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Exercices de Traitement Avancé du Signal

Ce document présente une série d'exercices couvrant des concepts fondamentaux en traitement du signal, notamment la conception de filtres numériques (RII et RIF) et l'analyse de processus stochastiques. Ces exercices sont typiques d'un examen ou d'un contrôle de module universitaire en électronique.

Informations générales

Module : Traitement avancé du signal
Département : Électronique
Université : M'sila
Niveau : Master 1 (S1) - Spécialités ESE & INST
Date : 16/01/2017
Chargé du module : Pr. Mezache Amar

Exercice 1 : Filtre RII (Réponse Impulsionnelle Infinie)

L'objectif est de concevoir un filtre numérique passe-bas à partir d'un filtre analogique de Butterworth en utilisant la méthode de l'invariance impulsionnelle. Les spécifications du filtre analogique sont les suivantes :

Une atténuation de 3 dB à une fréquence angulaire normalisée Ω = 0.25π.
Une atténuation de 10 dB à une fréquence angulaire normalisée Ω = 0.45π.

a) Calcul de la fonction de transfert analogique, Ha(s)

Déterminer l'expression de la fonction de transfert analogique du filtre de Butterworth, Ha(s), en respectant les spécifications d'atténuation données. Cela implique de trouver l'ordre du filtre et ses paramètres.

b) Calcul de la fonction de transfert numérique, H(z)

Appliquer la méthode de l'invariance impulsionnelle pour déduire la fonction de transfert numérique, H(z), à partir de Ha(s). Cette méthode consiste à échantillonner la réponse impulsionnelle du filtre analogique.

c) Calcul de la sortie du filtre numérique, y(n)

Étant donnée une entrée spécifique (non précisée ici, mais implicitement nécessaire pour le calcul), calculer la sortie y(n) du filtre numérique.

Exercice 2 : Filtre RIF (Réponse Impulsionnelle Finie)

On souhaite concevoir un filtre passe-haut RIF à phase linéaire en utilisant la fenêtre de Hamming. La fenêtre de Hamming est définie par la formule :

w(n) = 0.54 - 0.46 cos (2πn / (N-1))

Avec N = 7 (nombre de points de la fenêtre) et ω_c = 0.45π (fréquence de coupure normalisée).

a) Calcul des coefficients de la réponse impulsionnelle, h(n)

Déterminer les coefficients de la réponse impulsionnelle du filtre, h(n), en utilisant la méthode de conception par fenêtrage avec la fenêtre de Hamming et la fréquence de coupure spécifiée.

b) Calcul de la phase et de l'amplitude de la réponse fréquentielle, H(e^jω)

Calculer la fonction de transfert fréquentielle H(e^jω) du filtre RIF obtenu. En déduire son amplitude |H(e^jω)| et sa phase ∠H(e^jω).

Exercice 3 : Processus Stochastique

Considérons un processus stochastique X(t) défini par :

X(t) = A cos(ωt + φ)

Où A et ω sont des paramètres constants, et φ est une variable aléatoire de distribution uniforme sur l'intervalle [0, 2π]. Sa densité de probabilité est donnée par f_φ(φ) = 1/(2π) pour 0 ≤ φ ≤ 2π.

a) Vérification de l'ergodicité du processus X(t)

Vérifier si le processus X(t) est ergodique en moyenne et en autocorrélation. L'ergodicité implique que les moyennes temporelles sont égales aux moyennes d'ensemble, ce qui simplifie l'estimation des propriétés statistiques à partir d'une seule réalisation.

b) Détermination de la densité spectrale de puissance, Sxx(f)

Calculer la densité spectrale de puissance Sxx(f) du processus X(t). Cela implique généralement de déterminer la fonction d'autocorrélation Rxx(τ) puis d'en prendre la transformée de Fourier.

c) Détermination de la densité de probabilité de Y=X² si X(t) est Gaussien

Si X(t) est un processus Gaussien dont la densité de probabilité est donnée par f_X(x) = (1 / (σ√(2π))) exp(-x² / (2σ²)), déterminer la densité de probabilité f_Y(y) du processus aléatoire Y = X². Cette transformation nécessite l'application de la formule de changement de variable pour les densités de probabilité.

FAQ sur le Traitement du Signal et les Processus Stochastiques

Qu'est-ce qu'un filtre RII (Réponse Impulsionnelle Infinie) ?

Un filtre RII (Réponse Impulsionnelle Infinie) est un filtre numérique dont la réponse impulsionnelle, suite à une impulsion d'entrée, ne s'annule jamais complètement et théoriquement se prolonge à l'infini. Les filtres RII sont caractérisés par une fonction de transfert qui est un rapport de polynômes en z (pôles et zéros), ce qui leur permet d'atteindre des caractéristiques de filtrage complexes avec un ordre de filtre relativement faible.

Quelle est la principale différence entre un filtre RII et un filtre RIF (Réponse Impulsionnelle Finie) ?

La distinction majeure réside dans la durée de leur réponse impulsionnelle. Les filtres RII ont une réponse de durée infinie, sont souvent plus efficaces en termes de ressources de calcul pour des performances équivalentes aux RIF, mais peuvent être instables et n'ont pas intrinsèquement une phase linéaire. En revanche, les filtres RIF (Réponse Impulsionnelle Finie) ont une réponse de durée limitée, sont toujours stables et peuvent être conçus avec une phase linéaire exacte, mais nécessitent généralement un ordre plus élevé pour obtenir des performances similaires aux RII.

Qu'est-ce que l'ergodicité dans le contexte d'un processus stochastique ?

Un processus stochastique est dit ergodique si ses moyennes temporelles (calculées sur une seule réalisation, ou "trajectoire", du processus) sont égales à ses moyennes d'ensemble (calculées sur l'ensemble de toutes les réalisations possibles à un instant donné). En d'autres termes, une observation suffisamment longue d'une seule instance du processus est suffisante pour en caractériser toutes les propriétés statistiques d'ensemble, telles que la moyenne ou l'autocorrélation.