alternées, séries de Bertrand) et la détermination de la nature et le calcul des intégrales impropres. Ces corrections sont conçues pour améliorer la compréhension et la maîtrise de ces concepts clés.
Exercice 1 : Suites et Séries Numériques
Question 1.a : Convergence d'une suite
Prouver la convergence et donner la limite de la suite de terme général zn = (1 + 1/n)n.
Correction 1.a : Limite de la suite
Il s'agit d'une forme indéterminée du type 1∞. Pour lever cette indétermination, nous utilisons le logarithme :
ln(zn) = n ln(1 + 1/n)
En utilisant le développement limité de ln(1+u) en u=0, avec u = 1/n : ln(1+u) = u + o(u).
Donc, ln(1 + 1/n) = 1/n + o(1/n).
Par conséquent, ln(zn) = n (1/n + o(1/n)) = 1 + o(1).
Quand n → +∞, ln(zn) → 1.
Ainsi, zn = eln(zn) → e1 = e.
Question 1.b : Nature d'une série
Soit a ∈ R+*, a ≠ e. Discuter suivant la valeur de a la nature de la série de terme général un = nn / (an n!).
Correction 1.b : Critère de d'Alembert
Pour étudier la nature de la série ∑ un, nous appliquons le critère de d'Alembert en calculant la limite du rapport |un+1|/|un| :
|un+1|/|un| = ((n+1)n+1 / (an+1 (n+1)!)) × (an n! / nn)
= ((n+1)n+1 / nn) × (n! / (n+1)!) × (an / an+1)
= ((n+1)n (n+1) / nn) × (1/(n+1)) × (1/a)
= ((n+1)/n)n × (1/a) = (1 + 1/n)n × (1/a)
D'après la question précédente, limn → +∞ (1 + 1/n)n = e.
Donc, limn → +∞ |un+1|/|un| = e/a.
Le critère de d'Alembert stipule :
- Si e/a < 1, c'est-à-dire a > e, la série ∑ un converge.
- Si e/a > 1, c'est-à-dire a < e, la série ∑ un diverge.
Le cas a = e (où e/a = 1) n'est pas couvert par le critère de d'Alembert. Dans ce cas, un = nn / (en n!). En utilisant l'équivalent de Stirling pour n!, n! ~ √(2πn) (n/e)n, on a :
un ~ nn / (en √(2πn) (n/e)n) = nn / (en √(2πn) (nn/en)) = 1 / √(2πn).
La série ∑ 1/√(2πn) est une série de Riemann de la forme ∑ 1/np avec p = 1/2. Puisque p ≤ 1, cette série diverge. Par conséquent, pour a=e, la série ∑ un diverge.
Exercice 2 : Équivalents et Séries Numériques
Question 2.a : Détermination d'un équivalent
Soit b un nombre réel. Déterminer un équivalent quand n tend vers l'infini de un = eb/n - ln(1 + 1/n) - 1.
Correction 2.a : Développements Limités
Utilisons les développements limités à l'ordre 2 en 0 pour les fonctions exponentielle et logarithme :
- ex = 1 + x + x2/2 + o(x2). Avec x = b/n, nous avons eb/n = 1 + b/n + b2/(2n2) + o(1/n2).
- ln(1+x) = x - x2/2 + o(x2). Avec x = 1/n, nous avons ln(1 + 1/n) = 1/n - 1/(2n2) + o(1/n2).
En substituant ces développements dans l'expression de un :
un = (1 + b/n + b2/(2n2) + o(1/n2)) - (1/n - 1/(2n2) + o(1/n2)) - 1
un = (b-1)/n + (b2+1)/(2n2) + o(1/n2).
Nous distinguons deux cas pour l'équivalent de un :
- Si b ≠ 1, le terme dominant est (b-1)/n. Donc, un ~ (b-1)/n.
- Si b = 1, le terme en 1/n s'annule. L'équivalent est alors (12+1)/(2n2) = 2/(2n2) = 1/n2. Donc, un ~ 1/n2.
Question 2.b : Nature de la série ∑ vn
On pose pour tout n ∈ ℕ, n > 2, vn = un / ln n. Déduire de ce qui précède la nature de la série ∑ vn (discuter selon la valeur de b).
Correction 2.b : Comparaison avec les séries de Bertrand
Utilisons les équivalents de un trouvés en 2.a :
- Si b ≠ 1, alors vn = un / ln n ~ ((b-1)/n) / ln n = (b-1) / (n ln n).
La série ∑ 1/(n ln n) est une série de Bertrand avec p=1 et q=1. Pour ce type de série, la convergence n'est assurée que si p > 1 ou si p=1 et q > 1. Ici, p=1 et q=1, donc la série ∑ 1/(n ln n) diverge. Par conséquent, la série ∑ vn diverge si b ≠ 1.
- Si b = 1, alors vn = un / ln n ~ (1/n2) / ln n = 1/(n2 ln n).
La série ∑ 1/(n2 ln n) est une série de Bertrand avec p=2 et q=1. Puisque p=2 > 1, cette série converge. Par conséquent, la série ∑ vn converge si b = 1.
Question 2.c : Convergence de la série alternée ∑ (-1)n vn
Justifier la convergence pour tout réel b de la série ∑ (-1)n vn.
Correction 2.c : Critère de Leibniz
Nous devons étudier la convergence de la série alternée ∑ (-1)n vn.
- Si b = 1, nous avons montré que vn ~ 1/(n2 ln n). Puisque ∑ vn converge (absolument, car vn > 0), la série ∑ (-1)n vn converge absolument et donc converge.
- Si b ≠ 1, nous avons vn ~ (b-1)/(n ln n). La série ∑ vn diverge, il faut donc étudier la convergence conditionnelle de la série alternée. Pour cela, nous appliquons le critère des séries alternées (critère de Leibniz) :
La suite |vn| = |(b-1)/(n ln n)| est positive. Elle tend vers 0 lorsque n → +∞. De plus, pour n suffisamment grand, la fonction f(x) = |b-1|/(x ln x) est décroissante (sa dérivée est négative). Les conditions du critère de Leibniz sont remplies.
Par conséquent, la série ∑ (-1)n vn converge pour tout b ≠ 1.
En conclusion, la série ∑ (-1)n vn converge pour tout réel b.
Exercice 3 : Séries de Puissances
Question 3.a : Nature de la suite et de la série pour |x| > 1
On pose pour tout x ∈ R et tout n ∈ ℕ : un = xn / √(n+1). Étudier la nature de la suite de terme général un lorsque |x| > 1. En déduire la nature de la série ∑ un.
Correction 3.a : Comportement pour |x| > 1
Lorsque |x| > 1, la puissance (|x|n) croît exponentiellement, tandis que √(n+1) croît polynomialement. La croissance exponentielle l'emporte sur la croissance polynomiale.
Donc, limn → +∞ |un| = limn → +∞ |x|n / √(n+1) = +∞.
Puisque la suite un ne tend pas vers 0, la série ∑ un diverge. En fait, la suite un elle-même diverge (elle n'a pas de limite finie).
Question 3.b : Convergence absolue pour |x| < 1
Montrer que si |x| < 1, la série ∑ un est absolument convergente.
Correction 3.b : Critère de d'Alembert
Appliquons le critère de d'Alembert à la série des valeurs absolues ∑ |un| :
|un+1/un| = |(xn+1 / √(n+2)) × (√(n+1) / xn)|
= |x| √(n+1) / √(n+2) = |x| √((n+1)/(n+2)) = |x| √((1 + 1/n)/(1 + 2/n)).
Quand n → +∞, √((1 + 1/n)/(1 + 2/n)) → √1 = 1.
Donc, limn → +∞ |un+1/un| = |x|.
Puisque |x| < 1, le critère de d'Alembert assure que la série ∑ un est absolument convergente. Et si une série est absolument convergente, elle est aussi convergente.
Question 3.c : Cas limites x = 1 et x = -1
Étudier la convergence et l'absolue convergence de ∑ un quand x = 1 et quand x = -1.
Correction 3.c : Séries de Riemann et Séries Alternées
Le critère de d'Alembert ne conclut pas lorsque la limite du rapport est 1, ce qui est le cas pour x = ± 1.
- Cas x = 1 :
La série devient ∑n=0+∞ 1/√(n+1).
Pour étudier sa nature, nous pouvons la comparer à une série de Riemann. Lorsque n → +∞, 1/√(n+1) ~ 1/√n = 1/n1/2.
La série de Riemann ∑ 1/np diverge si p ≤ 1. Ici, p = 1/2 ≤ 1, donc la série ∑ 1/√(n+1) diverge. Il n'y a pas d'absolue convergence non plus, car la série elle-même est à termes positifs.
- Cas x = -1 :
La série devient ∑n=0+∞ (-1)n / √(n+1).
C'est une série alternée. Nous appliquons le critère de Leibniz. La suite an = 1/√(n+1) est positive, décroissante (car √(n+1) est croissante) et limn → +∞ an = 0.
Par le critère de Leibniz, la série ∑ (-1)n / √(n+1) converge.
Pour l'absolue convergence, nous étudions la série ∑ |un| = ∑ 1/√(n+1). Comme vu pour x=1, cette série diverge.
Par conséquent, pour x = -1, la série ∑ un est semi-convergente (ou conditionnellement convergente).
Exercice 4 : Nature d'intégrales impropres
Question 4 : Déterminer la nature des intégrales impropres
Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes, en précisant en quel(s) point(s) elles sont impropres :
- I1 = ∫01 (ln t) / (t-1) dt
- I2 = ∫0+∞ |sin t| / t2 dt
- I3 = ∫0+∞ |sin t|3/2 / t2 dt
Correction 4 : Analyse des points d'impropriété et convergence
Analysons chaque intégrale séparément :
Intégrale I1 = ∫01 (ln t) / (t-1) dt
Cette intégrale est impropre en t=0 (à cause de ln t) et potentiellement en t=1 (à cause de (t-1) au dénominateur).
- En t=0 : Lorsque t → 0+, (ln t) / (t-1) ~ (ln t) / (-1) = -ln t. L'intégrale ∫0ε -ln t dt converge. Donc, I1 converge en 0.
- En t=1 : Lorsque t → 1, posons u = t-1, donc t = 1+u. Alors (ln t) / (t-1) = ln(1+u) / u. En utilisant le développement limité ln(1+u) = u + o(u) quand u → 0, on a ln(1+u) / u ~ u/u = 1. La fonction a une limite finie (égale à 1) quand t → 1. Par conséquent, t=1 n'est pas un point d'impropriété.
L'intégrale I1 est donc convergente.
Intégrale I2 = ∫0+∞ |sin t| / t2 dt
Cette intégrale est impropre en t=0 et en t=+∞.
- En t=+∞ : Nous savons que |sin t| ≤ 1. Donc, |sin t / t2| ≤ 1/t2. L'intégrale de Riemann ∫M+∞ 1/t2 dt converge (puisque p=2 > 1). Par critère de comparaison, I2 converge en +∞.
- En t=0 : Lorsque t → 0+, nous utilisons l'équivalent sin t ~ t. Donc, |sin t| / t2 ~ t / t2 = 1/t. L'intégrale de Riemann ∫0ε 1/t dt diverge (puisque p=1 ≥ 1).
Par conséquent, l'intégrale I2 est divergente.
Intégrale I3 = ∫0+∞ |sin t|3/2 / t2 dt
Cette intégrale est impropre en t=0 et en t=+∞.
- En t=+∞ : Comme pour I2, |sin t|3/2 ≤ 1, donc |sin t|3/2 / t2 ≤ 1/t2. L'intégrale ∫M+∞ 1/t2 dt converge. Donc, I3 converge en +∞.
- En t=0 : Lorsque t → 0+, en utilisant sin t ~ t, nous avons |sin t|3/2 / t2 ~ t3/2 / t2 = 1/t1/2. L'intégrale de Riemann ∫0ε 1/t1/2 dt converge (puisque p=1/2 < 1).
Par conséquent, l'intégrale I3 est convergente.
Exercice 5 : Calcul d'intégrales impropres
Question 5.a : Calcul de I = ∫1+∞ 1/(t(t+1)) dt
Justifier la convergence de l'intégrale impropre I = ∫1+∞ 1/(t(t+1)) dt. Puis calculer sa valeur.
Correction 5.a : Fraction partielle et calcul
L'intégrale est impropre seulement en +∞.
Justification de la convergence : Lorsque t → +∞, 1/(t(t+1)) ~ 1/t2. Puisque ∫1+∞ 1/t2 dt est une intégrale de Riemann convergente (p=2 > 1), par critère d'équivalence, l'intégrale I converge.
Calcul de la valeur : Nous décomposons la fonction en éléments simples :
1/(t(t+1)) = 1/t - 1/(t+1).
Calculons l'intégrale partielle sur un intervalle [1, x] :
∫1x (1/t - 1/(t+1)) dt = [ln|t| - ln|t+1|]1x = [ln(t/(t+1))]1x
= ln(x/(x+1)) - ln(1/(1+1)) = ln(x/(x+1)) - ln(1/2).
Prenons la limite quand x → +∞ :
limx → +∞ ln(x/(x+1)) = ln(1) = 0.
Donc, I = 0 - ln(1/2) = -ln(2-1) = ln(2).
Question 5.b : Calcul de J = ∫1+∞ ln(1+t) / t2 dt
Justifier la convergence puis faire le calcul de l'intégrale impropre J = ∫1+∞ ln(1+t) / t2 dt.
Correction 5.b : Convergence par comparaison et intégration par parties
L'intégrale est impropre seulement en +∞.
Justification de la convergence : Lorsque t → +∞, ln(1+t) = o(tα) pour tout α > 0. Nous pouvons donc comparer ln(1+t)/t2 à 1/t3/2 par exemple.
limt → +∞ (ln(1+t)/t2) / (1/t3/2) = limt → +∞ ln(1+t)/t1/2 = 0.
Puisque ∫1+∞ 1/t3/2 dt est une intégrale de Riemann convergente (p=3/2 > 1), par critère de comparaison, l'intégrale J converge.
Calcul de la valeur : Nous utilisons l'intégration par parties, avec u = ln(1+t) et dv = 1/t2 dt.
Alors du = 1/(1+t) dt et v = -1/t.
∫1x ln(1+t) / t2 dt = [-ln(1+t)/t]1x - ∫1x (-1/t) (1/(1+t)) dt
= -ln(1+x)/x - (-ln(1+1)/1) + ∫1x 1/(t(1+t)) dt
= -ln(1+x)/x + ln(2) + ∫1x 1/(t(1+t)) dt.
Quand x → +∞, limx → +∞ -ln(1+x)/x = 0 (par croissances comparées).
L'intégrale ∫1+∞ 1/(t(1+t)) dt est l'intégrale I calculée précédemment, dont la valeur est ln(2).
Donc, J = 0 + ln(2) + ln(2) = 2ln(2) = ln(4).
Question 5.c : Calcul de K = ∫0+∞ et / (e2t+1) dt
Justifier la convergence puis faire le calcul de l'intégrale impropre K = ∫0+∞ et / (e2t+1) dt (on pourra faire le changement de variable u = et).
Correction 5.c : Convergence par équivalence et changement de variable
L'intégrale est impropre seulement en +∞.
Justification de la convergence : Lorsque t → +∞, et / (e2t+1) ~ et / e2t = e-t. L'intégrale ∫0+∞ e-t dt = [-e-t]0+∞ = 0 - (-1) = 1 est convergente. Par critère d'équivalence, l'intégrale K converge.
Calcul de la valeur : Effectuons le changement de variable u = et. Alors du = et dt.
- Si t=0, u = e0 = 1.
- Si t=+∞, u = e+∞ = +∞.
L'intégrale devient :
K = ∫1+∞ du / (u2+1)
= [arctan u]1+∞ = limx → +∞ arctan x - arctan(1)
= π/2 - π/4 = π/4.
Foire Aux Questions (FAQ)
Q1: Quand utilise-t-on le critère de d'Alembert pour les séries ?
Le critère de d'Alembert est un outil puissant pour déterminer la convergence ou la divergence d'une série numérique ∑ un, surtout lorsque le terme général un contient des puissances n-ièmes, des factorielles ou des exponentielles. On calcule la limite L = limn → +∞ |un+1/un|. Si L < 1, la série converge absolument. Si L > 1, la série diverge. Si L = 1, le critère est inconclusive et d'autres méthodes (comme les séries de Riemann, les comparaisons, ou le critère de Raabe-Duhamel) doivent être utilisées.
Q2: Qu'est-ce qu'une série de Bertrand et comment évalue-t-on sa convergence ?
Une série de Bertrand est une série numérique de la forme ∑ 1/(np (ln n)q), où p et q sont des nombres réels. La convergence de ces séries est déterminée par les valeurs de p et q:
- La série converge si p > 1.
- La série converge si p = 1 et q > 1.
- Dans tous les autres cas (si p < 1, ou si p = 1 et q ≤ 1), la série diverge.
Elles sont très utiles pour les critères de comparaison lorsque d'autres tests ne sont pas concluants.
Q3: Comment aborder la convergence d'une intégrale impropre avec plusieurs points singuliers ?
Pour une intégrale impropre présentant plusieurs points singuliers (c'est-à-dire des points où la fonction intégrée n'est pas bornée ou des bornes d'intégration infinies), il faut décomposer l'intégrale en une somme d'intégrales, chacune n'ayant qu'un seul point d'impropriété. Par exemple, ∫ab f(t) dt impropre en a et b peut être écrite comme ∫ac f(t) dt + ∫cb f(t) dt (où c est un point entre a et b). L'intégrale initiale converge si et seulement si toutes les intégrales de la somme convergent individuellement. Si une seule d'entre elles diverge, l'intégrale totale diverge.