Examen corrigé mécanique quantique 1 smp4 rattrapage 2019 20
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1. Propriétés de l'hamiltonien et de ses vecteurs propres
On considère un système physique S auquel est associé l'observable hamiltonien H, dont les kets propres et les énergies propres sont notés respectivement φn et En : H|φn> = En|φn>, n∈ℕ.
L'ensemble {φn} forme une base orthonormée de l'espace des états de S.
a. Montrer que les valeurs propres En de H sont des réels.
L'opérateur hamiltonien H est une observable ; il est par conséquent hermitique.
On a : <φn|H|φn> = En<φn|φn>
Par définition d'un opérateur hermitique, <φn|H|φn> = <Hφn|φn>* = (En<φn|φn>)* = En*<φn|φn>* = En*<φn|φn>.
Donc : En<φn|φn> = En*<φn|φn>
⇒ (En - En*)<φn|φn> = 0
Comme <φn|φn> = 1 (normalisation du vecteur propre), alors En - En* = 0, ce qui implique En = En*. C'est-à-dire, les énergies propres sont réelles.
b. Montrer que deux vecteurs propres φ1 et φ2 de H correspondant à deux valeurs propres différentes (E1 ≠ E2) sont orthogonaux.
Soient φ1 et φ2 deux vecteurs propres de H associés à deux valeurs propres différentes : E1 ≠ E2.
Nous avons : H|φ1> = E1|φ1> et H|φ2> = E2|φ2>.
Multiplions la première équation à gauche par <φ2| : <φ2|H|φ1> = E1<φ2|φ1>.
Puisque H est hermitique, <φ2|H|φ1> = <Hφ2|φ1>* = (E2<φ2|φ1>)* = E2*<φ2|φ1>*. Comme E2 est réel, E2* = E2. Donc, <φ2|H|φ1> = E2<φ1|φ2>.
En comparant les deux expressions pour <φ2|H|φ1>, nous obtenons :
E1<φ2|φ1> = E2<φ1|φ2>
En utilisant <φ1|φ2> = <φ2|φ1>*, et la réécriture de l'expression :
(E1 - E2)<φ2|φ1> = 0
Puisque E1 ≠ E2, il faut que <φ2|φ1> = 0, ce qui signifie que les vecteurs φ1 et φ2 sont orthogonaux.
c. Soit A un opérateur quelconque. Montrer que <φn|[A,H]|φn> = 0.
<φn|[A,H]|φn> = <φn|(AH - HA)|φn>
= <φn|AH|φn> - <φn|HA|φn>
Comme H|φn> = En|φn> et <φn|H = <φn|En (puisque H est hermitique et En est réel), nous avons :
= <φn|A(H|φn>)> - (<φn|H)A|φn>
= <φn|A(En|φn>)> - (En<φn|)A|φn>
= En<φn|A|φn> - En<φn|A|φn> = 0.
2. Analyse d'un opérateur dans un espace à deux dimensions
L'espace des états quantiques ℰ d'un système à deux dimensions est rapporté à la base orthonormée {u1, u2}. Dans cette base, la matrice représentant un opérateur A s'écrit :
A = (−1i
i1)
a. L'opérateur A est-il hermitique ?
Non.
Justification : Un opérateur A est hermitique si A = A†, où A† est l'opérateur adjoint (transposée conjuguée) de A. Pour que A soit hermitique, il faut que ses éléments diagonaux soient réels et que les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale soient complexes conjugués les uns des autres.
La matrice donnée est A = (−1i
i1).
L'opérateur adjoint A† est obtenu en transposant la matrice, puis en conjuguant chaque élément :
AT = (−1i
i1)
A† = (AT)* = (−1−i
−i1)
Puisque A ≠ A† (les éléments non diagonaux sont i dans A et -i dans A†), l'opérateur A n'est pas hermitique.
b. Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.
i. Le polynôme caractéristique est :
Le polynôme caractéristique est donné par det(A - λI) = 0, où I est la matrice identité.
det (−1−λi
i1−λ) = 0
(−1 − λ)(1 − λ) − (i)(i) = 0
−(1 + λ)(1 − λ) − i2 = 0
−(1 − λ2) − (−1) = 0
−1 + λ2 + 1 = 0
λ2 = 0
ii. Les valeurs propres sont alors :
L'opérateur A possède une seule valeur propre dégénérée : a1 = 0 (de multiplicité 2).
iii. Les vecteurs propres sont :
Pour trouver les vecteurs propres associés à la valeur propre a1 = 0, nous résolvons (A - 0I)|v> = 0, soit A|v> = 0.
(−1i
i1) (x
y) = (0
0)
Ceci nous donne le système d'équations :
-x + iy = 0 ⇒ x = iy
ix + y = 0 ⇒ y = -ix
Ces deux équations sont équivalentes (remplacez x = iy dans la seconde : i(iy) + y = 0 ⇒ -y + y = 0), donc la condition pour un vecteur propre est x = iy.
Un vecteur propre est de la forme (iy
y) = y (i
1).
Pour normaliser ce vecteur, nous utilisons la condition |x|2 + |y|2 = 1.
|iy|2 + |y|2 = 1 ⇒ |i|2|y|2 + |y|2 = 1 ⇒ 1|y|2 + |y|2 = 1 ⇒ 2|y|2 = 1 ⇒ |y| = 1/&sqrt;2.
En choisissant y = 1/&sqrt;2 (sans facteur de phase), alors x = i/&sqrt;2.
Ainsi, un vecteur propre normalisé associé à la valeur propre a1 = 0 est :
|a1> = ( i /√2
1 /√2) = ½&sqrt;2 (i
1)
Étant donné que la valeur propre a1 = 0 est de multiplicité 2, mais qu'il n'existe qu'un seul vecteur propre linéairement indépendant pour cette valeur propre (la multiplicité géométrique est 1), l'opérateur A n'est pas diagonalisable.
Problème : Réflexion d'électrons sur une marche de potentiel
Nous disposons d'un faisceau d'électrons, de masse m et de charge e, accélérés par une différence de potentiel U = 100V.
1. Longueur d'onde de De Broglie et diffraction
a. Exprimer la longueur d'onde de L. De Broglie λ associée à ces électrons en fonction de h (constante de Planck), m, e et U. Faire l'application numérique.
On donne : h = 6,62×10-34 J.s, m = 9,1×10-31 kg, e = 1,6×10-19 C.
La longueur d'onde de De Broglie est donnée par λ = h/p, où p est la quantité de mouvement de l'électron.
L'énergie cinétique Ec des électrons est Ec = p2/(2m).
Les électrons sont accélérés par une différence de potentiel U, leur énergie cinétique est donc Ec = eU.
En combinant ces relations :
p = &sqrt;(2mEc) = &sqrt;(2meU)
Donc, λ = h / &sqrt;(2meU)
Application numérique :
λ = (6,62×10-34) / &sqrt;(2 × 9,1×10-31 × 1,6×10-19 × 100)
λ ≈ 1,22 × 10-10 m = 1,22 Å.
b. Ces électrons sont envoyés sur un réseau cristallin à une dimension. Peut-on observer une figure de diffraction, sachant que la distance entre deux atomes successifs du cristal est d = 1Å ?
Oui.
Justification : Pour observer une figure de diffraction, la longueur d'onde de la particule doit être du même ordre de grandeur que la distance entre les centres diffuseurs (les atomes du cristal). Ici, la longueur d'onde associée aux électrons (λ ≈ 1,22 Å) est du même ordre de grandeur que la distance entre les atomes du cristal (d = 1 Å), ce qui permet l'observation d'une figure de diffraction.
Dans ce qui suit, le faisceau d'électrons est envoyé le long de l'axe Ox sur le saut de potentiel défini par :
V(x) = 0 si x < 0 (Région I)
V(x) = V0 si x > 0 (Région II)
V0 est une constante positive. On posera :
k = &sqrt;(2mE)/ℏ
q = &sqrt;(2m(V0 - E))/ℏ
L'énergie totale E des électrons est telle que 0 < E < V0.
2. Comportement classique de la particule dans ce cas
Le mouvement de la particule est tel que : E = Ec + V(x) = constante.
Comme l'énergie cinétique Ec doit être positive ou nulle, le mouvement de la particule n'est possible que si : E - V(x) ≥ 0.
Puisque E < V0, alors :
- Dans la région (I), x < 0, V(x) = 0. La condition est E - 0 ≥ 0, ce qui est satisfait car E > 0. Le mouvement de la particule est possible.
- Dans la région (II), x > 0, V(x) = V0. La condition est E - V0 ≥ 0. Cependant, E < V0, donc E - V0 < 0. La condition n'est pas satisfaite et le mouvement de la particule est impossible.
Ainsi, au point x = 0, la particule rebrousse chemin : il y a réflexion totale. Classiquement, la particule ne peut pas pénétrer dans la région où son énergie totale est inférieure au potentiel.
3. Équation de Schrödinger indépendante du temps et ses solutions
Écrire l'équation de Schrödinger indépendante du temps vérifiée par la fonction d'onde ψ(x) et la résoudre dans chacune des deux régions de l'espace. On prendra l'amplitude de l'onde incidente égale à l'unité (c'est-à-dire que le coefficient de l'onde eikx est 1).
▪ Région (I) : x < 0.
L'équation de Schrödinger satisfaite par la fonction d'onde ψ1(x) est :
−(ℏ2/(2m)) d2ψ1/dx2 + V(x)ψ1 = Eψ1
Avec V(x) = 0 :
d2ψ1/dx2 + (2mE/ℏ2)ψ1 = 0
d2ψ1/dx2 + k2ψ1 = 0, où k2 = 2mE/ℏ2.
La solution générale de cette équation est de la forme :
ψ1(x) = eikx + Be-ikx, où eikx représente l'onde incidente et Be-ikx l'onde réfléchie, et B ∈ℂ.
▪ Région (II) : x > 0.
L'équation de Schrödinger satisfaite par la fonction d'onde ψ2(x) est :
−(ℏ2/(2m)) d2ψ2/dx2 + V(x)ψ2 = Eψ2
Avec V(x) = V0 :
d2ψ2/dx2 + (2m(E - V0)/ℏ2)ψ2 = 0
Puisque E < V0, (E - V0) est négatif. Nous posons q2 = 2m(V0 - E)/ℏ2.
d2ψ2/dx2 - q2ψ2 = 0.
La solution générale de cette équation est de la forme :
ψ2(x) = Ce-qx + Deqx, où C, D ∈ℂ.
Considérations asymptotiques à l'infini :
La fonction d'onde ψ2(x) doit être bornée (de carré sommable) lorsque x tend vers +∞. Comme le terme Deqx diverge quand x → +∞, l'amplitude D doit être nulle.
L'expression de ψ2(x) devient alors :
ψ2(x) = Ce-qx. Cette onde est évanescente (décroissante exponentiellement) dans la région II.
4. Conditions de continuité et amplitudes
Les conditions de continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée première au point x = 0 sont :
- Continuité de la fonction d'onde : ψ1(0) = ψ2(0)
- Continuité de la dérivée première : dψ1/dx (0) = dψ2/dx (0)
En appliquant ces conditions :
- 1 + B = C
- ik - ikB = -qC
En déduire les amplitudes des ondes réfléchie et transmise en fonction de k et q :
De (1), C = 1 + B. Substituons C dans (2) :
ik(1 - B) = -q(1 + B)
ik - ikB = -q - qB
ik + q = (ik - q)B
B = (ik + q) / (ik - q)
Maintenant, trouvons C :
C = 1 + B = 1 + (ik + q) / (ik - q) = (ik - q + ik + q) / (ik - q) = 2ik / (ik - q)
Les amplitudes des ondes réfléchie et transmise sont :
B = (ik + q) / (ik - q)
C = 2ik / (ik - q)
5. Calcul des courants de probabilité
Sachant que le courant de probabilité de présence à une dimension est :
j(x) = (ℏ/(2im)) (ψ* dψ/dx - ψ dψ*/dx)
Calculer les courants de probabilité de présence : incident ji, réfléchi jr et transmis jt.
▪ Le courant incident : ψinc(x) = eikx
dψinc/dx = ik eikx
ji = (ℏ/(2im)) (e-ikx (ik eikx) - eikx (-ik e-ikx))
ji = (ℏ/(2im)) (ik + ik) = (ℏ/(2im)) (2ik) = ℏk/m.
▪ Le courant réfléchi : ψref(x) = B e-ikx
dψref/dx = -ik B e-ikx
jr = (ℏ/(2im)) (B* eikx (-ik B e-ikx) - B e-ikx (ik B* eikx))
jr = (ℏ/(2im)) (-ik |B|2 - ik |B|2) = (ℏ/(2im)) (-2ik |B|2) = -ℏk/m |B|2.
▪ Le courant transmis : ψtrans(x) = C e-qx
dψtrans/dx = -q C e-qx
jt = (ℏ/(2im)) (C* e-qx (-q C e-qx) - C e-qx (-q C* e-qx))
jt = (ℏ/(2im)) (-q |C|2 e-2qx + q |C|2 e-2qx) = 0.
Le courant transmis est nul, ce qui est cohérent avec le fait que l'onde est évanescente dans la région II et qu'il n'y a pas de propagation de probabilité à l'infini.
6. Coefficient de réflexion R
En déduire le coefficient de réflexion R = |jr| / ji de la marche de potentiel. Comparer ce résultat aux prévisions de la mécanique classique.
Le coefficient de réflexion R est le rapport de l'intensité du courant réfléchi à l'intensité du courant incident :
R = |jr| / ji = |(-ℏk/m) |B|2| / (ℏk/m) = |B|2.
Calculons |B|2 :
B = (ik + q) / (ik - q)
|B|2 = |(ik + q)|2 / |(ik - q)|2 = (k2 + q2) / (k2 + (-q)2) = (k2 + q2) / (k2 + q2) = 1.
Donc, R = 1.
Comparaison avec la mécanique classique :
On a R = 1, ce qui signifie qu'il y a une réflexion totale. Ce résultat est en parfait accord avec les prévisions de la mécanique classique. En effet, classiquement, une particule dont l'énergie est inférieure à la hauteur d'une barrière de potentiel ne peut pas pénétrer cette barrière et est entièrement réfléchie.
FAQ
1. Qu'est-ce qu'un opérateur hamiltonien en mécanique quantique et quelles sont les propriétés de ses valeurs propres ?
L'opérateur hamiltonien (H) est l'observable qui représente l'énergie totale d'un système quantique. C'est un opérateur hermitique. Les propriétés fondamentales de ses valeurs propres (les énergies propres En) sont qu'elles sont toujours réelles, ce qui est essentiel car l'énergie est une quantité mesurable. De plus, les vecteurs propres (états propres φn) associés à des valeurs propres différentes sont orthogonaux, formant ainsi une base orthonormée pour l'espace des états.
2. Dans le cas d'une marche de potentiel où l'énergie de la particule est inférieure à la hauteur de la marche, quelle est la différence entre le comportement classique et quantique ?
Classiquement, si l'énergie de la particule est inférieure à la hauteur de la marche de potentiel (E < V0), la particule est totalement réfléchie à la frontière. Elle ne peut en aucun cas pénétrer la région où V(x) > E. En mécanique quantique, bien que le coefficient de réflexion soit également de 1 (réflexion totale), la fonction d'onde de la particule pénètre dans la région de potentiel élevé sous la forme d'une onde évanescente. Cela signifie qu'il y a une probabilité non nulle de trouver la particule sur une courte distance à l'intérieur de la barrière, bien qu'elle ne puisse pas la traverser complètement si la barrière est infiniment longue.
3. Comment calcule-t-on le courant de probabilité en mécanique quantique ?
Le courant de probabilité j(x) mesure la densité de flux de probabilité d'une particule en un point donné de l'espace. Il est calculé à partir de la fonction d'onde ψ(x) du système par la formule j(x) = (ℏ/(2im)) (ψ* dψ/dx - ψ dψ*/dx). Ce courant permet de déterminer la proportion d'ondes incidentes qui sont réfléchies ou transmises par une barrière de potentiel.