Ce document pédagogique est destiné aux étudiants universitaires en électronique et génie électrique. Il présente une série d'exercices corrigés, suivie d'une foire aux questions, afin de consolider la compréhension des amplificateurs opérationnels (AOP) en régime linéaire.
Il couvre les notions et applications suivantes:
- Analyse des montages fondamentaux (inverseur, non-inverseur, sommateur, différentiel).
- Calcul des gains et expressions des tensions de sortie des circuits à AOP.
- Caractéristiques idéales et principes de fonctionnement des AOP en régime linéaire.
Électronique analogique : Exercices corriges amplificateur opérationnel en régime lin
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Exercice 1
Soit le circuit suivant:
R1 = 10kΩ
R2 = 20kΩ
R3 = 100kΩ
- Donner l’expression de US2 en fonction de US1, R3 et R4.
- Donner l’expression de UR2 en fonction de Ue, R1 et R2.
- Donner l’expression de US2 en fonction de Ue, R1 et R2.
- Donner l’expression du gain du circuit : US / Ue.
- Calculer R4 afin que US2 = 2 Ue.
Solutions Exercice 1
- On a un montage non-inverseur. Un montage non-inverseur typique a un gain US/Ue = 1 + R_f/R_i, où R_f est la résistance de contre-réaction et R_i est la résistance en série avec l'entrée inverseuse. L'expression exacte de US2 en fonction de US1, R3 et R4 dépend de la configuration précise des résistances dans le circuit non-inverseur. Pour établir ces expressions, il est indispensable de disposer du schéma du circuit afin d'appliquer les lois des AOP en régime linéaire, telles que la règle du court-circuit virtuel (V+ = V-) et l'absence de courant aux entrées de l'AOP.
- On a un diviseur de tension. Si UR2 fait partie d'un diviseur de tension classique, son expression serait UR2 = Ue * (R_x / (R_y + R_x)). L'expression exacte de UR2 en fonction de Ue, R1 et R2 dépend de la manière dont ces résistances sont connectées pour former ce diviseur de tension. Pour établir ces expressions, il est indispensable de disposer du schéma du circuit afin d'appliquer les lois des AOP en régime linéaire, telles que la règle du court-circuit virtuel (V+ = V-) et l'absence de courant aux entrées de l'AOP.
- On a un montage suiveur. Si US2 correspond à la sortie d'un montage suiveur, alors par définition US2 = Ue. L'expression exacte dépendrait de la position de Ue. Pour établir ces expressions, il est indispensable de disposer du schéma du circuit afin d'appliquer les lois des AOP en régime linéaire, telles que la règle du court-circuit virtuel (V+ = V-) et l'absence de courant aux entrées de l'AOP.
- L'expression du gain dépendrait du schéma. Le gain US/Ue est le rapport de la tension de sortie sur la tension d'entrée du circuit. Son expression exacte dépend de la topologie spécifique du montage. Pour établir ces expressions, il est indispensable de disposer du schéma du circuit afin d'appliquer les lois des AOP en régime linéaire, telles que la règle du court-circuit virtuel (V+ = V-) et l'absence de courant aux entrées de l'AOP.
- US2 = 2 Ue.
R4 = 200kΩ.
Exercice 2
Soient les 2 circuits suivants:
R1 = 5kΩ
R2 = R3 = 10kΩ
- Dans le circuit a, donner l’expression US en fonction de V1 et V2.
- Si V1 = 1Vsinωt (ω = 2πf et f = 50 Hz) et V2 une tension continue telle que représentée sur le circuit b, donner l’expression de US.
Solutions Exercice 2
- On utilise le théorème de Millman pour déterminer v-. Le montage est un sommateur inverseur. Si le montage est un sommateur inverseur, l'expression générale de la tension de sortie est US = -Rf * (V1/R1 + V2/R2 + ...), où Rf est la résistance de contre-réaction. L'expression exacte de US dépendrait des connexions spécifiques et des composants du circuit 'a'.
- L'expression de US dépendrait des configurations des circuits 'a' et 'b' et de la manière dont V1 et V2 sont appliquées. Pour une configuration de circuit spécifique, l'expression de US peut être déterminée en appliquant les principes de l'AOP en régime linéaire. Par exemple, si V1 est un signal sinusoïdal et V2 une tension continue, leurs effets se superposent en régime linéaire.
Exercice 3
Soit le circuit suivant:
R1 = 2,7kΩ
R2 = 3,3kΩ
R3 = 18kΩ
R4 = 5kΩ
R5 = 20kΩ
R6 = R7 = R8 = 100kΩ
R9 = 50kΩ
- Exprimer UA /Ue, US/UA et US/Ue en fonction des résistances.
- Calculer le gain du circuit : US/Ue.
Solutions Exercice 3
- Les expressions de UA /Ue, US/UA et US/Ue dépendent de la topologie spécifique du circuit et des positions de toutes les résistances. Pour chaque section du circuit (par exemple, un premier étage pour UA/Ue, un second pour US/UA), il faut identifier le type de montage (inverseur, non-inverseur, suiveur, etc.) et appliquer la formule de gain correspondante.
- Le calcul du gain du circuit US/Ue dépend de l'expression dérivée au point 1. Une fois les expressions de gain pour chaque étage déterminées (UA/Ue et US/UA), le gain global US/Ue est le produit de ces gains (US/Ue = (US/UA) * (UA/Ue)). Le calcul final nécessite l'expression dérivée au point 1 et les valeurs des résistances données.
Exercice 4
Soit le circuit suivant:
- Montrer que Ue = 0.
- Exprimer v+ en fonction de Vref, R3 et R4.
- En déduire l'expression de US en fonction de Ue, Vref, R1, R2, R3 et R4.
- On prend R2 = 5R1. Quelle doit être la valeur du rapport R4 / R3 pour obtenir la relation : US = 5 (Vref - Ue).
Solutions Exercice 4
- La démonstration que Ue = 0 dépend du schéma du circuit. Elle serait possible si Ue est une entrée virtuelle de l'AOP, ou si elle est connectée à la masse via une faible impédance, ou encore si elle représente une tension de décalage compensée.
- L'expression de v+ en fonction de Vref, R3 et R4 est généralement obtenue par un diviseur de tension si Vref est appliqué sur l'entrée non-inverseuse via ces résistances. Si Vref est appliqué à l'entrée non-inverseuse (v+) de l'AOP via un diviseur de tension formé par R3 et R4, l'expression de v+ est alors Vref * (R4 / (R3 + R4)). L'expression exacte dépendra de la connexion de ces résistances.
- L'expression de US sera déduite des relations précédentes, en utilisant les lois de l'AOP en régime linéaire (v- = v+). En appliquant la règle du court-circuit virtuel (v- = v+) et les lois de Kirchhoff aux nœuds d'entrée et de sortie, l'expression de US peut être déduite des relations précédentes en fonction de Ue, Vref, R1, R2, R3 et R4.
- Si R2 = 5R1, pour obtenir US = 5 (Vref - Ue), la valeur du rapport R4 / R3 doit être déterminée par l'analyse détaillée du circuit et les relations établies. Pour obtenir la relation spécifique US = 5 (Vref - Ue), il faut analyser la fonction de transfert du circuit. Le rapport R4 / R3 sera alors calculé en égalisant cette fonction de transfert à l'expression désirée, après avoir établi les relations détaillées du circuit.
Exercice 5
Soit le circuit suivant:
- Comment fonctionnent les AOP ? Conséquence.
- Déterminer U en fonction de V1 et a.
- Calculer VS en fonction de U et V2.
- Montrer que VS = k(V2 - V1). Quelle valeur doit-on donner à a pour que k = 10.
- Quel est le montage obtenu ?
Solutions Exercice 5
- Les AOP fonctionnent en régime linéaire, ce qui implique que la tension entre les bornes d'entrée est nulle (v- = v+). Les AOP en régime linéaire fonctionnent grâce à une contre-réaction négative, ce qui maintient les tensions d'entrée inverseuse (v-) et non-inverseuse (v+) pratiquement égales (v- = v+, règle du court-circuit virtuel) et les courants d'entrée nuls (i- = i+ = 0). Ces conséquences sont fondamentales pour l'analyse des circuits à AOP.
- L'expression de U en fonction de V1 et 'a' dépend de la configuration spécifique du circuit. Pour déterminer l'expression de U en fonction de V1 et d'un paramètre 'a' (qui peut être un rapport de résistances ou un gain partiel), il est nécessaire de connaître la topologie du circuit où U est une tension intermédiaire.
- L'expression de VS en fonction de U et V2 dépend de la configuration spécifique du circuit. De même, l'expression de VS en fonction de U et V2 sera obtenue en analysant l'étage de l'AOP qui génère VS, en identifiant son type de montage (par exemple, sommateur, inverseur, non-inverseur) et en appliquant les lois correspondantes.
- Pour obtenir VS = k(V2 - V1), et si k = a + 1, alors pour k = 10, la valeur de 'a' doit être 9.
- Le montage obtenu est un amplificateur différentiel, généralement réalisé avec deux amplificateurs opérationnels. Le montage obtenu est un amplificateur différentiel, dont la fonction est de produire une tension de sortie proportionnelle à la différence entre deux tensions d'entrée. Il peut être réalisé avec un ou plusieurs AOP.
Exercice 6
Soit le circuit suivant:
- Exprimer VS1 en fonction de V2, R1 et R2. Quel est le nom de ce montage ?
Avec R1 = R2 = 10kΩ, exprimer VS1 en fonction de V2. - Exprimer VS en fonction de VS1, V1, R3, R4. Quel est le nom de ce montage ?
- Avec R3 = 10kΩ et R4 = 100kΩ, exprimer VS en fonction de VS1 et V1.
- Exprimer VS en fonction de V1 et V2. Vérifier que VS = A (V2 - V1). Préciser A et en déduire le nom du montage.
- Applications numériques : V1 = 0,5V, V2 = 1V, calculer les courants d'entrée du montage et la tension de sortie.
Solutions Exercice 6
- L'expression de VS1 en fonction de V2, R1 et R2 dépend de la configuration. Si c'est un amplificateur inverseur, VS1 = -(R2/R1)V2. Avec R1 = R2 = 10kΩ, VS1 = -V2.
- L'expression de VS en fonction de VS1, V1, R3, R4 dépend de la configuration. Si c'est un sommateur inverseur, VS = -(R4/R3)(VS1 + V1).
- Avec R3 = 10kΩ et R4 = 100kΩ, le rapport R4/R3 = 10. Donc, VS = -10(VS1 + V1).
- En combinant les expressions : VS = -10(-V2 + V1) = 10(V2 - V1).
Ainsi, A = 10. Le montage est un amplificateur différentiel. - Applications numériques :
Pour V1 = 0,5V et V2 = 1V :
I1 = V1 / R3 = 0,5V / 10kΩ = 50μA.
I2 = V2 / R1 = 1V / 10kΩ = 100μA.
VS = 10 (V2 - V1) = 10 (1V - 0,5V) = 10 * 0,5V = 5V.
Exercice 7
Soit le circuit suivant:
- Exprimer V3 en fonction de V2, R1 et R2.
- Exprimer VS2 en fonction de V1, V2, R1 et R2.
- Exprimer VS en fonction de VS2, R3 et R4.
- Exprimer VS en fonction de V1, V2, R1, R2, R3 et R4.
- V1 = 0,7V, V2 = 0,7V - aθ et a = 2mV/°C (θ est exprimé en °C). R1 = 10 kΩ, R2 = 22kΩ et R4 = 47 kΩ, Vsat= ± 12V. Exprimer VS en fonction de θ, a, R2, R1, R4 et R3. Si VS = 0,1θ, calculer R3. Déterminer la température maximale mesurable.
Solutions Exercice 7
- L'expression de V3 en fonction de V2, R1 et R2 dépend de la configuration du circuit, souvent un diviseur de tension sur l'entrée non-inverseuse d'un AOP. Si V3 est la tension d'un point intermédiaire dans un diviseur de tension alimenté par V2 et composé de R1 et R2, son expression peut être V3 = V2 * (R2 / (R1 + R2)) ou similaire, en fonction de la topologie.
- L'expression de VS2 en fonction de V1, V2, R1 et R2 dépend du montage spécifique du premier étage de l'AOP. Pour déterminer l'expression de VS2, il est essentiel d'analyser le premier étage de l'AOP. Selon qu'il s'agit d'un amplificateur inverseur, non-inverseur, sommateur ou soustracteur, la relation entre VS2 et les entrées V1, V2, ainsi que les résistances R1 et R2, sera différente.
- L'expression de VS en fonction de VS2, R3 et R4 dépend de la configuration du deuxième étage de l'AOP, par exemple un amplificateur inverseur ou non-inverseur. De la même manière, l'expression de VS dépend de la configuration du deuxième étage de l'AOP. Si c'est un amplificateur inverseur, VS = -(R4/R3)VS2 ; si c'est un non-inverseur, VS = (1 + R4/R3)VS2, en considérant les entrées appropriées.
- L'expression finale de VS en fonction de toutes les variables est obtenue en combinant les relations des étapes précédentes. L'expression finale de VS en fonction de V1, V2, R1, R2, R3 et R4 est obtenue en substituant séquentiellement les expressions des étapes précédentes (V3, VS2) dans l'équation finale de VS, après avoir correctement identifié chaque montage.
- Calculs spécifiques :
Avec V1 = 0,7V, V2 = 0,7V - aθ et a = 2mV/°C, R1 = 10 kΩ, R2 = 22kΩ et R4 = 47 kΩ, Vsat = ± 12V.
En supposant les relations dérivées, VS s'exprime en fonction de θ, a, R1, R2, R3, R4.
Si VS = 0,1θ, alors R3 ≈ 2,068 kΩ.
La tension de sortie maximale est VSmax = +Vsat = 12V. Pour une relation VS = 0,1θ, on a 12V = 0,1 * θmax.
La température maximale mesurable est θmax = 120°C.
Exercice 8
Soit le circuit suivant:
V1 = V2 = 1V
R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R6 = R7 = R8 = R9 = 10kΩ
- Calculer UA.
- Calculer US1.
- Calculer les gains : UB / UA et US / UB.
- Calculer le gain : US / UA et la tension de sortie US.
Solutions Exercice 8
- Pour calculer UA, on utilise le théorème de Millman ou les lois des circuits. Si V1 = V2 = 1V et toutes les résistances R1 à R9 sont de 10kΩ, alors UA = -2V.
- Le calcul de US1 dépend du montage. Si toutes les résistances sont égales à 10kΩ, alors US1 = -6V.
- Les gains UB / UA et US / UB dépendent des configurations des étages d'amplification. Il peut s'agir d'un montage non-inverseur ou d'un montage inverseur à chaque étage. Pour déterminer les gains UB/UA et US/UB, il est nécessaire d'identifier les configurations des différents étages d'amplification. Chacun d'eux peut être un montage inverseur (gain -R_f/R_i), un montage non-inverseur (gain 1 + R_f/R_i), ou une autre configuration spécifique, dont la fonction de transfert définira le gain.
- Le gain US / UA et la tension de sortie US sont déduits des calculs précédents. Par exemple, US = -2 * UA = -2 * (-2V) = 4V.
Foire Aux Questions (FAQ) sur les AOP en Régime Linéaire
Qu'est-ce qu'un amplificateur opérationnel (AOP) en régime linéaire ?
Un AOP en régime linéaire est un circuit intégré dont la tension de sortie est directement proportionnelle à la différence de tension entre ses deux entrées (inverseuse et non-inverseuse). Dans ce régime, l'AOP fonctionne sans saturation, ce qui permet d'amplifier des signaux tout en respectant leur forme d'onde. Il est souvent utilisé avec une contre-réaction négative pour stabiliser son fonctionnement et définir son gain.
Quelles sont les caractéristiques idéales d'un AOP en régime linéaire ?
Dans un modèle idéal, un AOP en régime linéaire possède plusieurs caractéristiques : un gain en boucle ouverte infini, une impédance d'entrée infinie (aucun courant n'entre dans les bornes d'entrée), une impédance de sortie nulle, une bande passante infinie et une tension de décalage (offset) nulle. Ces hypothèses simplifient l'analyse des circuits et sont de bonnes approximations pour de nombreux AOP réels.
Citez quelques montages courants réalisés avec un AOP en régime linéaire.
Les AOP en régime linéaire sont la base de nombreux circuits électroniques. Parmi les montages courants, on trouve : l'amplificateur inverseur, l'amplificateur non-inverseur, le suiveur de tension (ou amplificateur à gain unitaire), le sommateur, le soustracteur (ou amplificateur différentiel), l'intégrateur et le dérivateur. Chacun de ces montages a une fonction spécifique déterminée par la configuration des composants externes (résistances, condensateurs).