Td le filtrage numerique -Traitement de signal - Télécharge
Télécharger PDFLe Filtrage Numérique et les Séquences de Nombres
1. Séquences de nombres
L'unité de calcul opère sur des nombres x(n), qui sont disponibles à des instants discrets, multiples entiers de la période d'échantillonnage Te.
1.1 Définition d'une séquence de nombres
On appelle séquence {x(n)} une suite ordonnée dans le temps de nombres, x(n), que l'on nomme échantillons. Une séquence typique peut être représentée comme : {..., x(-2), x(-1), x(0), x(1), x(2), ..., x(n-1), x(n), x(n+1), ...}.
1.2 Propriétés des séquences
Une séquence est qualifiée de causale si tous ses échantillons sont nuls pour les indices temporels négatifs (x(n) = 0 pour n < 0).
La somme de deux séquences {x(n)} et {y(n)} donne une nouvelle séquence {u(n)} où chaque échantillon est la somme des échantillons correspondants : {u(n)} = {x(n)} + {y(n)}. Par exemple, u(0) = x(0) + y(0) et u(n) = x(n) + y(n).
Le produit d'une séquence {x(n)} par une constante 'a' est une séquence {y(n)} dont chaque échantillon est le produit de l'échantillon original par cette constante : {y(n)} = a{x(n)}. Ainsi, y(0) = a * x(0) et y(n) = a * x(n).
1.3 Les séquences les plus courantes
1.3.1 La séquence impulsion unité
La séquence impulsion unité, aussi appelée fonction delta de Kronecker ou impulsion discrète, est définie par : δ(n-k) = 1 si n=k, et 0 si n≠k. Elle n'a une valeur non nulle (égale à 1) qu'à un seul instant discret.
Si k=0, la séquence {δ(n-0)}, notée {δ(n)}, est l'impulsion unité à l'origine. Cette séquence est fondamentale en traitement du signal, notamment pour déterminer la réponse impulsionnelle d'un système ou d'un filtre.
Une propriété cruciale est que toute séquence {x(n)} peut être décomposée en une somme de séquences impulsions décalées et pondérées par les échantillons de x(n). Si {x(n)} est une séquence causale, elle peut s'écrire comme : x(n) = x(0)δ(n) + x(1)δ(n-1) + x(2)δ(n-2) + ... Cela signifie que chaque échantillon x(k) contribue à l'instant k sous la forme d'une impulsion.
1.3.2 La séquence échelon
La séquence échelon unité, notée {u(n-k)}, est définie par : u(n-k) = 1 si n ≥ k, et 0 si n < k. Elle représente un signal qui passe de zéro à un à partir d'un certain instant.
Si k=0, la séquence {u(n-0)}, notée {u(n)}, est l'échelon unité à l'origine, où le saut de valeur se produit à n=0.
1.3.3 La séquence exponentielle réelle
La séquence exponentielle réelle est définie par {x(n)} = {a^n * u(n)}, ce qui signifie x(n) = a^n pour n ≥ 0, et x(n) = 0 pour n < 0. Le terme u(n) est la séquence échelon unité, assurant la causalité de la séquence.
Cette séquence peut modéliser le comportement de sortie d'un filtre en régime impulsionnel, par exemple, la décharge d'un condensateur ou l'amortissement d'une vibration.
1.3.4 La séquence exponentielle complexe
La séquence exponentielle complexe est donnée par {x(n)} = {e^(jωnTe)}, où 'j' est l'unité imaginaire, 'ω' est la pulsation et 'Te' est la période d'échantillonnage.
Elle est essentielle pour l'analyse du comportement fréquentiel des systèmes, car elle permet de dériver les séquences sinusoïdales et cosinusoïdales (par exemple, {sin(nωTe)} et {cos(nωTe)}) à l'aide de la formule d'Euler.
2. Les signaux échantillonnés
2.1 Domaine temporel
Dans le domaine temporel, un signal échantillonné x*(t) est obtenu par la multiplication d'un signal continu original x(t) par une fonction d'échantillonnage e(t).
La fonction d'échantillonnage e(t) est une fonction périodique de période Te, ce qui signifie que sa fréquence d'échantillonnage Fe est l'inverse de Te (Fe = 1/Te). Elle est typiquement constituée d'une suite périodique d'impulsions de Dirac (ou d'impulsions très courtes de largeur τ) dont la largeur est très petite par rapport à Te.
Pour obtenir la séquence numérique x(n), l'amplitude des impulsions du signal échantillonné x*(t) est convertie en une série de nombres proportionnels aux valeurs du signal continu x(t) aux instants d'échantillonnage.
2.2 Domaine fréquentiel
Cette section étudie la relation entre le spectre du signal continu x(t) et celui du signal échantillonné x*(t) dans le domaine fréquentiel.
2.2.1 Cas d'un signal sinusoïdal
Considérons un signal continu x(t) qui est sinusoïdal, de fréquence f. Son spectre de Fourier est composé de deux impulsions (raies) aux fréquences ±f.
Lorsqu'un tel signal est échantillonné, notamment par une fonction d'échantillonnage périodique de fréquence Fe (où Fe > f), le spectre du signal échantillonné x*(t) est créé. Il est le résultat de la convolution des spectres de x(t) et e(t).
Concrètement, le spectre de x*(t) est composé de répliques du spectre original de x(t), translatées autour des fréquences multiples de la fréquence d'échantillonnage, c'est-à-dire ±nFe. Pour un signal sinusoïdal, on observera des raies aux fréquences Fe±f et -Fe±f, indiquant une translation du spectre initial.
2.2.2 Cas général
Dans le cas général, si la fonction d'échantillonnage réelle e(t) est périodique avec une fréquence Fe, elle peut être décomposée en une série de Fourier, s'exprimant comme une somme de fonctions sinusoïdales à des fréquences multiples de Fe.
Le spectre du signal échantillonné x*(t) est alors la répétition du spectre de base du signal continu x(t), translaté autour des fréquences ±nFe (où n est un entier). L'amplitude de ces répliques est modulée par les coefficients de Fourier de la fonction d'échantillonnage.
Exemple : Considérons un signal aléatoire x(t) dont le spectre est limité entre -50kHz et +50kHz. Si la fonction d'échantillonnage est une suite d'impulsions périodiques avec une fréquence Fe = 400kHz (période Te = 2.5µs) et une largeur d'impulsion τ = 0.25µs, sa décomposition en série de Fourier montre que les harmoniques ont des amplitudes similaires, surtout si τ est très petit par rapport à Te.
En résumé, le spectre du signal échantillonné x*(t) est une répétition du spectre de x(t) autour des fréquences multiples de Fe (..., -2Fe, -Fe, 0, Fe, 2Fe, ...).
Un point crucial est l'absence de recouvrement ou de repliement (aliasing) du spectre. Pour éviter ce phénomène, la fréquence d'échantillonnage Fe doit être supérieure ou égale au double de la fréquence maximale contenue dans le spectre du signal x(t).
3. Théorème de l'Échantillonnage
Un échantillonneur, souvent couplé à un Convertisseur Analogique-Numérique (CAN), a pour rôle de transformer un signal continu x(t) en une séquence discrète de nombres {x(n)}. L'objectif fondamental est de capturer suffisamment d'informations dans {x(n)} pour pouvoir reconstituer le signal original x(t) de manière fidèle.
L'opération d'échantillonnage a pour effet d'introduire une périodicité du spectre du signal dans le domaine des fréquences. Pour restituer le signal d'origine, il est nécessaire d'éliminer ces répétitions spectrales indésirables. Ceci est réalisable en utilisant un filtre passe-bas idéal, mais uniquement si aucun phénomène de repliement de spectre (aliasing) n'a eu lieu lors de l'échantillonnage.
3.1 Énoncé du Théorème de Shannon-Nyquist
Le théorème de Shannon-Nyquist est un principe fondamental en traitement du signal. Il stipule que pour pouvoir reconstituer parfaitement un signal analogique à partir de ses échantillons, la fréquence d'échantillonnage (Fe) doit être au moins le double de la fréquence maximale (Fmax) présente dans le signal original. En d'autres termes : Fe ≥ 2 * Fmax. Si cette condition n'est pas respectée, un phénomène appelé repliement de spectre (aliasing) se produit, rendant la reconstruction exacte impossible.
3.2 Remarques
Il est important de noter que le théorème de Shannon-Nyquist fournit une condition suffisante pour une reconstruction parfaite. En pratique, les filtres passe-bas ne sont pas idéaux, et il est souvent nécessaire d'utiliser une fréquence d'échantillonnage Fe significativement plus élevée que 2 * Fmax pour permettre une marge de sécurité et la conception de filtres anti-repliement réalisables.
4. Bloqueur d'Ordre Zéro
4.1 Étude du Bloqueur d'Ordre Zéro (B0)
Le bloqueur d'ordre zéro (B0, ou Zero-Order Hold en anglais) est un dispositif utilisé pour convertir une séquence de valeurs discrètes en un signal analogique continu. Son principe de fonctionnement est de maintenir la valeur du dernier échantillon reçu pendant toute la durée de la période d'échantillonnage Te, jusqu'à l'arrivée du prochain échantillon.
Autrement dit, si un échantillon x(n) est reçu à l'instant nTe, le bloqueur d'ordre zéro maintient cette valeur constante jusqu'à l'instant (n+1)Te. Cela crée un signal en escalier.
4.2 Fonction de transfert d'un bloqueur d'ordre zéro
Dans le domaine de Laplace, la fonction de transfert H(p) d'un bloqueur d'ordre zéro idéal est donnée par : H(p) = (1 - e^(-pTe)) / p, où 'p' est la variable de Laplace et 'Te' est la période d'échantillonnage. Cette fonction caractérise la réponse fréquentielle du bloqueur et montre qu'il introduit un retard et un certain filtrage passe-bas.
5. Transformée en Z d'une Séquence de Nombres
5.1 Définition de la Transformée en Z
La transformée en Z est un outil mathématique fondamental pour l'analyse des signaux et systèmes discrets (échantillonnés). Elle permet de transformer une séquence de nombres {x(n)} du domaine temporel discret vers le domaine fréquentiel complexe 'z'.
La transformée en Z bilatérale d'une séquence {x(n)} est définie par : X(z) = Σ (de n=-∞ à +∞) x(n)z^(-n).
Pour les séquences causales (x(n) = 0 pour n < 0), on utilise la transformée en Z unilatérale : X(z) = Σ (de n=0 à +∞) x(n)z^(-n).
5.2 Transformée en Z de la séquence impulsion unité
La transformée en Z de la séquence impulsion unité décalée {δ(n-k)} est z^(-k). En particulier, pour l'impulsion unité à l'origine {δ(n)}, la transformée en Z est 1. C'est une propriété de base très utilisée.
5.3 Transformée en Z de la séquence X(k)δ(n-k)
La transformée en Z de la séquence {x(k)δ(n-k)} est x(k)z^(-k). Cela découle directement de la linéarité et de la propriété de décalage temporel.
5.4 Transformée en Z d'une séquence causale
Comme mentionné dans la définition, pour une séquence causale {x(n)}, où x(n) = 0 pour n < 0, la transformée en Z est calculée à partir de n=0 : X(z) = Σ (de n=0 à +∞) x(n)z^(-n).
5.5 Transformée en Z de la séquence échelon unité
La transformée en Z de la séquence échelon unité à l'origine {u(n)} est z / (z - 1). Cette transformée est valide pour |z| > 1.
5.6 Transformée en Z de la séquence exponentielle réelle
La transformée en Z de la séquence exponentielle réelle causale {a^n * u(n)} est z / (z - a). Cette transformée est valide pour |z| > |a|.
5.7 Transformée en Z de la séquence exponentielle complexe
La transformée en Z de la séquence exponentielle complexe causale {e^(jωnTe) * u(n)} est z / (z - e^(jωTe)). Cette transformée est fondamentale pour l'analyse des réponses fréquentielles.
5.8 Propriétés de la Transformée en Z
5.8.1 La linéarité
La transformée en Z est un opérateur linéaire. Cela signifie que si {x(n)} ↔ X(z) et {y(n)} ↔ Y(z), alors la transformée en Z de {a*x(n) + b*y(n)} est a*X(z) + b*Y(z), où 'a' et 'b' sont des constantes.
5.8.2 Le théorème du retard (ou du décalage temporel)
Le théorème du retard stipule que si la transformée en Z de {x(n)} est X(z), alors la transformée en Z de la séquence décalée {x(n-k)} est z^(-k) * X(z). Cette propriété est cruciale pour l'analyse des systèmes récursifs.
5.8.3 Multiplication par a^n
Si la transformée en Z de {x(n)} est X(z), alors la transformée en Z de {a^n * x(n)} est X(z/a). Cette propriété est utile pour analyser des systèmes avec des comportements exponentiels.
5.9 Transformée en Z d'un produit de convolution
Le théorème de convolution pour la transformée en Z est très important : la transformée en Z du produit de convolution de deux séquences {x(n)} * {h(n)} est égale au produit de leurs transformées en Z individuelles, soit X(z) * H(z). Cela simplifie grandement l'analyse des systèmes linéaires invariants dans le temps.
6. Transformée de Fourier Discrète (TFD)
La Transformée de Fourier Discrète (TFD) est l'équivalent numérique de la Transformée de Fourier continue. Elle permet d'analyser le contenu fréquentiel de séquences de nombres finies et est largement utilisée dans le traitement du signal numérique pour l'analyse spectrale.
6.1 Cas d'un signal sinusoïdal
Pour un signal sinusoïdal discret, la TFD permet de retrouver les fréquences constitutives du signal. Si le signal est échantillonné à une fréquence Fe et qu'il contient une fréquence f, la TFD révélera un pic à cette fréquence, ainsi qu'à sa fréquence négative ou aux fréquences repliées selon les cas.
Il est crucial que la fenêtre d'observation et la durée du signal soient bien choisies pour éviter les fuites spectrales (spectral leakage) qui peuvent masquer les fréquences réelles.
6.2 Calcul numérique du spectre
Le calcul numérique du spectre d'un signal discret se fait généralement en appliquant la TFD à une séquence d'échantillons. Cela fournit une représentation discrète des fréquences présentes dans le signal. La résolution fréquentielle du spectre obtenu est inversement proportionnelle à la durée de la séquence analysée.
6.3 Algorithme de la Transformée de Fourier Rapide (FFT)
La Transformée de Fourier Rapide (FFT) est un algorithme efficace pour calculer la Transformée de Fourier Discrète et son inverse. Elle réduit considérablement le nombre d'opérations nécessaires, passant d'une complexité en O(N²) à O(N log N) pour N points de données. La FFT est donc indispensable pour l'analyse spectrale en temps réel et les applications exigeant une haute performance.
7. Passage du Filtrage Analogique au Filtrage Numérique
Le processus de conversion d'un filtre conçu dans le domaine analogique (continu) vers un équivalent numérique (discret) est une étape essentielle en traitement du signal. Il existe plusieurs méthodes pour réaliser cette discrétisation, chacune ayant ses avantages et inconvénients.
7.1 Exemple 1: Filtre passe-bas du premier ordre
La discrétisation d'un filtre passe-bas analogique du premier ordre est souvent réalisée en utilisant des méthodes comme la transformation bilinéaire. Cela permet d'obtenir une fonction de transfert en Z à partir de la fonction de transfert en Laplace, tout en conservant les caractéristiques essentielles du filtre, notamment sa fréquence de coupure.
7.2 Exemple 2: Filtre passe-bas du deuxième ordre
Pour un filtre passe-bas analogique du deuxième ordre, la transformation en domaine numérique est plus complexe mais suit des principes similaires. Elle est cruciale pour obtenir des filtres numériques avec des pentes de coupure plus raides, souvent nécessaires pour des applications exigeantes.
7.3 Exemple 3: Filtre passe-bande du deuxième ordre
La conception d'un filtre passe-bande numérique du deuxième ordre à partir de son équivalent analogique implique des transformations qui préservent la bande passante centrale et les fréquences de coupure. Cela est essentiel pour isoler une plage spécifique de fréquences dans un signal numérique.
8. Définition et Propriétés d'un Filtre Numérique
8.1 Définition
Un filtre numérique est un système qui prend une séquence de nombres en entrée et produit une autre séquence de nombres en sortie, en modifiant les caractéristiques fréquentielles du signal. Il est implémenté par des algorithmes mathématiques exécutés sur un processeur numérique de signal (DSP) ou un microcontrôleur.
8.2 Propriétés d'un Filtre Numérique
8.2.1 La linéarité
Un filtre numérique est linéaire si la réponse à une somme d'entrées est égale à la somme des réponses à chaque entrée prise individuellement. Autrement dit, si l'entrée est a*x1(n) + b*x2(n), la sortie sera a*y1(n) + b*y2(n).
8.2.2 L'invariance temporelle
Un filtre numérique est invariant dans le temps si un décalage temporel de l'entrée n'entraîne qu'un décalage temporel identique de la sortie. Si x(n) donne y(n), alors x(n-k) donnera y(n-k).
8.2.3 La causalité
Un filtre numérique est causal si sa sortie à un instant 'n' ne dépend que des échantillons d'entrée présents ou passés (x(n), x(n-1), ..., x(0)) et des échantillons de sortie passés (y(n-1), y(n-2), ..., y(0)). Un filtre causal est nécessaire pour les systèmes fonctionnant en temps réel.
8.3 Relation de récurrence
La relation de récurrence (ou équation aux différences) est l'expression mathématique qui décrit comment la sortie d'un filtre numérique (y(n)) est calculée à partir des échantillons d'entrée actuels et passés (x(n), x(n-1), ...) et des échantillons de sortie passés (y(n-1), y(n-2), ...). C'est le cœur de l'implémentation d'un filtre numérique.
9. Fonction de Transfert d'un Filtre Numérique
9.1 Définition
La fonction de transfert H(z) d'un filtre numérique est le rapport de la transformée en Z de la séquence de sortie Y(z) à la transformée en Z de la séquence d'entrée X(z), en supposant des conditions initiales nulles. Elle caractérise complètement le comportement entrée-sortie du filtre dans le domaine en Z.
9.2 Fonction de Transfert et Relation de Récurrence
Il existe une correspondance directe entre la relation de récurrence d'un filtre numérique et sa fonction de transfert H(z). En appliquant la transformée en Z à l'équation aux différences, on peut obtenir l'expression de H(z), qui est généralement un rapport de polynômes en z^(-1) ou z.
9.3 Passage de la Transmittance en Z à la Transmittance Complexe
La transmittance complexe (ou réponse en fréquence) d'un filtre numérique est obtenue en évaluant la fonction de transfert H(z) sur le cercle unité du plan Z, c'est-à-dire en substituant z par e^(jωTe). Cela donne H(e^(jωTe)), qui est une fonction de la fréquence angulaire ω et décrit l'amplitude et la phase de la réponse du filtre à différentes fréquences.
9.4 Pôles et Zéros de la Fonction de Transfert
Les pôles et les zéros sont les racines du dénominateur et du numérateur de la fonction de transfert H(z), respectivement. La position de ces pôles et zéros dans le plan Z détermine de manière cruciale la stabilité et la réponse fréquentielle du filtre numérique.
Pour qu'un filtre soit stable et causal, tous ses pôles doivent être situés à l'intérieur du cercle unité du plan Z.
10. Fonction de Transfert et Réponse Impulsionnelle
10.1 Relation Fondamentale
La réponse impulsionnelle h(n) d'un filtre numérique est sa sortie lorsque son entrée est la séquence impulsion unité δ(n). La fonction de transfert H(z) est la transformée en Z de la réponse impulsionnelle h(n). C'est une relation fondamentale qui lie le comportement temporel et fréquentiel d'un système discret.
11. Comportement Fréquentiel d'un Filtre Numérique
11.1 Relation entre Séquence de Sortie et Séquence d'Entrée
Dans le domaine temporel, la séquence de sortie {y(n)} d'un filtre linéaire invariant dans le temps est le produit de convolution de la séquence d'entrée {x(n)} et de la réponse impulsionnelle {h(n)}. Dans le domaine en Z, cette relation devient une multiplication : Y(z) = H(z) * X(z).
11.2 Fonction de Transfert Isochrone d'un Filtre
La fonction de transfert isochrone, également appelée réponse en fréquence complexe H(e^(jωTe)), décrit comment le filtre modifie l'amplitude et la phase des différentes composantes fréquentielles d'un signal. Elle est obtenue en évaluant H(z) sur le cercle unité du plan Z (z = e^(jωTe)).
11.3 Conclusions sur le comportement fréquentiel
11.3.1 La séquence de sortie {y(n)}
Lorsque l'entrée est une exponentielle complexe, la séquence de sortie {y(n)} est également une séquence complexe, dont l'amplitude et la phase sont modifiées par la réponse en fréquence du filtre.
11.3.2 Remarque
L'étude du comportement fréquentiel est cruciale pour comprendre comment un filtre va agir sur un signal, par exemple en atténuant certaines fréquences (filtre passe-bas, passe-haut) ou en laissant passer une bande spécifique (filtre passe-bande).
11.4 Exemples de Fonctions de Transfert Isochrones
11.4.1 Filtre RIF (Réponse Impulsionnelle Finie)
Pour un filtre RIF, la fonction de transfert isochrone est une somme finie de termes, ce qui rend son calcul direct et garantit une stabilité intrinsèque. Ces filtres sont souvent utilisés pour leurs propriétés de phase linéaire.
11.4.2 Filtre RII (Réponse Impulsionnelle Infinie)
Pour un filtre RII, la fonction de transfert isochrone implique une réponse récursive, où la sortie dépend également des sorties précédentes. Ces filtres peuvent avoir des performances de filtrage plus élevées avec moins de coefficients, mais leur stabilité doit être attentivement vérifiée.
11.5 Conclusion
La fonction de transfert isochrone est l'outil principal pour visualiser et analyser les performances fréquentielles d'un filtre numérique, permettant d'en ajuster les paramètres pour atteindre les spécifications désirées.
11.6 Transformée de Fourier de la Fonction de Transfert Isochrone
La transformée de Fourier de la fonction de transfert isochrone (qui est déjà une fonction dans le domaine fréquentiel) est, en fait, la réponse impulsionnelle du filtre dans le domaine temporel. C'est une illustration du lien étroit entre les représentations temporelle et fréquentielle.
12. Filtres Non Récursifs (ou RIF)
12.1 Définition
Un filtre non récursif, aussi appelé filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF), est un filtre numérique dont la sortie à l'instant 'n' dépend uniquement des échantillons d'entrée actuels et passés. Sa réponse impulsionnelle est de durée finie, c'est-à-dire qu'elle s'annule après un certain nombre d'échantillons.
12.2 Réponse Impulsionnelle
La réponse impulsionnelle h(n) d'un filtre RIF est une séquence finie. Par conséquent, l'équation aux différences ne contient pas de termes de sortie passée (y(n-k)), simplifiant sa conception et sa stabilité.
12.3 Stabilité des Filtres Non Récursifs
Les filtres RIF sont intrinsèquement stables, à condition que leurs coefficients soient finis. Cela est dû au fait que leur réponse impulsionnelle est de durée finie, ce qui empêche toute accumulation infinie d'énergie.
12.4 Fonction de Transfert en Z
La fonction de transfert H(z) d'un filtre RIF est toujours un polynôme en z^(-1) (ou en z), car il n'y a pas de termes récursifs dans la relation d'entrée-sortie. Elle est représentée par H(z) = Σ (de k=0 à N-1) b(k)z^(-k).
12.5 Fonction de Transfert Isochrone
La fonction de transfert isochrone H(e^(jωTe)) pour un filtre RIF est obtenue en substituant z par e^(jωTe) dans sa fonction de transfert H(z). Elle permet d'analyser directement la réponse en amplitude et en phase du filtre.
12.6 Filtres à Phase Linéaire
Les filtres RIF peuvent être conçus pour avoir une phase linéaire, ce qui est une propriété très recherchée dans de nombreuses applications (comme l'audio ou l'imagerie) car elle assure que toutes les composantes fréquentielles d'un signal sont retardées du même montant, évitant ainsi la distorsion de phase.
12.6.1 Synthèse des filtres non récursifs
La synthèse des filtres RIF implique le choix des coefficients {b(k)} qui définissent leur réponse impulsionnelle. Plusieurs méthodes existent, notamment la méthode de la fenêtre et la méthode de l'échantillonnage fréquentiel.
12.6.2 Calcul des coefficients d'un filtre RIF par la série de Fourier
Cette méthode consiste à concevoir un filtre RIF en calculant les coefficients de sa réponse impulsionnelle à partir des coefficients de Fourier de la réponse en fréquence désirée du filtre. Une fenêtre est souvent appliquée pour tronquer la réponse impulsionnelle infinie idéale en une réponse finie.
12.6.3 Calcul des coefficients d'un filtre RIF par échantillonnage en fréquence
Cette technique permet de spécifier la réponse en fréquence désirée à des points discrets, puis d'utiliser la Transformée de Fourier Inverse (TFI) pour obtenir les coefficients du filtre RIF. Elle est particulièrement utile pour les conceptions de filtres avec des bandes passantes et des bandes d'atténuation clairement définies.
13. Filtres Récursifs (ou RII)
13.1 Définition
Un filtre récursif, aussi appelé filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII), est un filtre numérique dont la sortie à l'instant 'n' dépend non seulement des échantillons d'entrée actuels et passés, mais aussi des échantillons de sortie passés. Sa réponse impulsionnelle est de durée théoriquement infinie.
13.2 Stabilité des Filtres Récursifs
Contrairement aux filtres RIF, les filtres RII ne sont pas intrinsèquement stables. Leur stabilité dépend de la position de leurs pôles dans le plan Z. Pour qu'un filtre RII soit stable, tous ses pôles doivent être situés à l'intérieur du cercle unité.
13.3 Cellule élémentaire du premier ordre
13.3.1 Réponse impulsionnelle
La réponse impulsionnelle d'une cellule RII de premier ordre est une séquence exponentielle décroissante, de durée infinie, caractérisée par un pôle unique.
13.3.2 Réponse indicielle
La réponse indicielle d'une cellule RII de premier ordre (sa sortie à un échelon unité) est une fonction qui converge asymptotiquement vers une valeur constante, typique d'un système du premier ordre.
13.3.3 Calcul de la constante de temps
La constante de temps d'une cellule RII de premier ordre, souvent liée à la position de son pôle, détermine la vitesse à laquelle le filtre réagit aux changements d'entrée et atteint son régime permanent.
13.3.4 Fonction de transfert H(z)
La fonction de transfert d'une cellule RII de premier ordre est typiquement de la forme H(z) = (b0 + b1*z^(-1)) / (1 - a1*z^(-1)), où 'a1' est directement lié à la position du pôle.
13.3.5 Fonction de transfert isochrone
La fonction de transfert isochrone de la cellule RII de premier ordre, obtenue en remplaçant z par e^(jωTe), montre sa réponse en fréquence caractéristique, souvent celle d'un filtre passe-bas ou passe-haut.
13.3.6 Conclusion
Les cellules élémentaires de premier ordre sont les briques de base pour la conception de filtres RII plus complexes, permettant de construire des réponses fréquentielles variées.
13.4 Cellule du deuxième ordre récursive
13.4.1 Relation de récurrence
La relation de récurrence d'une cellule RII de deuxième ordre est plus complexe, incluant des termes d'entrée et de sortie passés jusqu'à l'ordre deux, permettant de modéliser des résonances et des comportements plus sophistiqués.
13.4.2 Fonction de transfert H(z)
La fonction de transfert d'une cellule RII de deuxième ordre est typiquement de la forme H(z) = (b0 + b1*z^(-1) + b2*z^(-2)) / (1 - a1*z^(-1) - a2*z^(-2)), caractérisée par deux pôles (réels ou complexes conjugués).
13.4.3 Réponse fréquentielle
La réponse fréquentielle d'une cellule RII de deuxième ordre peut présenter des pics de résonance ou des pentes de coupure plus raides que les filtres de premier ordre, offrant une plus grande flexibilité de conception.
14. Discrétisation par la méthode trapézoïdale (Transformation Bilinéaire)
La méthode trapézoïdale, également connue sous le nom de transformation bilinéaire, est une technique courante pour transformer un filtre analogique (défini par sa fonction de transfert H(p) dans le domaine de Laplace) en un filtre numérique (défini par H(z) dans le domaine en Z).
Elle remplace l'opérateur différentiel p par une approximation discrète, préservant la stabilité du filtre analogique.
14.1 Synthèse d'un filtre passe-bas du premier ordre par transformation bilinéaire
L'application de la transformation bilinéaire à un filtre passe-bas analogique du premier ordre permet d'obtenir directement les coefficients du filtre RII numérique équivalent. Cette méthode est simple à mettre en œuvre et garantit la stabilité, bien qu'elle introduise une distorsion de fréquence.
14.2 Synthèse d'un filtre passe-bas du deuxième ordre par transformation bilinéaire
La transformation bilinéaire est également applicable aux filtres passe-bas analogiques du deuxième ordre, conduisant à des filtres RII numériques plus complexes avec des réponses fréquentielles plus sélectives. La pré-distorsion des fréquences analogiques est souvent nécessaire pour compenser la non-linéarité de la transformation.
14.3 Synthèse d'un filtre passe-bas d'ordre 4 par discrétisation de l'équation différentielle
Pour des ordres plus élevés, comme un filtre passe-bas d'ordre 4, la discrétisation peut également être réalisée directement à partir de l'équation différentielle du filtre analogique en remplaçant les dérivées par des approximations aux différences finies. Cette approche, bien que parfois moins directe que la transformation bilinéaire pour des cas standards, offre une flexibilité pour des structures spécifiques.
15. Applications Spécifiques
15.1 Synthèse du filtre numérique du MEA8000 (Synthétiseur vocal)
Le MEA8000 est un exemple historique de synthétiseur vocal qui utilisait des filtres numériques pour modéliser la résonance du conduit vocal humain. La synthèse de ses filtres numériques était cruciale pour reproduire les formants vocaux et générer des sons de parole.
15.2 Oscillateur Sinusoïdal
Les filtres numériques peuvent être configurés pour fonctionner comme des oscillateurs sinusoïdaux, générant des signaux sinusoïdaux sans entrée externe, en exploitant des pôles sur le cercle unité du plan Z.
15.2.1 Signal sinusoïdal non amorti
Un oscillateur numérique générant un signal sinusoïdal non amorti est obtenu en plaçant des pôles conjugués exactement sur le cercle unité. La relation de récurrence correspondante maintient l'oscillation sans décroissance d'amplitude.
15.2.2 Signal sinusoïdal amorti
Pour un signal sinusoïdal amorti, les pôles conjugués sont placés légèrement à l'intérieur du cercle unité. Plus ils sont proches du centre, plus l'amortissement est rapide.
15.2.3 Signal cosinusoïdal non amorti
De manière similaire au signal sinusoïdal non amorti, un oscillateur cosinusoïdal non amorti est réalisé avec des pôles sur le cercle unité, mais avec des conditions initiales appropriées pour générer une forme d'onde cosinus.
15.3 Correcteur P.I.D.
Le correcteur Proportionnel-Intégral-Dérivé (PID) est largement utilisé en contrôle automatique. Sa version numérique, discrétisée, est implémentée en utilisant des filtres numériques pour les composantes proportionnelle, intégrale et dérivée, agissant sur des échantillons de signal d'erreur.
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que le repliement de spectre (aliasing) et comment l'éviter ?
Le repliement de spectre se produit lorsque la fréquence d'échantillonnage est trop faible par rapport à la fréquence maximale du signal continu, entraînant une distorsion et la perte d'informations. Pour l'éviter, la fréquence d'échantillonnage doit être au moins le double de la fréquence maximale du signal (théorème de Shannon-Nyquist), et un filtre anti-repliement (filtre passe-bas analogique) doit être utilisé avant l'échantillonnage.
Quelle est la différence principale entre un filtre RIF et un filtre RII ?
Un filtre RIF (Réponse Impulsionnelle Finie) utilise uniquement les échantillons d'entrée actuels et passés pour calculer sa sortie, ce qui lui confère une stabilité intrinsèque et la possibilité d'une phase linéaire. Un filtre RII (Réponse Impulsionnelle Infinie) utilise à la fois les échantillons d'entrée et de sortie passés (récursivité), ce qui le rend plus efficace en termes de nombre de coefficients pour une performance donnée, mais nécessite une vérification de sa stabilité (pôles à l'intérieur du cercle unité).
Pourquoi la transformée en Z est-elle essentielle pour les filtres numériques ?
La transformée en Z est l'équivalent discret de la transformée de Laplace pour les signaux continus. Elle permet de simplifier l'analyse et la conception des systèmes discrets, transformant les équations aux différences (convolution) en multiplications de fonctions de transfert. Elle fournit également des outils pour évaluer la stabilité et la réponse en fréquence des filtres numériques grâce à l'étude des pôles et des zéros.