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Université Hassan II de Casablanca, F.S.T Mohammedia, Département de Mathématiques
Module M124 : Algèbre 2 (2020-2021)
Exercice 1
Calculer les déterminants suivants :
- Pour la matrice [[2, 3], [-1, 4]], le déterminant est 11.
- Pour la matrice [[1, 0], [6, 3]], le déterminant est 3.
- Pour la matrice [[4, 15], [1, 5]], le déterminant est 5.
- Pour la matrice [[1, 1], [5, 6]], le déterminant est 1.
- Pour la matrice [[2, 1], [1, 2]], le déterminant est 3.
- Pour la matrice [[1, 2, 3], [0, 1, 2], [0, 0, 1]], le déterminant est 1.
- Pour la matrice [[1, 1, 1], [1, 2, 3], [1, 4, 9]], le déterminant est 2.
- Pour la matrice de Vandermonde généralisée impliquant a, b, c et d : le déterminant est (a-c)(d-b)(d+b-c-a).
- Pour la matrice 4x4 [[a, c, c, b], [c, a, b, c], [c, b, a, c], [b, c, c, a]], le déterminant est (a-b)^2 (a+b+2c) (a+b-2c).
- Pour la matrice 4x4 [[1+a, b, a, b], [b, 1+a, b, a], [a, b, 1+a, b], [b, a, b, 1+a]], le déterminant est (1+2a+2b)(1+2a-2b).
Exercice 2
- Calculer l'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs u = (1,4) et v = (2,3).
- Calculer le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs u = (1,2,0), v = (0,1,3) et w = (1,1,1).
Exercice 3
- Soit E un R-espace vectoriel et f un endomorphisme de E tel que f^2 = -IdE. Que dire de la dimension de E ?
- Soit M une matrice de taille n x n antisymétrique (M^T = -M) à coefficients dans K. Que dire du déterminant de M ?
Exercice 4
Soit A = [[a, b, c], [x, y, z], [1, 1, 1]]. Sachant que det(A) = 5, calculer les déterminants suivants :
- D1 = det([[x, y, z], [a, b, c], [1, 1, 1]])
- D2 = det([[1, 1, 1], [a+7, b+7, c+7], [x/2, y/2, z/2]])
- D3 = det([[1-x, 1-y, 1-z], [a+2x, b+2y, c+2z], [3x, 3y, 3z]])
Corrigé simplifié :
- D1 : En échangeant les lignes L1 et L2 de A, le déterminant change de signe. Donc D1 = -det(A) = -5.
- D2 : Par linéarité, D2 = (1/2) * det([[1, 1, 1], [a+7, b+7, c+7], [x, y, z]]). En soustrayant 7 fois la première ligne à la deuxième (L2 ← L2 - 7*L1), on obtient D2 = (1/2) * det([[1, 1, 1], [a, b, c], [x, y, z]]). Une permutation de L2 et L3 donne -det(A). Donc D2 = (1/2) * (-det(A)) = (1/2) * (-5) = -5/2.
- D3 : En factorisant 3 de L3, puis en ajoutant L3 à L1 (L1 ← L1 + L3), et enfin en soustrayant 2 fois L3 de L2 (L2 ← L2 - 2*L3), on obtient D3 = 3 * det([[1, 1, 1], [a, b, c], [x, y, z]]). Une permutation de L2 et L3 donne -det(A). Donc D3 = 3 * (-det(A)) = 3 * (-5) = -15.
Exercice 5
Les nombres 119, 153 et 289 sont tous divisibles par 17. Montrer, sans le développer, que le déterminant de la matrice A = [[119, 1, 1], [153, 5, 1], [289, 3, 1]] est divisible par 17.
Corrigé :
On a 119 = 17 * 7, 153 = 17 * 9 et 289 = 17 * 17.
Le déterminant est une forme linéaire par rapport à ses colonnes. On peut factoriser 17 de la première colonne (C1) :
det(A) = det([[17*7, 1, 1], [17*9, 5, 1], [17*17, 3, 1]]) = 17 * det([[7, 1, 1], [9, 5, 1], [17, 3, 1]])
Comme le déterminant de la matrice résultante est un nombre entier, cela prouve que det(A) est un multiple de 17, et donc divisible par 17.
Exercice 6
- Soient a(x), b(x), c(x), d(x) des fonctions dérivables de R vers R. On définit f(x) = det([[a(x), b(x)], [c(x), d(x)]]). Montrer que f est dérivable et que :
f'(x) = det([[a'(x), b(x)], [c'(x), d(x)]]) + det([[a(x), b'(x)], [c(x), d'(x)]]) - Montrer un résultat analogue pour le déterminant d'une matrice 3x3.
- Application : Calculer le déterminant de la matrice suivante :
[[1, cos(x), sin(x)], [1, cos(x+α), sin(x+α)], [1, cos(x+β), sin(x+β)]]
Corrigé simplifié :
1. f(x) = a(x)d(x) - b(x)c(x). En dérivant, on obtient f'(x) = a'(x)d(x) + a(x)d'(x) - b'(x)c(x) - b(x)c'(x). En regroupant les termes, on retrouve la somme des deux déterminants spécifiés.
2. Pour une matrice 3x3 A(x), la dérivée de det(A(x)) est la somme de 3 déterminants. Chaque déterminant est obtenu en dérivant une colonne de A(x) et en laissant les autres colonnes inchangées.
3. Application : Soit f(x) le déterminant donné. Pour calculer f'(x), on dérive chaque colonne séparément en sommant les déterminants résultants.
f'(x) = det([[0, cos(x), sin(x)], [0, cos(x+α), sin(x+α)], [0, cos(x+β), sin(x+β)]]) + det([[1, -sin(x), sin(x)], [1, -sin(x+α), sin(x+α)], [1, -sin(x+β), sin(x+β)]]) + det([[1, cos(x), cos(x)], [1, cos(x+α), cos(x+α)], [1, cos(x+β), cos(x+β)]])
Le premier déterminant est nul (première colonne nulle). Le deuxième déterminant est nul (deuxième et troisième colonnes proportionnelles, C3 = -C2). Le troisième déterminant est nul (deuxième et troisième colonnes identiques, C2 = C3).
Ainsi, f'(x) = 0. Cela signifie que f(x) est une fonction constante. En utilisant les propriétés des déterminants (par exemple, des opérations élémentaires sur les lignes ou des identités trigonométriques pour montrer la dépendance linéaire des colonnes), on peut montrer que ce déterminant est nul pour toutes valeurs de x. Le déterminant est donc 0.
Exercice 7
Soit A(n) le déterminant de taille n suivant (matrice tridiagonale) :
A(n) = det([[3, 1, 0, ..., 0], [2, 3, 1, ..., 0], [0, 2, 3, ..., 0], [..., ..., ..., ..., ...], [0, ..., 0, 2, 3]])
- Montrer que pour tout n ∈ N*, A(n+2) = 3A(n+1) - 2A(n) (avec la convention A(0) = 1, A(1) = 3).
- Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N*, A(n) = 2^(n+1) - 1.
Corrigé simplifié :
1. En développant A(n) suivant la première colonne, on obtient la relation de récurrence A(n) = 3A(n-1) - 2A(n-2). En changeant l'indice, on a A(n+2) = 3A(n+1) - 2A(n).
2. Démontrons par récurrence que A(n) = 2^(n+1) - 1 :
- **Initialisation :**
- Pour n=1, A(1) = 3. La formule donne 2^(1+1) - 1 = 2^2 - 1 = 3. Vrai.
- Pour n=2, en utilisant la relation de récurrence A(2) = 3A(1) - 2A(0) = 3*3 - 2*1 = 7. La formule donne 2^(2+1) - 1 = 2^3 - 1 = 7. Vrai.
- **Hérédité :** Supposons que A(k) = 2^(k+1) - 1 et A(k+1) = 2^(k+2) - 1 pour un certain k ≥ 1.
- **Démonstration pour k+2 :**
A(k+2) = 3A(k+1) - 2A(k) (par la relation de récurrence)
A(k+2) = 3 * (2^(k+2) - 1) - 2 * (2^(k+1) - 1) (par hypothèse de récurrence)
A(k+2) = 3 * 2^(k+2) - 3 - 2 * 2^(k+1) + 2
A(k+2) = 3 * 2^(k+2) - 2 * (2^(k+1)) - 1
A(k+2) = 3 * 2^(k+2) - 2^(k+2) - 1
A(k+2) = (3 - 1) * 2^(k+2) - 1
A(k+2) = 2 * 2^(k+2) - 1 = 2^(k+3) - 1.La propriété est donc vraie pour k+2.
Par le principe de récurrence, A(n) = 2^(n+1) - 1 est vraie pour tout n ∈ N*.
Exercice 8
Calculer les déterminants suivants :
- D1 : Le déterminant d'une matrice n x n avec 'a' sur la diagonale et 'b' partout ailleurs.
D1 = (a + (n-1)b) * (a-b)^(n-1) - D2 : Le déterminant d'une matrice n x n triangulaire inférieure dont les éléments diagonaux sont 1, 2, ..., n, et les éléments L(i,j) pour i > j sont -j (par exemple pour n=3: [[1,0,0],[-1,2,0],[-1,-2,3]]).
Le déterminant de cette matrice est le produit de ses éléments diagonaux : D2 = 1 * 2 * 3 * ... * n = n!.
Exercice 9
Soit A une matrice carrée de taille n. Calculer le déterminant de sa comatrice, Com(A).
Corrigé :
Nous savons que A * (Com(A))^T = det(A) * I(n) (où I(n) est la matrice identité de taille n).
En prenant le déterminant des deux côtés de l'équation :
det(A * (Com(A))^T) = det(det(A) * I(n))
det(A) * det((Com(A))^T) = (det(A))^n * det(I(n))
Comme det(M^T) = det(M) et det(I(n)) = 1 :
det(A) * det(Com(A)) = (det(A))^n
Si det(A) ≠ 0, on peut diviser par det(A) :
det(Com(A)) = (det(A))^(n-1)
Cette formule reste valable même si det(A) = 0. En effet, si det(A) = 0, alors A n'est pas inversible. Si rang(A) ≤ n-2, alors tous les mineurs d'ordre n-1 sont nuls, ce qui implique que Com(A) est la matrice nulle et son déterminant est 0. Si rang(A) = n-1, Com(A) n'est pas la matrice nulle, mais son rang est 1 (ou 0 si n=1) et son déterminant est 0 (pour n > 1). Dans tous les cas où det(A)=0, la formule (det(A))^(n-1) donne 0 (pour n > 1), ce qui correspond.
Ainsi, la formule det(Com(A)) = (det(A))^(n-1) est valable dans tous les cas.
Exercice 10
Calculer les inverses des matrices A, B, C, D, ainsi que AB et CD, où :
- A = [[1, 2, 3], [2, 5, 4], [1, 3, 2]]
- B = [[1, -1, 0], [1, 2, 3], [3, 6, 0]]
- C = [[1, 0, 0, 0], [1, 3, 0, 2], [0, 2, 0, 3], [0, 0, 1, 0]]
- D = [[0, 1, -2, -3], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, -1], [1, 3, 3, 4]]
Corrigé simplifié (par la méthode de Gauss-Jordan) :
- Pour la matrice A : det(A) = 1.
A^-1 = [[-2, 5, -7], [0, -1, 2], [1, -1, 1]] - Pour la matrice B : det(B) = -27.
B^-1 = [[-2/3, 2/9, 1/9], [1/3, -1/9, 1/9], [-4/9, 1/9, -1/9]] - Pour la matrice C : det(C) = -5.
C^-1 = [[1, 0, 0, 0], [-3/5, 3/5, 2/5, 0], [-1/5, -2/5, -3/5, 0], [0, 0, 0, 1]] - Pour la matrice D : det(D) = 1.
D^-1 = [[-4, -1, -2, 1], [-3, 1, -2, 0], [0, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 0]]
Les inverses des produits de matrices sont calculées par (AB)^-1 = B^-1 A^-1 et (CD)^-1 = D^-1 C^-1. Ces calculs impliquent la multiplication matricielle des inverses trouvées.
Exercice 11
Soit A = [[a, -b, -c, -d], [b, a, d, -c], [c, -d, a, b], [d, c, -b, a]] ∈ M4(R), avec a, b, c, d non tous nuls.
- Calculer A^T A.
- En déduire que A est inversible et calculer A^-1.
Corrigé simplifié :
1. Calcul de A^T A :
A^T = [[a, b, c, d], [-b, a, -d, c], [-c, d, a, -b], [-d, -c, b, a]]
A^T A = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) * I4 (où I4 est la matrice identité de taille 4).
2. Déduction de l'inversibilité de A et calcul de A^-1 :
En prenant le déterminant de A^T A, nous avons det(A^T A) = det((a^2 + b^2 + c^2 + d^2) * I4).
On sait que det(A^T A) = (det(A))^2 et det(k * I4) = k^4. Donc, (det(A))^2 = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^4.
Puisque a, b, c, d ne sont pas tous nuls, la somme des carrés (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) est strictement positive. Par conséquent, (det(A))^2 ≠ 0, ce qui implique det(A) ≠ 0. La matrice A est donc inversible.
Pour calculer A^-1, nous utilisons la relation A^T A = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) * I4.
En multipliant par A^-1 à droite, on obtient : A^T = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) * A^-1.
Ainsi, A^-1 = (1 / (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)) * A^T.
Exercice 12
Soit la matrice A(m) = [[m, -2, 2], [2, m, 2], [2, 2m+2, m+1]].
- Calculer et factoriser det(A(m)).
- Soit u l'endomorphisme de R^3 dont la matrice par rapport à la base canonique est A(m). Pour quelles valeurs de m est-ce un automorphisme de R^3 ? Donner dans ce cas la matrice associée à l'inverse de u.
- Discuter le rang de la matrice A(m) en fonction de la valeur de m.
Corrigé simplifié :
1. Calcul et factorisation de det(A(m)) :
det(A(m)) = m(m-1)(m-2).
2. u est un automorphisme de R^3 si et seulement si A(m) est inversible, ce qui équivaut à det(A(m)) ≠ 0.
Par conséquent, u est un automorphisme si m ≠ 0, m ≠ 1, et m ≠ 2.
Dans ce cas, la matrice associée à l'inverse de u est A(m)^-1 = (1/det(A(m))) * Com(A(m))^T. Le calcul de la comatrice et de l'inverse est détaillé dans des ressources plus complètes.
3. Discussion du rang de A(m) en fonction de m :
- Si m ∉ {0, 1, 2}, alors det(A(m)) ≠ 0. La matrice est de plein rang, donc rg(A(m)) = 3.
- Si m = 0 : A(0) = [[0, -2, 2], [2, 0, 2], [2, 2, 1]]. det(A(0)) = 0. Un mineur d'ordre 2, det([[-2, 2], [0, 2]]) = -4 ≠ 0. Donc rg(A(0)) = 2.
- Si m = 1 : A(1) = [[1, -2, 2], [2, 1, 2], [2, 4, 2]]. det(A(1)) = 0. Un mineur d'ordre 2, det([[1, -2], [2, 1]]) = 5 ≠ 0. Donc rg(A(1)) = 2.
- Si m = 2 : A(2) = [[2, -2, 2], [2, 2, 2], [2, 6, 3]]. det(A(2)) = 0. Un mineur d'ordre 2, det([[2, -2], [2, 2]]) = 8 ≠ 0. Donc rg(A(2)) = 2.
Conclusion :
- Si m ∉ {0, 1, 2}, alors rg(A(m)) = 3.
- Si m ∈ {0, 1, 2}, alors rg(A(m)) = 2.
Exercice 13
Soient a, b deux paramètres réels et M(a,b) la matrice M(a,b) = [[5, 2, 4, -1], [3, -4, 0, 1], [a, b, 2, 1]].
- Donner les valeurs minimale et maximale possibles pour le rang de M(a,b).
- Déterminer l'ensemble des valeurs de a et b pour lesquelles rg(M(a,b)) = 2.
Corrigé simplifié :
1. La matrice M(a,b) a 3 lignes et 4 colonnes (3x4). Le rang maximal possible est min(3, 4) = 3. Un mineur d'ordre 2 de la matrice, tel que det([[5, 2], [3, -4]]) = -26, est non nul. Donc, le rang minimal possible est 2.
En résumé, la valeur minimale du rang est 2, et la valeur maximale est 3.
2. Pour que rg(M(a,b)) = 2, tous les mineurs d'ordre 3 extraits de la matrice doivent être nuls. Considérons deux mineurs d'ordre 3 contenant le mineur non nul d'ordre 2 [[5,2],[3,-4]] :
- D1 = det([[5, 2, -1], [3, -4, 1], [a, b, 1]]) = 0.
5(-4-b) - 2(3-a) -1(3b+4a) = 0
-20 - 5b - 6 + 2a - 3b - 4a = 0
-2a - 8b - 26 = 0 ⇒ a + 4b + 13 = 0. (Équation 1) - D2 = det([[5, 2, 4], [3, -4, 0], [a, b, 2]]) = 0.
En développant par rapport à la troisième colonne : 4(3b - (-4a)) + 2(5*(-4) - 2*3) = 0
4(3b + 4a) + 2(-20 - 6) = 0
12b + 16a - 52 = 0
16a + 12b - 52 = 0 ⇒ 4a + 3b - 13 = 0. (Équation 2)
Résolvons le système des deux équations :
1) a + 4b = -13
2) 4a + 3b = 13
De (1), a = -13 - 4b. Substituons dans (2) :
4(-13 - 4b) + 3b = 13 ⇒ -52 - 16b + 3b = 13 ⇒ -13b = 65 ⇒ b = -5.
Alors a = -13 - 4(-5) = -13 + 20 = 7.
Donc, rg(M(a,b)) = 2 si et seulement si a = 7 et b = -5.
Exercice 14
On considère les systèmes linéaires suivants (m ∈ C) :
(1) { x + (m+1)y = m+2
{ mx + (m+4)y = 3
(2) { (m+1)x + (m-1)y = 1
{ (1+m)x + (m-1)y = m+2
(3) { x + y + (1-m)z = m+2
{ 2x - my + 3z = 0
{ 2x + (m+1)y + 2z = m+2
(4) { (m-1)x + (m+1)y = 1
{ my + 3z = m+2
(5) { (m-2)x + 2y - z = 1
{ 2x + my + 2z = 2
{ 2m x + (2m+3)y + (m+1)z = -1
Pour chaque système, indiquer pour quelles valeurs de m il est de Cramer, compatible, ou incompatible. Lorsque le système est de Cramer, donner sa solution en appliquant les formules de Cramer.
Corrigé simplifié :
Système (1)
Le déterminant du système est Δ = -(m-2)(m+2).
- **De Cramer :** Si m ≠ 2 et m ≠ -2. La solution est x = (m^2 + 3m + 5) / (-(m-2)(m+2)) et y = (m+3)(m-1) / ((m-2)(m+2)).
- **Incompatible :** Si m = 2 ou m = -2. (Vérifier que les équations sont contradictoires dans ces cas).
Système (2)
Le déterminant du système est Δ = 0 pour toutes les valeurs de m. Il n'est jamais de Cramer.
- **Compatible (infinité de solutions) :** Si m = -1. Le système se réduit à -2y = 1, soit y = -1/2, avec x quelconque.
- **Incompatible :** Si m ≠ -1. Les deux équations sont contradictoires (même membre gauche, membres droits différents).
Système (3)
Le déterminant du système est Δ = -(4m - 1)(m + 1).
- **De Cramer :** Si m ≠ 1/4 et m ≠ -1. Le système admet une solution unique par les formules de Cramer.
- **Compatible (infinité de solutions) :** Cas m=1/4. (Nécessite une étude de rang de la matrice augmentée).
- **Incompatible :** Si m = -1. (Vérifier que les équations sont contradictoires).
Système (4)
Ce système a 2 équations et 3 inconnues. Il n'est jamais de Cramer.
- **Compatible (infinité de solutions) :** Le système est compatible pour toutes les valeurs de m, admettant une infinité de solutions (une droite de solutions).
- Si m ≠ 1 et m ≠ 0 : le rang de la matrice du système est 2.
- Si m = 1 : y = 1/2, z = 5/6, x quelconque.
- Si m = 0 : z = 2/3, y = x + 1, x quelconque.
Système (5)
Le déterminant du système est Δ = (m-1)(m - (1+√3))(m - (1-√3)).
- **De Cramer :** Si m ≠ 1, m ≠ 1+√3 et m ≠ 1-√3. Le système admet une solution unique.
- **Incompatible :** Si m = 1. (Vérifié par substitution, les équations mènent à une contradiction).
- **Compatible ou Incompatible :** Si m = 1+√3 ou m = 1-√3. Ces cas nécessitent une étude plus approfondie du rang de la matrice du système et de la matrice augmentée.
FAQ sur les Déterminants et les Applications
Qu'est-ce qu'un déterminant et à quoi sert-il ?
Un déterminant est un nombre scalaire associé à une matrice carrée. Il fournit des informations cruciales sur la matrice, notamment si elle est inversible (si le déterminant est non nul), ce qui est essentiel pour résoudre des systèmes d'équations linéaires. Géométriquement, en dimension 2 et 3, la valeur absolue du déterminant représente l'aire d'un parallélogramme ou le volume d'un parallélépipède formé par les vecteurs colonnes (ou lignes) de la matrice.
Quand un système d'équations linéaires est-il de Cramer ?
Un système d'équations linéaires est dit "de Cramer" s'il possède une solution unique. Pour qu'un système soit de Cramer, deux conditions doivent être remplies : la matrice du système doit être carrée, et son déterminant doit être non nul. Les formules de Cramer permettent alors de calculer cette solution unique.
Quel est le lien entre le rang d'une matrice et son déterminant ?
Le rang d'une matrice (pas nécessairement carrée) est la dimension maximale des sous-matrices carrées dont le déterminant est non nul. Pour une matrice carrée de taille n, si son déterminant est non nul, alors son rang est n (elle est de plein rang et inversible). Si son déterminant est nul, son rang est strictement inférieur à n, indiquant que les lignes ou les colonnes sont linéairement dépendantes.