Examen mecanique quantique i smp4 ibn zohr agadir mai 2022 m
Télécharger PDFPrincipes Fondamentaux de la Mécanique Quantique
1. Orthogonalité des vecteurs propres d'un opérateur hermitique
Montrer que deux vecteurs propres |φ₁⟩ et |φ₂⟩ d’un opérateur hermitique A, associés respectivement à deux valeurs propres λ₁ et λ₂ différentes, sont orthogonaux.
Un opérateur est dit hermitique si A = A†. En mécanique quantique, les observables (quantités physiques mesurables) sont représentées par des opérateurs hermétiques, garantissant que leurs valeurs propres sont réelles et que leurs vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Cette propriété est fondamentale pour l'interprétation des mesures et la construction des espaces de Hilbert.
2. Réalité des valeurs propres d'un opérateur hermitique
Soit A un opérateur hermitique et |un⟩ un vecteur propre de A qui correspond à la valeur propre an, tel que A|un⟩ = an|un⟩. Montrer que an est un nombre réel.
La nature réelle des valeurs propres des opérateurs hermitiques est une exigence physique cruciale. Une valeur propre représente le résultat d'une mesure, et les résultats des mesures physiques doivent toujours être des nombres réels. La propriété hermitique garantit cette réalité.
3. Évolution temporelle des valeurs moyennes
a) Relation pour l'évolution temporelle de la valeur moyenne d'une observable: Rappeler la relation donnant l’évolution dans le temps de la valeur moyenne d’une grandeur représentée par l’observable A. Cette relation est donnée par le théorème d'Ehrenfest, qui relie la dynamique des observables classiques à celle des opérateurs quantiques.
b) Démonstration de la relation pour le produit d'observables: Soient A et B deux observables quelconques. Démontrer la relation suivante : d/dt<AB> = (1/iℏ) <A[B,H]> + (1/iℏ) <[A,H]B> + <A&partial;B/&partial;t> + <&partial;A/&partial;t B>. Cette équation est une généralisation du théorème d'Ehrenfest pour le produit de deux opérateurs et est essentielle pour comprendre comment les corrélations entre différentes grandeurs physiques évoluent au cours du temps.
Étude de la Marche de Potentiel en Mécanique Quantique
Une particule de masse m et d’énergie E est soumise à une marche de potentiel V(x) définie par : V(x) = 0 pour x < 0 (région (I)) et V(x) = V₀ pour x > 0 (région (II)). V₀ étant positif. Nous nous intéressons particulièrement au cas où l’énergie de la particule est inférieure à V₀, c’est-à-dire 0 < E < V₀. Dans ce contexte, nous posons : k² = 2mE / ℏ² et ρ² = 2m(V₀ − E) / ℏ². L'étude de la marche de potentiel est un problème fondamental en mécanique quantique qui illustre des phénomènes comme la réflexion, la transmission et la pénétration d'une particule dans une région classiquement interdite.
1. Représentation graphique du potentiel
Tracer l’allure de V(x).
Le graphique de V(x) montrerait une fonction constante à 0 pour x < 0, puis un saut abrupt à V₀ pour x ≥ 0. Ce profil de potentiel simple permet d'analyser le comportement quantique d'une particule lorsqu'elle rencontre une barrière d'énergie.
2. Équations de Schrödinger dans chaque région
Écrire les équations vérifiées par la fonction d’onde dans les deux régions. On notera ψI et ψII les fonctions d’onde respectivement dans la région (I) et (II).
Ces équations sont les équations de Schrödinger indépendantes du temps, adaptées à chaque région de potentiel constant. Elles décrivent le comportement stationnaire de la particule.
3. Solutions physiques des équations d'onde
Résoudre physiquement ces équations. Indiquer le type de chaque terme (onde incidente, réfléchie, transmise ou évanescente).
Les solutions générales des équations de Schrödinger dans les régions (I) et (II) sont des combinaisons d'ondes planes. Pour E < V₀, la solution dans la région (II) est une onde évanescente, indiquant une décroissance exponentielle de la probabilité de trouver la particule dans cette région, un phénomène purement quantique.
4. Conditions de raccordement en x = 0
Exprimer la continuité de la fonction d’onde et de sa dérivée au point x = 0.
Ces conditions sont cruciales pour garantir la physicalité de la fonction d'onde. La continuité de ψ(x) assure que la probabilité de présence est bien définie partout, et la continuité de dψ(x)/dx (pour un potentiel fini) est nécessaire pour que la densité de courant de probabilité soit continue.
5. Rapports d'amplitudes
Déduire les rapports des amplitudes des ondes réfléchie et transmise par rapport à l’onde incidente.
Ces rapports permettent de quantifier la proportion de la particule qui est réfléchie ou transmise par la marche de potentiel, même lorsque son énergie est inférieure à la hauteur de la marche.
6. Calcul des courants de probabilité
Le courant de probabilité qui caractérise le flux de particules est défini, à 1 dimension, par : →j(x) = (ℏ / 2im) [ψ*(x)(dψ(x)/dx) − ψ(x)(dψ*(x)/dx)] →ex. Calculer les courants de probabilité incident et réfléchi par la marche de potentiel.
Le courant de probabilité est un concept essentiel qui représente la densité de flux des particules. Il permet de comprendre la dynamique du système, notamment si les particules se déplacent ou restent localisées.
7. Détermination et interprétation du coefficient de réflexion
Déterminer le coefficient de réflexion R = |→jr / →ji|. Interpréter.
Le coefficient de réflexion R indique la proportion du flux de particules incident qui est renvoyée par la marche de potentiel. Pour une énergie E inférieure à V₀, R est égal à 1, ce qui signifie que la particule est totalement réfléchie, bien qu'elle pénètre dans la région (II) par effet tunnel.
8. Profondeur de pénétration et effet tunnel
Cependant, l’existence de la fonction d’onde dans la région (II) implique une probabilité non nulle de trouver la particule dans la région (II). En supposant que la particule est un électron de masse mₑ et d’énergie E = 3 eV, et que V₀ = 6 eV, trouver la profondeur a de pénétration de la particule dans le cas où la densité de probabilité est égale à 0.5%. On donne : ℏc = 12400 eV.Å, mₑc² = 0.5 MeV et A = 1 (amplitude de l’onde incidente).
Bien que la particule soit entièrement réfléchie lorsque E < V₀, sa fonction d'onde ne s'annule pas immédiatement à la frontière. Elle décroît exponentiellement dans la région interdite classiquement, illustrant le phénomène d'effet tunnel. La profondeur de pénétration 'a' est la distance sur laquelle la probabilité de trouver la particule décroît significativement, démontrant la nature probabiliste et non locale de la mécanique quantique.
Le Modèle de la Molécule d'Ammoniac et l'Effet Tunnel
La molécule d’ammoniac NH₃ peut se représenter en termes des coordonnées des noyaux, où les trois atomes d’hydrogène (H) occupent les trois sommets de la base triangulaire équilatérale, alors que l’atome d’azote (N) se déplace le long de l’axe perpendiculaire ; sa coordonnée est notée Z. Dans le modèle ainsi défini, l’Hamiltonien H possède deux états propres normalisés |φ±⟩ d’énergies E± : H|φ±⟩ = E±|φ±⟩, avec E± = E₀ ± ℏω (ω > 0). Dans chacun de ces états, l’atome d’azote n’est ni d’un côté ni de l’autre, mais des deux côtés "à la fois". Ce système est un exemple canonique de l'effet tunnel et de l'oscillation des populations en mécanique quantique.
1. Représentation matricielle de l'Hamiltonien
Écrire la matrice H représentant H dans la base {|φ−⟩, |φ±⟩}.
Dans cette base d'états propres, la matrice de l'Hamiltonien est diagonale, avec les valeurs propres E− et E± sur la diagonale. Cela simplifie l'analyse de l'évolution temporelle du système.
2. Évolution temporelle d'un état générique
À t = 0, l’état de la molécule est : |ψ(t = 0)⟩ = c−|φ−⟩ + c±|φ±⟩ (c± ∈ C). Écrire l’expression de l’état à l’instant t, |ψ(t)⟩, sur la base {|φ−⟩, |φ±⟩}.
L'évolution temporelle d'un état quantique est régie par l'équation de Schrödinger. Pour un Hamiltonien indépendant du temps, cette évolution se manifeste par l'apparition de phases temporelles pour chaque composante d'état propre.
3. Analyse de l'opérateur de position Z
L’opérateur associé à la coordonnée de l’atome d’azote, Z, est représenté sur la base {|φ−⟩, |φ±⟩} par la matrice : Z = a multipliée par la matrice [[0, 1], [1, 0]] où a est une certaine longueur.
a) Valeur moyenne et écart quadratique de Z dans l'état propre |φ±⟩: Quels sont la valeur moyenne et l’écart quadratique de Z dans l’état propre |φ±⟩ ? La valeur moyenne d'une observable dans un état propre est une prédiction de la mesure, tandis que l'écart quadratique caractérise l'incertitude sur cette mesure.
b) Valeurs propres de l'observable Z: Quelles sont les valeurs propres zi (i = 1,2) de l’observable étudiée (z₁ < z₂) ? Les valeurs propres de Z représentent les positions possibles de l'atome d'azote, c'est-à-dire "au-dessus" ou "en-dessous" du plan des atomes d'hydrogène.
c) Vecteurs propres normalisés de Z: Soient |zi⟩ (i = 1,2) les vecteurs propres normalisés de Z ; donner les expressions des |zi⟩ sur la base {|φ−⟩, |φ±⟩}.
L'opérateur Z, qui décrit la position de l'atome d'azote, a des vecteurs propres qui représentent des états où l'azote est localisé soit d'un côté, soit de l'autre du plan des hydrogènes. Ces états de position sont des superpositions des états d'énergie |φ±⟩, illustrant comment la localisation spatiale est liée aux états énergétiques dans ce système quantique.
4. Dynamique des probabilités de position
On suppose qu’à t = 0, la molécule est dans l’état |z₂⟩ et soit |ψ(t)⟩ l’état du système à l’instant t.
a) Probabilités de trouver les valeurs zi à l'instant t: Quelles sont les probabilités Pi de trouver les valeurs zi lors d’une mesure de Z effectuée à l’instant t ? Ces probabilités vont osciller dans le temps, un phénomène connu sous le nom d'oscillations de Rabi, dû à la superposition des états d'énergie.
b) Instants de certitude de mesure: À quels instants est-on sûr de trouver l’une de ces valeurs avec certitude ? Les oscillations de Rabi impliquent des moments où la particule est complètement localisée d'un côté ou de l'autre, et d'autres moments où elle est dans une superposition.
Foire aux Questions (FAQ) sur la Mécanique Quantique
Qu'est-ce qu'un opérateur hermitique et pourquoi est-il important ?
Un opérateur hermitique est un opérateur qui est égal à son adjoint conjugué. En mécanique quantique, les opérateurs représentant les observables physiques (comme la position, l'impulsion, l'énergie) doivent être hermétiques. Cette propriété garantit que les résultats de leurs mesures (leurs valeurs propres) sont toujours des nombres réels et que leurs vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux, ce qui est essentiel pour une interprétation physique cohérente.
Qu'est-ce que l'effet tunnel en mécanique quantique ?
L'effet tunnel est un phénomène purement quantique où une particule peut traverser une barrière de potentiel même si son énergie est inférieure à la hauteur de cette barrière. Classiquement, cela serait impossible. En mécanique quantique, la fonction d'onde de la particule ne s'annule pas à l'intérieur de la barrière mais décroît exponentiellement, ce qui signifie qu'il y a une probabilité non nulle de la trouver de l'autre côté. Ce phénomène est crucial pour de nombreuses applications, comme les diodes tunnel ou la désintégration alpha.
Comment la molécule d'ammoniac NH₃ illustre-t-elle des principes quantiques ?
La molécule d'ammoniac NH₃ est un excellent exemple de système à deux états en mécanique quantique, illustrant le phénomène d'inversion ou "tunneling de l'azote". L'atome d'azote peut se trouver "au-dessus" ou "en-dessous" du plan des atomes d'hydrogène. En raison de l'effet tunnel, l'azote peut traverser la barrière de potentiel entre ces deux configurations, conduisant à des états d'énergie dédoublés (E±) et à des oscillations de probabilité de trouver l'azote dans une position donnée au cours du temps. Ce comportement est à la base de l'horloge atomique à ammoniac.