Série td 1 m112 analyse 2 -Analyse 2

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Université Hassan H-F.S.T. Mohammedia - Module Analyse 2

Département de mathématiques - Année 2019-2020

Série d'exercices 1 : Utilisation de la définition d'une primitive

Soit `f` une fonction continue sur `R` et `F(x) = ∫ f(t) dt` une de ses primitives (par exemple, `F(x) = ∫_a^x f(t) dt`). Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes :

F est continue sur R.
F est dérivable sur R de dérivée f.
Si f est croissante sur R, alors F est croissante sur R.
Si f est positive sur R, alors F est positive sur R.
Si f est positive sur R, alors F est croissante sur R.
Si f est paire, alors F est impaire.

Exercice 1

Calcul de primitives usuelles

Calculer les primitives suivantes en utilisant les formules usuelles d'intégration :

∫ (3x-1)(3x²-2x+3)³ dx
∫ √(x-2) dx
∫ e^(3x+1) dx

Exercice 2

Calcul par intégration par parties

Calculer les primitives suivantes en utilisant la méthode d'intégration par parties :

∫ x² ln(x) dx
∫ (x²+x+1)e^x dx
∫ e^x sin(x) dx
∫ x ln(x) / (x+1)² dx

Exercice 3

Primitive de (ln x)ⁿ

Pour n > 1, donner une primitive de (ln x)ⁿ.

Suggestion : On pourra utiliser une formule de récurrence obtenue par intégration par parties.

Exercice 4

Calcul de primitives trigonométriques

Calculer les primitives suivantes :

∫ cos³(x) dx
∫ sin³(x) cos²(x) dx
∫ sin²(x) cos²(x) dx
∫ cos⁴(x) dx

Exercice 5

Décomposition en éléments simples

Calculer la primitive suivante à l'aide d'une décomposition en éléments simples :

∫ 1 / (x(x-1)(x-2)) dx

Exercice 6

Primitives de fractions rationnelles

Calculer les primitives des fractions rationnelles suivantes :

∫ (2x²-3x+4) / (x-1)² dx
∫ 1 / ((x-1)² (x²+1)) dx

Exercice 7

Analyse d'une erreur de calcul d'intégrale

On demande de calculer l'intégrale définie I :

I = ∫₀^π/3 1 / (1 + cos²(x)) dx

Sur la copie d'un étudiant, on lit la tentative de résolution suivante :

I = ∫ 1 / (1 + cos²(x)) dx

On pose t = tan(x) ; d'où dt = (1 + tan²(x)) dx.

Les bornes de l'intégrale sont de x=0 à x=π/3.

Après substitution, on obtient :
I = ∫_tan(0)^tan(0) t / (2 + t²) dt = 0

Pourquoi est-ce manifestement faux ?
Où sont les erreurs de raisonnement dans les étapes de substitution et/ou de calcul des bornes ?
Quelle est la valeur correcte de I ?

Exercice 8

Calcul par changement de variables (t = φ(x))

Calculer les primitives suivantes à l'aide d'un changement de variables de type t = φ(x) :

∫ cos(x) / (1 + sin(x)) dx
∫ 1 / (1 + tan(x)) dx
∫ 1 / cosh(x) dx
∫ 1 / (1 + e^x) dx
∫ 1 / (3 - sin(x)) dx
∫ (3 + e^x)√(e^x - 1) dx

Exercice 9

Calcul par changement de variables (x = φ(t))

Calculer les primitives suivantes à l'aide d'un changement de variables de type x = φ(t), où φ doit être une bijection :

∫ √((x+1)/x) dx
∫ √(-x²+2x+8) dx

Exercice 10

Analyse d'une fonction définie par une intégrale

Soit F la fonction définie pour tout x > 1 par :

F(x) = ∫₁^x 1 / ln(1+t) dt

Montrer que F est définie et de classe C¹ sur ]1, +∞[.
Montrer que pour tout t > 0 : t - t²/2 < ln(1+t) < t.
En déduire un encadrement de F(x) pour x > 1, puis calculer lim_x→+∞ F(x).
Calculer pour tout x > 1, F'(x).
En déduire que pour tout x > 1, F(x) > ln(2).

Exercice 11

Propriété d'intégrale et application

Soit f : [a, b] → R une fonction continue telle que, pour tout x ∈ [a, b], on a f(a+b-x) = f(x).

Montrer que : ∫_a^b x f(x) dx = (a+b)/2 ∫_a^b f(x) dx.

En déduire la valeur de l'intégrale suivante :

I = ∫₀^π x sin(x) / (1 + cos²(x)) dx.

Foire Aux Questions (FAQ) sur les primitives et intégrales

1. Qu'est-ce qu'une primitive et comment la calculer ?

Une primitive d'une fonction f sur un intervalle I est une fonction F telle que F'(x) = f(x) pour tout x de I. Pour la calculer, on utilise des tables de primitives usuelles, des propriétés de linéarité, ou des techniques comme l'intégration par parties et le changement de variables.

2. Dans quels cas utilise-t-on l'intégration par parties ou le changement de variables ?

L'intégration par parties est souvent utile pour intégrer des produits de fonctions (ex: x·e^x, x·ln x, e^x·sin x). Le changement de variables est employé quand l'intégrande est la dérivée d'une fonction composée, ou pour simplifier une expression en la transformant en une forme plus facile à intégrer (ex: les fonctions trigonométriques ou certaines racines carrées).

3. Comment aborder l'intégration de fractions rationnelles ?

Pour intégrer une fraction rationnelle P(x)/Q(x), on effectue d'abord une division euclidienne si le degré de P est supérieur ou égal à celui de Q. Ensuite, on décompose la fraction en éléments simples (polynômes + fractions de la forme A/(ax+b)^n ou (Ax+B)/(ax²+bx+c)^n). Enfin, on intègre chaque élément simple séparément, ce qui mène souvent à des logarithmes ou des arc-tangentes.