Examen final analyse 2 univ mira bejaia mias juin 2006 -Anal
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Cette page présente les questions et solutions détaillées de l'examen final d'Analyse 2 de l'Université A. Mira-Béjaia, Faculté des Sciences et des Sciences de l’Ingénieur, Département MIAS, datant de juin 2006. Le contenu a été revu pour clarifier les explications et améliorer la lisibilité, notamment pour les expressions mathématiques, et est optimisé pour le SEO.
Exercice 1 : Intégration et Décomposition en Éléments Simples
Questions
- Déterminer A, B et C tels que : 3 / (x3+1) = A / (x+1) + (Bx+C) / (x2−x+1).
- Calculer l'intégrale indéfinie I = ∫ (3 / (x3+1)) dx.
- Déduire la valeur de l'intégrale définie I = ∫01 (3 / (x3+1)) dx.
Solution de l'Exercice 1
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Décomposition en éléments simples
Pour décomposer la fraction rationnelle 3 / (x3+1) en éléments simples, nous commençons par factoriser le dénominateur. On sait que x3+1 = (x+1)(x2−x+1).
Nous cherchons A, B et C tels que :
3 / ((x+1)(x2−x+1)) = A / (x+1) + (Bx+C) / (x2−x+1)
En mettant au même dénominateur, nous obtenons :
3 = A(x2−x+1) + (Bx+C)(x+1)
Développons et regroupons les termes par puissance de x :
3 = Ax2 − Ax + A + Bx2 + Bx + Cx + C
3 = (A+B)x2 + (−A+B+C)x + (A+C)
Par identification des coefficients de x2, x et du terme constant, nous obtenons le système d'équations linéaires suivant :
- A+B = 0 (coefficient de x2)
- −A+B+C = 0 (coefficient de x)
- A+C = 3 (terme constant)
De la première équation, nous avons B = −A. Substituons cette expression dans la deuxième équation :
- −A + (−A) + C = 0 ⇒ −2A + C = 0
Nous avons maintenant un système de deux équations à deux inconnues (A et C) :
- −2A + C = 0
- A+C = 3
De la première de ces équations, C = 2A. Substituons C dans la deuxième équation :
A + (2A) = 3 ⇒ 3A = 3 ⇒ A = 1.
Maintenant, nous pouvons trouver B et C :
- B = −A = −1
- C = 2A = 2(1) = 2
La décomposition en éléments simples est donc : 3 / (x3+1) = 1 / (x+1) + (−x+2) / (x2−x+1).
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Calcul de l'intégrale indéfinie I
Basé sur la décomposition en éléments simples de la première partie, nous avons :
I = ∫ (1 / (x+1) + (−x+2) / (x2−x+1)) dx
L'intégrale se sépare en deux parties :
I = ∫ (1 / (x+1)) dx + ∫ ((−x+2) / (x2−x+1)) dx
La première partie est une intégrale standard :
∫ (1 / (x+1)) dx = ln|x+1| + C1.
Pour la seconde partie, ∫ ((−x+2) / (x2−x+1)) dx, nous allons la manipuler pour faire apparaître la dérivée du dénominateur et un terme constant :
Nous savons que la dérivée de x2−x+1 est 2x−1. Nous réécrivons le numérateur −x+2 :
−x+2 = (−1/2)(2x−1) + 3/2
Donc, la fraction devient :
((−x+2) / (x2−x+1)) = (−1/2)(2x−1) / (x2−x+1) + (3/2) / (x2−x+1)
L'intégrale de cette partie se divise à nouveau :
∫ ((−x+2) / (x2−x+1)) dx = −(1/2) ∫ ((2x−1) / (x2−x+1)) dx + (3/2) ∫ (1 / (x2−x+1)) dx
La première de ces deux intégrales est de la forme ∫ (u'/u) dx :
−(1/2) ∫ ((2x−1) / (x2−x+1)) dx = −(1/2) ln(x2−x+1) + C2.
Pour la dernière intégrale, nous complétons le carré dans le dénominateur pour faire apparaître une forme d'arctan :
x2−x+1 = (x−1/2)2 − (1/2)2 + 1 = (x−1/2)2 − 1/4 + 1 = (x−1/2)2 + 3/4.
L'intégrale devient :
(3/2) ∫ (1 / ((x−1/2)2 + 3/4)) dx = (3/2) ∫ (1 / ( (x−1/2)2 + (√3/2)2 )) dx
Nous utilisons la formule d'intégration ∫ (1 / (u2+a2)) du = (1/a) arctan(u/a) + C.
Ici, u = x−1/2 et a = √3/2. Donc :
(3/2) × (1/(√3/2)) arctan( (x−1/2) / (√3/2) ) + C3
= (3/2) × (2/√3) arctan( (2x−1) / √3 ) + C3
= (3/√3) arctan( (2x−1) / √3 ) + C3
= √3 arctan( (2x−1) / √3 ) + C3.
En combinant toutes les parties et en regroupant les constantes d'intégration en une seule constante C, la solution générale de l'intégrale indéfinie est :
I = ln|x+1| − (1/2)ln(x2−x+1) + √3 arctan( (2x−1) / √3 ) + C.
Note : La forme √3 arctan(√3/3 (2x − 1)) dans le corrigé original est une façon équivalente d'écrire √3 arctan( (2x−1) / √3 ), puisque √3/3 = 1/√3.
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Calcul de l'intégrale définie I de 0 à 1
Pour calculer l'intégrale définie de 0 à 1, nous évaluons la primitive trouvée précédemment aux bornes et nous soustrayons :
I = [ln|x+1| − (1/2)ln(x2−x+1) + √3 arctan( (2x−1) / √3 )]01
Évaluation en x=1 :
ln|1+1| − (1/2)ln(12−1+1) + √3 arctan( (2(1)−1) / √3 )
= ln(2) − (1/2)ln(1) + √3 arctan( 1 / √3 )
= ln(2) − 0 + √3 (π/6) (car arctan(1/√3) = π/6)
= ln(2) + π√3 / 6
Évaluation en x=0 :
ln|0+1| − (1/2)ln(02−0+1) + √3 arctan( (2(0)−1) / √3 )
= ln(1) − (1/2)ln(1) + √3 arctan( −1 / √3 )
= 0 − 0 + √3 (−π/6) (car arctan(−1/√3) = −π/6)
= −π√3 / 6
Soustrayons la valeur à la borne inférieure de la valeur à la borne supérieure :
I = (ln(2) + π√3 / 6) − (−π√3 / 6)
I = ln(2) + 2(π√3 / 6) = ln(2) + π√3 / 3
La valeur numérique approchée est : I ≈ 2.5069.
Exercice 2 : Intégration de Fonctions par Morceaux
Questions
- Soit f la fonction définie sur [0, 3] par :
f(x) = −1 si x = 0
f(x) = 1 si 0 < x < 1
f(x) = 3 si x = 1
f(x) = −2 si 1 < x ≤ 2
f(x) = 4 si 2 < x ≤ 3
Calculer I = ∫03 f(t) dt.
Indication : utiliser la subdivision d = {x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3} de l’intervalle [0, 3].
- Soit x ∈ [0, 3], calculer F(x) = ∫0x f(t) dt.
Solution de l'Exercice 2
La fonction f est définie par morceaux sur l'intervalle [0, 3] :
f(x) =
{
−1 si x = 0
1 si 0 < x < 1
3 si x = 1
−2 si 1 < x ≤ 2
4 si 2 < x ≤ 3
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Calcul de I = ∫03 f(t) dt
La fonction f est bornée sur [0, 3]. La subdivision donnée est d = {x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3}. Le pas de cette subdivision est constant, h = xk+1 − xk = 1.
Pour une fonction intégrable au sens de Riemann, les valeurs ponctuelles (c'est-à-dire les valeurs de la fonction en un nombre fini de points isolés) n'affectent pas la valeur de l'intégrale définie. Ce qui compte pour le calcul de l'intégrale sont les valeurs de la fonction sur les intervalles ouverts.
L'intégrale peut être calculée comme la somme des intégrales sur chaque sous-intervalle où la fonction est constante :
I = ∫03 f(t) dt = ∫01 f(t) dt + ∫12 f(t) dt + ∫23 f(t) dt
Sur l'intervalle ouvert (0, 1), f(t) = 1. Donc :
∫01 f(t) dt = ∫01 1 dt = [t]01 = 1 − 0 = 1.
Sur l'intervalle ouvert (1, 2), f(t) = −2. Donc :
∫12 f(t) dt = ∫12 (−2) dt = [−2t]12 = (−2 × 2) − (−2 × 1) = −4 − (−2) = −2.
Sur l'intervalle ouvert (2, 3), f(t) = 4. Donc :
∫23 f(t) dt = ∫23 4 dt = [4t]23 = (4 × 3) − (4 × 2) = 12 − 8 = 4.
Ainsi, en sommant ces contributions, nous obtenons :
I = 1 + (−2) + 4 = 3.
Remarque : Les sommes de Darboux (inférieure s(f, d) et supérieure S(f, d)) mentionnées dans le corrigé original auraient également conduit à ce résultat. Pour une fonction constante par morceaux, l'infimum et le supremum sur chaque sous-intervalle ouvert correspondent à la valeur de la fonction sur cet intervalle.
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Calcul de F(x) = ∫0x f(t) dt
F(x) est la fonction primitive de f(x) qui s'annule en 0. Nous calculons F(x) par morceaux, en accumulant les intégrales à mesure que x traverse les points de discontinuité de f.
- Si 0 ≤ x ≤ 1 :
Dans cet intervalle, pour t ∈ (0, x), f(t) = 1.
F(x) = ∫0x f(t) dt = ∫0x 1 dt = [t]0x = x − 0 = x.
- Si 1 < x ≤ 2 :
Nous intégrons de 0 à 1, puis de 1 à x. La valeur de F(1) est 1 (trouvée dans le cas précédent).
F(x) = ∫01 f(t) dt + ∫1x f(t) dt.
Nous savons que ∫01 f(t) dt = 1.
Sur l'intervalle (1, x), f(t) = −2. Donc :
∫1x f(t) dt = ∫1x (−2) dt = [−2t]1x = (−2x) − (−2 × 1) = −2x + 2.
Alors, F(x) = 1 + (−2x + 2) = 3 − 2x.
- Si 2 < x ≤ 3 :
Nous intégrons de 0 à 1, de 1 à 2, puis de 2 à x. La valeur de F(2) est 3 − 2(2) = −1.
F(x) = ∫01 f(t) dt + ∫12 f(t) dt + ∫2x f(t) dt.
Nous savons que ∫01 f(t) dt = 1 et ∫12 f(t) dt = −2. La somme de ces deux est 1 + (−2) = −1.
Sur l'intervalle (2, x), f(t) = 4. Donc :
∫2x f(t) dt = ∫2x 4 dt = [4t]2x = (4x) − (4 × 2) = 4x − 8.
Alors, F(x) = −1 + (4x − 8) = 4x − 9.
En résumé, la fonction F(x) est définie par morceaux comme suit :
F(x) = { x si 0 ≤ x ≤ 1
3 − 2x si 1 < x ≤ 2
4x − 9 si 2 < x ≤ 3 - Si 0 ≤ x ≤ 1 :
Exercice 3 : Équations Différentielles Linéaires du Premier Ordre
Questions
On considère l’équation différentielle du premier ordre (E1) : y' + y tan(x) = sin(x)cos(x).
- Résoudre l’équation homogène (sans second membre) associée à (E1).
- En utilisant la méthode de la variation de la constante, trouver une solution particulière de (E1) puis donner l’ensemble de toutes les solutions de (E1).
- Calculer la solution de (E1) vérifiant la condition initiale y(π/4) = 0.
Solution de l'Exercice 3
L'équation différentielle donnée est (E1) : y' + y tan(x) = sin(x)cos(x).
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Résolution de l'équation homogène (H1)
L'équation homogène associée à (E1) est (H1) : y' + y tan(x) = 0.
C'est une équation différentielle à variables séparables. Nous pouvons la réécrire comme :
dy/dx = −y tan(x)
Pour y ≠ 0, nous séparons les variables :
(1/y) dy = −tan(x) dx
Intégrons les deux côtés :
∫ (1/y) dy = ∫ −tan(x) dx
ln|y| = ∫ (−sin(x)/cos(x)) dx
Pour intégrer −sin(x)/cos(x), nous reconnaissons que le numérateur est la dérivée du dénominateur (à un signe près). Si u = cos(x), alors du = −sin(x) dx. L'intégrale devient ∫ (1/u) du = ln|u|.
Donc, ln|y| = ln|cos(x)| + K, où K est une constante d'intégration arbitraire.
Pour trouver y, nous exponentions les deux côtés :
|y| = eln|cos(x)| + K = eK |cos(x)|
En absorbant eK et le signe de la valeur absolue dans une nouvelle constante arbitraire C (qui peut être positive, négative ou nulle), la solution générale de l'équation homogène est :
yh(x) = C cos(x), où C est une constante réelle arbitraire.
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Solution particulière et solution générale par variation de la constante
Nous utilisons la méthode de la variation de la constante. Nous cherchons une solution particulière de la forme yp(x) = C(x)cos(x), où C(x) est maintenant une fonction de x.
Calculons la dérivée y'p(x) en utilisant la règle du produit :
y'p(x) = C'(x)cos(x) − C(x)sin(x).
Substituons yp(x) et y'p(x) dans l'équation (E1) :
(C'(x)cos(x) − C(x)sin(x)) + (C(x)cos(x)) tan(x) = sin(x)cos(x)
C'(x)cos(x) − C(x)sin(x) + C(x)cos(x) (sin(x)/cos(x)) = sin(x)cos(x)
Les termes −C(x)sin(x) et +C(x)sin(x) s'annulent :
C'(x)cos(x) = sin(x)cos(x)
En supposant cos(x) ≠ 0 (les points où cos(x)=0 sont des singularités de tan(x) et doivent être traités avec soin, mais nous travaillons sur un intervalle où la fonction est bien définie), nous pouvons diviser par cos(x) :
C'(x) = sin(x)
Intégrons C'(x) pour trouver C(x) :
C(x) = ∫ sin(x) dx = −cos(x) + λ, où λ est une constante d'intégration (cette constante est la même que la constante C dans yh).
La solution particulière yp est obtenue en prenant la constante d'intégration λ = 0 :
yp(x) = (−cos(x))cos(x) = −cos2(x).
Pour une forme plus standardisée, nous pouvons réécrire −cos2(x) en utilisant l'identité trigonométrique cos2(x) = (1+cos(2x))/2 :
yp(x) = −(1/2) − (1/2)cos(2x).
La solution générale de (E1) est la somme de la solution homogène et de la solution particulière :
yg(x) = yh(x) + yp(x)
yg(x) = C cos(x) − (1/2)cos(2x) − (1/2), où C est une constante arbitraire.
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Calcul de la solution unique vérifiant y(π/4) = 0
Nous utilisons la solution générale yg(x) et la condition initiale y(π/4) = 0 pour déterminer la valeur de la constante C :
yg(π/4) = C cos(π/4) − (1/2)cos(2 × π/4) − (1/2) = 0
C (√2/2) − (1/2)cos(π/2) − (1/2) = 0
Nous savons que cos(π/4) = √2/2 et cos(π/2) = 0 :
C (√2/2) − (1/2)(0) − (1/2) = 0
C (√2/2) − 1/2 = 0
C (√2/2) = 1/2
C = (1/2) × (2/√2) = 1/√2 = √2/2.
La solution unique vérifiant la condition initiale est donc :
yc(x) = (√2/2)cos(x) − (1/2)cos(2x) − (1/2).
Exercice 4 : Équations Différentielles Linéaires du Second Ordre
Questions
On considère l’équation différentielle du second ordre (E2) : y'' + y = sin2(x).
- Résoudre l’équation différentielle homogène (sans second membre) associée à (E2).
- Trouver une solution particulière de (E2) puis donner l’ensemble de toutes les solutions de (E2).
- Déterminer la solution unique yc de (E2) vérifiant les conditions initiales y(π/2) = 0 et y'(π/2) = 1.
Solution de l'Exercice 4
L'équation différentielle donnée est (E2) : y'' + y = sin2(x).
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Résolution de l'équation homogène (H2)
L'équation différentielle homogène associée à (E2) est (H2) : y'' + y = 0.
Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. L'équation caractéristique associée est :
k2 + 1 = 0
Les racines de cette équation sont :
k2 = −1 ⇒ k = ±√−1 ⇒ k1,2 = ±i.
Puisque les racines sont complexes de la forme α ± iβ (ici, α = 0 et β = 1), la solution générale de l'équation homogène est :
yh(x) = eαx (C1 cos(βx) + C2 sin(βx))
yh(x) = C1 cos(x) + C2 sin(x), où C1 et C2 sont des constantes réelles arbitraires.
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Solution particulière et solution générale de (E2)
Nous allons présenter deux méthodes pour trouver une solution particulière.
Première méthode : Linéarisation du second membre et principe de superposition
Nous linéarisons le terme sin2(x) dans le second membre de (E2) en utilisant l'identité trigonométrique :
sin2(x) = (1 − cos(2x)) / 2 = 1/2 − (1/2)cos(2x).
L'équation (E2) devient : y'' + y = 1/2 − (1/2)cos(2x).
Par le principe de superposition, nous cherchons une solution particulière yp sous la forme yp = yp1 + yp2, où :
- yp1 est une solution particulière de y'' + y = 1/2.
- yp2 est une solution particulière de y'' + y = −(1/2)cos(2x).
Pour y'' + y = 1/2 :
Nous cherchons une solution particulière constante, yp1 = A. Alors y''p1 = 0.
0 + A = 1/2 ⇒ A = 1/2. Donc, yp1 = 1/2.
Pour y'' + y = −(1/2)cos(2x) :
Nous cherchons une solution particulière de la forme yp2 = B cos(2x) + D sin(2x) (car le second membre est une fonction trigonométrique).
Calculons ses dérivées première et seconde :
y'p2 = −2B sin(2x) + 2D cos(2x)
y''p2 = −4B cos(2x) − 4D sin(2x)
Substituons yp2 et y''p2 dans l'équation :
(−4B cos(2x) − 4D sin(2x)) + (B cos(2x) + D sin(2x)) = −(1/2)cos(2x)
Regroupons les termes en cos(2x) et sin(2x) :
(−4B + B) cos(2x) + (−4D + D) sin(2x) = −(1/2)cos(2x)
−3B cos(2x) − 3D sin(2x) = −(1/2)cos(2x)
Par identification des coefficients :
- −3B = −1/2 ⇒ B = 1/6
- −3D = 0 ⇒ D = 0
Donc, yp2 = (1/6)cos(2x).
La solution particulière totale est la somme de yp1 et yp2 :
yp(x) = yp1(x) + yp2(x) = 1/2 + (1/6)cos(2x).
Deuxième méthode : Variation des constantes (résultat direct)
Cette méthode est plus laborieuse mais universelle. Partant de yh(x) = C1cos(x) + C2sin(x), nous posons yp(x) = C1(x)cos(x) + C2(x)sin(x).
Le système pour C'1(x) et C'2(x) est :
- C'1(x)cos(x) + C'2(x)sin(x) = 0
- −C'1(x)sin(x) + C'2(x)cos(x) = sin2(x)
La résolution de ce système donne :
- C'1(x) = −sin3(x)
- C'2(x) = sin2(x)cos(x)
En intégrant (sans les constantes d'intégration) :
- C1(x) = ∫ −sin3(x) dx = cos(x) − (1/3)cos3(x)
- C2(x) = ∫ sin2(x)cos(x) dx = (1/3)sin3(x)
La solution particulière yp(x) = C1(x)cos(x) + C2(x)sin(x) est alors :
yp(x) = (cos(x) − (1/3)cos3(x))cos(x) + ((1/3)sin3(x))sin(x)
yp(x) = cos2(x) − (1/3)cos4(x) + (1/3)sin4(x)
Après simplification utilisant les identités trigonométriques, cette expression se réduit à la même forme que par la méthode de linéarisation :
yp(x) = 1/2 + (1/6)cos(2x).
La solution générale de l'équation différentielle (E2) est la somme de la solution homogène et de la solution particulière :
yG(x) = yh(x) + yp(x)
yG(x) = C1 cos(x) + C2 sin(x) + 1/2 + (1/6)cos(2x).
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Détermination de la solution unique yc
Nous utilisons la solution générale yG(x) et les conditions initiales y(π/2) = 0 et y'(π/2) = 1 pour déterminer les constantes C1 et C2.
D'abord, calculons la dérivée première de la solution générale, y'G(x) :
y'G(x) = −C1 sin(x) + C2 cos(x) − (1/6) × 2sin(2x)
y'G(x) = −C1 sin(x) + C2 cos(x) − (1/3)sin(2x).
Appliquons la première condition initiale, y(π/2) = 0 :
yG(π/2) = C1 cos(π/2) + C2 sin(π/2) + 1/2 + (1/6)cos(2 × π/2) = 0
Nous savons que cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1 et cos(π) = −1 :
C1(0) + C2(1) + 1/2 + (1/6)(−1) = 0
C2 + 1/2 − 1/6 = 0
C2 + 3/6 − 1/6 = 0
C2 + 2/6 = 0 ⇒ C2 = −1/3.
Appliquons la deuxième condition initiale, y'(π/2) = 1 :
y'G(π/2) = −C1 sin(π/2) + C2 cos(π/2) − (1/3)sin(2 × π/2) = 1
Nous savons que sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0 et sin(π) = 0 :
−C1(1) + C2(0) − (1/3)(0) = 1
−C1 = 1 ⇒ C1 = −1.
Les constantes sont C1 = −1 et C2 = −1/3.
La solution unique du problème de Cauchy est donc :
yc(x) = −cos(x) − (1/3)sin(x) + 1/2 + (1/6)cos(2x).
Questions Fréquemment Posées (FAQ)
Qu'est-ce qu'une équation différentielle homogène et pourquoi la résoudre en premier ?
Une équation différentielle linéaire est dite homogène si son second membre (le terme sans la fonction inconnue ou ses dérivées) est nul. Par exemple, pour y' + ay = b(x), l'équation homogène associée est y' + ay = 0. On la résout en premier car la solution générale d'une équation différentielle linéaire est toujours la somme de la solution générale de l'équation homogène associée et d'une solution particulière de l'équation complète. La solution homogène représente le comportement "naturel" ou intrinsèque du système en l'absence de toute perturbation ou forçage externe.
Quelles sont les méthodes courantes pour trouver une solution particulière d'une équation différentielle linéaire ?
Il existe plusieurs méthodes pour trouver une solution particulière, les plus courantes étant :
- La méthode de la variation de la constante : Cette méthode est applicable à toutes les équations différentielles linéaires (qu'elles soient du premier ou du second ordre ou plus) dès que la solution générale de l'équation homogène associée est connue. Elle consiste à remplacer les constantes de la solution homogène par des fonctions que l'on détermine par intégration après avoir résolu un système d'équations.
- La méthode des coefficients indéterminés : Utilisée pour les équations à coefficients constants avec des seconds membres spécifiques (polynômes, exponentielles, fonctions trigonométriques sinus/cosinus, ou leurs produits et sommes). Elle implique de "deviner" la forme de la solution particulière en fonction du second membre et de déterminer les coefficients par substitution directe dans l'équation. La "linéarisation" de la fonction sin2(x) dans l'Exercice 4 est un exemple de préparation du second membre pour cette méthode.
En quoi l'intégrabilité de Riemann est-elle affectée par les valeurs d'une fonction en des points isolés ?
Pour l'intégrabilité au sens de Riemann, les valeurs d'une fonction en un nombre fini de points isolés (ou, plus généralement, sur un ensemble de mesure nulle) n'affectent pas la valeur de l'intégrale. Cela signifie que si vous modifiez la valeur d'une fonction en un ou plusieurs points sans changer son comportement sur les intervalles, son intégrale de Riemann sur un intervalle donné restera la même. C'est pourquoi, dans l'Exercice 2, les valeurs de la fonction aux points x=0, x=1 et x=2 n'ont pas eu d'influence sur le calcul de l'intégrale, car la fonction était définie par des valeurs constantes sur les intervalles ouverts correspondants.