Examen traitement du signal 1 -Traitement de signal - Téléc
Télécharger PDFPrincipes Fondamentaux et Exercices Corrigés en Traitement du Signal
1. Questions de Cours
1.1 Questions à Choix Multiples (QCM)
Voici les réponses aux questions à choix multiples abordées :
- Question 1 : b
- Question 2 : a et c
- Question 3 : a et c
- Question 4 : c
1.2 Questions Ouvertes
La relation d’incertitude, un principe fondamental en traitement du signal, stipule que le produit de la durée temporelle (T) et de la largeur de bande fréquentielle (B) d'un signal doit être supérieur ou égal à une constante minimale, souvent exprimée comme : T.B ≥ 1/π. Cela implique qu'il est impossible de connaître simultanément avec une précision arbitraire la durée et le spectre d'un signal.
Lorsqu'un signal temporel est soumis à un fenêtrage temporel (multiplié par une fonction de fenêtre), cette opération se traduit, dans le domaine fréquentiel, par une convolution du spectre théorique du signal avec le spectre de la fenêtre utilisée. Ce phénomène entraîne un élargissement des lobes principaux et la création de lobes secondaires, ce qui peut masquer certaines fréquences et limiter la résolution spectrale de l'analyse.
En augmentant le nombre d’échantillons utilisés pour l'analyse spectrale, on peut améliorer la résolution fréquentielle. Un plus grand nombre d'échantillons sur une durée d'observation constante permet de discriminer plus finement les composantes fréquentielles proches.
Un filtre causal est défini comme un système dont la sortie à un instant donné ne dépend que des valeurs présentes et passées de l'entrée. Cela signifie que sa réponse impulsionnelle est nulle pour les instants négatifs (i.e., la réponse impulsionnelle h(n) est nulle pour n < 0 pour un système discret, ou h(t) est nulle pour t < 0 pour un système continu).
2. Exercices d'Application
2.1 Analyse Spectrale Numérique
Pour une analyse spectrale numérique, le nombre d’échantillons disponibles peut être calculé en fonction de la durée d'acquisition et de la fréquence d'échantillonnage. Si nous disposons de 35 millisecondes d'enregistrement avec une fréquence d'échantillonnage de 16000 Hz, le nombre d’échantillons est :
Nombre d’échantillons disponibles = 35 × 10⁻³ s × 16000 Hz = 560 échantillons.
Pour réaliser l'analyse spectrale, on prélève un certain nombre de ces échantillons et on les multiplie par une fonction de fenêtre adaptée aux exigences de résolution souhaitées.
Si une résolution d’amplitude nécessaire est de 20 dB, des fenêtres comme celle de Bartlett, Hamming ou Hanning sont généralement employées. Ces fenêtres sont choisies pour leurs propriétés spécifiques d'atténuation des lobes secondaires dans le spectre fréquentiel, ce qui aide à obtenir la résolution d'amplitude requise.
La résolution fréquentielle (∆ν) est souvent liée au nombre de points N de la Transformée de Fourier Rapide (FFT) par la relation ∆ν = K × νe / N, où νe est la fréquence d'échantillonnage et K un facteur dépendant de la fenêtre. Si les calculs nécessitent que N soit supérieur ou égal à 427 (N ≥ 427) et que le nombre d’échantillons pour une FFT doit impérativement être une puissance de 2 pour l'optimisation de l'algorithme, la valeur de N sera choisie à 512, qui est la puissance de 2 immédiatement supérieure à 427.
2.2 Analyse d’un Filtre
L'équation récurrente du filtre est donnée par : y(n) = x(n) − βx(n − 1) − α²y(n − 2).
La fonction de transfert H(z) de ce filtre, obtenue par transformation en Z, est :
H(z) = (1 − βz⁻¹) / (1 + α²z⁻²)
Ce type de filtre est un Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII), caractérisé par une dépendance de la sortie non seulement des entrées passées et présentes, mais aussi des sorties passées (terme y(n − 2)).
En réécrivant H(z) sous une forme factorisée pour identifier les pôles et les zéros :
H(z) = z(z − β) / (z² + α²)
Les pôles du filtre, qui sont les racines du dénominateur, sont : z = ±jα.
Les zéros du filtre, qui sont les racines du numérateur, sont : z = 0 et z = β.
La condition de stabilité pour un filtre RII est que tous ses pôles doivent être situés strictement à l'intérieur du cercle unité dans le plan Z. Pour ce filtre, la stabilité est assurée si et seulement si |α| < 1.
2.3 Synthèse d’un Filtre RIF
Un filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) est un filtre dont la réponse impulsionnelle h(n) est de durée finie. Si une réponse impulsionnelle h(n) est infinie et non causale (c'est-à-dire que h(n) est non nulle pour n < 0), le filtre n’est pas directement réalisable sous forme d’un filtre RIF dans sa conception la plus simple.
Pour la conception d'un filtre RIF, on utilise souvent un fenêtrage symétrique. Des fenêtres telles que la fenêtre de Hamming ou de Hanning sont privilégiées pour respecter des spécifications d'amplitude précises avec un minimum de coefficients. Elles offrent un bon compromis entre l'atténuation des lobes secondaires et la largeur du lobe principal dans le domaine fréquentiel.
Le calcul de la longueur N du filtre est crucial. La bande de transition (∆ν) est souvent liée à la longueur N. Si la spécification est que la bande de transition doit être, par exemple, ∆ν/2 ≤ 1/10 (en utilisant une approximation comme 2/N ≤ 1/10), alors N doit être supérieur ou égal à 20 (N ≥ 20). Ainsi, la longueur du filtre sera choisie à N = 21 coefficients pour satisfaire cette condition.
Les coefficients de la réponse impulsionnelle, avant toute modification pour la causalité, sont donnés par :
- h(0) = 1/2
- h(1) = h(−1) = −1/π
- h(2) = h(−2) = 0
- h(3) = h(−3) = 1/3π
- h(4) = h(−4) = 0
Pour rendre ce filtre RIF causal, on décale la réponse impulsionnelle de 4 échantillons vers les indices positifs. Cela garantit que h(n) est nulle pour n < 0, ce qui permet au filtre de fonctionner en temps réel sans nécessiter de valeurs futures de l'entrée.
Concernant le gabarit du filtre, si une atténuation de -21 dB est requise pour la bande basse et qu'une bande de transition de 1/11 est spécifiée, il est possible d'atteindre ces objectifs en mettant en cascade deux filtres identiques. Lorsque deux filtres sont mis en cascade, la bande de transition globale du système résultant reste la même que celle d'un seul filtre. Cependant, l’atténuation en décibels est doublée. Ainsi, une atténuation de -21 dB par filtre devient -42 dB pour la cascade, respectant largement le gabarit initial. L'intérêt principal de cette structure en cascade réside dans une moindre sensibilité aux erreurs de quantification, tant des échantillons d'entrée que des coefficients du filtre, améliorant ainsi la robustesse et la précision du système.
Foire Aux Questions (FAQ) sur le Traitement du Signal
Qu'est-ce qu'un filtre causal ?
Un filtre causal est un système dont la sortie à tout instant ne dépend que des entrées passées et de l'entrée actuelle. Sa réponse impulsionnelle est nulle avant l'instant zéro, ce qui assure sa réalisabilité en temps réel, car il ne nécessite pas de connaissances sur les événements futurs.
Pourquoi utilise-t-on des fenêtres comme Hamming ou Hanning en analyse spectrale ?
Les fenêtres de Hamming ou de Hanning sont utilisées pour atténuer les effets indésirables de la troncature du signal (phénomène de Gibbs) dans le domaine temporel. Elles réduisent significativement les lobes secondaires dans le spectre fréquentiel, ce qui minimise les fuites spectrales et améliore la résolution d'amplitude, permettant une meilleure identification et séparation des composantes fréquentielles.
Quel est l'impact de la mise en cascade de filtres sur l'atténuation et la bande de transition ?
Lorsqu'on met en cascade deux filtres identiques, la bande de transition globale du système résultant reste généralement la même que celle d'un seul filtre. Cependant, l'atténuation en décibels est doublée. Par exemple, si un filtre atténue de 21 dB, deux filtres en cascade atténueront de 42 dB. Cela permet d'atteindre des spécifications d'atténuation plus strictes sans nécessairement augmenter la complexité de chaque filtre individuel de manière significative.