Examen mecanique quantique 1 smp4 ibn zohr agadir 2019 2020
Télécharger PDFMécanique Quantique : Concepts Fondamentaux et Application au Puits de Potentiel
Ce document aborde des questions fondamentales de mécanique quantique et l'étude du mouvement d'une particule dans un potentiel à une dimension, un cas d'étude classique pour comprendre la quantification de l'énergie.
Questions de Cours
La Fonction d'Onde et l'Équation de Schrödinger
Considérons ψ(r,t) la fonction d'onde décrivant une particule de masse m se déplaçant sous l'action d'un potentiel réel V(r,t).
Équation de Schrödinger Dépendante du Temps
L'équation de Schrödinger dépendante du temps satisfaite par ψ(r,t), fondamentale pour décrire l'évolution d'un système quantique, est :
iħ ∂ψ(r,t)/∂t = [-ħ²/(2m) Δ + V(r,t)] ψ(r,t)
où ħ est la constante de Planck réduite, Δ est l'opérateur Laplacien, et m est la masse de la particule.
Densité et Courant de Probabilité
La densité de probabilité de présence de la particule au point r à l'instant t est donnée par ρ(r,t) = |ψ(r,t)|². Le courant de probabilité de présence, j(r,t), caractérisant le flux des particules, est défini par :
j(r,t) = [ħ/(2im)] [ψ*(r,t) ∇ψ(r,t) - ψ(r,t) ∇ψ*(r,t)]
où ψ* désigne le conjugué complexe de ψ.
Équation de Conservation de la Probabilité
L'équation de conservation vérifiée par ρ(r,t) et j(r,t) est :
∂ρ(r,t)/∂t + ∇ ⋅ j(r,t) = 0
Cette équation exprime la conservation de la probabilité totale de trouver la particule dans l'espace. Elle peut être démontrée à partir de l'équation de Schrödinger et de la définition du courant de probabilité, assurant que la probabilité totale de présence de la particule reste constante.
Opérateurs Linéaires en Mécanique Quantique
Soient les opérateurs linéaires X (multiplication par x) et Dx (dérivation par rapport à x).
Commutateur des Opérateurs Position et Dérivée
Le commutateur de deux opérateurs A et B est défini par [A, B] = AB - BA. Il quantifie la mesure dans laquelle l'ordre d'application de ces opérateurs affecte le résultat. Pour X et Dx, le commutateur est :
[X, Dx] = -I
où I est l'opérateur identité. Ce résultat est fondamental et exprime la non-commutativité de la position et de l'opérateur de dérivation, qui est directement lié au principe d'incertitude de Heisenberg.
Opérateurs Adjoints
L'opérateur adjoint d'un opérateur A, noté A+, est défini par la relation <φ|Aψ> =
- L'opérateur adjoint de Dx est : Dx+ = -Dx. L'opérateur de dérivation n'est donc pas hermitien.
- L'opérateur adjoint de X est : X+ = X. L'opérateur de position est hermitien, ce qui est cohérent avec son rôle d'observable physique.
Problème : Particule dans un Potentiel à une Dimension
Nous nous proposons d'étudier le mouvement à une dimension d'une particule M de masse m et d'énergie E > 0, évoluant sous l'effet du potentiel V(x) défini par :
- V(x) = +∞ si x < 0 (région I)
- V(x) = 0 si 0 ≤ x ≤ a (région II)
- V(x) = V₀ si x > a (région III)
V₀ et a sont deux constantes réelles positives. L'énergie E de la particule est telle que 0 < E < V₀. Nous définissons des paramètres utiles :
- k² = 2mE/ħ²
- q² = 2m(V₀ - E)/ħ²
- Avec k et q des nombres réels positifs, et k₀² = k² + q² = 2mV₀/ħ².
Solution Stationnaire de l'Équation de Schrödinger
Nous considérons une solution stationnaire de l'équation de Schrödinger de la forme ψ(x,t) = f(t)ϕ(x).
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Équation de Schrödinger Dépendante du Temps pour ψ(x,t)
Pour une dimension, l'équation de Schrödinger dépendante du temps est :
iħ ∂ψ(x,t)/∂t = [-ħ²/(2m) ∂²/∂x² + V(x)] ψ(x,t)
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Expression de la Fonction f(t)
En utilisant la méthode de séparation des variables, la partie temporelle f(t) est déterminée par :
f(t) = A_exp(-iEt/ħ)
où A est une constante d'intégration, et E est l'énergie de la particule.
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Équation Différentielle pour la Fonction d'Onde Spatiale ϕ(x)
La fonction d'onde spatiale ϕ(x) vérifie l'équation de Schrödinger indépendante du temps :
[-ħ²/(2m) d²/∂x² + V(x)] ϕ(x) = E ϕ(x)
Résolution de l'Équation pour ϕ(x) dans Chaque Région
La résolution de l'équation différentielle pour ϕ(x) dépend de la valeur du potentiel dans chaque région.
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Région I (x < 0)
Puisque V(x) = +∞, la probabilité de trouver la particule est nulle, et donc la fonction d'onde est :
ϕ₁(x) = 0
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Région II (0 ≤ x ≤ a)
Dans cette région, V(x) = 0. L'équation de Schrödinger devient d²ϕ₂(x)/dx² + k²ϕ₂(x) = 0. Les solutions sont de la forme A₁e^(ikx) + A₂e^(-ikx). La continuité de la fonction d'onde à x = 0 (ϕ₁(0) = ϕ₂(0)) implique que A₁ + A₂ = 0, d'où A₂ = -A₁. Ainsi, la solution peut s'écrire comme :
ϕ₂(x) = A sin(kx)
où A est une amplitude complexe.
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Région III (x > a)
Ici, V(x) = V₀ et E < V₀. L'équation est d²ϕ₃(x)/dx² - q²ϕ₃(x) = 0. Les solutions sont de la forme B₁e^(qx) + B₂e^(-qx). Pour que la fonction d'onde soit physiquement acceptable (carré sommable), elle doit tendre vers zéro lorsque x → +∞. Cela impose B₁ = 0. La solution est donc :
ϕ₃(x) = B e^(-qx)
où B est une amplitude complexe.
La fonction d'onde complète est alors :
- ϕ(x) = 0 si x < 0
- ϕ(x) = A sin(kx) si 0 ≤ x ≤ a
- ϕ(x) = B e^(-qx) si x > a
Application des Conditions aux Limites
Les conditions de continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée première aux frontières des régions du potentiel permettent de déterminer les valeurs permises de l'énergie.
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Continuité de la Fonction d'Onde à x = a
La continuité de ϕ(x) au point x = a implique que ϕ₂(a) = ϕ₃(a) :
A sin(ka) = B e^(-qa)
De cette relation, nous pouvons exprimer B en fonction de A : B = A sin(ka) e^(qa). En substituant cette expression, la fonction d'onde pour x > a devient :
ϕ(x) = A sin(ka) e^(q(a-x))
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Continuité de la Dérivée Première de la Fonction d'Onde à x = a
La continuité de la dérivée première dϕ(x)/dx au point x = a exige que dϕ₂(a)/dx = dϕ₃(a)/dx :
k A cos(ka) = -q A sin(ka)
En simplifiant par A (l'amplitude ne peut être nulle pour une solution significative) et en réarrangeant, nous obtenons la condition de quantification de l'énergie :
k cot(ka) = -q
Cette relation montre que l'énergie E de la particule ne peut prendre que des valeurs discrètes.
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Forme Alternative de la Condition de Quantification
En utilisant l'identité trigonométrique 1 + cot²θ = 1/sin²θ et les définitions de k, q et k₀, la condition précédente peut être réécrite sous la forme :
E/V₀ = sin²(ka)
avec la condition supplémentaire que tan(ka) < 0 (puisque k et q sont positifs, k cot(ka) = -q implique cot(ka) < 0, et donc tan(ka) < 0).
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Résolution Graphique et Quantification de l'Énergie
La résolution graphique de l'équation E/V₀ = sin²(ka) (ou k = k₀ sin(ka)) combinée à la condition tan(ka) < 0 permet de visualiser les niveaux d'énergie quantifiés. On peut tracer les fonctions f(ka) = sin(ka) et g(ka) = k/k₀ = sqrt(E/V₀). Les intersections de ces courbes, limitées aux intervalles de ka où tan(ka) < 0 (par exemple, (π/2, π), (3π/2, 2π), etc.), donnent les valeurs possibles du vecteur d'onde k. Chaque valeur de k correspond à une énergie E permise, démontrant ainsi la quantification de l'énergie de la particule.
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Cas Limite V₀ → +∞ : Le Puits de Potentiel Infini
Lorsque la hauteur du potentiel V₀ tend vers l'infini, la particule est complètement confinée dans la région du puits (0 ≤ x ≤ a).
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Fonction d'Onde
Dans la région III (x > a), à la limite où V₀ → +∞, q → +∞. Par conséquent, la fonction d'onde ϕ₃(x) = B e^(-qx) tend vers zéro. La fonction d'onde s'annule en dehors de la région 0 ≤ x ≤ a. À l'intérieur du puits, les fonctions d'onde sont celles du puits de potentiel infini :
ϕn(x) = A sin(nπx/a)
où n est un entier naturel non nul (n ∈ ℕ*), distinguant les différents niveaux.
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Énergies Associées
Dans cette limite, la condition de quantification conduit aux niveaux d'énergie du puits de potentiel infini :
En = (n²π²ħ²) / (2ma²)
Ces énergies sont discrètes et proportionnelles au carré de l'entier n, qui représente le numéro du niveau énergétique.
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Foire Aux Questions (FAQ)
Qu'est-ce que l'équation de Schrödinger et pourquoi est-elle fondamentale ?
L'équation de Schrödinger est l'équation centrale de la mécanique quantique. Elle décrit comment l'état quantique d'un système physique (représenté par sa fonction d'onde) évolue au cours du temps. C'est l'équivalent de la deuxième loi de Newton pour les systèmes classiques, mais appliquée au monde microscopique. Elle permet de prédire le comportement des particules et de dériver toutes les propriétés observables d'un système quantique.
Que signifie la quantification de l'énergie dans un puits de potentiel ?
La quantification de l'énergie signifie que, contrairement à la physique classique où l'énergie d'une particule peut prendre n'importe quelle valeur, dans certains systèmes quantiques (comme une particule confinée dans un puits de potentiel), l'énergie ne peut prendre qu'un ensemble discret de valeurs spécifiques. Chaque valeur est appelée niveau d'énergie et est caractérisée par un nombre quantique entier. Ce phénomène résulte de la nature ondulatoire des particules et des conditions aux limites imposées par le potentiel.
Quel est le rôle des opérateurs en mécanique quantique ?
En mécanique quantique, les grandeurs physiques observables (comme la position, la quantité de mouvement, l'énergie) sont représentées par des opérateurs mathématiques qui agissent sur les fonctions d'onde. Le résultat de cette action permet d'extraire des informations sur les propriétés du système. Par exemple, l'opérateur de position X multiplie la fonction d'onde par x, tandis que l'opérateur de quantité de mouvement est lié à la dérivée spatiale. La relation entre ces opérateurs (leur commutateur) est cruciale pour comprendre les limites de la mesure simultanée de certaines grandeurs physiques, comme énoncé par le principe d'incertitude.