Td 1 traitement numerique signal -Traitement de signal

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Exemple #1 : Filtre RII (Réponse Impulsionnelle Infinie)

a- Calcul de la fonction de transfert analogique, Ha(s)

Les spécifications du filtre sont :

|Ha(jΩ)| ≥ -3 dB pour une fréquence Ω = 0.25π
|Ha(jΩ)| ≤ -10 dB pour une fréquence Ω_ρ = 0.45π

D'après la fonction de transfert (FT) d'un filtre analogique de Butterworth, nous pouvons établir les relations suivantes :

10 log₁₀(1 + (Ω/Ω_c)^2N) = 3

10 log₁₀(1 + (Ω_ρ/Ω_c)^2N) = 10

En combinant ces deux équations, on calcule l'ordre N du filtre :

N = (1/2) * log₁₀[(10^10/10 - 1) / (10^3/10 - 1)] / log₁₀((0.45π) / (0.25π))

Le calcul donne N ≈ 1.8731. On choisit N=2, l'ordre entier supérieur. Pour N=2, la fréquence de coupure Ω_c est recalculée :

Ω_c = 0.45π / (10^1/(2N)) ≈ 0.8162.

Les pôles s₁ et s₂ pour un filtre de Butterworth d'ordre N=2 sont donnés par :

s₁ = -Ω_c (cos(π/4) + j sin(π/4)) = -Ω_c / √2 * (1 + j)
s₂ = -Ω_c (cos(π/4) - j sin(π/4)) = -Ω_c / √2 * (1 - j)

La fonction de transfert Ha(s) est alors exprimée comme :

Ha(s) = Ω_c² / ((s - s₁)(s - s₂))

Ha(s) = Ω_c² / (s² + √2 Ω_c s + Ω_c²)

Avec Ω_c = 0.8162, nous obtenons les valeurs numériques :

Ha(s) = 0.6662 / (s² + 1.1543s + 0.6662)

b- Calcul de la fonction de transfert numérique, H(z) et de la sortie du filtre y(n)

Pour obtenir la fonction de transfert numérique H(z) à partir de Ha(s), on décompose d'abord Ha(s) en fractions rationnelles (ou éléments simples) :

Ha(s) = A₁ / (s - s₁) + A₂ / (s - s₂)

La méthode des résidus permet de calculer les coefficients A₁ et A₂. Ensuite, en appliquant une méthode de discrétisation (comme la transformation bilinéaire ou l'invariance impulsionnelle), on obtient la fonction de transfert numérique :

H(z) = A₁ / (1 - e^s1z^-1) + A₂ / (1 - e^s2z^-1)

Après les calculs et la simplification, H(z) est donnée par :

H(z) = 0.3536z^-1 / (1 - 0.9410z^-1 + 0.3152z^-2)

Puisque H(z) = Y(z) / X(z), nous pouvons réorganiser l'équation pour Y(z) :

Y(z) = 0.3536z^-1 X(z) + 0.9410z^-1 Y(z) - 0.3152z^-2 Y(z)

En appliquant la transformée en Z inverse terme par terme, nous obtenons l'équation de récurrence qui définit la sortie y(n) du filtre :

y(n) = 0.3536x(n-1) + 0.9410y(n-1) - 0.3152y(n-2)

c- Calcul du filtre passe-haut

Nous partons de la fonction de transfert numérique du filtre passe-bas :

H(z) = 0.3536z^-1 / (1 - 0.9410z^-1 + 0.3152z^-2)

La fréquence de coupure désirée pour le filtre passe-haut est Ω_c,haut = 0.7π.

Pour transformer un filtre passe-bas en filtre passe-haut, on utilise une transformation de fréquence qui consiste à substituer chaque occurrence de z^-1 par une nouvelle expression :

z^-1 → (z^-1 - α) / (1 - αz^-1)

Où α est un coefficient calculé en fonction des fréquences de coupure du filtre passe-bas original et du filtre passe-haut désiré. Le coefficient α donné est de -0.1025. En effectuant cette substitution dans H(z), on obtient la fonction de transfert du filtre passe-haut.

Exemple #2 : Filtre RIF (Réponse Impulsionnelle Finie)

a- Réponse impulsionnelle

La conception d'un filtre RIF passe-haut est généralement réalisée en calculant la réponse impulsionnelle idéale h_idéal(n) et en la multipliant par une fenêtre de pondération w(n) :

h(n) = h_idéal(n) * w(n)

La réponse impulsionnelle idéale pour un filtre passe-haut, avec des fréquences de coupure Ω₁ et Ω₂, et un décalage α (souvent α = (N-1)/2 pour la phase linéaire), est donnée par :

h_idéal(n - α) = (1/π(n-α)) * [sin(π(n-α)) - sin(Ω₂(n-α)) + sin(Ω₁(n-α))]

En utilisant la fonction sinus cardinal (sinc(x) = sin(πx)/(πx)), cela s'écrit :

h_idéal(n - α) = sinc(π(n-α)) - ( Ω₂/π )sinc(Ω₂(n-α)) + ( Ω₁/π )sinc(Ω₁(n-α))

La fenêtre de pondération typique utilisée est la fenêtre de Hamming :

w(n) = 0.54 - 0.46 cos(2πn / (N-1))

Pour α = (N-1)/2, la réponse impulsionnelle finale h(n) du filtre RIF passe-haut est le produit de ces deux composantes :

h(n) = [ ( Ω₂/π )sinc(Ω₂(n-α)) - ( Ω₁/π )sinc(Ω₁(n-α)) ] * [0.54 - 0.46 cos(2πn / (N-1))]

Ce calcul est effectué pour n allant de 0 à N-1.

b- La phase et l'amplitude de la réponse fréquentielle

La symétrie des coefficients de la réponse impulsionnelle h(n) par rapport à son centre α = (N-1)/2 est une caractéristique des filtres RIF à phase linéaire. Par exemple, pour un filtre de longueur N=7 (donc α=3), les coefficients b_k sont symétriques : b₀=b₆, b₁=b₅, et b₂=b₄.

Pour un tel filtre RIF de longueur N=7, la réponse en fréquence H(e^jω) peut s'écrire :

H(e^jω) = e^-j3ω * (b₀(e^j3ω + e^-j3ω) + b₁(e^j2ω + e^-j2ω) + b₂(e^jω + e^-jω) + b₃)

En utilisant la relation trigonométrique e^jx + e^-jx = 2 cos(x), l'expression se simplifie en :

H(e^jω) = e^-j3ω * (2b₀ cos(3ω) + 2b₁ cos(2ω) + 2b₂ cos(ω) + b₃)

La phase Φ de la réponse fréquentielle est alors :

Φ = -3ω (Cette phase est linéaire, c'est une propriété des filtres RIF symétriques)

L'amplitude de la réponse fréquentielle est :

|H(e^jω)| = |2b₀ cos(3ω) + 2b₁ cos(2ω) + 2b₂ cos(ω) + b₃| (L'amplitude est une fonction de la fréquence, mais pas linéaire en ω)

Exemple #3 : TFD (Transformée de Fourier Discrète)

a- Calcul de la TFD de x(n)

Soit le signal x(n) = aⁿ avec N=8 et a=0.75. La Transformée de Fourier Discrète (TFD) de x(n) est définie par :

X(k) = ∑_n=0^N-1 x(n) W_N^kn où W_N = e^-j2π/N

En substituant x(n) = aⁿ, nous avons :

X(k) = ∑_n=0^N-1 aⁿ (W_N^k)ⁿ = ∑_n=0^N-1 (a W_N^k)ⁿ

Ceci est une somme de série géométrique. En utilisant la formule de la somme de série géométrique (∑_n=0^M rⁿ = (1-r^M+1)/(1-r)) :

X(k) = (1 - (a W_N^k)^N) / (1 - a W_N^k)

Sachant que W_N^kN = (e^-j2π/N)^kN = e^-j2πk = 1 pour tout entier k :

X(k) = (1 - a^N) / (1 - a W_N^k)

En remplaçant W_N^k par son expression exponentielle :

X(k) = (1 - a^N) / (1 - a e^-j2πk/N)

Pour une expression sans nombre complexe au dénominateur, on utilise la forme cartésienne e^-jθ = cos(θ) - j sin(θ) :

X(k) = (1 - a^N) / (1 - a cos(2πk/N) + j a sin(2πk/N))

b- Calcul de la forme de Y(k)

Nous avons un signal y(n) défini en fonction de x(n) comme suit :

y(n) = x(n/2) si n est un entier pair
y(n) = 0 si n est un entier impair

La longueur totale du signal y(n) est de N_y = 16 (indiquée par les indices des exemples y(14)=x(7), y(15)=0). La TFD de y(n) est :

Y(k) = ∑_n=0^N_y-1 y(n) W_{N_y}^kn = ∑_n=0¹⁵ y(n) W₁₆^kn

Étant donné que y(n) est nul pour les indices impairs, la somme peut être réduite aux indices pairs (n=2m) :

Y(k) = ∑_m=0⁷ y(2m) W₁₆^k(2m)

En remplaçant y(2m) par x(m) :

Y(k) = ∑_m=0⁷ x(m) W₁₆^2km

Nous observons que W₁₆^2k = (e^-j2π/16)^2k = e^-j2π2k/16 = e^-j2πk/8. Cette expression est équivalente à W₈^k.

Par conséquent, Y(k) peut être exprimé comme la TFD de x(n) de longueur N=8 :

Y(k) = ∑_m=0⁷ x(m) W₈^km = X(k)

Ce résultat montre que les échantillons de la TFD de y(n) (pour une longueur de 16) sont égaux aux échantillons de la TFD de x(n) (pour une longueur de 8), répétés périodiquement. Les exemples donnés le confirment :

Y(0) = X(0)
Y(1) = X(1)
Y(8) = X(0) (en raison de la périodicité de la TFD)
Y(15) = X(7)

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un filtre RII ?

Un filtre RII (Réponse Impulsionnelle Infinie) est un filtre numérique dont la réponse impulsionnelle, suite à une impulsion d'entrée, est théoriquement de durée infinie. Sa particularité est d'utiliser une boucle de rétroaction, ce qui signifie que sa sortie dépend non seulement des échantillons d'entrée actuels et passés, mais aussi de ses propres échantillons de sortie passés. Les filtres RII sont souvent préférés pour leur efficacité en termes de calcul et de mémoire pour atteindre des spécifications de réponse en fréquence complexes, mais ils peuvent introduire une distorsion de phase.

Quelle est la différence fondamentale entre un filtre RIF et un filtre RII ?

La différence fondamentale réside dans la durée de leur réponse impulsionnelle et leur structure. Un filtre RIF (Réponse Impulsionnelle Finie) a une réponse impulsionnelle de durée limitée, sans aucune boucle de rétroaction. Sa sortie dépend uniquement des échantillons d'entrée actuels et passés. Cette caractéristique permet aux filtres RIF d'avoir une phase parfaitement linéaire, ce qui est crucial dans les applications sensibles à la distorsion de phase. À l'inverse, un filtre RII, avec sa rétroaction, a une réponse impulsionnelle infinie et offre généralement une plus grande efficacité de conception (moins de coefficients) pour une réponse en amplitude donnée, au prix d'une phase potentiellement non linéaire.

À quoi sert la Transformée de Fourier Discrète (TFD) ?

La Transformée de Fourier Discrète (TFD) est un outil mathématique essentiel en traitement du signal numérique. Elle permet d'analyser le contenu fréquentiel d'un signal discret et de durée finie. Concrètement, elle décompose un signal du domaine temporel (où on observe l'amplitude en fonction du temps) en un ensemble de composantes fréquentielles (où on voit l'amplitude et la phase de chaque fréquence présente). La TFD est largement utilisée pour l'analyse spectrale (identifier les fréquences dominantes d'un signal), le filtrage, la compression de données, et l'implémentation d'algorithmes de corrélation et de convolution.