Examen traitement du signal estaca -Traitement de signal -

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Introduction au Traitement du Signal

Ce document présente un ensemble de questions et d'exercices couvrant des aspects fondamentaux du Traitement du Signal, destinés à évaluer la compréhension des concepts clés dans ce domaine.

Notations utilisées

* : Produit de convolution
. : Multiplication scalaire
δ(t) : Impulsion de Dirac
CT_e(t) : Peigne de Dirac (somme d'impulsions de Dirac périodiques)
Π(t) : Signal "porte" d'amplitude 1 et de largeur τ

Questions de cours (QCM)

Question 1 : Qu'est-ce qu'un modèle ARMA ?

Un modèle ARMA (AutoRegressive Moving Average) est un modèle statistique utilisé pour l'analyse de séries temporelles. Il combine deux composantes : une partie autorégressive (AR) qui exprime la valeur actuelle d'une variable en fonction de ses valeurs passées, et une partie moyenne mobile (MA) qui modélise la valeur actuelle en fonction des erreurs de prédiction passées (bruit blanc). Ces modèles sont couramment utilisés en traitement du signal pour la modélisation et la prédiction de signaux aléatoires.

Question 2 : Quelle est la condition de stabilité d'un filtre numérique ?

Pour un filtre numérique linéaire et invariant dans le temps (LTI), la condition de stabilité Bibo (Bounded Input Bounded Output) est que sa réponse impulsionnelle soit absolument sommable. C'est-à-dire que la somme des valeurs absolues de ses échantillons de réponse impulsionnelle doit être finie : ∑_n=-∞^+∞ |h[n]| < ∞. En termes de transformée en Z, cela signifie que tous les pôles de la fonction de transfert du filtre doivent être strictement à l'intérieur du cercle unité dans le plan Z.

Question 3 : Quel est l'objectif commun des techniques d'analyse spectrale et d'analyse synchrone ? Dans quel cas utilisera-t-on l'une ou l'autre de ces deux techniques ?

L'objectif commun de l'analyse spectrale et de l'analyse synchrone est de caractériser la composition fréquentielle d'un signal. L'analyse spectrale, via des outils comme la Transformée de Fourier, permet d'identifier les fréquences présentes dans un signal et leur amplitude. Elle est utilisée pour les signaux stationnaires ou quasi-stationnaires, afin d'obtenir une répartition énergétique sur tout le spectre. L'analyse synchrone, en revanche, est utilisée pour des signaux périodiques ou synchronisés avec un événement externe (par exemple, des signaux issus de machines tournantes). Elle permet de "déplier" le signal sur une période de synchronisation et d'extraire des informations spécifiques à cette période, souvent pour détecter des défauts ou des anomalies répétitives. On utilisera l'analyse spectrale pour une vue globale des fréquences et l'analyse synchrone pour des phénomènes répétitifs précis.

Question 4 : Lors de l'analyse d'un signal issu d'une chaîne de mesure, quels sont les différents types d'erreurs qui peuvent perturber l'observation ? Quelles peuvent être les causes de ces différents types d'erreurs (donner un exemple pour chaque type d'erreur) ? De quel type d'erreur la technique de moyenne spectrale permet-elle de limiter les effets ?

Les différents types d'erreurs pouvant perturber l'observation d'un signal sont :

Erreurs aléatoires (bruit) : Elles sont imprévisibles et varient de manière stochastique. Causes : Bruit thermique des composants électroniques, interférences électromagnétiques aléatoires. Exemple : Un capteur de température affichant de petites fluctuations aléatoires même en condition stable.
Erreurs systématiques : Elles sont reproductibles et constantes ou varient de manière prévisible. Causes : Calibrage incorrect, dérive des composants, effets d'offset. Exemple : Un capteur affichant systématiquement 2 degrés de plus que la température réelle.
Erreurs de quantification : Introduites lors de la conversion d'un signal analogique en numérique (discrétisation de l'amplitude). Causes : Résolution limitée de l'ADC (convertisseur analogique-numérique). Exemple : Un signal de tension continu étant représenté par des paliers discrets au lieu d'une courbe lisse.
Erreurs d'aliasing (repliement de spectre) : Se produisent lorsque la fréquence d'échantillonnage est insuffisante par rapport aux fréquences présentes dans le signal. Causes : Non-respect du critère de Nyquist-Shannon. Exemple : Un son aigu étant perçu comme grave après un échantillonnage trop lent.

La technique de moyenne spectrale (ou moyennage de spectres) permet de limiter les effets des erreurs aléatoires (bruit). En moyennant plusieurs spectres du signal, les composantes aléatoires tendent à s'annuler mutuellement, tandis que les composantes du signal cohérentes et non aléatoires s'additionnent, améliorant ainsi le rapport signal sur bruit.

Question 5 : Que permet de calculer l'algorithme FFT (algorithme de Cooley-Tukey) ? Sans entrer dans les détails mathématiques, donner brièvement le principe du calcul. Pourquoi choisit-on d'utiliser cet algorithme plutôt que le calcul direct itératif ?

L'algorithme FFT (Fast Fourier Transform), et notamment la variante de Cooley-Tukey, permet de calculer de manière efficace la Transformée de Fourier Discrète (TFD) d'un signal numérique. Il s'agit d'une version optimisée qui réduit considérablement le nombre d'opérations nécessaires.

Le principe du calcul de la FFT repose sur une stratégie "diviser pour régner". Il décompose le calcul d'une TFD de taille N en plusieurs TFD de plus petite taille. Typiquement, pour N étant une puissance de 2, la TFD est scindée en deux TFD de taille N/2 (une pour les échantillons pairs et une pour les échantillons impairs), et ce processus est récursif jusqu'à obtenir des TFD de taille 1. Les résultats de ces petites TFD sont ensuite recombinés pour former la TFD complète.

On choisit d'utiliser la FFT plutôt que le calcul direct itératif (qui est en O(N²)) en raison de sa complexité algorithmique bien inférieure, qui est en O(N log N). Cette réduction drastique du nombre d'opérations permet un calcul beaucoup plus rapide, ce qui est crucial pour les applications en temps réel ou pour le traitement de signaux de grande longueur.

Exercice 1 : Filtre numérique et Transformée en Z

On considère un signal numérique x[n] produisant périodiquement les échantillons suivants : x[0] = 0, x[1] = 1, x[2] = 2, x[3] = 0, x[4] = 1, x[5] = 2, x[6] = 0…

Question 1 (2pt) : Déterminer E(z), la transformée en Z de ce signal.

On rappelle que pour une suite géométrique a_n = qⁿ de raison q, on peut établir la relation : ∑_n=0^N qⁿ = (1 - q^N+1) / (1 - q). De plus, si |q| < 1, la série converge et l'on a : ∑_n=0^∞ qⁿ = 1 / (1 - q).

Le signal x[n] est périodique de période 3 (0, 1, 2, 0, 1, 2...).

E(z) = ∑_n=-∞^+∞ x[n]z^-n = 0z⁰ + 1z^-1 + 2z^-2 + 0z^-3 + 1z^-4 + 2z^-5 + ...

On peut écrire E(z) comme : E(z) = (z^-1 + 2z^-2) (1 + z^-3 + z^-6 + ...) = (z^-1 + 2z^-2) ∑_k=0^∞ (z^-3)^k

En utilisant la formule de la série géométrique pour |z^-3| < 1 (c'est-à-dire |z| > 1) :

E(z) = (z^-1 + 2z^-2) / (1 - z^-3)

Question 2 (1pt) : On considère maintenant un filtre numérique dont la réponse impulsionnelle h[n] est définie par : h[0] = 0 ; h[1] = 0,5 ; h[2] = 0,8 ; h[3] = 0,5 ; h[4] = 0,2 et pour n > 4, h[n] = 0. Quelle est la nature de ce filtre ? Est-il réalisable en temps réel ? Pourquoi ?

Ce filtre est un filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF), car sa réponse impulsionnelle h[n] n'est pas nulle pour un nombre fini d'échantillons (de n=0 à n=4). De plus, comme h[n] = 0 pour n < 0 (non précisé, mais implicite pour un filtre causal en pratique) et h[0]=0, h[n] ne dépend pas de valeurs futures. Il est réalisable en temps réel car sa réponse impulsionnelle est causale (h[n]=0 pour n<0) et finie. La sortie à un instant n ne dépend que de l'entrée à l'instant n et des instants passés, ainsi que des échantillons passés de la réponse impulsionnelle.

Question 3 (2pt) : On applique le signal x[n] de la question 1 à l'entrée du filtre. Déterminer les cinq premières valeurs de la sortie y[n] du filtre.

La sortie y[n] est le produit de convolution de x[n] et h[n] : y[n] = ∑_k=-∞^+∞ x[k]h[n-k].

Signal d'entrée x[n] = {0, 1, 2, 0, 1, 2, ...}

Réponse impulsionnelle h[n] = {0, 0.5, 0.8, 0.5, 0.2}

Calcul des premières valeurs de y[n] :

y[0] = x[0]h[0] = 0 * 0 = 0
y[1] = x[0]h[1] + x[1]h[0] = 0 * 0.5 + 1 * 0 = 0
y[2] = x[0]h[2] + x[1]h[1] + x[2]h[0] = 0 * 0.8 + 1 * 0.5 + 2 * 0 = 0.5
y[3] = x[0]h[3] + x[1]h[2] + x[2]h[1] + x[3]h[0] = 0 * 0.5 + 1 * 0.8 + 2 * 0.5 + 0 * 0 = 0.8 + 1 = 1.8
y[4] = x[0]h[4] + x[1]h[3] + x[2]h[2] + x[3]h[1] + x[4]h[0] = 0 * 0.2 + 1 * 0.5 + 2 * 0.8 + 0 * 0.5 + 1 * 0 = 0.5 + 1.6 = 2.1

Tableau des cinq premières valeurs de y[n] :

n	0	1	2	3	4
y[n]	0	0	0.5	1.8	2.1

Exercice 2 : Spectre et Filtre de Butterworth

Soit le signal x(t) = cos(2πf₁t) + sin(2πf₂t) + cos(2πf₃t)

Question 1 : Donner l'allure du spectre de x(t) (en module).

Le spectre de x(t) sera composé de raies (impulsions de Dirac) aux fréquences f₁, f₂ et f₃, ainsi qu'à leurs fréquences négatives -f₁, -f₂ et -f₃. Plus précisément, pour un cosinus, il y a deux raies de même amplitude (A/2) à +/- f. Pour un sinus, il y a deux raies de même amplitude (A/2) à +/- f mais avec des phases opposées (imaginaires pures). En module, toutes les raies auront une amplitude de 1/2.

L'allure du spectre |X(f)| est donc une série de six impulsions de Dirac :

Amplitude 1/2 à f = -f₃, -f₂, -f₁
Amplitude 1/2 à f = f₁, f₂, f₃

Les raies correspondant à f₁, f₂, f₃ seront de même amplitude en module.

Question 2 : On souhaite se débarrasser des deux raies hautes fréquences de ce signal. Pour cela, on envisage d'utiliser un filtre de Butterworth. Le cahier des charges est le suivant :
- atténuation de –3dB à la fréquence de coupure (fc)
- largeur de la bande de transition : Bt = 3.fc
- atténuation de –30dB en bande coupée
Décrire le gabarit correspondant à ce cahier des charges.

Le gabarit représente les limites de l'atténuation du filtre en fonction de la fréquence, sur une échelle logarithmique (dB pour l'amplitude, linéaire ou log pour la fréquence normalisée f/f_c). Pour un filtre passe-bas, comme on veut éliminer les hautes fréquences :

En bande passante (pour f < f_c), le gain doit être proche de 0dB.
À la fréquence de coupure f_c, le gain doit être -3dB.
La bande de transition s'étend de f_c à f_c + B_t = f_c + 3f_c = 4f_c. Dans cette zone, le gain décroît de -3dB à -30dB.
En bande coupée (pour f ≥ 4f_c), le gain doit être inférieur ou égal à -30dB (atténuation minimale de 30dB).

Le gabarit typique d'un filtre passe-bas sur un diagramme de Bode (gain en dB vs. log(f)) montrerait :

Une zone plate à 0dB jusqu'à f_c.
Un point à -3dB à f_c.
Une pente raide entre f_c et 4f_c, descendant de -3dB à -30dB.
Une zone à -30dB ou moins pour f ≥ 4f_c.

Question 3 : On rappelle que les filtres de Butterworth d'ordre n sont caractérisés par la propriété suivante : |H(jω)|² = 1 / (1 + (ω/ω_c)²ⁿ). Trouver le plus petit ordre n tel que le gain du filtre de Butterworth d'ordre n s'inscrive dans le gabarit de la question 2.

Le cahier des charges indique une atténuation de -30dB en bande coupée. Le gabarit exige que pour f = 4f_c, le gain soit ≤ -30dB. On peut exprimer cette condition en termes de module au carré :

20 log₁₀(|H(jω)|) ≤ -30dB ⇒ |H(jω)| ≤ 10^-30/20 = 10^-1.5 ≈ 0.0316

Donc, |H(jω)|² ≤ (0.0316)² ≈ 0.001

À la fréquence 4f_c, nous avons ω = 4ω_c. Substituons dans la formule du filtre de Butterworth :

1 / (1 + (4ω_c / ω_c)²ⁿ) ≤ 0.001

1 / (1 + 4²ⁿ) ≤ 0.001

1 + 4²ⁿ ≥ 1000

4²ⁿ ≥ 999

2n log(4) ≥ log(999)

2n ≥ log(999) / log(4)

2n ≥ 4.98

n ≥ 2.49

Puisque l'ordre n doit être un entier, le plus petit ordre n est n = 3.

Question 4 : Déterminer f_c, la fréquence de coupure du filtre telle que la fréquence de la deuxième raie du spectre de x(t) (la première des deux raies que l'on souhaite éliminer) se situe à la limite (basse fréquence) de la bande coupée du filtre.

Le signal x(t) = cos(2πf₁t) + sin(2πf₂t) + cos(2πf₃t) contient trois fréquences positives : f₁, f₂, f₃. Nous devons identifier les deux raies de "hautes fréquences". En l'absence de valeurs numériques pour f₁, f₂, f₃, nous supposerons f₁ < f₂ < f₃. Les deux raies les plus hautes en fréquence sont donc f₂ et f₃.

La première des deux raies que l'on souhaite éliminer est donc f₂ (la plus petite des deux fréquences les plus élevées).

La bande coupée du filtre commence à 4f_c (selon le cahier des charges et la question 2).

Nous voulons que f₂ se situe à la limite basse fréquence de la bande coupée, donc :

f₂ = 4f_c

Sans les valeurs de f₁, f₂, f₃, nous ne pouvons pas calculer f_c numériquement à ce stade. Cette question semble dépendre de la question 5 qui fournit ces valeurs. En attendant, f_c = f₂ / 4.

Question 5 : A l'aide de la table des polynômes de Butterworth donnée en annexe, déterminer la fonction de transfert H(p) du filtre dans le cas où f₁ = 2Hz, f₂ = 30Hz et f₃ = 40Hz.

D'après la question 3, l'ordre du filtre est n=3.

D'après la question 4 et les fréquences données : les deux raies hautes fréquences sont f₂ = 30Hz et f₃ = 40Hz. La première à éliminer est f₂ = 30Hz.

Donc, 4f_c = f₂ = 30Hz ⇒ f_c = 30 / 4 = 7.5Hz.

La pulsation de coupure ω_c = 2πf_c = 2π * 7.5 = 15π rad/s.

La fonction de transfert d'un filtre de Butterworth d'ordre n est H(p) = 1 / P(p) avec p = s / ω_c.

Pour n=3, la table de l'annexe A donne le polynôme P(s) pour le filtre normalisé (avec ω_c=1) comme : P(s) = (s+1)(s²+s+1).

En remplaçant s par p = jω/ω_c (ou simplement p dans la variable de Laplace normalisée), le polynôme de Butterworth normalisé est :

P(p) = (p+1)(p²+p+1) = p³ + 2p² + 2p + 1.

La fonction de transfert du filtre de Butterworth d'ordre 3 non normalisé est donc :

H(s) = 1 / ((s/ω_c)³ + 2(s/ω_c)² + 2(s/ω_c) + 1)

Avec ω_c = 15π rad/s, la fonction de transfert H(p) est :

H(p) = 1 / ((p/(15π))³ + 2(p/(15π))² + 2(p/(15π)) + 1)

Problème : Transformée de Fourier Discrète (TFD)

Soit le signal x(t) = cos(2πf₀t). On échantillonne ce signal à l'aide d'un dispositif permettant de prélever N échantillons à une fréquence d'échantillonnage f_e. On note x_e(t) le signal échantillonné en sortie du dispositif.

Question 1 : En négligeant l'influence des opérations de blocage et de quantification, donner l'expression mathématique de x_e(t) en fonction de x(t).

Le signal échantillonné x_e(t) est obtenu en multipliant le signal continu x(t) par un peigne de Dirac CTe(t) = ∑_n=-∞^+∞ δ(t - nT_e), où T_e = 1/f_e est la période d'échantillonnage.

x_e(t) = x(t) * CTe(t) = x(t) ∑_n=-∞^+∞ δ(t - nT_e) = ∑_n=-∞^+∞ x(nT_e)δ(t - nT_e)

Question 2 : Exprimer X_e(f) en fonction de X(f).

La transformée de Fourier du signal échantillonné X_e(f) est liée à la transformée de Fourier du signal continu X(f) par le théorème de l'échantillonnage.

X_e(f) = f_e ∑_k=-∞^+∞ X(f - kf_e)

Cela signifie que le spectre du signal échantillonné est une périodisation du spectre du signal continu, avec une période égale à la fréquence d'échantillonnage f_e, et une amplitude multipliée par f_e.

Question 3 : Donner l'expression de X(f). En déduire X_e(f).

Pour x(t) = cos(2πf₀t), la transformée de Fourier X(f) est :

X(f) = (1/2) [δ(f - f₀) + δ(f + f₀)]

En déduisant X_e(f) :

X_e(f) = f_e ∑_k=-∞^+∞ (1/2) [δ(f - f₀ - kf_e) + δ(f + f₀ - kf_e)]

X_e(f) = (f_e/2) ∑_k=-∞^+∞ [δ(f - (f₀ + kf_e)) + δ(f + (f₀ - kf_e))]

Question 4 : Application numérique. On donne : f_e = 20Hz, N = 20, f₀ = 5Hz. Décrire l'allure de |X_e(f)|.

Avec f_e = 20Hz et f₀ = 5Hz, nous avons f_e > 2f₀ (20Hz > 10Hz), ce qui respecte la condition de Nyquist-Shannon. Il n'y aura donc pas de repliement de spectre (aliasing).

L'allure de |X_e(f)| sera une série de raies de Dirac, chacune d'amplitude f_e/2 = 10. Les fréquences des raies seront :

f₀ = 5Hz et -f₀ = -5Hz
f₀ + f_e = 5 + 20 = 25Hz et -f₀ + f_e = -5 + 20 = 15Hz
f₀ - f_e = 5 - 20 = -15Hz et -f₀ - f_e = -5 - 20 = -25Hz
Et ainsi de suite, périodiquement avec une période f_e.

Dans la bande de fréquences de [-f_e/2, f_e/2] = [-10Hz, 10Hz], on observera seulement les raies à -5Hz et 5Hz.

Question 5 : On décide de calculer numériquement le spectre du signal x(t). Pour cela, on place un processeur de traitement de signal (DSP) en sortie du dispositif d'échantillonnage et on programme un algorithme de Transformée de Fourier Discrète. On obtient ainsi en sortie un signal numérique X_N[k] qui correspond aux N échantillons de calcul de la TFD de x_e(t). Donner l'expression de X_N[k] en fonction de X_e(f). Décrire le placement des valeurs des échantillons X_N[k] de la TFD sur un graphique du type de la question 4.

La TFD X_N[k] est calculée sur N échantillons discrets x[n] (où x[n] = x(nT_e)).

L'expression de la TFD est : X_N[k] = ∑_n=0^N-1 x[n] e^-j2πnk/N, pour k = 0, 1, ..., N-1.

La relation entre X_N[k] et le spectre continu du signal échantillonné X_e(f) est :

X_N[k] = (1/T_e) ∑_m=-∞^+∞ X_e(f)|_{f=k/(NT_e) + m/T_e}

Ou, de manière plus directe, les échantillons de la TFD X_N[k] sont des échantillons du spectre X_e(f) aux fréquences discrètes f_k = kf_e/N. Plus précisément, X_N[k] représente l'échantillonnage du spectre du signal échantillonné multiplié par la durée d'observation N*T_e et convolué avec une fonction sinc (due à la durée finie d'observation). Si le signal est périodique et la durée d'observation correspond exactement à un multiple de la période, les raies spectrales sont parfaitement représentées.

Sur le graphique de la question 4 (qui montre des impulsions de Dirac), les valeurs des échantillons X_N[k] apparaîtront comme des "pics" discrets aux fréquences f_k = kf_e/N. Avec f_e = 20Hz et N = 20 :

La résolution fréquentielle est Δf = f_e/N = 20/20 = 1Hz.
Les fréquences échantillonnées sont f_k = k * 1Hz.

Pour f₀ = 5Hz, nous aurons un pic (une valeur non nulle) à k = 5. À cause de la symétrie du cosinus, il y aura aussi une raie à -5Hz, qui sera représentée à k = N-5 = 15 (dans l'intervalle [0, N-1]).

Les échantillons X_N[k] non nuls seront principalement situés autour de k=5 et k=15, avec d'autres échantillons étant nuls ou très faibles.

Question 6 : On considère maintenant le cas : f₀ = 4,3Hz. Reprendre les questions 4 et 5 pour ce nouveau signal. Les résultats de la TFD sont-ils satisfaisants ? Pourquoi ? Quelle condition doit être respectée pour l'analyse d'un spectre de raies par TFD si aucun traitement supplémentaire n'est appliqué au signal ?

Pour f₀ = 4,3Hz, f_e = 20Hz, N = 20 :

Spectre |X_e(f)| (Question 4 re-visitée) :

La condition de Nyquist (f_e > 2f₀) est toujours respectée (20Hz > 2 * 4,3Hz = 8,6Hz), donc pas d'aliasing. Les raies se trouvent à +/- 4,3Hz et leurs répliques périodiques à +/- 4,3Hz + k*20Hz.

Échantillons X_N[k] de la TFD (Question 5 re-visitée) :

La résolution fréquentielle est toujours Δf = 1Hz. Les fréquences des échantillons TFD sont f_k = k * 1Hz.

Puisque f₀ = 4,3Hz n'est pas un multiple entier de la résolution fréquentielle (1Hz), la raie de 4,3Hz ne va pas "tomber" exactement sur un échantillon TFD. Elle va se situer entre deux échantillons (entre k=4 et k=5). Cela va entraîner un phénomène de fuite spectrale (spectral leakage). L'énergie de la raie de 4,3Hz sera répartie sur plusieurs échantillons de la TFD, au lieu d'apparaître comme un pic net sur un seul échantillon. On observera des lobes secondaires autour de 4Hz et 5Hz, ce qui rend l'estimation de l'amplitude et de la fréquence de f₀ moins précise.

Les résultats de la TFD sont-ils satisfaisants ? Non, ils ne sont pas satisfaisants. La fuite spectrale rend l'identification précise de la fréquence f₀ difficile et déforme l'amplitude.

Pourquoi ? En raison de la fuite spectrale. La durée d'observation finie et non-périodique par rapport à f₀ (le signal n'est pas un multiple entier de la période d'observation) fait que la TFD ne représente pas des impulsions de Dirac parfaites, mais plutôt des fonctions sinc (sin(x)/x) centrées sur f₀, dont les lobes s'étendent sur plusieurs fréquences d'échantillonnage de la TFD.

Quelle condition doit être respectée pour l'analyse d'un spectre de raies par TFD si aucun traitement supplémentaire n'est appliqué au signal ?

Pour une analyse sans fuite spectrale (c'est-à-dire que les raies tombent exactement sur les échantillons de la TFD), il faut que la fréquence du signal (f₀) soit un multiple entier de la résolution fréquentielle de la TFD (Δf = f_e/N).

Condition : f₀ = m * (f_e/N), où m est un entier.

Ceci implique que le signal x(t) = cos(2πf₀t) doit être un multiple entier de sa période sur la durée d'observation N*T_e. Autrement dit, la durée d'observation doit contenir un nombre entier de périodes du signal.

Question 7 : On considère toujours le cas f₀ = 4,3Hz. On suppose que le dispositif d'acquisition est tel qu'il n'est pas possible d'acquérir plus de N = 20 échantillons et que la fréquence d'échantillonnage est fixée (f_e = 20Hz). On suppose par contre que le DSP dispose de suffisamment de ressource pour pouvoir traiter des tableaux (buffer) de 1024 échantillons. Quelle technique peut-on utiliser pour augmenter la résolution du calcul de la TFD et obtenir ainsi un résultat satisfaisant ? Expliquer brièvement le principe.

La technique à utiliser est le zéro-padding (ou ajout de zéros).

Principe : Puisqu'on ne peut acquérir que N = 20 échantillons, on complète le tableau de ces 20 échantillons avec des zéros jusqu'à la taille du buffer du DSP (ici 1024 échantillons). On effectue ensuite la TFD (généralement une FFT) sur ce tableau de 1024 échantillons.

L'ajout de zéros n'ajoute pas d'information au signal original, mais il a pour effet d'interpoler le spectre. La résolution fréquentielle de la TFD devient Δf' = f_e / N' où N' est la nouvelle taille du tableau (1024). Dans ce cas, Δf' = 20Hz / 1024 ≈ 0,0195Hz. Cette résolution plus fine permet d'avoir plus de points d'échantillonnage dans le spectre, ce qui rend les lobes de la fonction sinc (causés par la fuite spectrale) plus visibles et permet de mieux localiser la fréquence de la raie (4,3Hz) qui se situera plus précisément entre les échantillons de la TFD.

Cela n'élimine pas la fuite spectrale, car l'information n'a pas changé, mais cela permet une meilleure visualisation et une estimation plus précise de la fréquence en interpolant le spectre.

Question 8 : On considère maintenant le signal suivant : y(t) = A cos(2πf₁t) + B cos(2πf₂t) avec : A = 1, B = 0,01, f₁ = 2Hz, f₂ = 7Hz. Donner l'expression de Y(f) = TF[y(t)]. Décrire l'allure du spectre de y(t) (module uniquement).

Y(f) = TF[A cos(2πf₁t) + B cos(2πf₂t)]

En utilisant la propriété de linéarité de la Transformée de Fourier :

Y(f) = A * (1/2) [δ(f - f₁) + δ(f + f₁)] + B * (1/2) [δ(f - f₂) + δ(f + f₂)]

Avec les valeurs numériques : A = 1, B = 0,01, f₁ = 2Hz, f₂ = 7Hz :

Y(f) = (1/2) [δ(f - 2) + δ(f + 2)] + (0.01/2) [δ(f - 7) + δ(f + 7)]

Y(f) = 0,5 [δ(f - 2) + δ(f + 2)] + 0,005 [δ(f - 7) + δ(f + 7)]

Allure du spectre |Y(f)| :

Le spectre en module sera composé de quatre impulsions de Dirac :

Deux raies principales d'amplitude 0,5 à f = -2Hz et f = 2Hz (correspondant à f₁).
Deux raies secondaires d'amplitude 0,005 à f = -7Hz et f = 7Hz (correspondant à f₂).

La raie à 7Hz (f₂) est 100 fois plus faible en amplitude que la raie à 2Hz (f₁), ce qui correspond à une différence de 40dB (20 log₁₀(100) = 40).

Question 9 : On applique maintenant au signal y(t) le traitement décrit dans les questions précédentes (échantillonnage, prélèvement de N = 20 échantillons, calcul de TFD avec la technique de la question 8). On obtient les échantillons Y_N[k] par calcul de TFD. Le module de ces échantillons est représenté sur la courbe de la figure 1 de l'annexe B (l'échelle des amplitudes est logarithmique). Commenter l'allure de ce graphique en vous aidant des questions précédentes. A quelle fréquence correspondent les échantillons k=0 ? k=1023 ? k=102 ? Pourquoi ne peut-on discerner la raie correspondant à f₂ ?

Le traitement appliqué est : f_e = 20Hz, N = 20 échantillons (mais le calcul de TFD avec la "technique de la question 8" fait référence à une erreur, il doit s'agir de la question 7, c'est-à-dire avec zéro-padding pour un buffer de 1024 échantillons pour la TFD). Supposons que N'=1024 échantillons pour la TFD, f_e = 20Hz. La résolution fréquentielle est Δf = f_e/N' = 20/1024 ≈ 0,0195Hz.

Commentaire de l'allure du graphique (Figure 1, annexe B) :

On observe un pic très prononcé à la fréquence de 2Hz (correspondant à f₁), ce qui est attendu.
Autour de ce pic, on voit des lobes latéraux (sides-lobes) qui sont une manifestation de la fuite spectrale, due au fait que la durée d'observation N*T_e = 20 * (1/20) = 1 seconde n'est pas un multiple entier de la période du signal à 2Hz (période = 0.5s). Cependant, f₁=2Hz est un multiple de la résolution fréquentielle (2Hz / 0.0195Hz = ~102.5), donc la raie tombe presque exactement sur un échantillon TFD si on a appliqué un zéro-padding suffisant. Mais la "fuite spectrale" est toujours présente à cause du fenêtrage rectangulaire implicite.
Il est difficile, voire impossible, de discerner la raie correspondant à f₂ = 7Hz. L'énergie de cette raie est masquée par les lobes latéraux de la raie plus forte à f₁ = 2Hz.
L'échelle des amplitudes est logarithmique (en dB), ce qui accentue la visibilité des lobes secondaires. La différence d'amplitude entre f₁ et f₂ est de 40dB, ce qui est significatif. Les lobes secondaires du pic à 2Hz peuvent être supérieurs à l'amplitude du pic à 7Hz, rendant ce dernier indétectable.

Correspondance des fréquences :

L'échantillon k=0 correspond à la fréquence 0 Hz (composante continue, ou DC).
L'échantillon k=1023 correspond à la fréquence (N'-1) * Δf = 1023 * (20/1024) ≈ 19.98 Hz (presque f_e). En convention, k=N'/2 (ici 512) correspond à la fréquence de Nyquist f_e/2 = 10Hz, et les indices supérieurs à N'/2 représentent les fréquences négatives repliées.
L'échantillon k=102 correspond à la fréquence 102 * Δf = 102 * (20/1024) ≈ 1.99 Hz. C'est le point le plus proche de f₁ = 2Hz.

Pourquoi ne peut-on discerner la raie correspondant à f₂ ?

La raie correspondant à f₂ (7Hz, amplitude 0,005) ne peut être discernée car son amplitude est très faible (40dB en dessous de la raie f₁) et elle est masquée par les lobes latéraux (side-lobes) de la raie plus puissante à f₁ (2Hz). Les lobes secondaires résultant du fenêtrage rectangulaire implicite (dû à l'observation d'une durée finie) ont une amplitude relativement élevée et peuvent être supérieurs à l'amplitude de la raie faible.

Question 10 : On décide de multiplier les échantillons issus du signal échantillonné par une fenêtre de Blackman avant calcul de la TFD. Donner le principe d'une opération de fenêtrage. Quel est l'objectif recherché ici lors de l'utilisation de cette fenêtre de Blackman ?

Principe d'une opération de fenêtrage :

Le fenêtrage consiste à multiplier le signal échantillonné (ou la séquence de données) par une fonction temporelle appelée "fenêtre". Cette fenêtre est une séquence de valeurs finie dans le temps, qui est généralement égale à 1 au centre et diminue progressivement vers zéro aux extrémités. Le fenêtrage est nécessaire car le calcul de la TFD (ou FFT) se fait toujours sur un nombre fini d'échantillons, ce qui équivaut implicitement à multiplier le signal infini par une fenêtre rectangulaire. Cependant, la fenêtre rectangulaire a des inconvénients spectraux.

Objectif recherché avec la fenêtre de Blackman :

L'objectif principal du fenêtrage, et en particulier de l'utilisation d'une fenêtre de Blackman, est de réduire la fuite spectrale (spectral leakage). La fenêtre rectangulaire possède des lobes secondaires élevés dans son spectre, ce qui provoque une dispersion de l'énergie des raies spectrales dans les fréquences adjacentes, masquant les signaux faibles. La fenêtre de Blackman, comme d'autres fenêtres de pondération (Hanning, Hamming, etc.), est conçue pour avoir des lobes secondaires beaucoup plus faibles que la fenêtre rectangulaire, au prix d'un élargissement du lobe principal.

Ici, l'objectif est spécifiquement de rendre visible la raie faible à f₂ = 7Hz, qui était masquée par les lobes secondaires de la raie forte à f₁ = 2Hz lors de l'utilisation de la fenêtre rectangulaire (implicite). En réduisant l'amplitude des lobes secondaires du pic à f₁, la fenêtre de Blackman permet de "dévoiler" les composantes spectrales de plus faible amplitude.

Question 11 : La figure 2 représente le module des échantillons Y_fN[k] issu du calcul de la TFD avec fenêtrage. Commenter l'allure du graphique en la comparant à celle du graphique de la figure 1. Quel est l'effet du fenêtrage ?

Commentaire de l'allure du graphique (Figure 2) en comparaison avec la Figure 1 :

Sur la Figure 2, on observe toujours le pic principal à 2Hz, mais ses lobes latéraux sont considérablement réduits par rapport à la Figure 1.
Le changement le plus significatif est l'apparition claire d'un second pic à la fréquence de 7Hz (correspondant à f₂), qui était indiscernable sur la Figure 1. Ce pic est bien moins élevé que celui à 2Hz, reflétant la différence d'amplitude réelle des deux composantes du signal.
En revanche, le lobe principal de chaque pic apparaît légèrement plus large sur la Figure 2 que sur la Figure 1.

Quel est l'effet du fenêtrage ?

L'effet du fenêtrage avec une fenêtre comme Blackman est double :

Réduction de la fuite spectrale : C'est l'effet le plus important et l'objectif principal ici. Les lobes secondaires du spectre de la fenêtre (et donc du signal fenêtré) sont fortement atténués. Cela permet de détecter des signaux de faible amplitude qui seraient autrement masqués par les lobes secondaires de signaux plus forts. C'est pourquoi la raie à 7Hz devient visible.
Élargissement du lobe principal : En contrepartie de la réduction des lobes secondaires, le lobe principal du spectre de la fenêtre s'élargit. Cela signifie une légère perte de résolution fréquentielle (on ne peut pas distinguer des fréquences très proches aussi bien qu'avec une fenêtre rectangulaire si les amplitudes sont comparables), mais c'est un compromis acceptable et souvent nécessaire pour des signaux avec une grande dynamique d'amplitude.

Question 12 : On considère maintenant le signal y(t) de la question 8 avec f₂ = 12Hz et B=1. On échantillonne ce signal à travers le même dispositif (N = 20 échantillons, f_e = 20Hz) sans l'opération de fenêtrage. En vous inspirant des questions précédentes, donner l'allure du spectre du signal échantillonné y(t). En observant ce graphique, quelle erreur d'interprétation est-on amené à commettre sur la caractérisation du spectre du signal d'entrée y(t) ? Pourra-t-on reconstituer correctement le signal y(t) à partir des échantillons numériques ? Quel phénomène est la cause de ce problème ?

Nouveau signal : y(t) = A cos(2πf₁t) + B cos(2πf₂t) avec A = 1, B = 1, f₁ = 2Hz, f₂ = 12Hz.

Dispositif d'échantillonnage : N = 20 échantillons, f_e = 20Hz. Sans fenêtrage (fenêtre rectangulaire implicite).

Allure du spectre du signal échantillonné y(t) :

Le critère de Nyquist-Shannon stipule que pour éviter l'aliasing, la fréquence d'échantillonnage f_e doit être au moins le double de la fréquence maximale du signal f_max. Ici, f_e = 20Hz et f_max = f₂ = 12Hz. On a 2f_max = 24Hz.

Puisque f_e = 20Hz < 2f_max = 24Hz, la condition de Nyquist n'est pas respectée pour la composante f₂ = 12Hz. Il y aura du repliement de spectre (aliasing).

La raie à f₁ = 2Hz sera correctement représentée à 2Hz (car 2f₁ = 4Hz < f_e = 20Hz).
La raie à f₂ = 12Hz, qui est supérieure à f_e/2 = 10Hz (fréquence de Nyquist), sera repliée dans la bande de base [-10Hz, 10Hz]. La fréquence repliée f_alias sera |f_e - f₂| = |20 - 12| = 8Hz. Donc, la raie à 12Hz apparaîtra comme une raie à 8Hz dans le spectre du signal échantillonné.

Le spectre échantillonné montrera des pics à 2Hz et 8Hz (avec leurs miroirs à -2Hz et -8Hz), tous d'amplitude 1/2.

Erreur d'interprétation :

En observant ce spectre, on conclurait à tort que le signal d'entrée est composé de fréquences 2Hz et 8Hz, alors qu'il est en réalité composé de 2Hz et 12Hz. On interpréterait la raie à 8Hz comme une composante réelle du signal, ignorant que c'est une composante repliée de 12Hz.

Pourra-t-on reconstituer correctement le signal y(t) à partir des échantillons numériques ?

Non, il ne sera pas possible de reconstituer correctement le signal y(t) original. Les informations de la fréquence 12Hz sont irréversiblement perdues, ou plutôt confondues avec celles de 8Hz. Un filtre de reconstruction passe-bas tenterait de reconstruire des composantes à 2Hz et 8Hz, ne retrouvant pas le signal original à 12Hz.

Quel phénomène est la cause de ce problème ?

Le phénomène en cause est l'aliasing (repliement de spectre), qui survient lorsque le critère de Nyquist-Shannon n'est pas respecté.

Question 13 : Dans quel dispositif faudrait-il faire passer le signal y(t) pour éviter le phénomène de la question 12. Donner brièvement les caractéristiques de ce dispositif. Quelle serait alors la conséquence sur le spectre du signal échantillonné ? Donner l'expression du signal que l'on pourrait reconstituer à partir des échantillons numériques.

Pour éviter le phénomène d'aliasing, il faudrait faire passer le signal y(t) dans un filtre anti-repliement (anti-aliasing filter) avant l'échantillonnage.

Caractéristiques de ce dispositif :

C'est un filtre passe-bas analogique dont la fréquence de coupure (f_c) doit être inférieure ou égale à la fréquence de Nyquist (f_e/2). Idéalement, il s'agirait d'un filtre passe-bas "idéal" avec une coupure très nette à f_e/2, atténuant fortement toutes les fréquences supérieures à f_e/2.

Dans notre cas, avec f_e = 20Hz, la fréquence de Nyquist est 10Hz. Le filtre anti-repliement devrait avoir une fréquence de coupure f_c ≤ 10Hz. Par exemple, une f_c de 9Hz ou 9.5Hz.

Conséquence sur le spectre du signal échantillonné :

Si l'on utilise un filtre anti-repliement dont la f_c est inférieure à 10Hz (par exemple 9Hz), la composante à f₂ = 12Hz du signal original y(t) sera atténuée ou complètement supprimée avant l'échantillonnage. Le signal filtré avant échantillonnage y_f(t) ne contiendrait que la composante à f₁ = 2Hz (et les composantes de bruit en dessous de 9Hz). Le spectre du signal échantillonné ne présenterait plus la raie repliée à 8Hz, car la composante à 12Hz aurait été éliminée. Il ne montrerait qu'une raie à 2Hz.

Expression du signal que l'on pourrait reconstituer :

Si le filtre anti-repliement a éliminé la composante à 12Hz, le signal échantillonné ne contient que l'information de la composante à 2Hz. Le signal y_reconstruit(t) que l'on pourrait reconstituer (par exemple, avec un filtre de reconstruction passe-bas idéal) serait uniquement :

y_reconstruit(t) = A cos(2πf₁t) = 1 * cos(2π * 2t) = cos(4πt)

On perdrait l'information de la composante à 12Hz, mais le signal reconstitué serait exempt d'aliasing et correspondrait aux composantes du signal original qui ont été conservées par le filtre anti-repliement.

Annexe A : Tableau des polynômes de Butterworth

Un filtre de Butterworth est défini par une fonction de transfert de la forme : H(s) = 1 / P(s), où s = jω/ω_c et ω_c est la pulsation de coupure.

P(s) est le polynôme de Butterworth donné par la table suivante en fonction de l'ordre n du filtre (pour ω_c = 1) :

Ordre n	Polynôme P(s)
1	(s+1)
2	(s² + √2 s + 1)
3	(s² + s + 1)(s+1) = s³ + 2s² + 2s + 1
4	(s² + 0.765s + 1)(s² + 1.848s + 1) = s⁴ + 2.613s³ + 3.414s² + 2.613s + 1
5	(s+1)(s² + 0.618s + 1)(s² + 1.618s + 1) = s⁵ + 3.236s⁴ + 5.236s³ + 5.236s² + 3.236s + 1

Annexe B : Calcul de TFD

Figure 1 : Représentation du module des échantillons Y_N[k] issus du calcul de la TFD sans fenêtrage (ou avec fenêtre rectangulaire implicite), sur une échelle d'amplitudes logarithmique. Elle illustre la fuite spectrale et le masquage des signaux faibles par les lobes latéraux des signaux forts.

Figure 2 : Représentation du module des échantillons Y_fN[k] issus du calcul de la TFD avec fenêtrage (par exemple, fenêtre de Blackman), sur une échelle d'amplitudes logarithmique. Elle montre la réduction de la fuite spectrale et la visibilité améliorée des signaux faibles.

Annexe B : Formulaire

I. Transformée de Fourier

Définition :

X(f) = ∫_-∞^+∞ x(t) e^-j2πft dt

x(t) = ∫_-∞^+∞ X(f) e^j2πft df

Propriétés :

Linéarité : TF[αx(t) + βy(t)] = αX(f) + βY(f)
Translation temporelle : TF[x(t - t₀)] = X(f) e^-j2πft₀
Dérivation temporelle : TF[dx(t)/dt] = j2πf X(f)
Intégration temporelle : TF[∫ x(τ) dτ] = X(f) / (j2πf) + X(0)δ(f)
Dilatation : TF[x(at)] = (1/|a|) X(f/a)
Conjugaison complexe : TF[x*(t)] = X*(-f)
Signaux réels : X(f) = X*(-f) (symétrie hermitienne)

II. Échantillonnage et TFD

Échantillonnage sur une durée finie (période d'échantillonnage T_e, durée τ = NT_e) :

x_e(t) = x(t) · ∑_n=-∞^+∞ δ(t - nT_e) = ∑_n=-∞^+∞ x(nT_e)δ(t - nT_e)

Calcul de la TFD :

X_N[k] = ∑_n=0^N-1 x[n] e^-j2πnk/N

On démontre que : X_N[k] ≈ T_e X_e(k f_e/N), où f_e = 1/T_e et X_e(f) = TF[x_e(t)].

III. Transformée en Z

Définition :

X(z) = TZ{x[n]} = ∑_n=-∞^+∞ x[n]z^-n, avec une région de convergence (ROC) r₁ < |z| < r₂.

Transformation inverse (Théorème des résidus) :

x[k] = (1/(2πj)) ∮_C X(z)z^k-1 dz

où C est un contour fermé dans la ROC entourant tous les pôles. Pour un système causal, x[k] = ∑ Res[X(z)z^k-1; p_i] où p_i sont les pôles de X(z)z^k-1 à l'intérieur de C.

Propriétés :

Linéarité : TZ[αx[n] + βy[n]] = αX(z) + βY(z)
Translation : TZ[x[n - n₀]] = z^-n₀ X(z)
Différentiation : TZ[n x[n]] = -z dX(z)/dz
Conjugaison complexe : TZ[x*[n]] = X*(z*)
Valeur initiale : x[0] = lim_z→∞ X(z)
Convolution : TZ[(x * y)[n]] = X(z)Y(z)

FAQ sur le Traitement du Signal

Q1 : Pourquoi la Transformée de Fourier Discrète (TFD) est-elle si importante en traitement du signal ?

La TFD est cruciale car elle permet d'analyser le contenu fréquentiel des signaux numériques, ce qui est fondamental pour de nombreuses applications comme la compression audio/vidéo, la reconnaissance vocale, l'analyse vibratoire ou la télécommunication. Elle transforme un signal du domaine temporel au domaine fréquentiel, révélant ses composantes sinusoïdales.

Q2 : Comment le choix de la fréquence d'échantillonnage affecte-t-il la qualité d'un signal numérique ?

La fréquence d'échantillonnage (f_e) est primordiale car elle détermine la bande de fréquences qui peut être correctement représentée dans le signal numérique. Si f_e est inférieure au double de la fréquence maximale du signal analogique (critère de Nyquist-Shannon), il se produit un phénomène appelé aliasing (repliement de spectre), où les fréquences élevées sont mal interprétées comme des fréquences plus basses, entraînant une perte irréversible d'information et une distorsion du signal.

Q3 : Quel est le rôle d'un filtre de Butterworth et quand l'utilise-t-on ?

Un filtre de Butterworth est un type de filtre électronique linéaire conçu pour avoir une réponse en fréquence aussi plate que possible en bande passante ("réponse la plus plate"). Il est utilisé lorsque l'on souhaite une atténuation progressive et monotone sans ondulations dans la bande passante ni dans la bande de transition. On l'emploie par exemple pour lisser des signaux, éliminer certaines plages de fréquences indésirables (bruit, interférences) tout en préservant l'intégrité des signaux utiles, comme dans les systèmes audio ou les applications de capteurs.