Td 1 mecanique quantique smp4 ibn zohr agadir 2021 2022 méca

Télécharger PDF

Travaux Dirigés de Mécanique Quantique - Série N°1

Exercice 1 : Rayonnement du corps noir

Le corps noir est un objet théorique qui absorbe toute l'énergie électromagnétique qu'il reçoit et émet un rayonnement thermique dont le spectre dépend uniquement de sa température. L'étude de ce rayonnement a été fondamentale pour le développement de la mécanique quantique.

Donner l'expression de la loi du rayonnement de Planck en fonction de la longueur d'onde λ.
On pose x = h c / (λ k T), montrez que la longueur d'onde correspondante au maximum est donnée par l'équation : 5 − x = 5e^−x.
Montrez que la loi du rayonnement de Planck mène à la loi de déplacement de Wien.
Montrez que I = ∫₀^∞ u(λ, T)dλ conduit à I = aT⁴, où a est la constante de Stefan-Boltzmann.

Exercice 2 : Effet Photo-Électrique

L'effet photo-électrique est le phénomène par lequel des électrons sont éjectés d'un matériau lorsque de la lumière, avec une fréquence suffisante, l'éclaire. Ce phénomène a démontré la nature quantique de la lumière.

On envoie sur une cathode en potassium deux radiations monochromatiques :

une ultraviolette (raie du Hg) de longueur d'onde λ_Hg = 2537 Å, et on mesure une contre-tension |V₀| = 3,14 Volt.
l'autre visible (raie jaune du Na) dont λ_Na = 5890 Å et la contre-tension mesurée |V₀| est de 0,36 Volt.

On demande de calculer :

l'énergie maximale des photo-électrons éjectés
la valeur de la constante de Planck
l'énergie d'extraction minimale des électrons du potassium
la longueur d'onde maximale des radiations produisant un effet photo-électrique sur le potassium
Dans le premier cas i), le courant de saturation qui traverse la cellule est de 4µA, quel est le nombre n d'électrons reçus par l'anode en une seconde?

Exercice 3 : Effet Compton

L'effet Compton décrit l'interaction entre un photon et une particule chargée, généralement un électron, entraînant une diminution de l'énergie du photon (augmentation de sa longueur d'onde) et l'émission d'un électron.

I-) Le mouvement d'un corpuscule est parfaitement défini si on se donne : un nombre qui représente l'énergie de la particule et un vecteur qui représente l'impulsion de la particule. Sachant que ces grandeurs physiques sont données par : E = mc² et p = mv, où m² = m₀²/(1 − β²) tel que β = v/c

Montrer que l'on a : E² = m₀²c⁴ + p²c²

II-) On considère un faisceau de photons monochromatiques de longueur d'onde se déplaçant dans le vide, ce faisceau est dirigé sur une cible ne contenant que des électrons libres que l'on supposera au repos. Soit m₀ la masse au repos de l'électron, p_γ, p'_γ et p'_e les impulsions de l'électron et le photon avant et après le choc.

Écrire les équations de conservation de l'impulsion et de l'énergie lors du choc photon-électron.
Connaissant les expressions relativistes de l'énergie et de l'impulsion, calculer la variation de la longueur d'onde en fonction de l'angle θ que fait le photon diffusé avec le photon incident.
Montrer que l'énergie cinétique maximale transférée à l'électron après diffusion est : E_max hν₀ (1 + mc² 2hν₀)

III-) Un électron frappé par un Rayon X de 0,5 MeV acquiert une énergie de 0,1 MeV.

Calculer la longueur d'onde du photon diffusé sachant que l'électron était initialement au repos.
Calculer l'angle que fait le photon diffusé avec le photon incident. On donne : h / (m_ec) = 0,024 Å (dite λ_C, longueur d'onde de Compton).

Exercice 4 : Traitement classique ou quantique

Ce sujet aborde la distinction entre les domaines d'application de la mécanique classique et de la mécanique quantique, en se basant sur la grandeur de l'action associée à un système par rapport à la constante de Planck, ℏ.

Une action est une grandeur homogène à (quantité de mouvement)×(longueur) ou encore (énergie)×(temps). La constante h est le quantum fondamental d'action. Le critère admis est le suivant : lorsqu'une action associée au système prend une valeur proche de h, le comportement d'un tel système doit être décrit par la théorie quantique. Si au contraire une action est très grande par rapport à h, une description classique est suffisante. Classer les systèmes suivants selon qu'ils relèvent de la théorie classique ou quantique :

Atome d'hydrogène dont l'énergie d'ionisation est 13 eV émettant une radiation de longueur d'onde λ = 100 nm.
Une montre à ressort possédant des parties mobiles de taille et de masse typiques : d = 0,1 mm et m = 0,1 mg et un temps typique t = 1 s.
Un noyau dont l'énergie de liaison (neutron ou proton) est typiquement de l'ordre de 8 MeV; la dimension caractéristique du noyau se situe autour de r = 1 fm (1 fm = 10⁻¹⁵ m) tandis que la masse d'un nucléon vaut 1,6 × 10⁻²⁷ Kg.

Exercice 5 : Diffraction sur un cristal

La diffraction est un phénomène clé en physique quantique, démontrant la nature ondulatoire des particules. Elle est utilisée pour sonder la structure des matériaux cristallins.

On a réalisé des expériences de diffraction sur un cristal en utilisant divers types de particules :

Sachant que la distance interatomique d du cristal est de l'ordre de l'angström (Å), quelle doit être la longueur d'onde des rayons X à utiliser ? Quelle est l'énergie des photons correspondant ?
On remplace le faisceau de rayons X par des neutrons. À la température T, leur énergie est donnée par E = 32k_BT. Calculer la longueur d'onde λ de l'onde de matière associée aux neutrons (T = 300K). Pourrait-on observer une figure de diffraction ?
On utilise à présent des électrons accélérés sous une tension U. Quel doit être l'ordre de grandeur de U pour réaliser l'expérience ?

Exercice 6 : Atome d'hydrogène

L'atome d'hydrogène est le système le plus simple en mécanique quantique, permettant de comprendre les principes fondamentaux des orbitales électroniques et des niveaux d'énergie.

La fonction d'onde décrivant l'état fondamental de l'électron de l'atome d'hydrogène s'écrit, en coordonnées sphériques : ψ(r) = C e^−r/a, où C est une constante réelle et positive et a est le rayon de l'orbite de Bohr : a = 0,53 × 10⁻¹⁰ m.

Calculer la constante C.
Calculer la densité de probabilité de présence de l'électron et tracer son allure.
Calculer la probabilité de trouver l'électron entre les deux sphères de rayons r et r + dr. Pour quelle valeur de r, cette probabilité est-elle maximale ?

Exercice 7 : Paquet d'ondes gaussien (facultatif)

Un paquet d'ondes gaussien est une superposition d'ondes planes qui permet de décrire une particule localisée dans l'espace, illustrant ainsi le dualisme onde-corpuscule et les relations d'incertitude.

Une particule libre de masse m, d'impulsion p = ℏk et d'énergie E décrite par le paquet d'ondes ψ(x, t) à une dimension : ψ(x, t) = (1/√2π) ∫ g(k)e^i(kx−ωt)dk

Trouver la relation entre E et k. En déduire la relation de dispersion ω(k).
On considère le paquet d'ondes à l'instant initial : ψ(x, t = 0) = ψ(x).

Montrer que g(k) n'est autre que la transformée de Fourier de ψ(x).
Établir l'égalité de Parseval-Plancherel : ∫_−∞^+∞ |ψ(x)|²dx = ∫_−∞^+∞ |g(k)|²dk

On suppose par la suite que la fonction est une gaussienne centrée en k₀ : g(k) = (a² / (2π))^1/4 exp[ −a²/4 (k − k₀)² ] où a est une constante ayant la dimension d'une longueur.

Paquet d'ondes à l'instant t = 0 :

Montrer que ψ(x, 0) est donnée par : ψ(x, 0) = (2 / (πa²))^1/4 e^ik₀xe^−x²/a²
On définit le centre du paquet d'ondes par le point x_M où |ψ(x, 0)|² est maximale; donner la position du centre du paquet d'ondes.
Montrer que la probabilité de trouver la particule dans tout l'espace est égale à 1.
On définit la largeur Δy d'une gaussienne f(y) = exp(−y²/b²) par Δy = b/√2. Déterminer les largeurs Δx(0) de |ψ(x, 0)|² et Δk(0) de |g(k)|². En déduire que le paquet d'ondes ψ(x, 0) obéit à la relation d'incertitude d'Heisenberg.

Évolution du paquet d'ondes ψ(x, t) dans le temps :

À l'instant t > 0, l'expression du paquet d'ondes ψ(x, t) est de la forme (à ne pas démontrer) :

ψ(x, t) = &left;( &frac{(2a²)}{π (a⁴ + \frac{(4ℏ²t²)}{m²})} &right; &right;)^1/4 e^iφe^ik₀x exp&left;[ − &frac{(x − ℏk₀t/m)²}{&left;(a² + 2iℏt/m&right;)} &right;]

Calculer la densité de probabilité |ψ(x, t)|² associée à la particule à l'instant t.
Déterminer la position x_M(t) du centre du paquet d'ondes à l'instant t. Quelle est sa vitesse de déplacement ? La comparer à la vitesse de groupe associée au paquet.
Déterminer la largeur Δx(t) et l'amplitude A(t) de |ψ(x, t)|². Décrire qualitativement la variation de ces deux grandeurs en fonction du temps. Conclure quant à l'évolution de la forme de la densité de probabilité au cours du temps.

Données

I = ∫_−∞^+∞ exp(−α²y² + βy)dy = √(π/α²)exp(β² / (4α²))
∫₀^+∞ x³ / (e^x−1)dx = π⁴ / 15
Solution de l'équation : 5 − x = 5e^−x est x ≈ 4,965
m_e = 9,109 × 10⁻³¹ Kg
h = 6,626 × 10⁻³⁴ J.s
c = 3 × 10⁸ m/s
k_B = 1,38 × 10⁻²³ SI

FAQ sur les concepts de Mécanique Quantique

Q1 : Qu'est-ce que l'effet photo-électrique ?

L'effet photo-électrique est le phénomène par lequel des électrons sont éjectés d'un matériau (généralement un métal) lorsqu'il est exposé à un rayonnement électromagnétique (lumière) d'une fréquence et d'une énergie suffisantes. Ce phénomène a été crucial pour démontrer la nature corpusculaire (quantifiée) de la lumière.

Q2 : Quelle est l'importance du rayonnement du corps noir en physique ?

Le rayonnement du corps noir est d'une importance capitale car l'étude de son spectre d'émission, qui dépend uniquement de sa température, a conduit Max Planck à introduire l'idée que l'énergie est quantifiée. Cette hypothèse a marqué le début de la mécanique quantique, révolutionnant notre compréhension de l'énergie et de la matière.

Q3 : Qu'est-ce que la longueur d'onde de Compton ?

La longueur d'onde de Compton (λ_C) est une constante physique qui caractérise la diffusion inélastique d'un photon par un électron, connue sous le nom d'effet Compton. Elle représente la variation maximale de la longueur d'onde du photon lors de cette interaction et est donnée par la formule λ_C = h / (m_ec), où h est la constante de Planck, m_e la masse de l'électron et c la vitesse de la lumière.