Td 1 serie de fourier -Traitement de signal - Télécharger p
Télécharger PDFExercice 1 : Traitement des signaux périodiques
Correction de la série de TD de traitement du signal. Les signaux x1(t) et x2(t) sont des signaux périodiques, donc à énergie infinie.
Calcul de la puissance de x1(t)
La puissance moyenne P est donnée par : P = (1/T) ∫T |x(t)|2 dt.
Soit T = 1/f0 → Pmoy, x1 = f0 ∫T |x1(t)|2 dt.
Nous développons l'expression de |x1(t)| :
|x1(t)| = |6 − 2 cos(2πf0t + φ) + 3 sin(2πf0t)|
Si nous considérons la forme initiale, on peut avoir :
|x1(t)|2 = [6 − 2 cos(2πf0t)]2 + [3 sin(2πf0t)]2 (en supposant φ=0 pour simplifier ou que les termes sont orthogonaux).
|x1(t)|2 = 36 − 24 cos(2πf0t) + 4 cos2(2πf0t) + 9 sin2(2πf0t)
En utilisant cos2(A) = (1+cos(2A))/2 et sin2(A) = (1-cos(2A))/2 :
|x1(t)|2 = 36 − 24 cos(2πf0t) + 4(1+cos(4πf0t))/2 + 9(1-cos(4πf0t))/2
|x1(t)|2 = 36 − 24 cos(2πf0t) + 2 + 2 cos(4πf0t) + 4.5 − 4.5 cos(4πf0t)
|x1(t)|2 = 42.5 − 24 cos(2πf0t) − 2.5 cos(4πf0t)
La puissance moyenne est l'intégrale sur une période divisée par la période. Les intégrales des termes cosinus sur une période sont nulles.
Pmoy, x1 = f0 ∫01/f0 (42.5 − 24 cos(2πf0t) − 2.5 cos(4πf0t)) dt = f0 [42.5t]01/f0 = 42.5.
Calcul de la puissance de x2(t)
x2(t) = 3 cos2(2πf0t) + 0.75 sin(2πf0t)
|x2(t)|2 = (3 cos2(2πf0t) + 0.75 sin(2πf0t))2
|x2(t)|2 = 9 cos4(2πf0t) + 2 × 3 × 0.75 cos2(2πf0t) sin(2πf0t) + 0.752 sin2(2πf0t)
|x2(t)|2 = 9 cos4(2πf0t) + 4.5 cos2(2πf0t) sin(2πf0t) + 0.5625 sin2(2πf0t)
En utilisant cos2(A) = (1+cos(2A))/2 et cos4(A) = ((1+cos(2A))/2)2 = (1+2cos(2A)+cos2(2A))/4 = (1+2cos(2A)+(1+cos(4A))/2)/4 = (3/2 + 2cos(2A) + (1/2)cos(4A))/4 = (3 + 4cos(2A) + cos(4A))/8
Pmoy, x2 = 3.65 (valeur extraite des calculs fournis).
Calcul de l'énergie de x3(t)
x3(t) est un signal à énergie finie. Si x3(t) = 3 cos2(πf0t), son énergie n'est pas finie si elle est définie sur un temps infini, à moins qu'il y ait une erreur dans la description du signal. Supposons une durée finie implicite ou une autre forme de x3(t).
L'énergie est calculée par E = ∫-∞+∞ |x(t)|2 dt.
Si x3(t) = 3 cos2(πf0t) = 3 × (1 + cos(2πf0t))/2 = 1.5 + 1.5 cos(2πf0t).
L'énergie Ex3 = ∫ |1.5 + 1.5 cos(2πf0t)|2 dt. Si la durée est infinie, l'énergie est infinie, comme un signal périodique. Les calculs dans le texte semblent erronés ou incomplets pour un signal à énergie finie.
Le résultat donné Ex3 = 9 + (64πf0)2 / 72. (La formule et le résultat sont incohérents avec la définition d'un signal périodique à énergie infinie).
Calcul de l'énergie de x4(t)
Soit x4(t) = Π(t/T − 5) − 3Π(t/T − 8).
L'énergie Ex4 = ∫ |x4(t)|2 dt.
Une porte Π(t/T) a une énergie T (si amplitude 1). Le signal x4(t) est une somme de fonctions portes. Si les portes ne se chevauchent pas, l'énergie est la somme des énergies individuelles.
Si Π(t-5) et Π(t-8) sont des fonctions portes de largeur 1, alors EΠ(t-5) = 1 et EΠ(t-8) = 1.
Ex4 = ∫ [Π(t-5) − 3Π(t-8)]2 dt.
Si les portes sont de largeur T, par exemple Π((t-5)/T) et Π((t-8)/T), alors l'énergie Ex4 = T + 9T = 10T (si non-recouvrement).
Le résultat fourni est Ex4 = 12.
Calcul du spectre des signaux
Pour les signaux périodiques, le calcul du spectre revient à déterminer leurs coefficients de Fourier complexes (Cn).
Spectre du signal x1(t)
x1(t) = 6 − 2 cos(2πf0t) + 3 sin(2πf0t)
Nous savons que cos(θ) = (ejθ + e-jθ)/2 et sin(θ) = (ejθ − e-jθ)/(2j).
x1(t) = 6 − 2 × (ej2πf0t + e-j2πf0t)/2 + 3 × (ej2πf0t − e-j2πf0t)/(2j)
x1(t) = 6 − (ej2πf0t + e-j2πf0t) + (3j/2) (ej2πf0t − e-j2πf0t)
x1(t) = 6 + (−1 + 3j/2) ej2πf0t + (−1 − 3j/2) e-j2πf0t
Les coefficients de Fourier sont :
C0 = 6
C1 = −1 + 3j/2
C-1 = −1 − 3j/2
|C1| = √((−1)2 + (3/2)2) = √(1 + 9/4) = √(13/4) = √13 / 2
Spectre du signal x2(t)
x2(t) = 3 cos2(2πf0t) + 0.75 sin(2πf0t)
x2(t) = 3 × (1 + cos(4πf0t))/2 + 0.75 sin(2πf0t)
x2(t) = 1.5 + 1.5 cos(4πf0t) + 0.75 sin(2πf0t)
En utilisant les formes exponentielles complexes :
x2(t) = 1.5 + 1.5 × (ej4πf0t + e-j4πf0t)/2 + 0.75 × (ej2πf0t − e-j2πf0t)/(2j)
x2(t) = 1.5 + 0.75 ej4πf0t + 0.75 e-j4πf0t + (0.75/2j) ej2πf0t − (0.75/2j) e-j2πf0t
x2(t) = 1.5 + 0.75 ej4πf0t + 0.75 e-j4πf0t − 0.375j ej2πf0t + 0.375j e-j2πf0t
Les coefficients de Fourier sont :
C0 = 1.5
C1 = −0.375j
C-1 = 0.375j
C2 = 0.75
C-2 = 0.75
Spectre du signal x3(t)
x3(t) = 3 cos(πf0t)
x3(t) = 3 × (ejπf0t + e-jπf0t)/2
Les composantes spectrales sont centrées à −f0/2 et +f0/2 (en termes de fréquence fondamentale si πf0t est ωt/2).
Le spectre de phase est nul si le signal est réel et pair.
Spectre du signal x4(t)
x4(t) = Π(t − 5) − 3Π(t − 8)
La Transformée de Fourier d'une porte Π(t/T) est T sinc(fT).
La TF d'un signal décalé dans le temps x(t − t0) est X(f)e−j2πft0.
Supposons que les portes sont de largeur T=1.
TF{Π(t − 5)} = sinc(f)e−j10πf
TF{Π(t − 8)} = sinc(f)e−j16πf
X4(f) = sinc(f)e−j10πf − 3 sinc(f)e−j16πf
X4(f) = sinc(f) [e−j10πf − 3e−j16πf]
Le texte original semble utiliser des largeurs différentes pour les portes (0.75 et 1.25), ce qui complexifie l'expression :
X4(f) = 0.75 sinc(0.75f) e−j10πf − 3 × 1.25 sinc(1.25f) e−j16πf
X4(f) = 0.75 sinc(0.75f) (cos(10πf) − j sin(10πf)) − 3.75 sinc(1.25f) (cos(16πf) − j sin(16πf))
Re{X4(f)} = 0.75 sinc(0.75f) cos(10πf) − 3.75 sinc(1.25f) cos(16πf)
Im{X4(f)} = −0.75 sinc(0.75f) sin(10πf) + 3.75 sinc(1.25f) sin(16πf)
arg{X4(f)} = arctan(Im{X4(f)} / Re{X4(f)})
Calcul de l'énergie et de la puissance dans le domaine spectral
Pour les signaux périodiques, la puissance moyenne Pmoy est liée aux coefficients de Fourier complexes par la formule de Parseval : Pmoy = ∑n=−∞+∞ |Cn|2.
Pour x1(t) : Pmoy, x1 = |C0|2 + 2|C1|2 (car |Cn|=|C-n|)
Pmoy, x1 = 62 + 2 × (√13 / 2)2 = 36 + 2 × 13/4 = 36 + 13/2 = 36 + 6.5 = 42.5.
Ce résultat est cohérent avec le calcul direct dans le domaine temporel.
Pour x2(t) : Pmoy, x2 = |C0|2 + 2|C1|2 + 2|C2|2
Pmoy, x2 = 1.52 + 2 × |−0.375j|2 + 2 × |0.75|2
Pmoy, x2 = 2.25 + 2 × 0.3752 + 2 × 0.752
Pmoy, x2 = 2.25 + 2 × 0.140625 + 2 × 0.5625 = 2.25 + 0.28125 + 1.125 = 3.65625.
Ce résultat est cohérent avec le calcul direct dans le domaine temporel.
Pour x3(t) : Pmoy, x3 = 1.52 + 2 × |1.5/2|2 = 2.25 + 2 × (0.75)2 = 2.25 + 1.125 = 3.375.
Pour les signaux à énergie finie (x4(t)), on calcule l'énergie dans le domaine spectral via le théorème de Parseval : E = ∫-∞+∞ |X(f)|2 df.
L'énergie Ex4 = 12 (valeur fournie, difficile de la vérifier sans les détails complets des fonctions portes).
Exercice 2 : Analyse du signal rectangulaire p(t)
Soit le signal p(t) = Π(t/T).
Calcul de la Transformée de Fourier de p(t)
TF{p(t)} = P(f) = T sinc(fT).
Largeur du lobe principal
La largeur du lobe principal (lobe central) du spectre d'amplitude |P(f)| correspond au premier zéro de la fonction sinc(fT). Cela se produit lorsque fT = ±1.
Donc, f = ±1/T.
En représentation unilatérale, la largeur est Δf = 1/T. En bilatérale, elle est 2/T.
Amplitude du lobe secondaire du spectre d'amplitude
Les maxima de la fonction sinc(x) se produisent aux points où d(sinc(x))/dx = 0, ce qui correspond approximativement à x = ±(2k+1)π/2 pour k ≥ 1 pour les lobes secondaires.
Pour le premier lobe secondaire, on prend le premier maximum après le premier zéro, soit approximativement fT = 1.5, donc f = 1.5/T.
L'amplitude du premier lobe secondaire correspond à |sinc(3π/2)| = |sin(3π/2) / (3π/2)| = |−1 / (3π/2)| = 2/(3π).
L'amplitude normalisée par rapport à l'amplitude du lobe principal (qui est T) est (2/(3π)) / T = 2/(3πT).
En dB, cela donne 20 log10(2/(3π)) ≈ −13.46 dB.
Autocorrélation de p(t)
L'autocorrélation de p(t) = Π(t/T) est Rpp(τ) = ∫ p(t)p(t−τ) dt. C'est une fonction triangulaire.
Rpp(τ) = T Λ(τ/T), où Λ est la fonction triangle.
Rpp(τ) = T(1 − |τ|/T) pour |τ| ≤ T, et 0 ailleurs.
Le maximum est Rpp(0) = T.
Densité Spectrale d'Énergie (DSE) de p(t)
La Densité Spectrale d'Énergie du signal p(t) est donnée par la Transformée de Fourier de son autocorrélation.
DSEp(f) = TF{Rpp(τ)}.
Relation entre DSE et Transformée de Fourier - Construction d'un train d'impulsions
Sachant que Rpp(τ) = p(τ) * p(−τ), alors DSEp(f) = |P(f)|2.
DSEp(f) = |T sinc(fT)|2 = T2 sinc2(fT).
Pour construire un train d'impulsions rectangulaires à partir de p(t), on utilise l'opérateur de périodisation avec un peigne de Dirac Σm δ(t − mT0) :
rectT0(t) = p(t) * Σm=−∞+∞ δ(t − mT0) = Σm=−∞+∞ p(t − mT0).
Développement en série de Fourier du train d'impulsions
Les coefficients de Fourier (Cm) d'un train d'impulsions rectangulaires de période T0 et de largeur T (de l'impulsion p(t)) sont :
Cm = (1/T0) ∫-T0/2T0/2 p(t) e−j2πm f0 t dt, avec f0 = 1/T0.
Cm = (1/T0) ∫-T/2T/2 1 × e−j2πm f0 t dt
Cm = (1/T0) [e−j2πm f0 t / (−j2πm f0)]-T/2T/2
Cm = (1/T0) (e−jπm f0 T − ejπm f0 T) / (−j2πm f0)
Cm = (1/T0) (2j sin(πm f0 T)) / (j2πm f0) = (T/T0) sin(πm f0 T) / (πm f0 T) = (T/T0) sinc(m f0 T).
Cm = (T/T0) sinc(m T/T0).
Spectre et puissance moyenne du train d'impulsions
Le spectre du signal périodique rectT0(t) est discret et se compose d'impulsions de Dirac aux fréquences m f0, avec des amplitudes données par les coefficients Cm.
Xrect(f) = Σm=−∞+∞ Cm δ(f − m f0).
La puissance moyenne (Pmoy) du signal périodique est donnée par le théorème de Parseval :
Pmoy = Σm=−∞+∞ |Cm|2 = Σm=−∞+∞ (T/T0)2 sinc2(m T/T0).
Construction d'un train d'impulsions triangulaires
Pour construire un train d'impulsions triangulaires, on périodise la fonction triangle Λ(t/T) = (1 − |t|/T) pour |t| ≤ T (et 0 ailleurs) en utilisant un peigne de Dirac Σn=−∞+∞ δ(t − nT0).
triT0(t) = Σn=−∞+∞ Λ((t − nT0)/T).
Développement en série de Fourier du signal triangulaire
Les coefficients de Fourier pour une impulsion triangulaire Λ(t/T) sont donnés par la Transformée de Fourier, puis échantillonnés. La TF de Λ(t/T) est T sinc2(fT/2).
Donc, les coefficients Cm = (1/T0) × T sinc2(m f0 T / 2) = (T/T0) sinc2(m T / (2T0)).
Densité Spectrale de Puissance (DSP) et puissance moyenne
La DSP d'un signal périodique triT0(t) est donnée par :
DSP(f) = Σm=−∞+∞ |Cm|2 δ(f − m f0).
DSP(f) = Σm=−∞+∞ (T/T0)2 sinc4(m T / (2T0)) δ(f − m f0).
La puissance moyenne (Pmoy) est égale à la valeur de l'autocorrélation en τ=0, ou la somme des carrés des coefficients de Fourier :
Pmoy = R(0) = Σm=−∞+∞ |Cm|2.
Pmoy = Σm=−∞+∞ (T/T0)2 sinc4(m T / (2T0)).
Exercice 3 : Analyse du signal analogique g(t)
Spectre du signal g(t)
Soit g(t) = a0 cos(πt/Tf0) pour |t| ≤ Tf0/2 et 0 ailleurs. C'est un signal cosinus multiplié par une porte rectangulaire de largeur Tf0.
G(f) = TF{a0 cos(πt/Tf0) Π(t/Tf0)}.
G(f) = a0/2 [TF{ejπt/Tf0 Π(t/Tf0)} + TF{e-jπt/Tf0 Π(t/Tf0)}]
G(f) = a0/2 [Tf0 sinc(fTf0 − 1/2) + Tf0 sinc(fTf0 + 1/2)]
G(f) = a0 Tf0 cos(πfTf0) / (1 − (2fTf0)2).
Densité Spectrale d'Énergie (DSE) et énergie du signal g(t)
La DSE du signal g(t) est donnée par DSE(f) = |G(f)|2.
L'énergie du signal est reliée à la DSE par la formule suivante : E = ∫-∞+∞ DSE(f) df.
En utilisant le théorème de Parseval dans le domaine temporel : Eg = ∫-∞+∞ |g(t)|2 dt.
Eg = ∫-Tf0/2Tf0/2 (a0 cos(πt/Tf0))2 dt
Eg = a02 ∫-Tf0/2Tf0/2 cos2(πt/Tf0) dt
Eg = a02 ∫-Tf0/2Tf0/2 (1 + cos(2πt/Tf0))/2 dt
Eg = (a02/2) [t + (Tf0/(2π)) sin(2πt/Tf0)]-Tf0/2Tf0/2
Eg = (a02/2) [(Tf0/2 + (Tf0/(2π)) sin(π)) − (−Tf0/2 + (Tf0/(2π)) sin(−π))]
Eg = (a02/2) [Tf0/2 + Tf0/2] = a02 Tf0 / 2.
Périodisation de g(t)
Pour rendre g(t) périodique avec une période T0, on convolue g(t) avec un peigne de Dirac :
gp(t) = g(t) * Σn=−∞+∞ δ(t − nT0) = Σn=−∞+∞ g(t − nT0).
Analyse du bruit blanc gaussien w(t)
Soit w(t) un bruit blanc gaussien de moyenne μw = 0, de largeur spectrale B et de DSP = N0/2.
Puissance moyenne du bruit w(t)
La puissance moyenne Pmoy, w du signal w(t) est donnée par l'intégrale de sa DSP sur toutes les fréquences.
Pmoy, w = ∫-∞+∞ DSPw(f) df.
Pour un bruit blanc limité en bande à B (de −B à B) avec une DSP de N0/2 :
Pmoy, w = ∫-BB (N0/2) df = (N0/2) [f]-BB = (N0/2) × (B − (−B)) = (N0/2) × 2B = N0B.
DSP de gm(t) et rapport signal sur bruit (RSB)
Le texte contient des caractères non français et semble tenter de calculer un rapport signal sur bruit (RSB).
La DSP de la fonction gp(t) est donnée par : DSPgp(f) = Σm=−∞+∞ |Cm|2 δ(f − m f0).
Où Cm sont les coefficients de Fourier de g(t) périodisé.
Le rapport signal sur bruit (RSB) est généralement défini comme la puissance du signal divisée par la puissance du bruit.
RSB = Psignal / Pbruit.
Exercice 4 : Réponse d'un filtre passe-bas
Soit le signal d'entrée u1(t) = U0e-at pour t ≥ 0 (et 0 sinon), avec a = 100 s-1. Soit un filtre passe-bas de constante de temps τ = 1 ms.
Calcul de la Transformée de Fourier de la sortie U2(t)
Soit h(t) la réponse impulsionnelle du filtre passe-bas. On a u2(t) = u1(t) * h(t).
En passant dans le domaine de Laplace, on a la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre : H(p) = 1 / (1 + τp).
La transformée de Laplace de l'entrée u1(t) est U1(p) = U0 / (a + p).
La transformée de Laplace de la sortie est U2(p) = U1(p) × H(p) = U0 / ((a + p)(1 + τp)).
Pour trouver u2(t), on décompose en éléments simples :
U2(p) = A / (a + p) + B / (1 + τp).
Où A = [U0 / (1 + τp)]p=−a = U0 / (1 − aτ).
Et B = [U0 / (a + p)]p=−1/τ = U0 / (a − 1/τ) = U0τ / (aτ − 1) = −U0τ / (1 − aτ).
Donc U2(p) = (U0 / (1 − aτ)) [1 / (a + p) − τ / (1 + τp)]
U2(p) = (U0 / (1 − aτ)) [1 / (a + p) − (1/(1/τ)) / (p + 1/τ)].
En déduisant la Transformée de Fourier de U2(t) en posant p = j2πf :
U2(f) = (U0 / (1 − aτ)) [1 / (a + j2πf) − τ / (1 + j2πfτ)].
Exercice 5 : Transformée de Fourier d'un signal modulé
Soit le signal u(t) défini par : u(t) = (1/2)(1 − cos(2πf0t)) si |t| ≤ T/2, et 0 ailleurs.
Ce signal peut être écrit comme u(t) = (1/2)Π(t/T) − (1/2)Π(t/T) cos(2πf0t).
Calcul de la Transformée de Fourier U(f)
Nous savons que TF{Π(t/T)} = T sinc(fT).
Et TF{x(t) cos(2πf0t)} = (1/2) [X(f − f0) + X(f + f0)].
Donc, TF{(1/2)Π(t/T) cos(2πf0t)} = (1/2) × (1/2) [T sinc((f − f0)T) + T sinc((f + f0)T)].
U(f) = (1/2) T sinc(fT) − (1/4) T sinc((f − f0)T) − (1/4) T sinc((f + f0)T).
Exercice 6 : Réponse d'un circuit RC à un signal périodique
Soit x(t) un signal d'entrée, et y(t) la sortie d'un circuit RC.
Composantes continues des signaux x(t) et y(t)
Les composantes continues de x(t) et y(t) correspondent à leurs valeurs moyennes respectives. Pour un signal x(t), la composante continue est X(0) = ∫-∞+∞ x(t) dt si X(f) est la TF.
Si x(t) est un train d'impulsions périodique, la composante continue est C0 = (1/T0) ∫T0 x(t) dt.
Le signal y(t) est relié à x(t) par la relation de convolution : y(t) = x(t) * h(t).
Dans le domaine spectral (ou de Laplace), Y(f) = X(f) × H(f).
La fonction de transfert H(f) d'un filtre passe-bas RC est H(f) = 1 / (1 + j2πRCf).
La composante continue de la sortie Y(0) = X(0) × H(0). Puisque H(0) = 1 / (1 + 0) = 1, la composante continue de la sortie est égale à celle de l'entrée : Y(0) = X(0).
Fonction de transfert du filtre
La fonction de transfert du filtre passe-bas RC est H(p) = 1 / (1 + τ1p), où τ1 = RC est la constante de temps du circuit.
Spectre du signal d'entrée X(f)
Si x(t) est un train d'impulsions rectangulaires, son spectre est discret :
X(f) = Σm=−∞+∞ Cm δ(f − m f0), avec Cm = (T/T0) sinc(m T/T0).
Spectre du signal de sortie Y(f)
Le spectre de la sortie Y(f) est donné par Y(f) = X(f) × H(f).
Y(f) = Σm=−∞+∞ Cm H(m f0) δ(f − m f0).
Y(f) = Σm=−∞+∞ (T/T0) sinc(m T/T0) × [1 / (1 + j2πRCm f0)] δ(f − m f0).
La valeur maximale de |Y(f)| est à Y(0) = X(0) = C0 = T/T0.
Calcul de l'atténuation et du déphasage
L'atténuation et le déphasage sont donnés par le module et l'argument de la fonction de transfert H(f).
|H(f)| = 1 / √(1 + (2πRCf)2).
arg{H(f)} = −arctan(2πRCf).
Les calculs dans le texte visent à trouver la valeur de RC à partir d'un déphasage donné (ang(Y1) = ang(X1) + ang(H(f0))).
Si arg(H(f0)) = −2.337 rad (valeur fournie), alors 2πRCf0 = tan(2.337).
tan(2.337) ≈ −1.065. (Le calcul du texte est inverse pour l'angle, donc il devrait être tan(-angle) ).
2πRCf0 = 2.337 (si l'angle est déjà positif ou est la tangente).
Si f0 = 1/(20ms) = 50 Hz, alors RC = 2.337 / (2π × 50) ≈ 2.337 / 314.159 ≈ 0.00744 s = 7.44 ms (incohérent avec 1.5ms).
Si l'exemple donné dans le texte est RC = 1.5ms. f0 = 1/20ms = 50Hz. Alors 2πRCf0 = 2π × 1.5×10-3 × 50 = 0.471. L'angle est arctan(0.471) ≈ 0.44 rad.
Exercice 7 : Analyse d'un signal avec distorsion
Soit U1(t) = α U(t) + β U2(t) avec U(t) = A sin(ω0t).
U1(t) = α A sin(ω0t) + β (A sin(ω0t))2
U1(t) = α A sin(ω0t) + β A2 sin2(ω0t)
En utilisant sin2(x) = (1 − cos(2x))/2 :
U1(t) = α A sin(ω0t) + (β A2/2) (1 − cos(2ω0t)).
U1(t) = (β A2/2) + α A sin(ω0t) − (β A2/2) cos(2ω0t).
Composantes spectrales de U1(t)
Les composantes spectrales obtenues (coefficients de Fourier complexes) sont :
C0 = β A2/2 (composante continue)
Pour le terme sin(ω0t) : α A sin(ω0t) = α A (ejω0t − e-jω0t)/(2j) = (α A / 2j) ejω0t − (α A / 2j) e-jω0t = (−jα A / 2) ejω0t + (jα A / 2) e-jω0t.
C1 = −jα A / 2
C-1 = jα A / 2
Pour le terme −(β A2/2) cos(2ω0t) : −(β A2/2) (ej2ω0t + e-j2ω0t)/2 = −(β A2/4) ej2ω0t − (β A2/4) e-j2ω0t.
C2 = −β A2/4
C-2 = −β A2/4
Puissance de sortie Ps
La puissance de sortie Ps est la somme des carrés des modules des coefficients de Fourier :
Ps = |C0|2 + 2|C1|2 + 2|C2|2.
Ps = (β A2/2)2 + 2 × |−jα A / 2|2 + 2 × |−β A2/4|2.
Ps = β2A4/4 + 2 × α2A2/4 + 2 × β2A4/16.
Ps = β2A4/4 + α2A2/2 + β2A4/8.
Ps = α2A2/2 + (3/8) β2A4.
Puissance du signal d'entrée Pe
Le signal d'entrée est U(t) = A sin(ω0t).
La puissance moyenne d'un signal sinusoïdal d'amplitude A est Pe = A2/2.
Taux de distorsion harmonique (THD)
Le taux de distorsion harmonique (THD) est une mesure de la distorsion d'un signal. Il est défini comme le rapport de la puissance de toutes les composantes harmoniques (non fondamentales) à la puissance de la composante fondamentale.
THD = √(Pharmoniques / Pfondamentale).
Pfondamentale = 2|C1|2 = 2 × (αA/2)2 = α2A2/2.
Pharmoniques = |C0|2 + 2|C2|2 + ... = (βA2/2)2 + 2 × (βA2/4)2 = β2A4/4 + 2 × β2A4/16 = β2A4/4 + β2A4/8 = (3/8)β2A4.
THD = √[((3/8)β2A4) / (α2A2/2)] = √[(3/4) β2A2 / α2] = (βA / α) × √(3/4) = (βA / α) × √3 / 2.
Foire Aux Questions (FAQ)
1. Qu'est-ce qu'un signal périodique et un signal à énergie finie ?
Un signal périodique se répète identique à lui-même sur des intervalles de temps réguliers. Par exemple, une onde sinusoïdale est un signal périodique. Ces signaux ont une puissance moyenne finie mais une énergie totale infinie car ils se prolongent indéfiniment. Un signal à énergie finie, en revanche, a une durée limitée ou s'atténue de telle sorte que son intégrale d'énergie sur tout le temps converge vers une valeur finie. Il n'a pas de puissance moyenne sur une durée infinie, qui serait nulle.
2. Quelle est la différence entre la Transformée de Fourier et la Transformée de Laplace dans l'analyse de signaux ?
La Transformée de Fourier (TF) est un outil qui décompose un signal en ses fréquences constitutives, révélant son spectre. Elle est principalement utilisée pour analyser des signaux stationnaires ou des systèmes en régime permanent. La Transformée de Laplace (TL) est une généralisation de la TF qui inclut une composante exponentielle décroissante, ce qui la rend plus adaptée à l'analyse de signaux transitoires ou de systèmes dynamiques, notamment ceux décrits par des équations différentielles, et permet de gérer des systèmes instables ou des signaux qui ne sont pas absolument intégrables (pour lesquels la TF ne convergerait pas).
3. Comment calcule-t-on la Densité Spectrale d'Énergie (DSE) et la Densité Spectrale de Puissance (DSP) ?
La Densité Spectrale d'Énergie (DSE) est utilisée pour les signaux à énergie finie. Elle représente la distribution de l'énergie du signal en fonction de la fréquence et est obtenue en prenant le carré du module de la Transformée de Fourier du signal : DSE(f) = |X(f)|2. L'intégrale de la DSE sur toutes les fréquences donne l'énergie totale du signal. La Densité Spectrale de Puissance (DSP) est utilisée pour les signaux à puissance finie (comme les signaux périodiques ou aléatoires) et représente la distribution de la puissance moyenne du signal en fonction de la fréquence. Pour un signal périodique, la DSP est une somme d'impulsions de Dirac aux fréquences harmoniques, avec des amplitudes proportionnelles au carré des modules de ses coefficients de Fourier.