Examen tds qcm -Traitement de signal - Télécharger pdf
Télécharger PDFCorrigé de l'Examen TDS – 1er décembre 2005 : QCM
Barème : réponse exacte +1, réponse incomplète +0.5, pas de réponse 0, mauvaise réponse -1.
1.1 Q1 : Quels sont les signaux de type discret et causal ?
Un signal est dit discret s'il est défini sur les entiers (N ou Z), c'est-à-dire que sa valeur n'est connue qu'en un nombre spécifique de points.
Un signal est dit causal si sa valeur est nulle pour $t < 0$.
Réponse : Le signal du cas (non fourni ici) doit vérifier ces deux conditions. Généralement, un signal discret et causal est représenté par des impulsions qui commencent à $t=0$ ou après.
1.2 Q2 : Filtre anti-repliement (Anti-aliasing Filter)
Selon le théorème de Shannon, la fréquence d'échantillonnage doit être au moins deux fois plus grande que la fréquence maximale bornant le spectre du signal continu. Dans le cadre des signaux à spectre non borné, il est indispensable d'inclure un filtre passe-bas analogique, appelé filtre anti-repliement, dont la fréquence de coupure doit vérifier la condition de Shannon. En théorie, la fréquence de coupure de ce filtre doit être inférieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage.
Réponse : L'option (c) correspondante est correcte.
1.3 Q3 : Signal continu périodique dans le domaine temporel
Ce signal est développable en séries de Fourier, donc sous forme d'une somme de fonctions sinusoïdales. Le spectre du signal est donc un spectre de raies (discret), car la transformée de Fourier d'un sinus est une somme de deux impulsions de Dirac. De plus, on est ici dans le cas général où aucune supposition n'est faite sur le caractère réel ou complexe du signal ; on ne peut donc pas tirer de conclusion quant au caractère réel ou complexe de son spectre sans plus d'informations (bien que pour un signal réel, le spectre soit hermitien).
Réponse : L'option (b) est correcte.
1.4 Q4 : Transformée de Fourier d'un signal réel
1. Propriété de conjugaison de la transformée de Fourier : Si $y(t) = x^*(t)$, alors $Y(f) = X^*(-f)$.
2. Un signal réel : Pour tout $t$, $x(t) = x^*(t)$.
3. Des points 1 et 2, on déduit que pour un signal réel : $X(f) = X^*(-f)$. Cela implique que la partie réelle de $X(f)$ est paire, et sa partie imaginaire est impaire.
Réponse : Les options (a) et (d) sont exactes (faisant référence aux propriétés de la partie réelle et imaginaire).
1.5 Q5 : Quantum d'une voie d'acquisition +/- 5V codée sur 2 octets
- La plage de tension (A) à coder est de +/- 5V, soit $A = 10\text{V}$.
- Le codage se fait sur 2 octets, ce qui équivaut à 16 bits. Le nombre de niveaux de codage est donc $2^{16} = 65536$.
- Le quantum (Q) est calculé par la formule : $Q = A / 2^n$.
- $Q = 10\text{V} / 2^{16} \approx 0.00015258 \text{V} \approx 0.15 \text{mV} \approx 153 \mu\text{V}$.
Réponse : Les options (c) et (d) correspondent à ce calcul.
Exercice 1 : Échantillonnage
Soit le signal continu : $s(t) = a_0 + a_1 \cos(2\pi f_1 t) + a_2 \cos(2\pi 3f_1 t)$.
Avec $f_1 = 20\text{Hz}$, $a_0 = a_2 = 1$, $a_1 = 2$, le signal devient :
$s(t) = 1 + 2 \cos(40\pi t) + \cos(120\pi t)$.
2.1 Q1 : Périodicité de s(t)
$s(t)$ est la somme d'un signal constant (qui possède une infinité de périodes) et de deux signaux sinusoïdaux dont les fréquences sont proportionnelles ($f_1 = 20\text{Hz}$ et $3f_1 = 60\text{Hz}$).
$s(t)$ est donc périodique, et sa période correspond à la plus grande période des signaux sinusoïdaux qui le composent, c'est-à-dire la période fondamentale $T_1 = 1/f_1$.
Réponse : $s(t)$ est périodique de période $T = 1/f_1 = 1/20 \text{s} = 0.05 \text{s}$.
2.2 Q2 : Transformée de Fourier de s(t)
La transformée de Fourier de $s(t)$, notée $S(f)$, est donnée par la somme des transformées de Fourier de ses composantes :
$S(f) = \text{TF}[s(t)] = a_0 \delta(f) + \frac{a_1}{2}(\delta(f + f_1) + \delta(f - f_1)) + \frac{a_2}{2}(\delta(f + 3f_1) + \delta(f - 3f_1))$
En substituant les valeurs :
$S(f) = \delta(f) + \delta(f + 20) + \delta(f - 20) + \frac{1}{2}(\delta(f + 60) + \delta(f - 60))$
Ce spectre est composé d'impulsions de Dirac à 0 Hz, $\pm 20$ Hz, et $\pm 60$ Hz, avec les amplitudes correspondantes.
2.3 Q3 : Transformée de Fourier de sn(t)
$s_n(t)$ représente le signal échantillonné pendant une durée finie $\tau = 0.2\text{s}$. Sa construction implique :
- L'observation pendant une durée finie, ce qui est modélisé par la multiplication de $s(t)$ par une fonction porte temporelle $\Pi_\tau(t)$.
- L'échantillonnage du signal, modélisé par la multiplication de $s(t)$ par un peigne de Dirac $T_e(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - k T_e)$.
On a donc $s_n(t) = s(t) \cdot \Pi_\tau(t) \cdot T_e(t)$.
Les propriétés de la transformée de Fourier utilisées sont :
- La transformée de Fourier d'un produit de fonctions est égale au produit de convolution des transformées de Fourier des fonctions.
- La transformée de Fourier d'une fonction porte est un sinus cardinal ($\text{sinc}$).
- La transformée de Fourier d'un peigne de Dirac (de période $T_e$) est un peigne de Dirac de période $1/T_e$ (fréquence d'échantillonnage $f_e$).
Ainsi, la transformée de Fourier de $s_n(t)$, notée $S_n(f)$, est :
$S_n(f) = f_e \tau \cdot [S(f) \ast \text{sinc}(f\tau) \ast (f_e \sum_{k \in Z} \delta(f - k f_e))]$
Où $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$.
Après convolution, $S_n(f)$ se présente comme une somme de fonctions sinus cardinal, centrées autour des fréquences d'origine du signal et de leurs répliques dues à l'échantillonnage. En considérant une fréquence d'échantillonnage $f_e = 1/T_e = 100\text{Hz}$ et $\tau = 0.2\text{s}$ :
$S_n(f) = f_e \tau \left[ a_0 \sum_{k \in Z} \text{sinc}(\tau(f - k f_e)) + \frac{a_1}{2} \sum_{k \in Z} \left( \text{sinc}(\tau(f - f_1 - k f_e)) + \text{sinc}(\tau(f + f_1 - k f_e)) \right) + \frac{a_2}{2} \sum_{k \in Z} \left( \text{sinc}(\tau(f - 3f_1 - k f_e)) + \text{sinc}(\tau(f + 3f_1 - k f_e)) \right) \right]$
En substituant les valeurs numériques ($a_0=1, a_1=2, a_2=1, f_1=20\text{Hz}, f_e=100\text{Hz}, \tau=0.2\text{s}$) :
$S_n(f) = 20 \left[ \sum_{k \in Z} \text{sinc}(0.2(f - 100k)) + \sum_{k \in Z} \text{sinc}(0.2(f - 20 - 100k)) + \sum_{k \in Z} \text{sinc}(0.2(f + 20 - 100k)) \right]$
$+ 10 \left[ \sum_{k \in Z} \text{sinc}(0.2(f - 60 - 100k)) + \sum_{k \in Z} \text{sinc}(0.2(f + 60 - 100k)) \right]$
2.4 Q4 : Allure du module de S(f) et de Sn(f)
Le module de $S(f)$ représente le spectre idéal du signal continu, qui est une série de raies de Dirac aux fréquences 0 Hz, $\pm 20$ Hz, et $\pm 60$ Hz, avec des amplitudes correspondantes.
Le module de $S_n(f)$ représente le spectre du signal échantillonné et tronqué. Il montre que chaque raie de Dirac de $S(f)$ est remplacée par un lobe principal de la fonction sinus cardinal, entouré de lobes secondaires. Ces structures en "sinc" se répètent périodiquement à chaque multiple de la fréquence d'échantillonnage $f_e$. Ces représentations visuelles sont données par les figures 1 (non fournie).
2.5 Q5 : Principaux artefacts (différence entre S(f) et Sn(f))
La différence entre le spectre idéal $S(f)$ et le spectre du signal échantillonné et tronqué $S_n(f)$ met en évidence deux artefacts principaux :
- Repliement spectral (Aliasing) : Cet artefact se produit lorsque la fréquence d'échantillonnage $f_e$ ne respecte pas le critère de Nyquist-Shannon ($f_e \ge 2f_{\text{max}}$). Des composantes de fréquence élevée du signal original, situées au-delà de la fréquence de Nyquist ($f_e/2$), sont mal interprétées et se "replient" dans la bande de base ($[0, f_e/2]$). Cela génère l'apparition de composantes ou raies fantômes. Par exemple, avec $f_e=100\text{Hz}$, la composante à 60 Hz se replie et apparaît à $100 - 60 = 40\text{Hz}$ dans la bande de base.
- Effet de fenêtre (Leakage) : Il résulte de l'acquisition du signal sur une durée finie (multiplication par une fenêtre temporelle). Dans le domaine fréquentiel, cela a pour conséquence de transformer les raies idéales de Dirac en lobes de la fonction sinus cardinal. On observe un élargissement des lobes principaux et l'apparition de lobes secondaires. Ce phénomène distribue l'énergie d'une fréquence unique sur une bande de fréquences, ce qui peut masquer des composantes de faible amplitude ou introduire du bruit.
Exercice 2 : Développement en série de Fourier d'un signal triangulaire
Soit $f(t)$ une fonction $2\pi$-périodique définie par : $f(t) = t$, pour tout $t \in ]-\pi, \pi[$. Ce signal est en forme de "dent de scie".
3.1 Représentation temporelle
La fonction $f(t)=t$ sur l'intervalle $]-\pi, \pi[$ décrit un segment de droite qui monte de $-\pi$ à $\pi$. En raison de sa $2\pi$-périodicité, ce motif se répète, créant une forme de "dent de scie" ascendante qui est discontinue aux multiples impairs de $\pi$. (Voir l'annexe A du document original pour la représentation visuelle typique).
3.2 Développement en série de Fourier
La fonction $f(t)$ est continue par morceaux, ce qui la rend développable en série de Fourier.
Sur une période, $f(t)=t$ est une fonction impaire ($f(-t) = -t = -f(t)$). Par conséquent, tous les coefficients $a_n$ de la série de Fourier sont nuls ($a_n = 0$ pour tout $n \in N$).
Calcul des coefficients $b_n$ :
$b_n = \frac{2}{T} \int_{T} f(t) \sin(n\omega_0 t) dt$
Avec $T = 2\pi$ et $\omega_0 = 1$ (car $\omega_0 = 2\pi/T$), l'intégrale devient :
$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \sin(nt) dt$
Par intégration par parties :
$b_n = \frac{1}{\pi} \left( \left[ -\frac{t}{n}\cos(nt) \right]_{-\pi}^{\pi} - \int_{-\pi}^{\pi} -\frac{1}{n}\cos(nt) dt \right)$
$b_n = \frac{1}{\pi} \left( \left( -\frac{\pi}{n}\cos(n\pi) - \left(\frac{\pi}{n}\cos(-n\pi)\right) \right) + \frac{1}{n} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nt) dt \right)$
Comme $\cos(n\pi) = (-1)^n$ et $\cos(-n\pi) = \cos(n\pi)$, et $\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nt) dt = \left[ \frac{\sin(nt)}{n} \right]_{-\pi}^{\pi} = 0$ :
$b_n = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{2\pi}{n}(-1)^n + 0 \right)$
$b_n = -\frac{2}{n}(-1)^n = \frac{2}{n}(-1)^{n+1}$
Le développement en série de Fourier de $f(t)$ est donc :
$f(t) \approx \sum_{n=1}^{+\infty} b_n \sin(nt) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{n}(-1)^{n+1} \sin(nt)$
3.3 Représentation fréquentielle
La représentation fréquentielle est donnée par les coefficients complexes $c_n$. Pour une fonction impaire réelle, $a_n = 0$, donc $c_n = \frac{a_n - jb_n}{2} = -\frac{jb_n}{2}$.
$c_n = -j \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n}(-1)^{n+1} = -j \frac{1}{n}(-1)^{n+1}$
Le module de $c_n$ est $||c_n|| = \left| -\frac{j}{n}(-1)^{n+1} \right| = \frac{1}{n}$.
La phase de $c_n$ est :
- Si $n$ est impair, $n+1$ est pair, $(-1)^{n+1} = 1$, donc $c_n = -j/n$. La phase est $-\pi/2$.
- Si $n$ est pair, $n+1$ est impair, $(-1)^{n+1} = -1$, donc $c_n = j/n$. La phase est $+\pi/2$.
Le spectre d'amplitude décroît en $1/n$, tandis que le spectre de phase alterne entre $-\pi/2$ et $+\pi/2$ selon la parité de $n$. (Ces représentations sont illustrées par les Fig. 2 et 3 de l'annexe A, non fournies).
Exercice 3 : Développement en série de Fourier d'un signal rectangulaire
Soit $f(t)$ une fonction périodique de période $T = a$, définie sur une période par :
$f(t) = 1$ pour $t \in [-a/4, a/4]$
$f(t) = 0$ ailleurs sur la période.
Il s'agit d'une impulsion rectangulaire centrée sur $t=0$ et de largeur $a/2$.
4.1 Représentation temporelle
La fonction $f(t)$ est une série d'impulsions rectangulaires. Sur une période $T=a$, elle est constante à 1 entre $-a/4$ et $a/4$, et nulle partout ailleurs. Le signal est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. (Voir l'annexe B du document original pour la représentation visuelle typique).
4.2 Développement en série de Fourier
La fonction $f(t)$ est continue par morceaux et développable en série de Fourier.
Sur une période, $f(t)$ est une fonction paire ($f(-t) = f(t)$). Par conséquent, tous les coefficients $b_n$ de la série de Fourier sont nuls ($b_n = 0$ pour tout $n \in N$).
Calcul du coefficient $a_0$ (composante continue) :
$a_0 = \frac{1}{T} \int_{T} f(t) dt$
Avec $T = a$, l'intégrale devient :
$a_0 = \frac{1}{a} \int_{-a/4}^{a/4} 1 dt = \frac{1}{a} [t]_{-a/4}^{a/4} = \frac{1}{a} \left( \frac{a}{4} - \left(-\frac{a}{4}\right) \right) = \frac{1}{a} \left( \frac{a}{2} \right) = \frac{1}{2}$
Calcul des coefficients $a_n$ :
$a_n = \frac{2}{T} \int_{T} f(t) \cos(n\omega_0 t) dt$
Avec $T = a$ et $\omega_0 = \frac{2\pi}{a}$, l'intégrale devient :
$a_n = \frac{2}{a} \int_{-a/4}^{a/4} \cos\left(\frac{2\pi n t}{a}\right) dt$
$a_n = \frac{2}{a} \left[ \frac{a}{2\pi n} \sin\left(\frac{2\pi n t}{a}\right) \right]_{-a/4}^{a/4}$
$a_n = \frac{1}{\pi n} \left[ \sin\left(\frac{2\pi n (a/4)}{a}\right) - \sin\left(\frac{2\pi n (-a/4)}{a}\right) \right]$
$a_n = \frac{1}{\pi n} \left[ \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) - \sin\left(-\frac{\pi n}{2}\right) \right]$
Comme $\sin(-x) = -\sin(x)$, on a :
$a_n = \frac{1}{\pi n} \left[ 2 \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \right] = \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right)$
Le développement en série de Fourier de $f(t)$ est donc :
$f(t) \approx a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \cos(n\omega_0 t) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \cos\left(\frac{2\pi n t}{a}\right)$
Note : La valeur de $\sin(\frac{\pi n}{2})$ est 0 pour $n$ pair, 1 pour $n=1, 5, 9, \ldots$, et -1 pour $n=3, 7, 11, \ldots$.
4.3 Représentation fréquentielle
La représentation fréquentielle est donnée par les coefficients complexes $c_n$. Pour une fonction paire réelle, $b_n = 0$, donc $c_n = \frac{a_n - jb_n}{2} = \frac{a_n}{2}$.
$c_n = \frac{1}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right)$
Le module de $c_n$ est $||c_n|| = \left| \frac{1}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n}{2}\right) \right|$. Les termes non nuls apparaissent pour $n$ impair. Pour $n = 2p+1$, $\sin(\frac{\pi(2p+1)}{2}) = (-1)^p$.
Donc, $||c_{2p+1}|| = \frac{1}{\pi(2p+1)}$.
La phase de $c_n$ est :
- Si $\sin(\frac{\pi n}{2}) > 0$, la phase est 0.
- Si $\sin(\frac{\pi n}{2}) < 0$, la phase est $\pi$.
Le spectre d'amplitude de ce signal rectangulaire a une enveloppe en forme de sinus cardinal. Le spectre de phase alterne entre 0 et $\pi$ pour les composantes impaires. (Ces représentations sont illustrées par les Fig. 4 et 5 de l'annexe B, non fournies).
Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce qu'un signal discret et causal ?
Un signal discret est un signal dont les valeurs ne sont définies qu'à des instants spécifiques (par exemple, des entiers), contrairement à un signal continu qui est défini pour tout instant. Un signal causal est un signal qui est nul pour tout instant antérieur à un certain point (généralement $t < 0$). En d'autres termes, il ne commence qu'à $t=0$ ou plus tard.
Quel est le rôle du filtre anti-repliement en acquisition de signaux ?
Le filtre anti-repliement (ou anti-aliasing) est un filtre passe-bas analogique placé avant l'échantillonnage d'un signal. Son rôle est de limiter les fréquences du signal continu à une bande inférieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage (fréquence de Nyquist). Sans ce filtre, les fréquences supérieures à la fréquence de Nyquist seraient mal interprétées lors de l'échantillonnage, se "repliant" et apparaissant comme des fréquences plus basses dans le spectre du signal échantillonné, un phénomène appelé repliement spectral ou aliasing.
Qu'est-ce que le développement en série de Fourier et à quoi sert-il ?
Le développement en série de Fourier est une méthode mathématique qui permet de décomposer toute fonction périodique (ou par extension, des fonctions non périodiques sur un intervalle donné) en une somme infinie de fonctions sinusoïdales (sinus et cosinus). Chaque sinusoïde a une fréquence qui est un multiple de la fréquence fondamentale du signal. Cet outil est fondamental en traitement du signal car il permet d'analyser le contenu fréquentiel d'un signal, facilitant ainsi la compréhension de ses composants et la conception de filtres.