Examen analyse 2 session rattrapage smpc 2 2014 2015 -Analys
Télécharger PDFExamens d'Analyse II — Université Chouaib Doukkali, Faculté des Sciences
Cette page regroupe des exercices d'Analyse II issus d'examens universitaires, couvrant les intégrales, les équations différentielles et les suites de fonctions. Ces exercices sont conçus pour les étudiants de SMPC (Sciences de la Matière Physique et Chimie).
Année Universitaire 2014-2015
Examen d'Analyse II, SMPC (Durée : 1h 30min)
Exercice I
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On pose I = ∫0π (x sin(x))/(1 + cos2(x)) dx.
Montrer que I = ∫0π ((π-x) sin(x))/(1 + cos2(x)) dx.
En déduire que 2I = π ∫0π sin(x)/(1 + cos2(x)) dx.
Calculer la valeur de I.
Exercice II
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Pour a > 0, montrer que l'intégrale suivante converge : ∫1+∞ sin(t)/ta dt.
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On propose de calculer la valeur des intégrales suivantes : I = ∫0+∞ dt/(1 + t4) et J = ∫0+∞ t2 dt/(1 + t4).
Vérifier que I et J sont convergentes.
Montrer que I = J.
En déduire que 2I = ∫0+∞ (1 + t2)/(1 + t4) dt.
En posant t = es, montrer que 2I = ∫-∞+∞ cosh(s)/(1 + 2sinh2(s)) ds.
Exercice III
Résoudre les équations différentielles suivantes :
y'' - 3y' + 2y = x ex + cos(x).
sin(x) y'(x) - y(x) cos(x) + 1 = 0.
On considère l'équation de Riccati suivante : y' = (1/x2)y2 - (1/x)y + 1 (E.R.).
Vérifier que y1(x) = x est une solution particulière de (E.R.).
En posant y(x) = z(x) + x, montrer que z vérifie l'équation de Bernoulli : x2 z' - x z = z2 (E.B.).
Résoudre (E.B.).
En déduire la solution générale de (E.R.).
On pose f(t) = 1/(t4 - 1).
Montrer que f(t) = 1/(4(t-1)) - 1/(4(t+1)) - 1/(2(t2+1)).
En déduire les primitives de la fonction f.
Exercice IV
Résoudre les équations différentielles suivantes :
x y' + 2y = 1 + x2.
y'' - 3y' + 2y = (1 + 2x) + cos(2x).
On considère l'équation de Riccati suivante : (x3 - 1)y' - x2y - y2 = -2x (E.R.).
Vérifier que y1(x) = x2 est une solution particulière de (E.R.).
En posant y(x) = z(x) + x2, montrer que z vérifie l'équation de Bernoulli : (x3 - 1)z' - 3x2z = z2 (E.B.).
Résoudre (E.B.).
En déduire la solution générale de (E.R.).
Année Universitaire 2013-2014
SMPC2 Épreuve d'Analyse 2 (Durée : 1h 30min)
Exercice 1
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Montrer que les intégrales suivantes sont convergentes : ∫0π/2 sin(t) ln(t) dt et ∫0π/2 ln(sin(t)) dt.
En déduire la convergence de l'intégrale I = ∫0π/2 ln(sin(t)) dt.
Montrer que ∫0π/2 ln(sin(t)) dt = ∫0π/2 ln(cos(t)) dt.
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Montrer que ∫0π/2 ln(sin(t)) dt + ∫0π/2 ln(cos(t)) dt = ∫0π/2 ln(sin(2t)) dt - (π/2) ln(2).
Montrer que ∫0π/2 ln(sin(2t)) dt = (1/2) ∫0π ln(sin(t)) dt.
Montrer que ∫0π ln(sin(t)) dt = 2 ∫0π/2 ln(sin(t)) dt.
En déduire la valeur de I.
Exercice 2
Résoudre les équations différentielles suivantes :
y' + y = x + 1.
y'' + 9y = x + 1.
Exercice 3
Soit (fn) la suite de fonctions définie par fn(x) = x / (1 + xn).
Étudier la convergence simple et uniforme de cette suite sur [0, +∞[.
Année universitaire 2012-2013, Session normale
EXAMEN de l'élément du module Analyse 2 (Durée : 1h30mn)
Exercice 1
Pour tout n ∈ ℕ, on pose Kn = ∫01 xn ex dx.
Calculer K1.
Montrer, en effectuant une intégration par parties, que Kn = e - n Kn-1.
En déduire la valeur de K2.
Calculer ∫01 x/(1 + x) dx.
En déduire la limite de la suite un = ∑k=1n 1/(n + k) (Ceci est une somme de Riemann).
Exercice 2
Résoudre, dans leurs domaines de définitions, les équations différentielles suivantes :
y' cos(x) + y sin(x) = 1.
y'' + y' - 6y = (-8x2 - 1)ex.
Exercice 3
On considère la fonction f(x) = ln(x) / (x2 - 1) définie sur ]1, +∞[.
Calculer limx→1+ f(x). En déduire la nature de l'intégrale ∫12 f(x) dx.
On pose g(x) = f(x) * x2. En déduire la nature de ∫2+∞ f(x) dx.
Quelle est la nature de ∫1+∞ f(x) dx ?
Exercice 4
On considère la suite de fonctions fn(x) = x / (n2 + x2) ; x ∈ [0, +∞[.
Montrer que la suite de fonctions (fn)n converge simplement vers une fonction f que l'on déterminera.
Montrer que (fn)n converge uniformément vers la fonction f.
Année universitaire 2012-2013, Session de rattrapage
EXAMEN de l'élément du module Analyse 2 (Durée : 1h30mn)
Exercice 1
Calculer les intégrales définies suivantes :
I1 = ∫0ln 2 √(ex - 1)/ex dx.
I2 = ∫01 arctan(x)/(x + 1)2 dx.
Exercice 2
Soit l'équation différentielle (x2 + y2)dx - xydy = 0 (E).
On pose z = y2. Montrer que l'équation différentielle obtenue en z est linéaire du premier ordre puis la résoudre.
Montrer que l'équation (E) est du premier ordre homogène puis la résoudre.
Exercice 3
On définit sur ]0, +∞[ la fonction ƒ par : f(x) = ln(x) / x3.
Soit X ∈ ]1, +∞[, calculer ∫X+∞ f(x) dx. En déduire la nature de ∫1+∞ f(x) dx.
Montrer que ∫0+∞ f(x) dx est convergente.
Montrer, en effectuant le changement de variable t = 1/x, que ∫01 f(x) dx = - ∫1+∞ f(t) dt.
En déduire que ∫0+∞ f(x) dx = 0.
Exercice 4
On considère la suite de fonctions fn(x) = 1/(1 + x2)n ; x ∈ ℝ.
Montrer que la suite de fonctions (fn)n converge simplement vers une fonction f que l'on déterminera.
La convergence est-elle uniforme sur ℝ?
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'une équation de Riccati ?
Une équation de Riccati est une équation différentielle ordinaire non linéaire du premier ordre de la forme y' = a(x)y2 + b(x)y + c(x). Sa résolution générale est complexe, mais elle peut être simplifiée si l'on connaît une solution particulière.
Comment étudier la convergence d'une suite de fonctions ?
Pour étudier la convergence d'une suite de fonctions (fn) vers une fonction f, on analyse d'abord la convergence simple (pour chaque x fixé, la suite numérique fn(x) converge vers f(x)). Ensuite, on examine la convergence uniforme, qui implique que la convergence est "également bonne" sur l'ensemble du domaine, généralement en étudiant la limite de sup|fn(x) - f(x)|.
Qu'est-ce qu'une somme de Riemann ?
Une somme de Riemann est une méthode d'approximation de l'aire sous la courbe d'une fonction, et par extension, de calcul d'intégrales définies. Elle est souvent utilisée pour définir l'intégrale de Riemann et pour calculer la limite de certaines sommes discrètes qui peuvent être interprétées comme des intégrales.